【备考2018】高考数学真题精讲精练专题11.2 古典概型（2013-2017）

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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
11.2 古典概型
考纲剖析
1．理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
知识回顾
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是 的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称 ．
3．古典概型的概率公式
P(A)＝ .
精讲方法
一、古典概型
（一）写出基本事件
1．随机试验满足下列条件：（1）试验可以在相同的条件下重复做下去；（2）试验的所有结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在试验之产却不能肯定会出现哪一个结果。所以，随机试验的每一个可能出现的结果是一个随机事件，这类随机事件叫做基本事件。www-2-1-cnjy-com
2．计算古典概型所含基本事件总数的方法
（1）树形图
（2）列表法
（3）另外，还可以用坐标系中的点来表示基本事件，进而可计算基本事件总数
（4）用排列组合求基本事件总数。
（二）求简单古典概型的概率
求古典概型概率的步骤
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结晶是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;
（4）利用公式求出事件A的概率。
注：并不是所有的试验都是古典概型。例如，在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否“发芽”，这个试验的基本事件空间为{发芽，不发芽}，而“发芽”与 “不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的。
（三）复杂的古典概型的概率求法
注：（1）在古典概型条件下，当基本事件总数为n时，每一个基本事件发生的概率均为，要求事件A的概率，关键是求出基本事件总数n和事件A中所含基本事件数m，再由古典概型概率公式求出事件A的概率。
（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质进一步求解。
小结
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．
2．确定基本事件的方法
(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)利用计数原理、排列与组合求基本事件的个数．
3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．
　　　　
例题精讲
考点一　简单古典概型的概率
【例题1】从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球，若取到红球的概率是 ，则取得白球的概率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意， = ，∴n=3， ∴取得白球的概率等于 ，
故选C．
【分析】利用取到红球的概率是 ，求出n，即可求出取得白球的概率．
【变式训练1】现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
考点二　复杂的古典概型的概率
【例题2】甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（1）求第4局甲当裁判的概率；
（2）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
【答案】（1）解：令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．
则A=A1 A2 ， P（A）=P（A1 A2）=P（A1）P（A2）= ；
（2）解：X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．
B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，
则P（X=0）=P（B1B2）=P（B1）P（B2）P（ ）= ．
P（X=2）=P（ B3）=P（ ）P（B3）= ．
P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）= ．
从而EX=0× +1× +2× = ． 21cnjy.com
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．（2）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．
【变式训练2】41.把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组 只有一个解的概率为________．
考点三　古典概型的综合问题
【例题3】某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：
B餐厅分数频数分布表
分数区间 频数
[0，10） 2
[10，20） 3
[20，30） 5
[30，40） 15
[40，50） 40
[50，60] 35
（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；
（Ⅱ）从对B餐厅评分在[0，20）范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0，10）范围内的概率；
（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）由A餐厅分数的频率分布直方图，得：对A餐厅评分低于30分的频率为（0.003+0.005+0.012）×10=0.2， 所以，对A餐厅评分低于30的人数为100×0.2=20；
（Ⅱ）对B餐厅评分在[0，10）范围内的有2人，设为M1、M2；
对B餐厅评分在[10，20）范围内的有3人，设为N1、N2、N3；
从这5人中随机选出2人的选法为：
（M1 ， M2），（M1 ， N1），（M1 ， N2），（M1 ， N3），
（M2 ， N1），（M2 ， N2），（M2 ， N3），
（N1 ， N2），（N1 ， N3），（N2 ， N3）共10种．
其中，恰有1人评分在[0，10）范围内的选法为：
（M1 ， N1），（M1 ， N2），（M1 ， N3），
（M2 ， N1），（M2 ， N2），（M2 ， N3）共6种；
故2人中恰有1人评分在[0，10）范围内的概率为P= = ；
（Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：
由（Ⅰ）得，抽样的100人中，A餐厅评分低于30的人数为20，
所以，A餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%；
B餐厅评分低于30的人数为2+3+5=10，
所以，B餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%；
所以会选择B餐厅用餐．
【考点】频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（Ⅰ）由A餐厅分数的频率分布直方图求得频率与频数；（Ⅱ）用列举法求基本事件数，计算对应的概率值；（Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例分析，即可得出结论．
