1.6 完全平方公式同步练习

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
1.6 完全平方公式同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.掌握完全平方公式：
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
2.能应用完全平方公式
基础知识和能力拓展精练
一 、选择题
下列各式中，与（﹣a+1）2相等的是（　　）
A．a2﹣1 B．a2+1 C．a2﹣2a+1 D．a2+2a+1
已知a+=3，则代数式a2+的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
某学习小组学习《整式的乘除》这一章后，共同研究课题，用4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b拼成不同的图形．在研究过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大正方形．如图，利用面积不同表示方法验证了下面一个等式，则这个等式是（　　）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab
C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
如图，长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为10，则a2+b2的值为（　　）
A．140 B．70 C．35 D．29
如图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积为（　　）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（　　）
A．1 B．13 C．17 D．25
已知a﹣b=1，则a2﹣b2﹣2b的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64 B．48 C．32 D．16
已知则=（ ）
A．25 B．-25 C．19 D．-19
二 、填空题
若4x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，则k=　　．
已知a+b=5，ab=﹣3，则a﹣b的值是　 　．
若a+b=3，ab=2，则4a2+b2=_________
若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=　　　　　　．
我们已经学过用面积来说明公式，如（x+y）2=x2+2xy+y2就可以用如图甲中的面积来说明，请写出图乙的面积所说明的公式：（p+x）（q+x）=　 　．
若代数式x2+3x+2可以表示为(x-1)2+a(x-1)+b的形式，则a+b= ________
三 、解答题
（1）已知（x+y）2=16，（x﹣y）2=4，求xy的值；
（2）若（a+b）2=13，（a﹣b）2=7，求a2+b2和ab的值．
请用直观的方法说明（a+2）2≠a2+22（a≠0）（画出图形，并结合图形给出说明）
已知多项式A=（x+1）2﹣（x2﹣4y）．
（1）化简多项式A；
（2）若x+2y=1，求A的值．
（1）已知4m+n=90，2m﹣3n=10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值
（2）已知（a+b）2=7，ab=2，求a2+b2值
下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x
=x2+2xy﹣x2+2x+1+2x 第一步
=2xy+4x+1 第二步
（1）小颖的化简过程从第　 　步开始出现错误；
（2）对此整式进行化简．
图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）将图②中的阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为　 　．
（2）若m+2n=7，mn=3，利用（1）的结论求m﹣2n的值．
解答题
（1）已知x+y=4，xy=2，求（x﹣y）2的值
（2）已知（a+b）2=7，（a﹣b）2=3，求a2+b2的值
（3）若m2﹣n2=mn，求+的值．
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”．杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律．
结合杨辉三角并观察下列各式及其展开式：
（1）根据上式各项系数的规律，求出（a+b）9的展开式．
（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
答案解析
一 、选择题
【分析】根据完全平方公式展开即可．
解：（﹣a+1）2=a2﹣2a+1．
故选C．
【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简求出值即可．
解：把a+=3，两边平方得：（a+）2=a2++2=9，
则a2+=7，
故选B
【分析】根据右边阴影部分的面积等于4个长方形的面积即可写出等式．
解：右边阴影部分的面积是：（a+b）2﹣（a﹣b）2；
4个长方形的面积是：4ab，
则验证的等式是：（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．
故选B．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
解：由题意可知：2（a+b）=14，
∴a+b=7，ab=10，
∴原式=（a+b）2﹣2ab=49﹣20=29
故选（D）
【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的部分的面积=大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，代入计算．
解：中间空的部分的面积=大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
=（a+b）2﹣4ab，
=a2+2ab+b2﹣4ab，
=（a﹣b）2；
故选C．
【分析】将x+y=5两边平方，利用完全平方公式化简，把xy的值代入计算，即可求出所求式子的值．
解：将x+y=5两边平方得：（x+y）2=x2+2xy+y2=25，
将xy=6代入得：x2+12+y2=25，
则x2+y2=13．
故选B．
【分析】由已知得a=b+1，代入所求代数式，利用完全平方公式计算．
解：∵a﹣b=1，
∴a=b+1，
∴a2﹣b2﹣2b=（b+1）2﹣b2﹣2b=b2+2b+1﹣b2﹣2b=1．
