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27.2.6 相似三角形的性质
基础训练
1.两个相似三角形对应高之比为1∶2,那么它们对应中线之比为( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5
2.顺次连接三角形三边的中点,所构成的三角形与原三角形对应高的比是( )
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶ D.1∶2
3.若一个三角形的三边长分别为2 cm,3 cm,4 cm,与它相似的另一个三角形的最短边长为4 cm,则另一个三角形的周长为( )21教育网
A.14 cm B.18 cm C.22 cm D.26 cm
4.如图,已知AB,CD,EF都与BD垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
5.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为2∶3,则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为 . 21cnjy.com
6.如图,△ABC是一块锐角三角形的材料 ( http: / / www.21cnjy.com ),边BC=60 cm,高AD=40 cm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,这个正方形零件的边长是________cm. 2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
7.如果△ABC∽△A'B'C',AB=4 ( http: / / www.21cnjy.com ),BC=5,AC=6,△A'B'C'的最大边长为15,那么△ABC与△A'B'C'的相似比是 ,△A'B'C'的周长是 . 21·世纪*教育网
8.如图,在 ABCD中,E是BC边上一点,且BE=EC,BD,AE交于F点,则△BEF与△AFD的周长之比为 . www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
9.若两个相似三角形的周长比为2∶3,则它们的面积比是 .
10.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,则下列结论中正确的是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.= B.=
C.= D.=
11.如图,D,E分别是△ABC的边AB, ( http: / / www.21cnjy.com )BC上的点,且DE∥AC,若S△BDE∶S△CDE=1∶3,则S△DOE∶S△AOC的值为( )21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
12.如图,在△ABC中, ( http: / / www.21cnjy.com )点D,E分别在边AB,AC上,且==,则S△ADE∶S四边形BCED等于( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.1∶ B.1∶2 C.1∶8 D.1∶9
13.如图,在△ABC中,两条中线BE,CD相交于点O,则S△DOE∶S△COB等于( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.1∶4 B.2∶3
C.1∶3 D.1∶2
14.两个相似三角形的相似比为2∶3,它们的面积相差25 cm2,求这两个相似三角形的面积.
提升训练
15.已知△ABC∽△A'B'C',=,AB边上的中线CD=4 cm,求A'B'边上的中线C'D'.
16.两个相似三角形的相似比为2∶3,它们的周长差为4 cm,求较大三角形的周长.
17.如图,在 ABCD中,E是AD边的中点,连接BE并延长交CD延长线于点F,求△EDF与△BCF的周长之比.【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
18.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为3∶4,求△ABC与△DEF的面积之比.
19.如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AC边的中点,AD,BE相交于点G,若S△GDE=1,求S△ABC.
( http: / / www.21cnjy.com / )
20.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且==,求S△ADE∶S四边形BCED的值.
( http: / / www.21cnjy.com / )
21.如图,☉O是△ABC的外接圆,P是☉O外的一点,AM是☉O的直径,∠PAC=∠ABC.
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)连接PB与AC交于点D,与☉O交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点E,F为BD上的一点,若M为的中点,且∠DCF=∠P,求证: = = .【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
22.如图,在平面直角坐标系中,平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形ABOC如图放置,将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A'B'OC'.抛物线y=-x2+2x+3经过点A,C,A'三点.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求A,A',C三点的坐标.
(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△C'OD的面积.
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问点M在何处时,△AMA'的面积最大 最大面积是多少 并写出此时M的坐标.www.21-cn-jy.com
参考答案
基础训练
1.A 2.D 3.B 4.C 5.2∶3
6.24 7.2∶5; 8.1∶3
9.4∶9 10.C 11.D 12.C 13.A
14.解:设这两个相似三角形的面积分别为x cm2和(x+25) cm2.由题意,得
=,即=.∴x=20,x+25=45,【来源：21·世纪·教育·网】
即这两个相似三角形的面积分别为20 cm2和45 cm2.
提升训练
15.解:∵△ABC∽△A'B'C',CD是AB边上的中线,C'D'是A'B'边上的中线,
∴==.又∵CD=4 cm,∴C'D'==×4=6(cm).2-1-c-n-j-y
即A'B'边上的中线C'D'的长为6 cm.
16.解:由相似比可知两相似三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的周长比为2∶3,设这两个三角形的周长分别为2x cm,3x cm,则3x-2x=4,解得x=4,则3x=3×4=12.故较大三角形的周长为12 cm.
17.解:因为E是AD边的中点,所以AD=2 ( http: / / www.21cnjy.com )DE,所以===.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,所以△EDF∽△BCF,所以△EDF与△BCF的周长之比为1∶2.
18.解:根据相似三角形面 ( http: / / www.21cnjy.com )积的比等于相似比的平方.因为△ABC与△DEF的相似比为3∶4,所以△ABC与△DEF的面积之比为32∶42,即9∶16.【版权所有：21教育】
19.解:∵点D,E分别是BC,AC的中点,
∴DE∥AB,DE=AB.