【变式训练3】某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
真题精析
一、单选题
1.（2017 天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（　　）
A. B. C. D.
2.（2016 天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为（　　）
A. B. C. D.
3.（2016 全国）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（　　）
A. B. C. D.
4.（2016 北京）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　）
A. B. C. D.
5.（2017 新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.(2015·新课标1卷）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
7.（2016 四川）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
8.（2014 上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是________（结果用最简分数表示）．
9.（2014 江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．
10.（ 2013 上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________（结果用最简分数表示）．
11.（2013 上海）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为________（结果用数值表示）．
12.（2013 新课标Ⅱ）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为 ，则n=________．
13.（2013 江苏）现在某类病毒记作XmYn ， 其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
三、综合题
14.（2017 新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（12分）
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
15.（2014 重庆）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）
16.（2014 天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
17.（2014 江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1 ， x2 ， x3 ， 随机变量X表示x1 ， x2 ， x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．
18.（2014 广东）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率
[25，30] 3 0.12
（30，35] 5 0.20
（35，40] 8 0.32
（40，45] n1 f1
（45，50] n2 f2
（1）确定样本频率分布表中n1 ， n2 ， f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．
19.（2013 重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额
一等奖 3红1蓝 200元
二等奖 3红0蓝 50元
三等奖 2红1蓝 10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．
20.（2013 天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）． 【版权所有：21教育】
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
21.（2013 四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生
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（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）；
（2）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）
运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数
30 14 6 10
… … … …
2100 1027 376 697
乙的频数统计图（部分）
运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数
30 12 11 7
… … … …
2100 1051 696 353
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能性较大；
（3）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
22.（2013 辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望． 21世纪教育网版权所有
23.（2013 江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6 ， A7 ， A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．
24.（ 2013 湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
25.（2013 广东）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
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（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？ 21*cnjy*com
（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
26.（2013 福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 21*cnjy*com
27.（2013 安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．
（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（2）求使P（X=m）取得最大值的整数m．
28.（2016 全国）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
29.（2016 北京）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；【来源：21·世纪·教育·网】
A班 6 6.5 7 7.5 8
B班 6 7 8 9 10 11 12
C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
（1）试估计C班的学生人数；
（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断 和 的大小，（结论不要求证明）
30.（2015福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
31.（2015·重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望
32.（2015·山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分. 2-1-c-n-j-y
（1）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；
（2）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.
33. （2015·天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率
（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望
模拟题精练
一、单选题
1.已知函数， 若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（　　）
A. B. C. D.
2.已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S4=π（其中π为圆周率），a4=2a2 ， 现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.设x，y∈N* ， x+y=10，xy＞20的概率是（ ）
A. B. C. D. 21教育网
5.盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.甲、乙两人各掷一次骰子（均匀的正方体，六个面上分别为l，2，3，4，5，6点），所得点数分别记为x、y，则的概率为( )
A. B. C. D.
7.投掷两颗骰子，其向上的点数分别为和， 则复数为纯虚数的概率为（ ）
A. B. 　　　　 C. D.
8.在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个形状大小完全相同的小球，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是（ ）
A. B. C. D. 21·cn·jy·com
9.4位同学各自在阳光体育时间活动，可以选择足球和篮球两项运动中一项，则这两项活动都有同学选择的概率为（　　）
A. B. C. D.
10.现由黑白小球各3个，将它们任意排成一排，左边3个小球恰好颜色相同的概率是()
A. B. C. D.
11.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（ ）
A. B. C. D.
12.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
13.两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为________.
14.一盒中有12个质地均匀的乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P（X=4）的值为________（用数字作答）
15.从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f（x）=ax2+bx+c的系数，则使得 ∈Z的概率为________．
16.高一（4）班有5位同学参加夏令营植树活动，其中男生2人，女生3人，从这5人中任意选出2人去浇水，选出的2人都是男生的概率是________．
三、综合题
17.（2017 新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（12分）
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 2·1·c·n·j·y
18.某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
（1）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率
（2）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率． 21·世纪*教育网
19.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
20.（2013 福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． 【出处：21教育名师】
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
21.已知x，y的一组数据如表所示：
x 1 3 6 7 8
y 1 2 3 4 5
（1）从x，y中各取一个数，求x+y≥10的概率：
（2）对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 与 ，试判断哪条直线拟合程度更好．
22.2014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：
（1）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？
（2）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；
（3）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率．
23.在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学同学的成绩如表：
n 1 2 3 4 5
x0 70 76 72 70 72
（1）求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s；
（2）若从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间[68，75）中的概率．
24.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， 3名女同学B1 ， B2 ， B3 ． 现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
25.设关于x的一元二次方程x2+ax﹣ +1=0．
（1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程中有实根的概率； 【来源：21cnj*y.co*m】
（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
26.随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．
（1）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率P1；
（2）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为 ，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率P2；
（3）该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在A团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为P3 ． 试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的P1和P2的值，写出P1 ， P2 ， P3的大小关系（只写结果，不用说明理由）．
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
11.2 古典概型（答案）
知识回顾
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
3．古典概型的概率公式
P(A)＝.
