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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
11.1 随机事件的概率
考纲剖析
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．
2．了解两个互斥事件的概率加法公式.
知识回顾
1．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的 稳定在某个常数上，把这个 记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
2．事件的关系与运算
定义 符号表示
包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B 事件A(或称事件A包含于事件B)
相等关系 若B A且A B
并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的 (或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当 且 ，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围： .
(2)必然事件的概率P(E)＝ .
(3)不可能事件的概率P(F)＝ .
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ ．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝ ．
精讲方法
一、随机事件的概率
1．事件的判断震怒地三种事件即不可能事件、尽然事件和随机事件的概念充分理解，特别是随机事件要看它是否可能发生，并且是在一定条件下的，它不同于判断命题的真假。
2．对随机事件的理解应包含下面两个方面：
（1）随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；21·世纪*教育网
（2）随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性。
（二）随机事件的频率与概率
1．随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率；
2．概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近。只要次数足够多，所是频率就近似地当做随机事件的概率。
（三）互斥事件、对立事件的概率
注：（1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算。
（2）求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算。二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便。
（3）互斥事件、对立事件的定义是判断两事件是否是互斥事件、对立事件的一种最有效、最简便的基本方法。也可从集合角度来判断，如果A，B是两个互斥事件，反映在集合上是表示A，B两个事件所含结果组成的集合的交集为空集，即A∩B=；如果A，B是对立事件，则在A∩B=的前提下，A与B的并集为全集。
小结
1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
2．从集合角度理解互斥和对立事件
从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
例题精讲
考点一 事件的关系
【例题1】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45
【答案】A
【考点】概率的意义
【解析】【解答】记 “一天的空气质量为优良”， “第二天空气质量也为优良”，由题意可知 ,所以 ，故选A.【分析】由题意根据条件概率的定义结合已知即可求出结果。
【变式训练1】袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）
A. B. C. D.
考点二 随机事件的概率
【例题2】.甲、乙、丙位教师安排在周一至周五中的天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】随机事件
【解析】【解答】第一种情况：甲安排在第一天，则有种；第二种情况：甲安排在第二天，则有种；甲安排在第二天，则有种，所以.
【变式训练2】.在中产生区间上均匀随机数的函数为“( )”,在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为( )
A. B.
C. ， D. 21教育名师原创作品
考点三 互斥事件、对立事件
【例题3】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )
A. 至少有一个红球与都是红球 B. 至少有一个红球与都是白球
C. 至少有一个红球与至少有一个白球 D. 恰有一个红球与恰有二个红球
【答案】D
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解析：对于A，两事件是包含关系；对于B，两事件是对立事件；对于C，两事件可能同时发生．答案：D
【变式训练3】一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A. 至多有一次中靶 B. 两次都中靶
C. 只有一次中靶 D. 两次都不中靶2·1·c·n·j·y
真题精析
一、单选题
1.（2015新课标I）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312www-2-1-cnjy-com
2.（2014 新课标I）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.（2014 新课标II）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45
二、填空题
4.(2015·江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________ .
5.（2014 江西）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
三、综合题
6.（2015·山东）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
被选中且未被选中的概率.
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， 3名女同学B1 ， B2 ， B3 ． 现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
7.（2015·安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
（Ⅰ）求频率分布图中a的值；
（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（Ⅲ）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率。
8.（2017 新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：
（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
K2= ．
9.甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 ．
（Ⅰ）记甲恰好击中目标2次的概率；
（Ⅱ）求乙至少击中目标2次的概率；
（Ⅲ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率； 【来源：21·世纪·教育·网】
10.（2015福建）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．求：（1）现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]的概率；（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
组号 分组 频数
1 [4,5） 2
2 [5,6） 8
3 [6,7） 7
4 [7,8] 3
（1）现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]的概率； www.21-cn-jy.com
（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
11.(2015·四川）一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客P1 ， P2 ， P3 ， P4 ， P5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位. 【出处：21教育名师】
（1）（I)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位号 3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
（2）(Ⅱ)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率.
12.（2017 新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（12分）
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 21世纪教育网版权所有
13.（2015·湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖，求（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。。 21·cn·jy·com
（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。 21*cnjy*com
14. （2015·天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. 【来源：21cnj*y.co*m】
（1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率
（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望
15.（2015新课标II）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度平分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）（I）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）
（2）（II）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。
16.(2015·湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，求下列问题：（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
（1）（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率
（2）（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为， 求的分布列和数学期望.
