(共37张PPT)
概率及其计算
（第二课时）
数学湘教版 九年级下
复习旧知
一个不透明的箱子里有5个黄色的乒乓球，6个白色的乒乓球，这些乒乓球除了颜色外都相同，从箱子中随机摸出一个球，它是白球的概率为 。
解析：由于取出球的总可能数有5+6=11中，其中白球占了6中，
因此，P（取出数字6）= 。
复习旧知
2. 投掷一枚质地均匀的骰子，它落地时一共有多少种可能性，每种可能性所占的概率是多少呢？朝上的点数小于3的概率是多少呢？
解析：骰子一共有1、2、3、4、5、6个点数，所以它落地的时候有6种可能性，6种可能性都相等，概率P= ，朝上的点数小于3一共有1、2两种结果，因此，点数小于3的概率P（小于3）= = 。
新知讲解
1
用列举法求概率
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性都相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件的概率。这种求概率的方法叫列举法。
一、列举法的概念：
列举法需要不重不漏的列出所有结果。
新知讲解
能用列举法求概率需要满足的条件：
二、列举法的概念的理解：
1
可能出现的结果只有有限个；
2
各种结果出现的可能性相等。
新知讲解
三、列表法求概率的基本步骤
1
列表格。
2
在所有可能的情况n中，再找到满足条件的事件的个数m；
3
代入概率公式P（A）= 计算事件的概率。
新知讲解
李明和刘英各掷一枚骰子，如果两枚骰子的点数之和为奇数，则李明赢；如果两枚骰子的点数之和为偶数，则刘英赢。这个游戏对双方公平吗？
动脑筋
【分析】我们可以把所有可能的结果列出来，计算李明和刘英赢得游戏的概率，因此可以使用列举法。为了不重不漏地列举所有可能结果，可以采用列表法。
2
用列表法求概率
新知讲解
解：掷两枚骰子的全部可能结果列表如下：
1点 2点 3点 4点 5点 6点
1点 2 3 4 5 6 7
2点 3 4 5 6 7 8
3点 4 5 6 7 8 9
4点 5 6 7 8 9 10
5点 6 7 8 9 10 11
6点 7 8 9 10 11 12
第一枚
点数之和
第二枚
奇数：18 偶数：18
新知讲解
由上表可得，所有可能出现的结果有36个，由于骰子是均匀的，它们出现的可能性相等。
两枚骰子点数之和偶数可能的结果有18个，奇数可能的结果有18个。
因此：
P（点数之和为偶数）= = ；
P（点数之和为奇数）= = 。
因此，游戏是公平的。
新知讲解
袋中装有大小和质地都相同的4个球：2红2白。从中依次任意取出2个球（第一次取出的球不放回袋中），求下列事件的概率：
A：取出的2个球同色；
B：取出2个白球。
做一做
（1）列表列举
用R1，R2表示两红球；用W1，W2表示两白球；用（R1,W2）表示第1次取出红球R1，不放回即取第2次，取得白球W2，如此类推。
新知讲解
将所有可能结果填在下面的表中：
R1 R2 W1 W2
R1 (R1，R2) (R1，W1) (R1，W2)
R2
W1
W2
第2次
第1次
(R2，R1)
(R2，W1)
(R2，W2)
(W1，R1)
(W1，R2)
(W1，W2)
(W2，R1)
(W2，R2)
(W2，W1)
不放回袋中
新知讲解
共有个 个可能结果。
（2）写出各指定事件发生的可能结果：
A: 取出的2个球同色
（共 种）
B：取出2个白球
（共 种）
（3）指定事件的概率为
P(A)= , P(B) .
12
(R1,R2) (R2,R1) (W1,W2) (W2,W1)
(W1,W2) (W2,W1)
4
2
新知讲解
如果是有放回的取球，结果是怎样的呢？
袋中装有大小和质地都相同的4个球：2红2白。从中依次任意取出2个球（第一次取出的球放回袋中），求下列事件的概率：
A：取出的2个球同色；
B：取出2个白球。
拓展
新知讲解
（1）将所有可能结果填在下面的表中：
R1 R2 W1 W2
R1 (R1，R2) (R1，W1) (R1，W2)
R2
W1
W2
第2次
第1次
(R2，R1)
(R2，W1)
(R2，W2)
(W1，R1)
(W1，R2)
(W1，W2)
(W2，R1)
(W2，R2)
(W2，W1)
放回袋中
(R1，R1)
(R2，R2)
(W1，W1)
(W2，W2)
新知讲解
共有个 个可能结果。
（2）写出各指定事件发生的可能结果：
A: 取出的2个球同色
.