例题精讲
考点一　简单古典概型的概率
【变式训练1】现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：甲获胜是指甲第一次抽取偶数或甲第一次抽到奇数，同时乙第一次也抽到奇数， ∴甲获胜的概率是P= = ．
故选：D．
【分析】甲获胜是指甲第一次抽取偶数或甲第一次抽到奇数，同时乙第一次也抽到奇数，由此能求出甲获胜的概率．21*cnjy*com
考点二　复杂的古典概型的概率
【变式训练2】41.把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组 只有一个解的概率为________．
【答案】
【考点】等可能事件的概率，古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：骰子投掷2次所有的结果有6×6=36 由 得（b﹣2a）y=3﹣2a
当b﹣2a≠0时，方程组有唯一解
当b=2a时包含的结果有：
当a=1时，b=2
当a=2时，b=4
当a=3时，b=6共三个
所以方程组只有一个解包含的基本结果有36﹣3=33
由古典概型的概率公式得
故答案为：
【分析】利用分布计数原理求出骰子投掷2次所有的结果，通过解二元一次方程组判断出方程组有唯一解的条件，先求出不满足该条件的结果个数，再求出方程组有唯一解的结果个数，利用古典概型的概率公式求出方程组只有一个解的概率．
考点三　古典概型的综合问题
【变式训练3】某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 2-1-c-n-j-y
【答案】解：（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a（单位：元）， 上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，
∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：
一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：
p1=1﹣0.30﹣0.15=0.55．
（Ⅱ）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，
由题意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15，
由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，
则其保费比基本保费高出60%的概率：
p2=P（B|A）= = = ．
（Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：
=1.23，
∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（Ⅰ）上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率．（Ⅱ）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意求出P（A），P（AB），由此利用条件概率能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率．（Ⅲ）由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
真题精析
一、单选题（共6题；共12分）
1.（2017 天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（　　）
A. B. C. D. www.21-cn-jy.com
【答案】C
【考点】古典概型及其概率计算公式，列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，
基本事件总数n= =10，
取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= =4，
∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p= = ．
故选：C．
【分析】先求出基本事件总数n= =10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= =4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．
2.（2016 天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P= + = ．
故选：A．
【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．；本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．
3.（2016 全国）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有 =6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为 = ．
故选：C．
【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．；本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
4.（2016 北京）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n= =10，甲被选中包含的基本事件的个数m= =4，∴甲被选中的概率p= = = ．
故选：B．
【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．；本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
5.（2017 新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】古典概型及其概率计算公式，列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= = ．
故选：D．
【分析】先求出基本事件总数n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
6.(2015·新课标1卷）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从 1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3，4,5故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C.
【分析】求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.
二、填空题
7.（2016 四川）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，基本事件总数n= =12，
logab为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个，
∴logab为整数的概率p= ．故答案为： ．
【分析】由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出logab为整数满足的基本事件个数，由此能求出logab为整数的概率；本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
8.（2014 上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是________（结果用最简分数表示）．
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有 种情况，
其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），
（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），
∴选择的3天恰好为连续3天的概率是 ，
故答案为： ．
【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，
再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．
9.（2014 江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，
所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，
故所求概率P= ．
故答案为： ．
【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可．
10.（ 2013 上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________（结果用最简分数表示）．
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为 种．
取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为 种．
则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为 ．
所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是 ．
故答案为
【分析】利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率．
11.（2013 上海）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为________（结果用数值表示）．
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为： = ，
则选出的3人中男女同学都有的概率为：1﹣ = ．
故答案为： ．
【分析】先求对立事件“选出的3人中只有男同学或只有女同学”的概率，然后根据对立事件的概率和为1可得答案．
12.（2013 新课标Ⅱ）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为 ，则n=________．
【答案】8
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：（1，4），（2，3）共2种情况；
从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为 ，由古典概型概率计算公式得：
从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为p= ．
所以 ，即 ，解得n=8．
故答案为8．
【分析】列出从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为 列式计算n的值．
13.（2013 江苏）现在某类病毒记作XmYn ， 其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法．
m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，
则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种．
所以m，n都取到奇数的概率为 ．
故答案为 ．
【分析】求出m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解．
三、综合题
14.（2017 新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（12分）
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 21·世纪*教育网
