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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
11.3 几何概型（答案）
知识回顾
几何概型
(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
(3)公式：
P(A)＝.
例题精讲
考点一 与长度、角度有关的几何概型
【例题1】 （1）在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（ ） 21*cnjy*com
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：如图所示，△BCD是圆内接等边三角形， 过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，
显然当弦为CD时就是△BCD的边长，
要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，
记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，
由几何概型概率公式得P（A）= ，
即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是 ．
故选C．
【分析】由题意可得：如图，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，即可得出结论、21cnjy.com
（2）如图所示，已知菱形ABCD是由等边△ABD与等边△BCD拼接而成，两个小圆与△ABD以及△BCD分别相切，则往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：设等边三角形的边长为a，则内切圆的半径为 a， ∴往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为 = ，
故选：D．
【分析】设等边三角形的边长为a，则内切圆的半径为 a，求出相应的面积，以面积为测度可得结论．【出处：21教育名师】
【变式训练1】在半径为1的圆O内任取一点M，过M且垂直OM与直线l与圆O交于圆A，B两点，则AB长度大于 的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：由题意，|OM|≤ = ， 以面积为测度，可得AB长度大于 的概率为 = ，
故选A．
【分析】由题意，|OM|≤ = ，以面积为测度，可得AB长度大于 的概率．
考点二 与面积有关的几何概型
【例题2】如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2 ， 若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．
【答案】
【考点】定积分的简单应用，几何概型
【解析】【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4， 阴影部分的面积为 =（4x﹣ ）| = ，
由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于 ；
故答案为： ．
【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．
【变式训练2】（1）如图所示，已知AB，CD是圆O中两条互相垂直的直径，两个小圆与圆O以及AB，CD均相切，则往圆O内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为（ ）
A. 12﹣8 B. 3﹣2 C. 8﹣5 D. 6﹣4
【答案】D
【考点】定积分，几何概型
【解析】【解答】解：设小圆半径为r，则圆O的半径为r+ r，由几何概型的公式得到：往圆O内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为：r+ ； 故选：D．
【分析】由题意，本题是几何概型，只要利用阴影部分的面积与圆O的面积比求概率．
（2）设不等式组 ，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，几何概型
【解析】【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4， 满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，
面积为 =4﹣π，
∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=
故选：D．
【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．
考点三 与体积有关的几何概型
【例题3】24.已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F在侧棱PA，PB上且PE=2EA，PF=2FB，点M为四棱锥内任一点，则M在平面EFCD上方的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：如图，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S， ∴ ．
∵PE=2EA，PF=2FB，
∴EF∥AB，则EF∥平面ABCD，且F到平面ABCD的距离为 ，
∴ ，
， = ．
则多面体ABCDEF的体积为 ．
∴ ．
∴M在平面EFCD上方的概率是 ．
故选：B．
【分析】由题意画出图形，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，可得四棱锥的体积，再利用比例关系结合等积法求出多面体ABCDEF的体积，作出得到四棱锥P﹣DCFE的体积，由测度比为体积比得答案．
【变式训练3】如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（ ）
A. 1﹣ B. C. D. 1﹣
【答案】A
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π． 所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1﹣ ，
故选：A．
【分析】由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．
真题精析
一、单选题
1.（2013 陕西）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：∵扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°
∴扇形ADE的面积为S1= ×π×12=
同理可得，扇形CBF的在，面积S2=
又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2
∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是
P= = =1﹣
故答案为：1﹣
【分析】根据题意，算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和为 ，结合矩形ABCD的面积为2，可得在矩形ABCD内且没有信号的区域面积为2﹣ ，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率．
2.（2013 四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，
由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，
它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，
由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，
由图可知所求的概率为： =
故选C
【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．
3.（2014 湖北）由不等式组 确定的平面区域记为Ω1 ， 不等式组 确定的平面区域记为Ω2 ， 在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】简单线性规划，几何概型
【解析】【解答】解：平面区域Ω1 ， 为三角形AOB，面积为 ，
平面区域Ω2 ， 为△AOB内的四边形BDCO，
其中C（0，1），
由 ，解得 ，即D（ ， ），
则三角形ACD的面积S= = ，
则四边形BDCO的面积S= ，
则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为 ，
故选：D．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．
4.（2017 新课标Ⅰ卷）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A. B. C. D. 21教育网
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
则黑色部分的面积S= ，
则对应概率P= = ，
故选：B
【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
5.（2016 全国）从区间 随机抽取2n个数 , ，…， ， ， ，…， ，构成n个数对 ， ，…， ，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】几何概型
【解析】【解答】由题意得： 在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在
如图所示的阴影中
由几何概型概率计算公式知 ，∴ ，故选C
【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．【来源：21·世纪·教育·网】
6.（2016 全国）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，
∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，
∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 = ．
故选：B．
【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．；本题考查概率的计算，考查古典概型，考查学生的计算能力，比较基础．
7.（2016 全国）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：设小明到达时间为y，
当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，
小明等车时间不超过10分钟，
故P= = ，
故选：B
【分析】.求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案.本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．
8.（2015·山东）在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】对数函数的定义，几何概型
【解析】【解析】由,得，，所以，有几何概型概率的计算公式得，，故选A
【分析】本题考查几何概型及对数函数的性质，在理解几何概型概率计算方法的前提下，解答本题的关键，是利用对数函数的单调性，求得事件发生的X范围.本题属于小综合题，较好地考查了几何概型、对数函数等基础知识.