∴△AGB∽△DGE.
∴==22=4.∴S△ABG=4.
∵△AGE与△GDE同高,∴===2,21教育名师原创作品
∴S△AGE=2.
同理可得S△GBD=2,∴S四边形ABDE=4+2+2+1=9.
∵DE∥AB,∴△EDC∽△ABC,设S△ABC=x,
则=,得x=12,即S△ABC=12.
20.解:因为==,∠A=∠A,所以△AED∽△ABC,所以==,所以S△ABC=4S△AED,S四边形BCED=S△ABC-S△AED=3S△AED,所以S△ADE∶S四边形BCED=1∶3=.21·cn·jy·com
21.证明:(1) 如图,连接CM.
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠PAC=∠ABC,∠M=∠ABC,
∴∠PAC=∠M.
∵AM为直径,
∴∠M+∠MAC=90°.
∴∠PAC+∠MAC=90°,
即∠MAP=90°.
∴MA⊥AP.
∴PA是☉O的切线.
(2) 如图,连接AE.
∵M为中点,AM为☉O的直径,
∴AM⊥BC.
∵AM⊥AP,
∴AP∥BC.
∴△ADP∽△CDB.
∴ = .
∵AP∥BC,
∴∠P=∠CBD.
∵∠CBD=∠CAE,
∴∠P=∠CAE.
∵∠P=∠DCF,
∴∠DCF=∠CAE.
又∵∠ADE=∠CDF,∴△ADE∽△CDF.
∴ = ,∴ = = .
22.解:(1)当y=0时,-x2+2x+3=0,
( http: / / www.21cnjy.com / )
解得x1=3,x2=-1.
∴C(-1,0),A'(3,0).当x=0时,y=3.∴A(0,3).
(2)∵C(-1,0),A(0,3),
∴B(1,3).
∴OB==.
∴△AOB的面积为S=×1×3=.
又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A'B'OC',
∴∠ACO=∠OC'D.
∵∠ACO=∠ABO,
∴∠ABO=∠OC'D.
又∵∠C'OD=∠BOA,
∴△C'OD∽△BOA.
∴===.21世纪教育网版权所有
∴S△C'OD=.
(3)如图,设M点的坐标为(m,-m2+2m+3),连接AM,A'M,AA',OM.
S△AMA'=S△OA'M+S△OAM ( http: / / www.21cnjy.com )-S△AOA'=×3×(-m2+2m+3)+×3×m-×3×3=-m2+m(0当m=时,S△AMA'取到最大值,为.
此时M的坐标为.
( http: / / www.21cnjy.com / )
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27.2.6 相似三角形的性质
人教版 九年级下
导入新知
(1)什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.
(2)如何判定两个三角形相似？
①定义；
②预备定理(平行)；
③三边对应成比例；
④两个角对应相等；
⑤两边对应成比例，且夹角相等；
温故知新
直角三角形（HL)
新知讲解
1
知识点
相似三角形对应线段的比
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长
度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，
以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们
的这些几何量之间有什么关系呢？
知1－导
问 题
新知讲解
知1－导
探究：
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、
对应中线、对应角平分线的比各是多少？
如图，分别作△ABC和 △A′B′C′的对应高AD和A′ D′ .
新知讲解
知1－导
∵ △ ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠B= ∠B′ .
又△ ABD和△A′B′D′都是直角三角形，
∴△ ABD ∽ △A′B′D′.
∴
类似地，可以证明相似三角形对应中 线的比、
对应角平分线的比也等于 k.
新知讲解
知1－导
归 纳
这样，我们得到：
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应
角平分线的比都等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
新知讲解
例1 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，矩
形相邻两边的比为1∶2，若BC＝30 cm，AD＝
10 cm，求矩形EFGH的周长．
知1－讲
新知讲解
导引：由四边形EFGH为矩形，得EH∥BC，所以△AEH
与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相
似比可求出HG的长，进而求出EH的长，即可求得
矩形EFGH的周长．
解：设HG＝x cm，则EH＝2x cm. 易得AP⊥EH.
∵AD＝10 cm，∴AP＝(10－x) cm.
∵四边形EFGH为矩形，∴EH∥BC，
∴△AEH ∽ △ABC．∴
解得x=6．∴HG＝6 cm，EH＝12 cm.
∴矩形EFGH的周长为36 cm.