【答案】（1）解：由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p= = ．
（2）解：当温度大于等于25°C时，需求量为500，
Y=450×2=900元，
当温度在[20，25）°C时，需求量为300，
Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300元，
当温度低于20°C时，需求量为200，
Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100元，
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据得，温度大于等于20°C的天数有：
90﹣（2+16）=72，
∴估计Y大于零的概率P= ．
【考点】频率分布表，用样本的频率分布估计总体分布，概率的意义，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1.）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2.）当温度大于等于25°C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在[20，25）°C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20°C时，需求量为200，求出Y=﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．
15.（2014 重庆）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）
【答案】（1）解：由古典概型的概率计算公式得所求概率为
P= ，
（2）解：由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且
P（X=1）= ，
P（X=2）= ，
P（X=3）= ，
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
所以E（X）=
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现．
16.（2014 天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，
则 ，
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为 ．
（2）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3， （k=0，1，2，3）
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（2）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3， （k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．
17.（2014 江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1 ， x2 ， x3 ， 随机变量X表示x1 ， x2 ， x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．
【答案】（1）解：一次取2个球共有 =36种可能，2个球颜色相同共有 =10种可能情况
∴取出的2个球颜色相同的概率P=
（2）解：X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）= ，P（X=3）=
于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）= ，
X的概率分布列为
X 2 3 4
P
故X数学期望E（X）=
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．
18.（2014 广东）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率
[25，30] 3 0.12
（30，35] 5 0.20
（35，40] 8 0.32
（40，45] n1 f1
（45，50] n2 f2
（1）确定样本频率分布表中n1 ， n2 ， f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．
【答案】（1）解：（40，45]的频数n1=7，频率f1=0.28；（45，50]的频数n2=2，频率f2=0.08
（2）解：频率分布直方图：
（3）解：设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件 ，
已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为 ，
∴P（A）= = ，
∴P（ ）=1﹣P（A）= ，
∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为 ．
【考点】频率分布表，频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1 ， n2 ， f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率．
19.（2013 重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额
一等奖 3红1蓝 200元
二等奖 3红0蓝 50元
三等奖 2红1蓝 10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．
【答案】（1）解：设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）
∴P（A1）= =
（2）解：X的所有可能取值为0，10，50，200
P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=
P（X=50）=P（A3）P（B0）= =
P（X=10）=P（A2）P（B1）= =
P（X=0）=1﹣ =
∴X的分布列为21教育名师原创作品
x 0 10 50 200
P
EX= =4元
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）从7个小球中取3的取法为 ，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值
20.（2013 天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则
P（A）= =
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为
（2）解：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
P（X=4）= =
X的分布列为
EX= =
x 1 2 3 4
P
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有 ，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（2）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【来源：21cnj*y.co*m】
21.（2013 四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生
（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）；
（2）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）
运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数
30 14 6 10
… … … …
2100 1027 376 697
乙的频数统计图（部分）
运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数
30 12 11 7
… … … …
2100 1051 696 353
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能性较大；
（3）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，
当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出的y值为1，故P1= = ；
当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出的y值为2，故P2= = ；
当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出的y值为3，故P3= = ；
故输出的y值为1的概率为 ，输出的y值为2的概率为 ，输出的y值为3的概率为 ；
（2）解：当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为i（i=1，2，3）的频率如下：
输出y值为1的频率 输出y值为2的频率 输出y值为3的频率
甲
乙
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；
（3）解：随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= =
P（ξ=2）= = ，P（ξ=3）= = ，故ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
所以所求的数学期望Eξ= =1
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，程序框图 【版权所有：21教育】
【解析】【分析】（1）x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，由程序框图可得y值为1，2，3对应的情况，由古典概型可得；（2）题意可得当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为1，2，3时的频率，可得答案；（3）机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，分别求其概率可得分布列和期望．
22.（2013 辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”
则 =张同学至少取到的全为甲类题
∴P（A）=1﹣P（ ）=1﹣ =
（2）解：X的所有可能取值为0，1，2，3
P （X=0）= =
P（X=1）= =
P（X=2）= + =
P（X=3）= =
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
EX=
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有 ，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解（2）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值
23.（2013 江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6 ， A7 ， A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有 =28种
X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形
所以小波参加学校合唱团的概率P（X=0）= =
（2）解：两向量数量积的所有可能情形有﹣2，﹣1，0，1
X=﹣2时有2种情形
X=1时有8种情形
X=﹣1时，有10种情形
X的分布列为：