17.（2014 北京）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；
场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数
主场1 22 12 客场1 18 8
主场2 15 12 客场2 13 12
主场3 12 8 客场3 21 7
主场4 23 8 客场4 18 15
主场5 24 20 客场5 25 12
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率； 2-1-c-n-j-y
（3）记 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与 的大小（只需写出结论）． 【版权所有：21教育】
18.（2014 陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量（kg） 300 500
概率 0.5 0.5
作物市场价格（元/kg） 6 10
概率 0.4 0.6
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
模拟题精练
一、单选题
1.同时掷2枚硬币，那么互为对立事件的是（ ）
A. 恰好有1枚正面和恰有2枚正面 B. 至少有1每正面和恰好有1枚正面
C. 至少有2枚正面和恰有1枚正面 D. 最多有1枚正面和恰有2枚正面
2.抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则事件A的互斥事件为（ ）
A. 至多抽到2件次品 B. 至多抽到2件正品
C. 至少抽到2件正品 D. 至多抽到1件次品
3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（ ）
A. 0.2 B. 0.28 C. 0.52 D. 0.8
4.对同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是（ ）
A. 互斥不对立 B. 对立不互斥
C. 互斥且对立 D. 不互斥也不对立
5.把红，黄，蓝，白4张纸牌随机地分发给甲，乙，丙，丁四个人，每人一张，则事件＂甲分得红牌＂与事件＂丁分得红牌＂是（ ）
A. 不可能事件 B. 互斥但不对立事件
C. 对立事件 D. 以上答案都不对
6.先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是 ( )
A. “至少一枚硬币正面向上”；
B. “只有一枚硬币正面向上”；
C. “两枚硬币都是正面向上”；
D. “两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”.21cnjy.com
7.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.某人射击一次，设事件A：“中靶”；事件B：“击中环数大于5”；事件C：“击中环数大于1且小于6”；事件D：“击中环数大于0且小于6”，则正确的关系是（ ）
A. B与C为互斥事件 B. B与C为对立事件
C. A与D为互斥事件 D. A与D为对立事件
9.盒子里有形状大小完全相同的3个红球和2个白球，如果不放回的依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
10.从甲口袋摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，则是（ ）
A. 2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率
C. 至少有一个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率
11.甲、乙两战士进行射击比赛，甲不输的概率为0.59，乙输的概率为0.44，则甲不赢的概率和甲、乙两人战平概率分别是（ ）
A. 0.41，0.03 B. 0.56，0.03 C. 0.41，0.15 D. 0.56，0.15
12.抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（ ）
A. 至多有2件次品 B. 至多有1件次品 C. 至多有2件正品 D. 至多有1件正品
二、填空题
13.（2012 重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________（用数字作答）．
14.某校高二（4）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个调查小组，调查该校学生对2013年1月1日起执行的新交规的知晓情况，已知某男生被抽中的概率为 ，则抽取的女生人数为________．
15.下列说法中正确的有________
①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等．
②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大．
③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响．
④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．
三、综合题
16.某班50名学生在元旦联欢时，仅买了甲、乙两种瓶装饮料供饮用．在联欢会上喝掉36瓶甲饮料，喝掉39瓶乙饮料．假设每个人至多喝1瓶甲饮料和1瓶乙饮料，并且有5名学生两种饮料都没有喝，随机选取该班的1名学生，计算下列事件的概率．
（Ⅰ）他没有喝甲饮料；
（Ⅱ）他只喝了1瓶乙饮料；
（Ⅲ）他喝了1瓶甲饮料和1瓶乙饮料．
17.设两两相互独立的三个事件A，B，C满足条件ABC= ，P（A）=P（B）=P（C）＜， 且已知P（A∪B∪C）=， 求P（A）．
18.椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的概率分别为0.3，0.5，0.2．
（Ⅰ）求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率；
（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
19.有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如表：
所用的时间（天数） 10 11 12 13
通过公路l的频数 20 40 20 20
通过公路2的频数 10 40 40 10
假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；
（Ⅱ）若通过公路l、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到；每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车A，B按（I）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．
20.若经检验，某厂的产品合格率为90%，问“从该厂产品中任意地抽取10件，其中一定有9件合格品”这种说法是否正确？为什么． 21教育网
21.袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次． 求：
（1）3只全是红球的概率；
（2）3只颜色全相同的概率；
（3）3只颜色不全相同的概率．
22.学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（1）记“函数f（x）=x2+ξ x为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．
23.某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：
根据下表信息解答以下问题：
休假次数 0 1 2 3
人数 5 10 20 15
（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
24.先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数， 21*cnjy*com
（1）求点P（x，y）在直线y=x﹣1上的概率；
（2）求点P（x，y）满足y2＜4x的概率．
25.袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子．
（1）求得分X的分布列；
（2）求得分大于6的概率．
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
11.1 随机事件的概率（答案）
知识回顾
1．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．21·cn·jy·com
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
2．事件的关系与运算
定义 符号表示
包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 若B A且A B A＝B
并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝ P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
例题精讲
考点一 事件的关系
【变式训练1】袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】概率的意义，概率的基本性质，等可能事件的概率
【解析】【解答】解：从中随机选取三个球，所有的取法共有 =4种，
其中，取出的3个球能构成等差数列的取法有2种：三个球的号码分别为2、3、4 和 2、4、6，故所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 .
