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27.2.3 利用三边判定三角形相似定理
基础训练
1.如图,有四个4×4的正方形网格(每个 ( http: / / www.21cnjy.com )网格中的小正方形边长都是1),每个网格中均有一个“格点三角形”(三角形顶点在小正方形的顶点上),是相似三角形的是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.①③ B.①② C.②③ D.②④
2.列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与图中△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )21教育网
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3.如图所示,在正方形网格上有6个三角形: ( http: / / www.21cnjy.com )①△ABC;②△BCD;③△BDE;④△BFG;⑤△FGH;⑥△EFK.②~⑥中与①相似的是( )21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥
4.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7 ( http: / / www.21cnjy.com ).5 cm,9 cm,△DEF的一边长为4 cm,若这两个三角形相似,则△DEF的另两边长可能分别是( )21·世纪*教育网
A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm
C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm
5.如图所示,若A,B,C,P,Q,甲,乙,丙,丁都是方格纸中的格点,为使△PQR∽△ABC,则点R应是甲,乙,丙,丁四点中的( )www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.要制作两个形状相同的三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6,另一个三角形框架的一边长为2,则它的另外两边长分别为( )【出处：21教育名师】
A.2.5,3 B.,
C.1.6,2.4 D.2.5,3或,或1.6,2.4
7.如图,点A,B,C,D,E,F分别是小正方形的顶点,在△ABC与△DEF中,下列结论成立的是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.∠BAC=∠EDF
B.∠DFE=∠ACB
C.∠ACB=∠EDF
D.这两个三角形中没有相等的角
8.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形三边长分别是3,4及x,那么x的值( )21*cnjy*com
A.只有1个 B.可以有2个
C.可以有3个 D.有无数个
9.在方格纸中,每个小方格的顶点称为格 ( http: / / www.21cnjy.com )点,以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形,如图所示的5×5的方格纸中,要作格点△ABC与△OAB相似(相似比不能为1),则点C的坐标是 . 【版权所有：21教育】
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提升训练
10.如图,D,E,F分别是等边三角形ABC三边上的点,AE=BF=CD.求证:△ABC∽△DEF.
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11.如图,O为△ABC内一点,点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,求证:△DEF∽△ABC.
( http: / / www.21cnjy.com / )
12.如图,网格图中每个方格都是边长为1的正方形,若A,B,C,D,E,F都是格点,试说明△ABC∽△DEF.www.21-cn-jy.com
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13.一个钢筋三脚架边长分别是20 ( http: / / www.21cnjy.com ) cm,50 cm,60 cm,现在要做一个与其相似的钢筋三脚架,而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另两边,有几种不同的截法 【来源：21cnj*y.co*m】
14.如图,在边长为1的小正方形组 ( http: / / www.21cnjy.com )成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题:21·cn·jy·com
(1)证明△ABC为直角三角形;
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为P1,P2,P3,P4,P5中的3个格点并且与△ABC相似并予以证明.21世纪教育网版权所有
15.如图,在平面直角坐标系中,A(1,0),B(3,0),C(0,3),D(2,-1),P(2,2).【来源：21·世纪·教育·网】
(1)△ABC与△ADP相似吗 说明理由;
(2)在图中标出点D关于y轴的对称点D',连接AD',CD',判断△ACD'的形状,并说明理由;
(3)求∠OCA+∠OCD的度数.
( http: / / www.21cnjy.com / )
16.如图所示,已知抛物线与x轴交于A(-1,0),E(3,0),与y轴交于点B(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设(1)中抛物线顶点为D,△AOB与△DBE是否相似 若相似,请给予说明;若不相似,请说明理由.2-1-c-n-j-y
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参考答案
基础训练
1.A 2.D 3.B 4.C 5.C 6.D 7.D
8.B
解析：当直角边长为6,8,且另一个与它相似的 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形中3,4也为直角边时,x的值为5;当8,4为对应边的长且为两直角三角形的斜边长时,x的值为,故x的值可以为5或.
9.错解1:(4,4);错解2:(5,2)
诊断:解此题的关键是找出C点位置,有的同学往往会因考虑不周而漏掉其中一种情况.