X ﹣2 ﹣1 0 1
P
EX= =
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而X=0时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值
24.（ 2013 湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 =36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为 = ；
（2）解：先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3
由P（X=k）= 得P（X=1）= ，P（X=2）= ，P（X=3）= = ，P（X=4）= =
∴所求的分布列为
Y 51 48 45 42
P
数学期望为E（Y）=51× +48× +45× +42× =46
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（2）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．21教育网
25.（2013 广东）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
【答案】（1）解：样本均值为
（2）解：抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人
（3）解：设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，
所以 ，
即恰有1名优秀工人的概率为
【考点】茎叶图，众数、中位数、平均数，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）茎叶图中共同的数字是数字的十位，这是解决本题的突破口，根据所给的茎叶图数据，代入平均数公式求出结果；（2）先由（1）求得的平均数，再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率．
26.（2013 福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
【答案】（1）解：由题意知，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人抽奖中奖与否互不影响，
记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，
因为P（X=5）= ，∴P（A）=1﹣P（X=5）= ；
即他们的累计得分x≤3的概率为
（2）解：设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1 ，
小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2 ， 则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）
都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）
由已知可得，X1～B（2， ），X2～B（2， ），
∴E（X1）=2× = ，E（X2）=2× = ，
从而E（2X1）=2E（X1）= ，E（3X2）=3E（X2）= ，
由于E（2X1）＞E（3X2），
∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，总体分布的估计
【解析】【分析】（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1 ， 甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2 ， 则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2， ），X2～B（2， ），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案．
27.（2013 安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．
（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（2）求使P（X=m）取得最大值的整数m．
【答案】（1）解：因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以 与 相互独立，由于P（A）=P（B）= = ，故P（ ）=P（ ）=1﹣ ，
因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣ ）2=
（2）解：当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1
当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（ ）2 ， 当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为
P（X=m）= =
当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1） （m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m） m≤2k﹣
假如k≤2k﹣ ＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，
k≤2k﹣ ＜2k+1﹣ ＜t，故P（X=M）在m=2k﹣ 和m=2k+1﹣ 处达到最大值；
当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[ ]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），
下面证明k≤2k﹣ ＜t
因为1≤k＜n，所以2k﹣ ﹣k= ≥ = ≥0
而2k﹣ ﹣n= ＜0，故2k﹣ ＜n，显然2k﹣ ＜2k
因此k≤2k﹣ ＜t
综上得，符合条件的m=2k﹣[ ]
【考点】古典概型及其概率计算公式，概率的应用，计数原理的应用
【解析】【分析】（1）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；（2）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可．
28.（2016 全国）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
【答案】（1）解：设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 ，
（2）解：设续保人保费比基本保费高出 为事件 ，
（3）解：设本年度所交保费为随机变量 ．
平均保费
，
∴平均保费与基本保费比值为
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率．（2）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意求出P（A），P（AB），由此利用条件概率能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率．（3）由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值
29.（2016 北京）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；【来源：21·世纪·教育·网】
A班 6 6.5 7 7.5 8
B班 6 7 8 9 10 11 12
C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
（1）试估计C班的学生人数；
（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断 和 的大小，（结论不要求证明）
【答案】（1）解： ，C班学生40人
（2）解：在A班中取到每个人的概率相同均为
设 班中取到第 个人事件为
C班中取到第 个人事件为
班中取到 的概率为
所求事件为
则
（3）解：
三组平均数分别为 总均值
但 中多加的三个数据 平均值为 ，比 小，
故拉低了平均值
【考点】用样本的频率分布估计总体分布，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由已知先计算出抽样比，进而可估计C班的学生人数；（2）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）根据平均数的定义，可判断出μ0＞μ1
30.（2015福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，期望为．
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】（1）设“当天小王的该银行卡被锁定“的事件为A,则P(A)=.
（2）依题意得，X的所有可能取值是1,2,3. 又P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，所以X的分部列为.
【分析】本题考查古典概型和随机变量的期望，第一问，将事件转化为所选的三个密码都不是该银行卡密码，共有种，而基本事件总数为，代入古典概型概率计算公式；第二问，写出离散型随机变量所有可能取值，并求取相应值的概率，写成分布列求期望即可．确定离散型取值时，要科学兼顾其实际意义，做到不重不漏，计算出概率后要注意检验概率和是否为1，以便及时矫正。
31.（2015·重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望
【答案】（1）
（2）X的分布列为
X 0 1 2
P
故
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】（1）.令表示事件”三个粽子各取到1个“，则由古典概型的概率计算公式有.
（2）
X的所有可能取值为0，1，2，且
综上知，X的分布列为

X 0 1 2
P
故
【分析】本题属于古典概型，从10个棕子中任取3个，基本事件的总数为，其中事件“三种棕子各取1个”含基本事件的个数为，根据古典概型概率计算公式可计算得所求概率；（2）由于10个棕子中有2个豆沙棕，因此的可能值分另快0,1,2，同样根据古典概型概率公式可得相应的戳率，从而列出其分布列，并根据期望公式求得期望为.
32.（2015·山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.
（1）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；
（2）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.
【答案】（1）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345
（2）
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】（1）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345
(11）由题意知，全部“三位递增数”的个数为＝84
随机变量X的取值为：0，-1,1，
因此,
所以X的分布列为
因此EX=
【分析】1.明确“三位递增数”的含义，写出所有的三位符合条件的“三位递增数”；2.明确有机变量的所有可能取值及取每一个值的含义，结合组合的知识，和用古典概型求P、X的分布列和数学期望EX；3.本题在一个新概念的背景下，考查了学生对组合、概率、离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生对新知识的理解与应用能力，以及利用所学知识解决遇到了的问题的能力，解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出数学模型.