故答案为：C．
【分析】由于所有的取法共有 种，取出的3个球能构成等差数列的取法有2种，由此求得三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率。【出处：21教育名师】
考点二 随机事件的概率
【变式训练2】.在中产生区间上均匀随机数的函数为“( )”,在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为( )
A. B.
C. ， D.
【答案】D
【考点】随机事件，随机数的含义与应用，模拟方法估计概率
【解析】【解答】由于， ， 而， ， 所以坐标变换公式为， . 故选D.
考点三 互斥事件、对立事件
【变式训练3】一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A. 至多有一次中靶 B. 两次都中靶
C. 只有一次中靶 D. 两次都不中靶
【答案】D
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：“至多有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故A错误； “两次都中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故B错误；
“只有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故C错误；
“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确．
故选：D．
【分析】利用互斥事件的概念求解．
真题精析
一、单选题
1.（2015新课标I）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】A
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为，故选A。
【分析】解答本题时，先想到所求事件是恰好中3次与恰好中2次两个互斥事件的和，而这两个事件又是实验3次恰好分别发送3次和2次的独立重复试验，本题考查了学生对独立重复试验和互斥事件的理解和公式得记忆与灵活运用，正确分析概率类型、灵活运用概率公式是解本题的关键。
2.（2014 新课标I）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，
周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，
∴所求概率为 = ．
故选：D．
【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．
3.（2014 新课标II）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45
【答案】A
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，
解得p=0.8，
故选：A．
【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．
二、填空题
4.(2015·江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________ .
【答案】
【考点】概率的意义
【解析】【解答】从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种，不同的共有5种，所以其概率为
【分析】求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件;二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率;三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率.
5.（2014 江西）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
【答案】
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，
满足条件的事件是恰好有1件次品有C 种结果，
∴恰好有一件次品的概率是P= =
故答案为：
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C104种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C73 种结果，得到概率．
三、解答题
6.（2015·山东）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
被选中且未被选中的概率.
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， 3名女同学B1 ， B2 ， B3 ． 现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
【答案】解答：（1）；（2）
【考点】随机事件，古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有4530＝15人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P==
（2从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：共15个。
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的
事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：， 共2个
因此被选中且未被选中的概率为P=
【分析】本题考查了古典概型概率及随机事件的概率，在正确理解题意的情况下，能准确确定基本事件数是关键.
7.（2015·安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
（Ⅰ）求频率分布图中a的值；
（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（Ⅲ）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率。
【答案】答案：（I）0.006；（II）0.4；（III）.
【考点】频率分布直方图，概率的意义，古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】（I）因为（0.004+a+0.0018+0.022x2+0.028）x10=1，所以a=0.006。
（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022＋0.0180）×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；
（III）受访职工评分在的有：50×0.006×10＝3（人）即为;受访职工评分在的有：50×0.004×40＝2（人）即为，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是，又因为所抽取2人的评分都在的结果有1种，即，故所求的概率为,.
【分析】利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况。
8.（2017 新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：
（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
K2= ．
【答案】解：（Ⅰ）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，
由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），
则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，
故P（B）的估计值0.62，
新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，
故P（C）的估计值为，
则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；
∴A发生的概率为0.4092；
（Ⅱ）2×2列联表：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计
旧养殖法 62 38 100
新养殖法 34 66 100
总计 96 104 200
则K2= ≈15.705，
由15.705＞6.635，
∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（Ⅲ）由题意可知：方法一： =5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），
=5×10.47，
=52.35（kg）．
新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）
方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：
（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，
箱产量低于55kg的直方图面积为：
（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，
故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+ ≈52.35（kg），
所以新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）． www.21-cn-jy.com
【考点】频率分布直方图，用样本的数字特征估计总体的数字特征，独立性检验，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；
（Ⅱ）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（Ⅲ）根据频率分布直方图即可求得其平均数．
9.甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 ． （Ⅰ）记甲恰好击中目标2次的概率；
（Ⅱ）求乙至少击中目标2次的概率；
（Ⅲ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率；
【答案】解：（I）∵甲射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验 ∴甲恰好击中目标的2次的概率为 =
（II）乙射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验
乙至少击中目标两次包含击中两次和击中三次
∴乙至少击中目标2次的概率为 + = ；
（III）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，
乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件B1 ，
乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件B2 ，
则A=B1+B2 ， B1 ， B2为互斥事件．
P（A）=P（B1）+P（B2）= + = + = ．
∴乙恰好比甲多击中目标2次的概率为 ．
【考点】互斥事件与对立事件，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【分析】（1）由题意知甲射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到结果．（2）乙射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验，乙至少击中目标两次包含击中两次和击中三次，且这两种情况是互斥的，根据公式得到结果．（3）乙恰好比甲多击中目标2次，包含乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次或乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次，由题意知B1 ， B2为互斥事件．根据互斥事件和独立重复试验公式得到结果．
10.（2015福建）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．求：（1）现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]的概率；（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
组号 分组 频数
1 [4,5） 2
2 [5,6） 8
3 [6,7） 7
4 [7,8] 3
（1）现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]的概率；
（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
【答案】（1）
（2）6.05
【考点】随机事件，等可能事件的概率
【解析】【解答】解法一：（1）融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为从 融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是{},{},{},{},{},{,},{,},{,},{,},{,}共10个。 其中至少有1家的融合指数在[7,8]内的基本事件是{},{},{},{},{},{,},{,},{,},{,}共9个。所以，所求的概率P=。
（2）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数等于=6.05.