知1－讲
新知讲解
总 结
知1－讲
相似三角形中对应线段的比等于相似比，其中
“对应线段”除对应边外，还有对应边上的高、中
线，对应角的平分线．
巩固提升
如图，△ABC 与△A′B′C′相似，AD，BE 是 △ABC 的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证
知1－练
∵△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的高，
∴
又BE，B′E′分别是△ABC，
△A′B′C′的高，
∴ ∴
证明：
巩固提升
2 (2016 兰州)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与
△DEF的相似比为 ，则△ABC与△DEF对应
中线的比为( )
A. B. C. D.
已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是两个
三角形对应角的平分线，且AC∶A′C′＝2∶3，
若BD＝4 cm，则B′D′的长是( )
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
知1－练
A
C
巩固提升
【2017·重庆A卷】若△ABC∽△DEF，相似比
为3∶2，则对应高的比为( )
A．3∶2 B．3∶5
C．9∶4 D．4∶9
知1－练
A
新知讲解
2
知识点
相似三角形周长的比
知2－导
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿地被削
去了一个角，变成了一个梯形，
原绿化地一边AB的长由原来的
30米缩短成18米(如图)．现在的
问题是：它的周长是多少？
问 题
新知讲解
知2－导
解答：将上面生活中的问题转化为数学问题是：
如图，已知DE∥BC，AB=30 m，BD=18 m，
△ABC 的周长为80 m，求△ADE的周长.
新知讲解
知2－导
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，∴
由比例的性质可得，
而△ADE 的周长=AD＋AE＋DE,
△ABC的周长=AB＋AC＋BC，
∴
∴△ADE 的周长=32 m.
新知讲解
知2－导
归 纳
从以上解答过程中可以看出：相似三角形的周
长比等于相似比.
新知讲解
知2－讲
例2 已知两个相似三角形的最短边分别为9 cm和
6 cm. 若它们的周长之和为60 cm，则这两个
三角形的周长分别是多少？
导引：两个相似三角形的最短边就是一组对应边，
由此可确定相似比，进而根据已知条件，解
以一个三角形周长为未知数的方程即可．
新知讲解
知2－讲
解：设△ABC∽△A1B1C1，且△ABC中的最短边
AC＝9 cm，△A1B1C1中的最短边A1C1＝6 cm.
则
∴△ABC和△A1B1C1的相似比为
设△ABC的周长为x cm，
则△A1B1C1的周长为(60－x)cm.
∴
∴△ABC的周长为36 cm，△A1B1C1的周长为24 cm.
解得x＝36，60－x＝24.
新知讲解
总 结
知2－讲
相似三角形周长的比等于相似比．在解题时，如
果是相似图形，求周长就常用到周长比等于相似比.
巩固提升
知2－练
1 (2016 重庆)△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则
△ABC与△DEF的周长比为( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶16
C
巩固提升
知2－练
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝
30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的
周长之比为( )
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：5
A
新知讲解
知3－导
3
知识点
相似三角形面积的比
相似三角形面积的比与相似比有什么关系？
如图，由前面的结论，我们有
问 题
新知讲解
归 纳
知3－导
这样，我们得到：
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
新知讲解
例3 如图，在△ABC和△DEF 中，AB = 2DE，AC =
2DF，∠A=∠D． 若△ABC的边BC上的高为6，
面积为 ，求△DEF的边EF 上的高和面积．
知3－讲
新知讲解
解： 在△ABC和△DEF中，
∵ AB = 2DE，AC = 2DF,
∴
又 ∠D=∠A，
∴ △DEF∽△ABC，△DEF 与△ABC 的相似比为
∵△ABC的边BC上的高为6，面积为
∴△DEF的边EF上的高为
面积为
知3－讲
新知讲解
总 结
知3－讲
利用相似比求周长和面积时，先判定两个三角形
相似，然后找准相似比，利用“相似三角形周长的比
等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”
解题．警示：不要误认为面积的比等于相似比．
巩固提升
1 判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）.
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三
角形的角平分线也扩大为原来的5倍； （ ）
(2)一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三
角形的面积也扩大为原来的9倍. （ ）
知3－练
√
×
巩固提升
【2017·重庆B卷】已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A．1∶4 B．4∶1
C．1∶2 D．2∶1
知3－练
2
A
巩固提升
【2017·连云港】如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
知3－练
3
D
巩固提升
【2016·南宁】有3个正方形按如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1： S2等于( )
A．1：
B．1：2
C．2：3
D．4：9
知3－练
4
D
巩固提升
【2016·随州】如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是
( )
A．1：3
B．1：4
C．1：5
D. 1：25
知3－练
5
B
巩固提升
【2017·绥化】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①
②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是( )
A．①②③④
B．①④
C．②③④
D．①②③
知3－练
6
D
巩固提升
【2016·菏泽】如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝ A′C′＝3，若∠B＋∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为( )
A．25：9
B．5：3
C.
D．
知3－练
7
A
课堂小结
1、相似三角形对应边成_______，对应角______.
2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
对应角平分线的比都等于________.
3、相似三角形周长的比等于________，
相似三角形面积的比等于______________.
相似比的平方
相似三角形的性质：
比例
相等
相似比
相似比
谢谢
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