33. （2015·天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率
（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望
【答案】（1）
（2）随机变量的分布列为
X 1 2 3 4
P
【考点】互斥事件与对立事件，古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】（1）由已知，有所以时间发生的概率为
（2）随机变量的所有可能取值为. 所以随机变量的分布列为21cnjy.com
X 1 2 3 4
P
所以随机变量的数字期望
【分析】本题主要考查古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数字期望，把实际生活中的乒乓球比赛与数学中的古典概型相结合，体现了数学的实际应用价值与研究价值，也体现了数学中的概率、期望对实际生活中的一些指导作用。www-2-1-cnjy-com
模拟题精练
一、单选题
1.已知函数， 若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：求导数可得f′（x）=x2+2ax+b2 ，
要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根，
即△=4（a2﹣b2）＞0，即a＞b，
又a，b的取法共3×3=9种，
其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1），
（3，0），（3，1），（3，2）共6种，
故所求的概率为P=
故选D
【分析】由极值的知识结合二次函数可得a＞b，由分步计数原理可得总的方法种数，列举可得满足题意的事件个数，由概率公式可得．
2.已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S4=π（其中π为圆周率），a4=2a2 ， 现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：∵等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S4=π（其中π为圆周率），a4=2a2 ， ∴ ，
解得 ，
∴ = ，
∴前30项中，第6至14项和第26项至第30项的余弦值是负数，
∴现从此数列的前30项中随机选取一个元素，
则该元素的余弦值为负数的概率为p= = ．
故选：A．
【分析】由等差数列{an}前n项和玖通项公式，列出方程组，求出首项和公差，从而得到 = ，进而前30项中，第6至14项和第26项至第30项的余弦值是负数，由此能求出现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率．
3.6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意，分3步进行讨论： ①、先安排甲，在6个位置中任选一个即可，有C61=6种选法；
②、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的2个位置中，任选一个，安排乙，有C21=2种选法；
③、将剩余的4个人，安排在其余的4个位置，有A44=24种安排方法；
则甲乙两人不在同一排也不在同一列的站队方法有6×2×24=288种；
又6名同学的站队方法有A66=720，
∴所求概率为 = ，
故选B．
【分析】求出甲乙两人不在同一排也不在同一列的站队方法、6名同学的站队方法，即可得出结论．
4.设x，y∈N* ， x+y=10，xy＞20的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：∵x，y∈N* ， x+y=10， 则（x，y）为（1，9），（2，8），…，（8，2），（9，1）共9种情况，
由xy=x（10﹣x）＞20，解得：5﹣ ＜x＜5+ ，又x∈N* ，
故满足条件的（x，y）为（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），
则所求概率为 ，
故选：B．
【分析】分别求出满足x，y∈N* ， x+y=10的所有情况，再求出满足条件的情况，求出满足条件的概率即可．
5.盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设事件A表示“第一次摸出新球”，事件B表示“第二次摸出新球”， 则P（A）= = ，P（AB）= = ，
∴在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为：
P（B|A）= = = ．
故选：B．
【分析】设事件A表示“第一次摸出新球”，事件B表示“第二次摸出新球”，分别求出P（A），P（AB），在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为：P（B|A）= ，由此能求出结果．21·cn·jy·com
6.甲、乙两人各掷一次骰子（均匀的正方体，六个面上分别为l，2，3，4，5，6点），所得点数分别记为x、y，则的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】由于甲、乙两人各掷一次骰子（均匀的正方体，六个面上分别为l，2，3，4，5，6点)，那么得到点数为有36种，即（1，1)（1，2)（1，3)（1，4)（1，5)（1，6)（1，3)（2，2)……(6,6)那么满足题意的情况有5+4+3+2+1=15,那么可知满足题意的基本事件数有15，利用古典概型概率得到为15：35=5：12，故答案选C.
【点评】解决该试题的关键是理解满足题意的所有的基本事件数，然后得到事件A的基本事件数 ，结合古典概型概率公式得到。属于基础题。
7.投掷两颗骰子，其向上的点数分别为和， 则复数为纯虚数的概率为（ ）
A. B. 　　　　 C. D.
【答案】C
【考点】复数的基本概念，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】按多项式乘法运算法则展开，将化简为a+bi（a，b∈R)的形式，要求实部为0，虚部不为0，求出m、n的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可。因为=m2-n2+2mni，根据复数的基本概念，有实部为0，且虚部显然不为0，所以n2=m2
故m=n则可以取1、2、3、4、5、6，共6种可能，所以P=， 故选C.
【点评】本题考查复数的基本概念，古典概型及其概率计算公式，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
8.在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个形状大小完全相同的小球，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】这是一个古典概型，只要做出事件总数和满足条件的事件数就可以得到结果，从5个球中任取两个有C52=10种方法，数字之差的绝对值为2或4的有四种结果，根据概率公式得到结果．
【解答】从5个球中任取两个有C52=10种方法，数字之差的绝对值为2或4的有（1，3)，（2，4)，（3，5)，（1，5)四种结果，∴P=4：10=2：5，故答案选D.