解法二：（1）融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是{},{},{},{},{},{,},{,},{,},{,},{,}共10个。 其中，没有1家的融合指数在[7,8]内的基本事件是{,}，共1个，所以，所求的概率P=。
（2）同解法一。
【分析】本题考查古典概型和平均数，利用古典概型的“等可能”“有限性”的特点，能方便的求出概率．由实际意义构造古典概型，首先确定试验的样本空间结构并计算它所含样本点总数，然后再求出事件A所含基本事件个数，代入古典概型的概率计算公式；根据频率分布表求平均数，对于每组的若干个数可以采取区间中点值作为该组数据的数值，再求平均数．
11.(2015·四川）一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客P1 ， P2 ， P3 ， P4 ， P5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
（1）（I)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位号 3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
（2）(Ⅱ)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率.
【答案】（1）余下两种坐法如下表所示：
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位号 3 2 4 1 5
3 2 5 4 1
（2）
【考点】概率的意义
【解析】【解答】
若乘客P1做到了2号座位，其他乘客按规则就坐， 则所有可能坐法可用下表表示为
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位号 2 1 3 4 5
2 3 1 4 5
2 3 4 1 5
2 3 4 5 1
2 3 5 4 1
2 4 3 1 5
2 4 3 5 1
2 5 3 4 1
干是，所有可能的坐法共8种, 设“乘客P5坐到5号座位”为事件A, 则事件A中的基本事件的个数为4, 所以P(A)==
答:乘客P5坐至5号座位的概率为.
【分析】概率统计问题，文科的考查重点是随机事件、古典概型以及列举法求概率，本题需要考生根据条件细致填写座位表，通常采取按照某种顺序，如本题中已经设定的P1 ， P2 ， P3 ， P4 ， P5的座位号顺序填写，只要能正确填写好表格，相应概率随之得到.属于简单题.21cnjy.com
12.（2017 新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（12分）
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 21·世纪*教育网
【答案】（1）解：由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p= = ．
（2）解：当温度大于等于25°C时，需求量为500，
Y=450×2=900元，
当温度在[20，25）°C时，需求量为300，
Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300元，
当温度低于20°C时，需求量为200，
Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100元，
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据得，温度大于等于20°C的天数有：
90﹣（2+16）=72，
∴估计Y大于零的概率P= ． 21*cnjy*com
【考点】频率分布表，用样本的频率分布估计总体分布，概率的意义，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1.）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2.）当温度大于等于25°C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在[20，25）°C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20°C时，需求量为200，求出Y=﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．【来源：21cnj*y.co*m】
13.（2015·湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖，求（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。。 【版权所有：21教育】
（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。 21教育名师原创作品
【答案】（1）
（2）说法不正确；理由如下，由（1）知所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为。 A 1 a 1 A 2 , a 1 A 2 , a 2 A 1 , a 2 共四种，，所以中奖的概率为 4 12 = 1 3 ， 不中奖的概率为 1 - 1 3 = 2 3 > 1 3 ,故这种说法不正确 21*cnjy*com
【考点】概率的基本性质，模拟方法估计概率，概率的应用
【解析】【解答】（1）利用列举法列出所有可能的结果即可；II在（1）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的；
所有可能的摸出结果是
（2）不正确，理由如下，由（1）知所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为。共四种，，所以中奖的概率为， 不中奖的概率为,故这种说法不正确
【分析】古典概型中基本事件的探求方法
1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．
14. （2015·天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率
（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望
【答案】（1）
（2）随机变量的分布列为
X 1 2 3 4
P
【考点】互斥事件与对立事件，古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】（1）由已知，有所以时间发生的概率为
（2）随机变量的所有可能取值为. 所以随机变量的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以随机变量的数字期望
【分析】本题主要考查古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数字期望，把实际生活中的乒乓球比赛与数学中的古典概型相结合，体现了数学的实际应用价值与研究价值，也体现了数学中的概率、期望对实际生活中的一些指导作用。
15.（2015新课标II）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度平分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）（I）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）
（2）（II）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。
【答案】（1）（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
（2）故P(C)=x+x=0.48
【考点】茎叶图，互斥事件与对立事件，相互独立事件
【解析】【解答】（II）
记CA1表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”
CA2表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”
CB1表示事件：“B地区用户满意度等级为不满意”
CB2表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C=CB1CA1CB2CA2
P(C)=P(CB1CA1CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2)
由所给数据得CA1 ， CA2，CB1，CB2发生的概率为，，，，故P(CA1)=,P(CA2)=,P(CB1)=,P(CB2)=
故P(C)=x+x=0.48
【分析】本题考查茎叶图、互斥事件和独立事件，根据茎叶的密集程度比较平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；方差看它们数字偏离程度，偏离越大则方差大．读懂所求概率事件包含的含义，利用分类讨论思想将事件分解为几个互斥的情况来求概率
16.(2015·湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，求下列问题：（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
（1）（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率
（2）（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为， 求的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）
X 0 1 2 3
P
E（X)=.