（共 种）
B：取出2个白球
（共 种）
（3）指定事件的概率为
P(A)= , P(B) .
16
(R1,R2) (R2,R1) (W1,W2) (W2,W1)
(R1,R1) (R2,R2) (W1,W1)(W2,W2)
(W1,W2) (W2,W1) (W1,W1) (W2,W2)
8
4
学以致用
1. 从1到4这四个自然数中，任意取出两个数，它们的积大于10的概率是 。
解析：可以列举出所有情况，它们的积大于10的情况数除以总情况数即为所求的概率。
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 6 8
3 3 6 9 12
4 4 8 12 16
P（大于10）=
学以致用
2. 同时投掷两个质地均匀的骰子，出现的点数之和为3的倍数的概率为 。
解析：可以列举出所有情况，看点数之和为3的倍数的情况占总情况的多少即可。
通过列表可得，共有36种情况，点数之和为3的倍数的情况有12种，因此P（出现点数之和为3的倍数）= 。
新知讲解
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
总数：36
3的倍数：12
新知讲解
3
用树状图法求概率
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用列表法。
一个因素所包含的可能情况
另一个因素所包含的可能情况
两个因素所组合的所有可能情况，即n
在所有可能情况n中，再找到满足条件的事件的个数m，最后代入公式计算。
列表法中表格构造特点:
当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时，怎么办
新知讲解
当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时,用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用“树状图”。
树状图的画法:
一个试验
第一个因素
第二个
第三个
如一个试验中涉及3个因素，第一个因素中有2种可能情况；第二个因素中有3种可能的情况；第三个因素中有2种可能的情况。
A
B
1
2
3
1
2
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
n=2×3×2=12
新知讲解
小明和小华做“剪刀、石头、布”的游戏，游戏规则是：若两人出的不同，则石头胜剪刀、剪刀胜布，布胜石头；若两人出的相同，则为平局。
（1）怎样表示和列举一次游戏的所有可能结果？
（2）用A，B，C表示指定事件：
A：“小明胜” B：“小华胜” C：“平局”
求事件A，B，C的概率。
动脑筋
解析：由于涉及到两个因素，可以用列表法，也可以用树状图法。这里用树状图法来求解。
新知讲解
小明
石头
剪刀
布
石头
剪刀
布
石头
剪刀
石头
布
剪刀
布
（石头，石头）
（石头，剪刀）
（石头，布）
（剪刀，石头）
（剪刀，剪刀）
（布，石头）
（剪刀，布）
（布，剪刀）
（布，布）
小华
结果
（石头，石头）
（石头，剪刀）
（石头，布）
（剪刀，石头）
（剪刀，剪刀）
（布，石头）
（剪刀，布）
（布，剪刀）
（布，布）
A: 蓝色 B：绿色 C：黄色
新知讲解
一次游戏共有9种可能结果，而且它们出现的可能性相等。
（2）A：“小明胜”的可能结果：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头）；
B：“小华胜”的可能结果：（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀）
C：“平局”的可能结果：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布）
P（A）=P（B）=P（C）=
新知讲解
如图，甲、乙、丙三人做传球的游戏。开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球3次。
（1）写出3次传球的所有可能结果（即传球的方式）
例题讲解
解：一种可能传球的方式（结果）是：甲传给乙、乙传给丙、丙又传给甲，即球依次落入乙、丙、甲手中，记为（乙，丙，甲）。
开始
甲
乙
丙
甲
丙
甲
乙
乙
丙
甲
乙
乙
丙
甲
丙
（乙，甲，乙）
（乙，甲，丙）
（乙，丙，甲）
（乙，丙，乙）
（丙，甲，乙）
（丙，甲，丙）
（丙，乙，甲）
（丙，乙，丙）
第1次
第2次
结果
第3次
（乙，丙，甲）
（丙，乙，甲）
共有8种可能的结果。而且它们出现的可能性相等。
新知讲解