9.4位同学各自在阳光体育时间活动，可以选择足球和篮球两项运动中一项，则这两项活动都有同学选择的概率为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：4位同学各自在阳光体育时间活动，可以选择足球和篮球两项运动中一项，
基本事件总数n=24=16，
这两项活动都有同学选择的概率为：
p=1﹣﹣=．
故选：D．
【分析】先求出基本事件总数，由此利用对立事件概率计算公式能求出这两项活动都有同学选择的概率．【出处：21教育名师】
10.现由黑白小球各3个，将它们任意排成一排，左边3个小球恰好颜色相同的概率是()
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】给小球分别编号，总的排法数是，左边开始排起，有两种选择，黑色或者白色，
所以有2种排法，左边3个小球恰好颜色相同的概率是，选D。
11.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率， 即在“至少出现一个6点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，
“至少出现一个6点”的情况数目为6×6×6﹣5×5×5=91，
“三个点数都不相同”则只有一个6点，共C31×5×4=60种，
故P（A|B）= ．
故选：C．
【分析】根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，分别求得“至少出现一个6点”与“三个点数都不相同”的情况数目，进而相比可得答案．
12.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】从袋中任取10个球，恰有6个红球，则红球选法数为， 此时白球应为4个，选法数为， 又从100个球中任选10个球的方法数为， 所以恰有6个红球的概率为.选D。
二、填空题
13.两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为________.
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由已知得存在同校学生排在一起的概率为：
P=1﹣ = ．
故答案为： ．
【分析】利用对立事件概率计算公式能求出结果．
14.一盒中有12个质地均匀的乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P（X=4）的值为________（用数字作答）
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】∵从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X=4，即旧球的个数增加了一个，∴取出的3个球中必有一个新球，即取出的3个球必为2个旧球1个新球，∴P（X=4）= = ．
【分析】取出再放回每次拿球都是相互独立事件进而得出盒中旧球个数X=4，根据题意得出概率的值即可。
15.从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f（x）=ax2+bx+c的系数，则使得 ∈Z的概率为________．
【答案】
【考点】二次函数的性质，古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得 f（1）=a+b+c是偶数， 若a，b，c里面三个都是偶数，
则（a，b，c）（a≠0）共有 个，
若a，b，c里面一个偶数，两个奇数，
则（a，b，c）（a≠0）共有 个，
∴使得 ∈Z的事件共有48+280=328个，
从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数的事件共 个，
∴使得 ∈Z的概率为 ，
故答案为： ．
【分析】由题意可得 f（1）=a+b+c是偶数，分①a，b，c里面三个都是偶数和②a，b，c里面一个偶数、两个奇数，两种情况，分别求得满足条件的（a，b，c）的个数，相加即得所求基本事件的个数，从而可求出使得 ∈Z的概率．
16.高一（4）班有5位同学参加夏令营植树活动，其中男生2人，女生3人，从这5人中任意选出2人去浇水，选出的2人都是男生的概率是________．
【答案】
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意得，
选出的2人都是男生的概率是： = ；
故答案为： ．
【分析】先求得所有的取法总数为 ，再求出选出的2人中都是男生的取法数是 ，从而求得选出的2人都是男生的概率．
三、综合题
17.（2017 新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（12分）
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【答案】（1）解：由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p= = ．
（2）解：当温度大于等于25°C时，需求量为500，
Y=450×2=900元，
当温度在[20，25）°C时，需求量为300，
Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300元，
当温度低于20°C时，需求量为200，
Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100元，
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据得，温度大于等于20°C的天数有：
90﹣（2+16）=72，
∴估计Y大于零的概率P= ．
【考点】频率分布表，用样本的频率分布估计总体分布，概率的意义，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1.）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2.）当温度大于等于25°C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在[20，25）°C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20°C时，需求量为200，求出Y=﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．
18.某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
（1）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率
（2）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．
【答案】（1）解：从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．
由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p= ；
（2）解：从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．
由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：
（C，D）（C，E），（D，E）共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p= ．
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．（2）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．
19.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，
则 ，
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为 ．
（2）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3， （k=0，1，2，3）
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（2）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3， （k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．
20.（2013 福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
【答案】（1）解：由题意知，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人抽奖中奖与否互不影响，
记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，
因为P（X=5）= ，∴P（A）=1﹣P（X=5）= ；
即他们的累计得分x≤3的概率为
（2）解：设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1 ，
小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2 ， 则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）
都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）
由已知可得，X1～B（2， ），X2～B（2， ），
∴E（X1）=2× = ，E（X2）=2× = ，
从而E（2X1）=2E（X1）= ，E（3X2）=3E（X2）= ，
由于E（2X1）＞E（3X2），
∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，总体分布的估计