【考点】互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】（1）：记事件={从甲箱中摸出的1个球是红球}，={从乙箱中摸出1一个球是红球}={顾客抽奖1次获得一等奖}={顾客抽奖一次获得二等奖}，={顾客抽奖一次能获奖}则可知与相互独立，与互斥，与互斥且,+、因为所以，==故所求概率为=
(2)顾客抽奖3次独立重复实验，由（1）知顾客抽奖一次获得一等奖的概率为因为于是， ， ， E（X)=.
的分布列为随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.
17.（2014 北京）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；
场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数
主场1 22 12 客场1 18 8
主场2 15 12 客场2 13 12
主场3 12 8 客场3 21 7
主场4 23 8 客场4 18 15
主场5 24 20 客场5 25 12
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率； 21世纪教育网版权所有
（3）记 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与 的大小（只需写出结论）．
【答案】（1）解：设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场
所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=
（2）解：设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率 ，客场命中率超过0.6的概率 ，
故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=
（3）解： = （12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4
EX=
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可．（3）求出平均数和EX，比较即可．
18.（2014 陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量（kg） 300 500
概率 0.5 0.5
作物市场价格（元/kg） 6 10
概率 0.4 0.6
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
【答案】（1）解：设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，
则P（A）=0.5，P（B）=0.4，
∵利润=产量×市场价格﹣成本，
∴X的所有值为：
500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，
300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，
则P（X=4000）=P（ ）P（ ）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，
P（X=2000）=P（ ）P（B）+P（A）P（ ）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，
P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，
则X的分布列为：2·1·c·n·j·y
X 4000 2000 800
P 0.3 0.5 0.2
（2）解：设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），
则C1 ， C2 ， C3相互独立，
由（1）知，P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），
3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，
3季的利润有2季不少于2000的概率为P（ C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，
综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论． 21教育网
模拟题精练
一、单选题
1.同时掷2枚硬币，那么互为对立事件的是（ ）
A. 恰好有1枚正面和恰有2枚正面 B. 至少有1每正面和恰好有1枚正面
C. 至少有2枚正面和恰有1枚正面 D. 最多有1枚正面和恰有2枚正面
【答案】C
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：恰好有1枚正面和恰好有2枚正面有可能同时不发生，
不互为对立事件，故A错误；
至少有1枚正面和恰好有1枚正面有可能同时发生，
不互为对立事件，故B错误；
至少有2枚正面和恰好有1枚正面有可能同时不发生，
不互为对立事件，故C错误．
最多有1枚正面和至少有2枚正面不可能同时发生，
也不可能同时不发生，互为对立事件，故D正确；
故选：C．
【分析】利用对立事件的概念求解．www-2-1-cnjy-com
2.抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则事件A的互斥事件为（ ）
A. 至多抽到2件次品 B. 至多抽到2件正品
C. 至少抽到2件正品 D. 至多抽到1件次品2-1-c-n-j-y
【答案】D
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：在所有的基本事件中，不能同时发生的两个事件是互斥事件，
事件A：“至少抽到2件次品”，
故“至多抽到1件次品”与A是互斥事件，
故选：D．
【分析】由于在所有的基本事件中，不能同时发生的两个事件是互斥事件，由此可得结论．
3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（ ）
A. 0.2 B. 0.28 C. 0.52 D. 0.8
【答案】A
【考点】概率的基本性质
【解析】【解答】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，
在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的
摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，
摸出黑球的概率是1﹣0.52﹣0.28=0.2，
故选A．
【分析】在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1﹣0.52﹣0.28，得到结果．
4.对同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是（ ）
A. 互斥不对立 B. 对立不互斥
C. 互斥且对立 D. 不互斥也不对立
【答案】C
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由于事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B为不可能同时发生的事件， 而事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B必然发生其中的一个事件，
故事件A与事件B的关系是互斥且对立的
故答案为 C
【分析】由题意，结合互斥事件与对立事件的概念，即可得到正确结论．
5.把红，黄，蓝，白4张纸牌随机地分发给甲，乙，丙，丁四个人，每人一张，则事件＂甲分得红牌＂与事件＂丁分得红牌＂是（ ）
A. 不可能事件 B. 互斥但不对立事件
C. 对立事件 D. 以上答案都不对
【答案】B
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】【分析】若甲分得红牌，则乙一定分不到红牌，反之亦然。所有事件＂甲分得红牌＂与事件＂丁分得红牌＂是互斥事件。但也可能丙、丁两人分的红牌，所有不是对立事件。因此选B。
【点评】对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。属于基础题型。
6.先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是 ( )
A. “至少一枚硬币正面向上”； B. “只有一枚硬币正面向上”；
C. “两枚硬币都是正面向上”； D. “两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”.
【答案】A
【考点】概率的意义
【解析】【解答】先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币的基本事件有{正，正}、{正，反}、{反，正}、{反，反}，故“至少一枚硬币正面向上”的目标事件有{正，正}、{正，反}、{反，正}，故选A.