9.(2015·湖北）在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】 【解答】因为,对事情“”，如图（1）阴影部分,对事件“”，如图（2）阴影部分，对为事件“”，如图（3）阴影部分,由图知，阴影部分的面积从下到大依次是,正方形的面积为，根据几何概型公式可得.
【分析】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
10.（2015.福建）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)．且点C与点D在函数的图像上．若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】由已知得B（1,0），C(1，2)，D(-2，2)，F(0，1)，则矩形ABCD面积为3×2＝6，阴影部分面积为×3×1＝， 故该点取自阴影部分的概率等于=.
【点评】本题考查几何概型，当实验结果由等可能的无限多个结果组成时，利用古典概型求概率显然是不可能的，可以将所求概率转化为长度的比值（一个变量）、面积的比值（两个变量）、体积的比值（三个变量或根据实际意义）来求，属于中档题．
11.（2015·湖北）在区间的概率，为事件“”的概率，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【考点】微积分基本定理，几何概型
【解析】 【解答】由题意知，事件“”的概率为,事件“”的概率,其中,所以,故应选B.
【分析】以几何概型为依托，融合定积分的几何意义、二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域等内容，充分体现了转化的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生灵活运用基础知识解决实际问题的能力.
12.（2015·湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附：若，则，
A. 2386 B. 2718 C. 3413 D. 4772
【答案】C
【考点】几何概型，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】根据正态分布的性质，,故选C
【分析】题主要考查正态分布与几何概型等知识点，属于容易题，结合参考材料中给出的数据，结合正态分布曲线的对称性，再利用几何概型即可求解，在复习过程中，亦应关注正态分布等相对冷门的知识点的基本概念.
二、填空题
13.（2013 福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为________．
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：3a﹣1＞0即a＞ ，
则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P= = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．
14.（2013 山东）在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为________．
【答案】
【考点】几何概型，绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．
由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1 可得 ① ，或② ，
③ ．
解①可得x∈ ，解②可得1≤x＜2，解③可得 x≥2．
故原不等式的解集为{x|x≥1}，
∴|在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为P= = ．
故答案为：
【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣3，3]的长度求比值即得．
15.（2014 福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．
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【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，
∴阴影部分的面积为2 （e﹣ex）dx=2（ex﹣ex） =2，
∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2 ，
∴落到阴影部分的概率为 ．
故答案为： ．
【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．
16.（2014 辽宁）正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
2·1·c·n·j·y
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），
∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4，
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2 =2 =2[（1﹣ ）﹣（﹣1+ ）]=2× = ，
则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是 ．
故答案为： ．
【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．
17.（2017 江苏）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________． 21*cnjy*com
【答案】
【考点】一元二次不等式的解法，几何概型
【解析】【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，
则D=[﹣2，3]，
则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= = ，
故答案为：
【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
18.（2016 山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为________． 21教育名师原创作品
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为 ，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则 ＜3，解得﹣ ＜k＜ ．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为．故答案为： ．
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．；本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．
19.（2015·福建卷）如图，点A的坐标（1,0），点C的坐标为（2,4），函数f(x)=，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________ .
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】由已知的阴影部分面积为.所以此点取自阴影部分的概率等于.
【分析】本题考查几何概型，当实验结果由等可能的无限多个结果组成时，利用古典概型求概率显然是不可能的，可以将所求概率转化为长度的比值（一个变量）、面积的比值（两个变量）、体积的比值（三个变量或根据实际意义）来求，属于中档题．
20.（2015重庆）在区间上随机地选择一个数p，则方程有两个负根的概率为________ .