【解析】【分析】（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1 ， 甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2 ， 则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2， ），X2～B（2， ），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案．
21.已知x，y的一组数据如表所示：
x 1 3 6 7 8
y 1 2 3 4 5
（1）从x，y中各取一个数，求x+y≥10的概率：
（2）对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 与 ，试判断哪条直线拟合程度更好． 2·1·c·n·j·y
【答案】（1）解：从x，y各取一个数组成数对（x，y），共有25对， 其中满足x+y≥10的有（6，4），（6，5），（7，3），（7，4），（7，5），（8，2），（8，3），（8，4），（8，5），共9对
所以使x+y≥10的概率为 ；
（2）解：用 为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为 S1=（ ﹣1）2+（2﹣2）2+（3﹣3）2+（ ﹣4）2+（ ﹣5）2= ．
用 作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为
S2=（1﹣1）2+（2﹣2）2+（ ﹣3）2+（4﹣4）2+（ ﹣5）2= ．
∵S2＜S1 ， 故用直线 ，拟合程度更好． 21*cnjy*com
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）算出从x，y各取一个数组成数对的个数，找出满足x+y≥10的数对的个数，然后代入古典概型概率计算公式求解；（2）分别算出利用两条直线所得的y值与y的实际值的差的平方和，比较大小后即可得到结论．
22.2014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：
（1）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？
（2）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；
（3）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率．
【答案】（1）解：由频率分布直方图知：（a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）×5=1，
∴a=0.06，
该抽样方法是系统抽样；
（2）解：根据众数是最高矩形底边中点的横坐标，∴众数为77.5；
∵前三个小矩形的面积和为0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325，
第四个小矩形的面积为0.06×5=0.3，
∴中位数在第四组，设中位数为75+x，则0.325+0.06×x=0.5 x≈2.9，
∴数据的中位数为77.9；
（3）解：样本中车速在[90，95）有0.005×5×120=3（辆），
∴估计该路段车辆超速的概率P= = ．
【考点】收集数据的方法，众数、中位数、平均数，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1求得a值，根据相同抽样方法的特征判断其抽样方法；（2）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标求众数；根据中位数是从左数小矩形面积和为0.5的矩形底边上点的横坐标求中位数；（3）利用直方图求出样本中车速在[90，95）频数，利用个数比求超速车辆的概率．
23.在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学同学的成绩如表：
n 1 2 3 4 5
x0 70 76 72 70 72
（1）求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s；
（2）若从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间[68，75）中的概率．
【答案】（1）解：由题意知，
第6位同学的成绩x6=75×6﹣70﹣76﹣72﹣70﹣72=90．
S2= [（70﹣75）2+（76﹣75）2+（72﹣75）2+（70﹣75）2+（72﹣75）2+（90﹣75）2]=49，
∴S= =7．
（2）解：试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，
满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，
根据古典概型概率个数得到P= =0.4．
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差，古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）第6位同学的成绩x6=75×6﹣70﹣76﹣72﹣70﹣72=90；先求出S2 ， 再求S．（2）利用等可能事件概率计算公式能求出恰有1位同学成绩在区间[68，75）中的概率．
24.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， 3名女同学B1 ， B2 ， B3 ． 现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
【答案】（1）解：设“至少参加一个社团”为事件A；
从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；
通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；
这是一个古典概型，∴P（A）= ；
（2）解：从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；
∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；
设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；
这是一个古典概型，∴ ．
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（2）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．
25.设关于x的一元二次方程x2+ax﹣ +1=0．
（1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程中有实根的概率；
（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
【答案】（1）解：由题意，知基本事件共有9个，可用有序实数对表示为（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）， 其中第一个表示a的取值，第二个表示b的取值．
由方程 的 ，
可得，a2+b2≥4，
所以方程 有实根包含7个基本事件，
即（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
所以，此时方程 有实根的概率为 ．
（2）解：a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2， ∴构成“方程 有实根”这一事件的区域为{（a，b）|a2+b2≥4，0≤a≤3，0≤b≤2}（图中阴影部分）
∴此时所求概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式，几何概型
【解析】【分析】（1）利用有序实数对表示基本事件，由古典概型公式解答；（2）表示a，b满足的区域，求出面积，利用几何概型解答．
26.随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．
（1）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率P1；
（2）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为 ，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率P2； 21世纪教育网版权所有
（3）该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在A团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为P3 ． 试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的P1和P2的值，写出P1 ， P2 ， P3的大小关系（只写结果，不用说明理由）．
【答案】（1）解： ，
所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为 ．
（2）解： ，
所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为 0.4116．
（3）解：由于A团队中，每个人是志愿者的概率为 ，P3= =0.4116，
P1＞P3=P2 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】由条件利用古典概率计算公式、以及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得所求事件的概率．
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