7.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件 表示“甲乙两人都没有被录取”，则 = = ．因此P（A）=1﹣P（ ）=1﹣ = ．
故选D．
【分析】设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件 表示“甲乙两人都没有被录取”，先求出 ，再利用P（A）=1﹣P（ ）即可得出．
8.某人射击一次，设事件A：“中靶”；事件B：“击中环数大于5”；事件C：“击中环数大于1且小于6”；事件D：“击中环数大于0且小于6”，则正确的关系是（ ）
A. B与C为互斥事件 B. B与C为对立事件
C. A与D为互斥事件 D. A与D为对立事件
【答案】A
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：对于A、事件B：“击中环数大于5”和事件C：“击中环数大于1且小于6”，不会同时发生，是互斥事件；对于B、事件B：“击中环数大于5”和事件C：“击中环数大于1且小于6”，不会同时发生，但可能会同时不发生，故不是对立事件；
对于C、事件A：“中靶”与事件D：“击中环数大于0且小于6”会同时发生，不是互斥事件；
对于D、事件A：“中靶”与事件D：“击中环数大于0且小于6”会同时发生，不是互斥事件，也不是对立事件；
故选A．
【分析】根据互斥事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，对立事件是指必有一个发生的互斥事件．即可得答案．
9.盒子里有形状大小完全相同的3个红球和2个白球，如果不放回的依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】等可能事件的概率
【解析】【分析】第一次取到白球，剩下3个红球和1个白球，红球占， 所以再取到（第二次)红球的概率为。故选C。
【点评】有放回试验和无放回试验是不同的。对于某事件的概率，有放回试验每次的概率是一样的，而无放回试验的会改变。
10.从甲口袋摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，则是（ ）
A. 2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率
C. 至少有一个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率
【答案】C
【考点】等可能事件的概率，概率的应用
【解析】【分析】
11.甲、乙两战士进行射击比赛，甲不输的概率为0.59，乙输的概率为0.44，则甲不赢的概率和甲、乙两人战平概率分别是（ ）
A. 0.41，0.03 B. 0.56，0.03 C. 0.41，0.15 D. 0.56，0.15
【答案】D
【考点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：∵甲不输的概率为0.59，乙输的概率为0.44，
∴甲赢与甲乙平局的概率是0.59，
又乙输的概率是甲赢的概率，
∴甲赢的概率是0.44，
∴甲不赢的概率是1﹣0.44=0.56；
甲、乙两人战平的概率是0.59﹣0.44=0.15．
故选：D．
【分析】甲不输的概率是甲赢与甲乙平局的概率，乙输的概率是甲赢的概率，由此求出甲不赢的概率以及甲、乙两人战平的概率．
12.抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（ ）
A. 至多有2件次品 B. 至多有1件次品 C. 至多有2件正品 D. 至多有1件正品
【答案】B
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：∵至少有n个的否定是至多有n﹣1个 又∵事件A：“至少有两件次品”，
∴事件A的对立事件为：
至多有一件次品．
故选B
【分析】根据对立事件的定义，至少有n个的对立事件是至多有n﹣1个，由事件A：“至少有两件次品”，我们易得结果．
二、填空题
13.（2012 重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________（用数字作答）．
【答案】
【考点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有 种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，
①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为 =72，
②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为 （ ） =216，
③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为为一个整体，
然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为 =144，
而所有的排法共有 =720种，
故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 = ，
故答案为 ．
【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为 ，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为 （ ） =216，三门文化课中相邻排列，则排法种数为 =144，而所有的排法共有 =720种，由此求得所求事件的概率．
14.某校高二（4）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个调查小组，调查该校学生对2013年1月1日起执行的新交规的知晓情况，已知某男生被抽中的概率为 ，则抽取的女生人数为________．
【答案】3
【考点】概率的基本性质
【解析】【解答】解：由题意知抽样比为 ， ∴抽取的女生人数为：
21× =3．
故答案为：3．
【分析】由题意知抽样比为 ，由此能求出抽取的女生人数．
15.下列说法中正确的有________
①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等．
②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大．
③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响．
④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．
【答案】③
【考点】等可能事件
【解析】【解答】解：①刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数、众数等；刻画一组数据离散程度统计量有极差、方差、标准差等，故①不正确；②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”的概率分别为 ，“恰好一枚硬币正面朝上”的概率为 ，故②不正确；③抽签有先后，摸奖的顺序对中奖率没有影响，故③正确；
④由于基本事件的无限性，且该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型，故④不正确，故下列说法中正确的有1个，故答案为：③
【分析】①刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数、众数等；刻画一组数据离散程度统计量有极差、方差、标准差等；②抛掷两枚硬币，分期求出出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”的概率和，“恰好一枚硬币正面朝上”的概率；