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】方程有两个负根的充要条件是,即
;又因为,所以是方程有两个负根的p的取值范围为,故所求的概率
故填：.
【分析】本题考查几何概率及一元二次方程实根的分布，首先将方程有两个负根的充要条件找出来，求出p的取值范围，再利用几何概率公式求解，本题属于中档题，注意运算的准确性。
三、综合题
21.（2016 山东）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
（1）求小亮获得玩具的概率；
（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：两次记录的数为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3），共12个，
满足xy≤3，有（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共4个，
∴小亮获得玩具的概率为 = ；
（2）解：满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），共4个，∴小亮获得水杯的概率为 = ；
小亮获得饮料的概率为1﹣ ﹣ = ，
∴小亮获得水杯与获得饮料的概率相等
【考点】几何概型
【解析】【分析】（1）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率；（2）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论．；本题考查概率的计算，考查古典概型，确定基本事件的个数是关键．
模拟题精练
一、单选题
1.如下图，矩形OABC内的阴影部分由曲线及直线与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】定积分，几何概型
【解析】【分析】由题意知，阴影部分面积占矩形OABC面积的， 矩形OABC面积为.所以阴影部分面积应为.因为， 又， 所以阴影部分面积=..选B.
2.在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：如图所示，△BCD是圆内接等边三角形， 过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，
显然当弦为CD时就是△BCD的边长，
要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，
记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，
由几何概型概率公式得P（A）= ，
即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是 ．
故选C．
【分析】由题意可得：如图，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，即可得出结论、
3.已知集合， 在区间上任取一实数x，则“”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】交集及其运算，一元二次不等式的解法，指、对数不等式的解法，几何概型
【解析】【分析】因为，
所以，， 由几何概型概率的计算公式得，在区间上任取一实数， “”的概率为， 选C.
4.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为（ ）
A. 0.9544 B. 0.6828 C. D.
【答案】D
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：3a﹣1＞0即a＞ ， 则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P= ．
故选：D．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．
5.已知， 若向区域内随机投一点， 则点落在区域内的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】几何概型
【解析】【解答】本题我们只要作出区域(如图内部(含边界)，以及区域A(内部含边界)，利用解方程组得到各坐标：， ， ， ， 计算出的面积为18，的面积为4，根据几何概型性质，得点落在区域内的概率为．
6.已知圆， 直线， 圆C上任意一点A到直线的距离小于2的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】几何概型，点到直线的距离公式
【解析】【分析】：设平行于的直线m:4x+3y+c=0,使m与距离为2，平行线间距离公式得：， 联立C与m方程，得出交点满足的方程：(c=-35时,m与C无交点，舍)，然后算出两个交点与圆心连线的两条半径的夹角为60 ，用夹角度数除以周角，即得概率。故选A。
【点评】在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“度量””可以是长度、面积、体积、角度等。其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任何都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角)任一位置是等可能的。
7.在长为10㎝的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49 cm2之间的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】几何概型
【解析】【分析】因为以线段AP为边的正方形的面积介于与之间，所以线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长
而线段总长为， 故正方形的面积介于与之间的概率.选A.