（2）指定事件A：“传球3次后，球又回到甲的手中”，写出A发生的所有可能结果；
传球3次后，球又回到甲手中，即事件A发生有2个可能结果：（乙、丙、甲），（丙，乙，甲）。
（3）求P（A）。
P（A）= =0.25
新知讲解
【议一议】
传球3次后，球又回到甲手中，即事件A发生有2个可能结果：（乙、丙、甲），（丙，乙，甲）。所以，用树状图和列表法的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性务必相同。
用树状图和列表法求概率时应注意些什么？
新知讲解
【想一想】
当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。
当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树状图。
什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树状图图法”方便呢？
巩固提升
1. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是 。
解析：由于涉及到两辆车两个因素，所以可以用列表法，也可以用树状图法求解，这里用树状图法求解。
小明
左
直
右
左
直
右
左
直
左
右
直
右
一共有9种可能的结果，一辆左转，一辆右转的有两种，因此，概率P= 。
巩固提升
巩固提升
2. 现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1,2的两张卡片，另一个装有标号分别为1,2,3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同。若从两个盒子中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是 。
解析：由于涉及到两个盒子两个因素，所以树状图法和列表法都可以。我们可以由树状图求得所有可能的结果与两张卡片标号恰好相同的情况，再利用概率公式即可求得答案。
开始
1
2
1
2
3
1
2
3
一共有6种可能的结果，两张卡片恰好相同有两种情况，因此，两张卡片恰好相同的概率是P= =
巩固提升
巩固提升
3. 甲、乙两盒中分别放入编号为1，2，3，4的形状相同的4个小球，从甲盒中任意摸出一球，再从乙盒中任意摸出一球，将两球编号数相加得到一个数，则得到数（ ）的概率最大。
A. 3 B. 4 C. 5 6. 6
解析：列举所有可能的情况，看得到和为3,4,5,6的情况占总情况的多少，比较即可。
C
巩固提升
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
P（3）=
甲
乙
P（4）=
P（5）=
P（6）=
因此得到数5的概率最大。
课堂小结
用列举法求概率
条件
方法
列表法：适合两个因素
树状图法：适合两个以上因素
可能出现的结果只有有限个；
各种结果出现的可能性相等。
谢谢
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湘教版数学九年级下册第四章概率及其计算（2）教学设计
课题 概率及其计算（2） 单元 四单元 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1. 能够说出列举法求概率的条件；2. 能够说出列举法求概率的两种方法以及这两种方法的适用条件；3. 能在实际应用中使用列表法或者树状图法求概率。
重点 列举法求概率的条件；列表法和树状图法的适用条件；列表法和树状图法的具体应用
难点 列表法和树状图法的具体应用
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
复习旧知 师：同学们还记得上节课学的知识吗？我们一起来做两个题回顾一下吧。1. 一个不透明的箱子里有5个黄色的乒乓球，6个白色的乒乓球，这些乒乓球除了颜色外都相同，从箱子中随机摸出一个球，它是白球的概率为 。解析：由于取出球的总可能数有5+6=11中，其中白球占了6中，因此，P（取出数字6）= 。2. 投掷一枚质地均匀的骰子，它落地时一共有多少种可能性，每种可能性所占的概率是多少呢？朝上的点数小于3的概率是多少呢？解析：骰子一共有1、2、3、4、5、6个点数，所以它落地的时候有6种可能性，6种可能性都相等，概率P= ，朝上的点数小于3一共有1、2两种结果，因此，点数小于3的概率P（小于3）== 。这节课我们一起来学习一下求概率的两种方法：列表法与树状图法。我们一起来看看吧。 回顾知识，思考并回答问题 通过练习题，让学生先回忆概率的知识。为讲解用列举法求解概率做铺垫