③抽签有先后，摸奖的顺序对中奖率没有影响；④由于基本事件的无限性，且该点落在圆内任意一点都是等可能的，所以该随机试验的数学模型是几何概型．
三、综合题
16.某班50名学生在元旦联欢时，仅买了甲、乙两种瓶装饮料供饮用．在联欢会上喝掉36瓶甲饮料，喝掉39瓶乙饮料．假设每个人至多喝1瓶甲饮料和1瓶乙饮料，并且有5名学生两种饮料都没有喝，随机选取该班的1名学生，计算下列事件的概率．
（Ⅰ）他没有喝甲饮料；
（Ⅱ）他只喝了1瓶乙饮料；
（Ⅲ）他喝了1瓶甲饮料和1瓶乙饮料．
【答案】解：（Ⅰ）他喝了甲饮料的概率为 ，故他没有喝甲饮料的概率为 1﹣ = ．
（Ⅱ）设2种饮料都喝了的同学有x人，则由题意可得 （36﹣x）+（39﹣x）+5=50，解得x=30．
故只喝了1瓶乙饮料的同学有39﹣30=9人，
故他只喝了1瓶乙饮料的概率为 ．
（Ⅲ）他喝了1瓶甲饮料和1瓶乙饮料的同学有30人，
故他喝了1瓶甲饮料和1瓶乙饮料的概率为 = ．
【考点】等可能事件的概率
【解析】【分析】（Ⅰ）先求得他喝了甲饮料的概率为 ，故他没有喝甲饮料的概率为 1﹣ ．（Ⅱ）先求出2种饮料都喝了的同学有30人，可得只喝了1瓶乙饮料的同学有39﹣30=9人，由此求得他只喝了1瓶乙饮料的概率．（Ⅲ）根据喝了1瓶甲饮料和1瓶乙饮料的同学有30人，由此可得可得他喝了1瓶甲饮料和1瓶乙饮料的概率．
17.设两两相互独立的三个事件A，B，C满足条件ABC= ，P（A）=P（B）=P（C）＜， 且已知P（A∪B∪C）=， 求P（A）．
【答案】解：设P（A）=P（B）=P（C）=x，则
∵ABC= ，P（A∪B∪C）=，
∴x+x+x﹣x2﹣x2﹣x2=，
∵x＜，
∴x=0.25．
【考点】概率的基本性质
【解析】【分析】利用ABC= ，P（A∪B∪C）=， 建立方程，即可求得结论．
18.椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的概率分别为0.3，0.5，0.2．
（Ⅰ）求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率；
（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
【答案】解：（Ⅰ）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，
事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”
所以P（A+B）=P（A）+P（B）=0.3+0.5=0.8
（Ⅱ）设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，
事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，
事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，
事件D表示“两个月内被投诉2次”
所以P（Ai）=0.3，P（Bi）=0.5，P（Ci）=0.2（i=1，2）
所以两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P（A1C2+A2C1）
一、二月份均被投诉1次的概率为P（B1B2）
所以P（D）=P（A1C2+A2C1）+P（B1B2）=P（A1C2）+P（A2C1）+P（B1B2）
由事件的独立性的p（D）=0.3×0.2+0.2×0.3+0.5×0.5=0.37．
【考点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式．
（1）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，由一个月内被消费者投诉的次数为0，1的概率分别为0.3，0.5，则该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率P=P（A+B）=P（A）+P（B），代入即可求出答案．
（2）设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内被投诉2次”，该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．P（D）=P（A1C2+A2C1）+P（B1B2）=P（A1C2）+P（A2C1）+P（B1B2），代入数据运算后，易得最终答案．
19.有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如表：
所用的时间（天数） 10 11 12 13
通过公路l的频数 20 40 20 20
通过公路2的频数 10 40 40 10
假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；
（Ⅱ）若通过公路l、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到；每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车A，B按（I）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．
【答案】解：（I）频率分布表，如下：
所用的时间（天数） 10 11 12 13
通过公路1的频数 0.2 0.4 0.2 0.2
通过公路2的频数 0.1 0.4 0.4 0.1
设A1 ， A2分别表示汽车A在约定日期（某月某日）的前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙；B1 ， B2分别表示汽车B在约定日期（某月某日）的前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙．
∵P（A1）=0.2+0.4=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5，∴汽车A选择公路1，
∵P（B1）=0.2+0.4+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，∴汽车A选择公路2；
（II）设X表示汽车A选择公路1，销售商支付给生产商的费用，则X=42，40，38，36
X的分布列如下：
X 42 40 38 36
P 0.2 0.4 0.2 0.2
∴E（X）=42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2=39.2
∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2﹣3.2=36.0（万元）
设Y为汽车B选择公路2时的毛利润，则Y=42.4，40.4，38.4，36.4
分布列如下
Y 42.4 40.4 38.4 36.4
P 0.1 0.4 0.4 0.1
∴E（Y）=42.4×0.1+40.4×0.4+38.4×0.4+36.4×0.1=39.4
∵36.0＜39.4，∴汽车B为生产商获得毛利润更大
【考点】概率的意义，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（I）求出频率分布表，计算汽车A在约定日期（某月某日）的前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙的概率；汽车B在约定日期（某月某日）的前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙的概率，即可得到结论；（II）分别确定汽车A、B为生产商获得毛利润的概率分布列，求出期望，比较期望值，即可得到结论．
20.若经检验，某厂的产品合格率为90%，问“从该厂产品中任意地抽取10件，其中一定有9件合格品”这种说法是否正确？为什么．