正解:(4,4)或(5,2)
提升训练
10.证明:∵△ABC是等边三角形,AE=BF=CD,
∴BE=CF=AD,∠A=∠B=∠C.
∴△ADE≌△BEF≌△CFD.
∴EF=FD=ED,即△DEF是等边三角形.
又∵△ABC是等边三角形,
∴△ABC∽△DEF.
11.证明:由三角形的中位线定理得,===,
∴△DEF∽△ABC.
12.解:因为AC=,BC=,AB=4,DF=2,EF=2,DE=8,所以=,=,=,
所以==,所以△ABC∽△DEF.
解析：利用勾股定理先求出两个三角形各边的长,然后求出对应边的比,再判断是否相似.
13.解:由题意,易知应从长为50 cm的钢筋上截下两段,设一段长为x cm,另一段长为y cm,则:
①==,∴x=12,y=36,x+y=48<50,符合题意;
②==,∴x=10,y=25,x+y=35<50,符合题意;
③==,∴x=75,y=90,x+y=165>50,不合题意.2·1·c·n·j·y
综上所述,共有两种不同的截法.
14.(1)证明:根据勾股定理,得AB=2,AC=,BC=5,
显然有AB2+AC2=BC2,
根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形.
(2)解:△ABC和△DEF相似.
理由如下:根据勾股定理,
得AB=2,BC=5,DE=4,DF=2,EF=2.∴===,
∴△ABC∽△DEF.
(3)解:如图,连接P2P5,P2P4,P4P5,则△P2P4P5符合要求.
证明:∵P2P5==,P4P5=2,AB=2,AC=,BC=5,∴===,
∴△ABC∽△P4P5P2.
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15.解:(1)△ABC∽△ADP.
理由:∵AD=,AB=2,A ( http: / / www.21cnjy.com )P=,AC=,PD=3,BC=3,∴===.∴△ABC∽△ADP.
(2)如图所示.△ACD'是等腰直角三角形.
( http: / / www.21cnjy.com / )
理由:∵AD'=,AC=,D'C=2,
∴AD'=AC,AD'2+AC2=()2+()2=20=D'C2,
∴△ACD'是等腰直角三角形.
(3)∵点D与点D'关于y轴对称,∴∠OCD=∠OCD',
∴∠OCA+∠OCD=∠OCA+∠OCD'=∠ACD'=45°.
16.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.
把A,B,E三点的坐标分别代入,得
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)相似.由(1)可求出点D坐标为(1,4),
易求出OA=1,OB=3,AB=,BD=,BE=3,DE=2,∴===,∴△AOB∽△DBE.
( http: / / www.21cnjy.com / )
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27.2.3 利用三边判定三角形相似定理
人教版 九年级下
导入新知
判定两个三角形全等我们有SSS的方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢？
新知讲解
1
知识点
三边成比例的两个三角形相似
知1－讲
任意画一个三角形，再画另一个三角形，使它的各边长都是原来各边长的2倍，度量这两个三角形的对应角，他们对应相等吗？这两个三角形全等吗？
问 题
新知讲解
知1－讲
如图，在△ABC和△A′B′C′中，
则△ABC与
△A′B′C′相似吗？为什么？
分析：这时可在A′B′上截取A′D=AB，再过D作DE//
B′C′，由△A′DE∽△A′B′C′，再证明△ABC
≌△A′DE，则可得到△ABC∽△A′B′C′.
思 考
新知讲解
知1－讲
如图，在△ABC和△A'B'C'中，
求证： △ABC∽△A'B'C'.
新知讲解
证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D=AB，过点D
作 DE//B′C′，交A′C′于点E.根据前面的定理，可得
△A′DE∽△A'B'C'.
∴DE=BC，A′E=AC.
∴ △A′DE≌△ABC.
∴△ABC ∽△A'B'C'.
知1－讲
△A′DE是证明的中介，它把△ABC与△A′B′C′联系起来.
新知讲解
知1－讲
结 论
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理
（如图）：
三边成比例的两个三角形相似.