讲授新课 一、用列举法求概率【列举法的概念】师：请同学们观看课本，回答一下什么是列举法呢？回答：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性都相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件的概率。这种求概率的方法叫列举法。师：我们需要注意一下，列举法需要不重不漏的列出所有结果。【列举法的概念的理解】师：同学们看完列举法的概念后， 请回答一下，能用列举法求概率需要满足的条件是什么呢？回答：1.可能出现的结果只有有限个；2.各种结果出现的可能性相等。【列表法求概率的基本步骤】师：请同学们回答一下列表法求概率的基本步骤是什么呢？看完课本后请回答问题。回答：1. 列表格。2. 在所有可能的情况n中，再找到满足条件的事件的个数m；3. 代入概率公式P（A）= 计算事件的概率。二、用列表法求概率【动脑筋】师：现在我们一起来看一个题，看看用列举法怎么做呢？李明和刘英各掷一枚骰子，如果两枚骰子的点数之和为奇数，则李明赢；如果两枚骰子的点数之和为偶数，则刘英赢。这个游戏对双方公平吗？【分析】我们可以把所有可能的结果列出来，计算李明和刘英赢得游戏的概率，因此可以使用列举法。为了不重不漏地列举所有可能结果，可以采用列表法。解：掷两枚骰子的全部可能结果列表如下：（出示课件8）由上表可得，所有可能出现的结果有36个，由于骰子是均匀的，它们出现的可能性相等。两枚骰子点数之和偶数可能的结果有18个，奇数可能的结果有18个。因此：P（点数之和为偶数）= = ；P（点数之和为奇数）= = 。因此，游戏是公平的。【做一做】师：现在我们一起再来看一个题，再次巩固一下用列表法该怎么做呢？袋中装有大小和质地都相同的4个球：2红2白。从中依次任意取出2个球（第一次取出的球不放回袋中），求下列事件的概率：A：取出的2个球同色；B：取出2个白球。师：我们看这个题目，是不放回袋中，这一点需要特别注意，不放回袋中我们就可能两次都拿到一模一样的球。现在我们具体来看看这个问题，看看该如何解呢？（1）列表列举用R1，R2表示两红球；用W1，W2表示两白球；用（R1,W2）表示第1次取出红球R1，不放回即取第2次，取得白球W2，如此类推。将所有可能结果填在下面的表中：（出示课件11）共有个 12 个可能结果。（2）写出各指定事件发生的可能结果：A: 取出的2个球同色(R1,R2) (R2,R1) (W1,W2) (W2,W1)（共 4 种）B：取出2个白球 (W1,W2) (W2,W1)（共2 种）（3）指定事件的概率为P(A)= ， P(B) =.【拓展】师：如果是有放回的取球，结果是怎样的呢？袋中装有大小和质地都相同的4个球：2红2白。从中依次任意取出2个球（第一次取出的球放回袋中），求下列事件的概率：A：取出的2个球同色；B：取出2个白球。（1）将所有可能结果填在下面的表中：（出示课件14）共有 16个可能结果。（2）写出各指定事件发生的可能结果：A: 取出的2个球同色(R1,R2) (R2,R1) (W1,W2)(W2,W1)(R1,R1)(R2,R2)(W1,W1)(W2,W2) （共 8 种）B：取出2个白球 (W1,W2) (W2,W1) (W1,W1) (W2,W2) （共 4 种）（3）指定事件的概率为P(A)= ， P(B) = .（做巩固提升题）三、用树状图法求概率当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用列表法。列表法中表格构造特点:（出示课件11）在所有可能情况n中，再找到满足条件的事件的个数m，最后代入公式计算。师：当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时，怎么办 当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时,用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用“树状图”。树状图的画法:如一个试验中涉及3个因素，第一个因素中有2种可能情况；第二个因素中有3种可能的情况；第三个因素中有2种可能的情况。师：现在我们一起来看看用树状图法来求概率该怎么做呢？我们一起来看看几个例题吧。【动脑筋】解析：由于涉及到两个因素，可以用列表法，也可以用树状图法。这里用树状图法来求解。（出示课件14）一次游戏共有9种可能结果，而且它们出现的可能性相等。