【答案】解：不正确． 因为产品的合格率为90%，指的是100件产品中大约有90件合格品，但不能说10件产品中一定有9件合格品．
【考点】概率的意义
【解析】【分析】90%是在统计学基础上的一个趋近值，也就是说，当你取样无数多次，结果就会和事实接近，而抽取10件显然不是尽可能大的抽样，具有偶然性，也就不成立了．
21.袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次． 求：
（1）3只全是红球的概率；
（2）3只颜色全相同的概率；
（3）3只颜色不全相同的概率．
【答案】（1）解：由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
从袋中摸球，摸到红球的概率是 ，
三次有放回到摸球可以看做是三次独立重复试验，
∴P=
（2）解：利用树状图我们可以列出有放回地抽取3次球的所有可能结果：
， ．
3只颜色全相同的概率为P2=2× =2 = ．
（3）解：3只颜色不全相同的概率为 （或 ）
【考点】互斥事件与对立事件，等可能事件的概率，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，从袋中摸球，摸到红球的概率是 ，三次有放回到摸球可以看做是三次独立重复试验，根据概率公式得到结果．（2）三只颜色全相同，则可能抽到红色和黄色两种情况，这两种情况是互斥的，根据做出的每个球被抽到的概率和相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率，得到结果．（3）根据二问做出的结果，三只颜色不全相同，是三只颜色全部相同的对立事件，用对立事件的概率得到结果，或者是用树状图列出的结果求出比值．
22.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（1）记“函数f（x）=x2+ξ x为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z依题意得 ，解得
若函数f（x）=x2+ξ x为R上的偶函数，则ξ=0
当ξ=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．
∴P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1﹣x）（1﹣y）（1﹣z）
=0.4×0.5×0.6+（1﹣0.4）（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.24
∴事件A的概率为0.24
（2）解：依题意知ξ的取值为0和2由（1）所求可知P（ξ=0）=0.24
P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）=0.76
则ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52
【考点】等可能事件的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由于学生是否选修哪门课互不影响，利用相互独立事件同时发生的概率解出学生选修甲、乙、丙的概率，由题意得到ξ=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选，根据互斥事件的概率公式得到结果．（2）用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积，所以变量的取值是0或2，结合第一问解出概率，写出分布列，算出期望．
23.某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：
根据下表信息解答以下问题：
休假次数 0 1 2 3
人数 5 10 20 15
（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
【答案】（1）解：函数f（x）=x2﹣ηx﹣1过（0，﹣1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有 ，解得： η＜ ，
所以，η=4或η=5
当η=4时， ，
当η=5时， P，
又η=4与η=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，
所以 ；
（2）解：从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，
于是
= ，
，
，
从而ξ的分布列：
ξ 0 1 2 3
P
ξ的数学期望： ．
【考点】互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，函数的零点
【解析】【分析】（1）由题意有函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点，进行等价转化为不等式组解出，在有互斥事件有一个发生的概率公式求解即可；（2）由题意利用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，利用随机变量的定义及随机变量分布列的定义列出随机变量ξ的分布列，在利用随机变量期望的定义求出其期望．
24.先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数，
（1）求点P（x，y）在直线y=x﹣1上的概率；
（2）求点P（x，y）满足y2＜4x的概率．
【答案】（1）解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的总事件数每颗骰子出现的点数都有6种情况，
基本事件总数为6×6=36个，
记“点P（x，y）在直线y=x﹣1上”为事件A，
A有5个基本事件：A={（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5）}，
∴ ．
（2）解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的总事件数每颗骰子出现的点数都有6种情况，
基本事件总数为6×6=36个，
记“点P（x，y）满足y2＜4x”为事件B，
事件B有17个基本事件：
当x=1时，y=1；当x=2时，y=1，2；
当x=3时，y=1，2，3；当x=4时，y=1，2，3；
当x=5时，y=1，2，3，4；当x=6时，y=1，2，3，4，
∴ ．
【考点】等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的总事件数每颗骰子出现的点数都有6种情况，基本事件总数为6×6=36个，
再验证满足条件的事件数．（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件总数为6×6，满足条件的事件当x=1，2，3，4，5，6挨个列举出基本事件的结果，满足条件的事件有17个基本事件．
25.袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子．
（1）求得分X的分布列；
（2）求得分大于6的概率．
【答案】（1）解：X的取值为5、6、7、8．
，
，
，
．
X的分布列为
X 5 6 7 8
P
（2）解：根据X的分布列，可得到得分大于6的概率为：
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）X的取值为5、6、7、8．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）根据X的分布列，能得到得分大于6的概率．
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