故选：A．
【分析】根据乘积项先确定出这两个数是x和8，再根据完全平方公式的结构特点求出8的平方即可．
解：∵16x=2×x×8，
∴这两个数是x、8
∴k=82=64．
故选A．
解：因为，所以
故选择C。
二 、填空题
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
解：∵x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，
∴k=±12，
故答案为：±12．
【分析】由于（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，故采用整体代入法求解．
解：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=25+12=37，
∴a﹣b=±．
故答案为：±．
【分析】根据a2+b2=（a+b）2﹣2ab，代入计算即可．
解：∵a+b=3，ab=2，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=9﹣4=5．
故答案为：5．
【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．
解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，
∴m=1，k=﹣4，
∴m+k=﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】可以拼成一个长、宽分别是x+p和x+q的长方形，它由边长是x的正方形，长宽分别是x和p，x和q，p和q组成的图形．
解：∵如图示：大矩形的长、宽分别为（x+p），（x+q），则其面积为：（x+p） （x+q），从图形关系上可得大矩形为一个边长为x的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为：x2+px+qx+pq．
∴（x+p）（x+q）=x2+px+qx+pq=x2+（p+q）x+pq．
故答案为：x2+（p+q）x+pq．
【分析】利用x2+3x+2=（x-1）2+a（x-1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．
解：∵x2+3x+2=（x-1）2+a（x-1）+b，
=x2+（a-2）x+（b-a+1），
∴a-2=3，
∴a=5，
∵b-a+1=2，
∴b-5+1=2，
∴b=6，
∴a+b=5+6=11，
故答案为：11．
答案：11
三 、解答题
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形得出答案．
解：（1）∵（x+y）2=16，（x﹣y）2=4，
∴x2+2xy+y2=16①，x2﹣2xy+y2=4②，
∴①﹣②得：
4xy=12，
解得：xy=3；
（2）∵（a+b）2=13，（a﹣b）2=7，
∴a2+2ab+b2=13①，a2﹣2ab+b2=7②，
∴①+②得：
a2+2ab+b2+a2﹣2ab+b2=20，
则a2+b2=10；
①﹣②得：
4ab=6，
则ab=．
【分析】根据正方形面积公式即可说明．
解：画图… ）
如图，大正方形的面积可表示为（a+2）2，
也可表示为a2+2a+2a+22，
所（a+2）2=a2+2a+2a+22，
因为a≠0，所以4a≠0
所以（a+2）2≠a2+22
【分析】（1）根据整式的混合计算解答即可．
（2）把x+2y=1整体代入解答即可．
解：（1）A=（x+1）2﹣（x2﹣4y）
=x2+2x+1﹣x2+4y
=2x+1+4y；
（2）∵x+2y=1，
由（1）得：A=2x+1+4y=2（x+2y）+1
∴A=2×1+1=3．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解，将各项的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式化简，即可求出值．
解：（1）∵4m+n=90，2m﹣3n=10，
∴原式=﹣（4m+n）（2m﹣3n）=﹣900；
（2）∵（a+b）2=a2+b2+2ab=7，ab=2，
∴a2+b2=3．
【分析】（1）注意去括号的法则；
（2）根据单项式乘以多项式、完全平方公式以及去括号的法则进行计算即可．
解：（1）括号前面是负号，去掉括号应变号，故第一步出错，
故答案为一；
（2）解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x
=x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x
=2xy﹣1．
【分析】（1）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系；
（2）根据（1）所得出的关系式，可求出（m﹣2n）2，继而可得出m﹣2n的值．
解：（1）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2；故答案为：（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2
（2）（m﹣2n）2=（m+2n）2﹣8mn=25，
则m﹣2n=±5．∵m﹣2n=﹣5时，m=1，n=2，2m＜2n不符合题意舍弃，
∴m﹣2n=5．
【分析】（1）根据（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy，作图代入计算即可；
（2）由题意a2+2ab+b2=7 ①，a2﹣2ab+b2=3 ②，①+②即可解决问题；
（3）由m2﹣n2=mn，可得﹣=1，两边平方即可解决问题；
解：（1）∵x+y+4，xy=2，
∴（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=16﹣8=8．
（2）∵（a+b）2=7，（a﹣b）2=3，
∴a2+2ab+b2=7 ①，
a2﹣2ab+b2=3 ②，
∴①+②得到2a2+2b2=10，
∴a2+b2=5．
（3）∵m2﹣n2=mn，
∴﹣=1，
∴﹣2 +=1，
∴+=3．
【分析】（1）从每行的数字个数和数字之和可得规律，然后依据规律进行计算即可；
（2）依据规律将原式变形为两个数的差的平方的形式进行计算即可．
解：（1）依据规律可得到各项的系数分别为1；9；26；84；126；126；84；26；9；1．
∴（a+b）9=a9+9a8b+26a7b2+84a6b3+126a5b4+126a4b5+84a3b6+26a2b7+9ab8+b9．
（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2﹣1）5=1．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)