（2）A：“小明胜”的可能结果：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头）；B：“小华胜”的可能结果：（石头，布），（剪刀，石头，布，剪刀） C：“平局”的可能结果：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布）P（A）=P（B）=P（C）=。【例题讲解】如图，甲、乙、丙三人做传球的游戏。开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球3次。（1）写出3次传球的所有可能结果（即传球的方式）解：一种可能传球的方式（结果）是：甲传给乙、乙传给丙、丙又传给甲，即球依次落入乙、丙、甲手中，记为（乙，丙，甲）。（出示课件17）根据树状图可以知道，共有8种可能的结果。而且它们出现的可能性相等。（2）指定事件A：“传球3次后，球又回到甲的手中”，写出A发生的所有可能结果；传球3次后，球又回到甲手中，即事件A发生有2个可能结果：（乙、丙、甲），（丙，乙，甲）。（3）求P（A）。P（A）= =0.25师：用树状图和列表法求概率时应注意些什么？传球3次后，球又回到甲手中，即事件A发生有2个可能结果：（乙、丙、甲），（丙，乙，甲）。师：什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树状图图法”方便呢？当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树状图。（做巩固提升题） 观看课本，思考并回答问题思考并回答问题做练习题做练习题完成拓展练习观看课件完成练习题完成练习题 通过观看课本，让学生知道列举法的概念，培养学生知识提取能力引导学生理解列举法的概念概括列表法的步骤，让学生对列表法的求解过程有一个认知通过练习题，让学生在实际情况中应用列表法，知道如何用列表法来求解问题通过练习题，进一步巩固列表法的知识点培养学生仔细阅读题意的习惯，让学生掌握“放回”和“不放回”两种做法的区别让学生通过PPT动画，知道树状图法与列举法的适用范围通过练习题，让学生在实际的应用中掌握树状图的做法通过练习题，让学生进一步巩固用树状图法来解决问题的方法
巩固练习 二、用列表法求概率1. 从1到4这四个自然数中，任意取出两个数，它们的积大于10的概率是 。解析：可以列举出所有情况，它们的积大于10的情况数除以总情况数即为所求的概率。通过表格可以知道， P（大于10）=。2. 同时投掷两个质地均匀的骰子，出现的点数之和为3的倍数的概率为 。解析：可以列举出所有情况，看点数之和为3的倍数的情况占总情况的多少即可。通过列表可得，共有36种情况，点数之和为3的倍数的情况有12种，因此P（出现点数之和为3的倍数）= 。3. 甲、乙两盒中分别放入编号为1，2，3，4的形状相同的4个小球，从甲盒中任意摸出一球，再从乙盒中任意摸出一球，将两球编号数相加得到一个数，则得到数（ C ）的概率最大。A. 3 B. 4 C. 5 6. 6解析：列举所有可能的情况，看得到和为3,4,5,6的情况占总情况的多少，比较即可。P（3）=P（4）= P（5）= P（6）=因此得到数5的概率最大。三、用树状图法求概率1. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是。解析：由于涉及到两辆车两个因素，所以可以用列表法，也可以用树状图法求解，这里用树状图法求解。一共有9种可能的结果，一辆左转，一辆右转的有两种，因此，概率P= 。2. 现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1,2的两张卡片，另一个装有标号分别为1,2,3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同。若从两个盒子中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是 。解析：由于涉及到两个盒子两个因素，所以树状图法和列表法都可以。我们可以由树状图求得所有可能的结果与两张卡片标号恰好相同的情况，再利用概率公式即可求得答案。一共有6种可能的结果，两张卡片恰好相同有两种情况，因此，两张卡片恰好相同的概率是P= =。 完成练习题 通过做练习题，让学生巩固本节课所学知识
课堂小结 用列举法求概率的条件：1. 可能出现的结果只有有限个；2. 各种结果出现的可能性相等。用列举法求概率的方法：1. 列表法：适合两个因素2. 树状图法：适合两个以上因素 自己总结知识点 让学生回忆本节课所学知识。进一步巩固知识。
板书 列举法求概率1. 用列举法求概率的条件2. 用列举法求概率的方法 观看板书 提示学生本节课我们应该要掌握哪些知识点。
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