△ABC ∽△A'B'C'
新知讲解
例1 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
AB=4 cm，BC=6 cm，AC=8 cm，
A′B′= 12 cm，B′C′= 18 cm，A′C′=24 cm.
解：
∴△ABC ∽△A'B'C'.
知1－讲
新知讲解
总 结
知1－讲
这个判定三角形相似的方法与三角形全等的判
定方法“边边边”十分相似，所不同的是在相似的
判定方法中的 “三边”要求的是“比相等”. 三边
的对应关系是“短∶短”“中∶中”“长∶长”.
巩固提升
根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由:
AB= 10 cm，BC = 8 cm，AC = 16 cm,
A′B′= 16 cm，B′C′= 12. 8 cm，A′C′= 25. 6 cm.
知1－练
1
解：相似
∴△ABC∽△A′B′C′.
巩固提升
图中的两个三角形是否相似？为什么？
知1－练
2
相似
理由如下：∵
∴两个三角形的三边成比例．
∴这两个三角形相似．
解：
巩固提升
要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为 4 cm，5 cm和6 cm，另一个三角形框架的一边长为2 cm，它的另外两条边长 应当是多少？你有几种制作方案？
知1－练
3
设另外两条边长分别是x cm和y cm(x因此另外两条边长应当分别是 cm和3 cm或 cm和 cm或 cm和 cm，即有3种制作方案．
解：
巩固提升
4 若△ABC和△A′B′C′满足下列条件，其中使△ABC与
△A′B′C′相似的是( )
A．AB＝2.5 cm，BC＝2 cm，AC＝3 cm；A′B′＝3 cm，B′C′＝4 cm，A′C′＝6 cm
B．AB＝2 cm，BC＝3 cm，AC＝4 cm；A′B′＝3 cm， B′C′＝6 cm，A′C′＝ cm
C．AB＝10 cm，BC＝AC＝8 cm；A′B′＝ cm，B′C′＝A′C′＝ cm
D．AB＝1 cm，BC＝ cm，AC＝3 cm；A′B′＝ cm，B′C′＝ cm，A′C′＝ cm
知1－练
B
巩固提升
已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边是下列哪一组时，这两个三角形相似( )
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
知1－练
5
C
巩固提升
一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边的长是21，则其他两边长的和是( )
A．19 B．17
C．24 D．21
知1－练
6
C
巩固提升
要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为( )
A．2.5，3 B.
C．1.6，2.4 D．2.5，3或 或1.6，2.4
知1－练
7
D
巩固提升
【2017·河北】若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比( )
A．增加了10%
B．减少了10%
C．增加了(1＋10%)
D．没有改变
知1－练
8
D
新知讲解
2
知识点
网格上相似三角形的判定
知2－讲
例2 图1，图2中小正方形的边长均为1，则图2中的哪一个三角形(阴影部分)与图1中的△ABC相似？
导引：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出
各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相
等来判断哪两个三角形相似．
图1
图2
新知讲解
解：由勾股定理知AC＝ ，BC＝2，AB＝
图2(1)中，三角形的三边长分别为1，
图2 (2)中，三角形的三边长分别为1，
图2 (3)中，三角形的三边长分别为
图2 (4)中，三角形的三边长分别为2，
∴图2 (2)中的三角形与△ABC相似．
知2－讲
新知讲解
总 结
知2－讲
利用三角形三边对应成比例判定两三角形相似
的方法：首先把两个三角形的边分别按照从小到大的
顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、
中、大边的比，最后看三个比是否相等，若相等，则
两个三角形相似，否则不相似．
特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形
全等．
巩固提升
(中考 荆州)如图，4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )
知2－练
D
巩固提升
如图，若A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲，乙，丙，丁四点中的( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
知2－练
C
巩固提升
如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK. ②～⑥中与①相似的是( )
A．②③④
B．③④⑤
C．④⑤⑥
D．②③⑥
知2－练
B
课堂小结
利用三边成比例判定三角形相似的“三步骤”：
(1)排序：将三角形的边按大小顺序排列；
(2)计算：分别计算它们对应边的比值；
(3)判断：通过比值是否相等判断两个三角形是否
相似．
谢谢
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