8.一个多面体的三视图和直观图如图所示，M是AB的中点，一只蜻蜓在几何体ADF﹣BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F﹣AMCD内的概率为（ ）
A. B. C. D. 2-1-c-n-j-y
【答案】D
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：因为VF﹣AMCD= = ，VADF﹣BCE= ，
所以它飞入几何体F﹣AMCD内的概率为 = ，
故选：D．
【分析】先根据三棱锥的体积公式求出F﹣AMCD的体积与三棱锥的体积公式求出ADF﹣BCE的体积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．
9.从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】几何概型
【解析】【解答】如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别为BC，AC，AB上中点，交点为O，
∴AB=BC=AC=2，AD=BE=CF=， EF=DE=DF=1，AE=CE=AF=BF=BD=CD=1，A0=BO=CO=， OD=OE=OF=，
由这7个点中任取两个点共有C72=21种，其中这两点间的距离小于1只能是OD，OE，OF共三种，
故这两点间的距离小于1的概率是=，
故选：A．
【分析】根据等边三角形的性质，分别求出任取两个点间的距离，然后求出这7个点中任取两个点的所有种数，找到满足两点间的距离小于1的种数，根据概率公式计算即可．
10.已知函数f（x）=sinx+ cosx，当x∈[0，π]时，f（x）≥1的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】几何概型，两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】解：∵sinx+ cosx=2sin（x+ ）≥1， ∴sin（x+ ）≥ ，
∵x∈[0，π]，x+ ∈[ ， ]，
∴ ≤x+ ≤ ，
∴0≤x≤ ，
∴发生的概率为P= = ，
故选：D．
【分析】利用三角函数的辅助角公式求出sinx+ cosx≥1的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．
11.向边长分别为3、4、5的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（ ）
A. 1﹣ B. 1﹣ C. 1﹣ D. 1﹣
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别是3，4，5，
∴三角形的为直角三角形，则三角形ABC的面积S= ×3×4=6，
则该点距离三角形的三个顶点的距离均大于1，对应的区域为图中阴影部分，
三个小扇形的面积之和为半径为1的一个整圆的面积的 ，
则阴影部分的面积为S1=6﹣ π，
则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为 ，
故选：B．
【分析】分别求出对应事件对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论
12.如右图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均为 ，那么两个指针至少有一落在奇数所在区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：根据题意，可得指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等， ∴对于第一个圆盘来说指针落在偶数区域的概率是 ，
对于第二个圆盘来说指针落在偶数区域的概率是 ，
∴两个指针同时落在偶数所在区域的概率是 ，
∴两个指针至少有一落在奇数所在区域的概率是1﹣ ；
故选A．
【分析】由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，可以用几何概型公式求出概率，
对于第一个圆盘和第二个圆盘来说指针落在偶数区域的概率一样，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．
二、填空题
13.在[0，1]上随机取一个数k，则事件“直线y=kx与函数y=lnx的图象有2个公共点”发生的概率为________．
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：由题意，令kx=lnx，则k= ， 记f（x）= ，f'（x）= ，
f'（x）在（0，e）上为正，在（e，+∞）上为负，
故f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
f（x）的在最大值是f（e）= ，
故0≤k＜ ，
由 = ，
得直线y=kx与函数y=lnx的图象有2个公共点”发生的概率为 ，
故答案为： ．
【分析】令kx=lnx，则k= ，记f（x）= ，根据函数的单调性求出k的范围，根据几何概型求出名字条件的概率即可．
14.长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________
【答案】1-
【考点】几何概型
【解析】【解答】根据几何概型得：
取到的点到O的距离大于1的概率：
=
故答案为：1-
【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积．欲求取到的点到O的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可．【版权所有：21教育】
15.有一张画有内接正方形的圆形纸片，若随机向圆形纸片内丢一粒小豆子，则豆子落入正方形内的概率为________．
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：设正方形的边长为1，
由已知易得：S正方形=1
S外接圆=
故豆子落入正方形内的概率P= ．
故答案为 ．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出豆子落入正方形内对应图形的面积，及满足条件“外接圆”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．
16.已知0≤x≤1，0≤y≤1，则满足y≤2x所有解的概率是________
【答案】
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：以（x，y）为坐标，满足0≤x≤1，0≤y≤1的是图中边长为1的正方形，面积为1，满足则不等式y≤2x的所有解如图阴影部分 ，面积为1﹣ = ，故概率是 ；
故答案为： ．
【分析】画出图形，利用几何概型公式，求出区域的面积比即可
三、综合题
17.已知点P（x、y）满足
（1）若x∈{0，1，2，3，4，5}，y∈{0，1，2，3，4}，则求y≥x的概率．
（2）若x∈[0，5]，y∈[0，4]，则求x＞y的概率．
【答案】（1）解：∵x∈{0，1，2，3，4，5}，y∈{0，1，2，3，4}，
∴p（x，y）共有30个点，
满足y≥x的有15个点，
故满足y≥x的概率
（2）解：∵x∈[0，5]，y∈[0，4]，则p（x，y）在如图所示的矩形区域内，
又y=x的直线与y=4交于（4，4），
则满足x＞y的点p（x，y）在图中阴影部分内（不包括直线y=x），
故 ．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，几何概型
【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式进行求解即可．（2）利用几何概型的概率公式进行求解．
18.在一场垒球比赛中，其中本垒与游击手的初始位置间的距离为1，通常情况下，球速是游击手跑速的4倍．
（1）若与连结本垒及游击手的直线成α角（0°＜α＜90°）的方向把球击出，角α满足什么条件下时，游击手能接到球？并判断当α=15°时，游击手有机会接到球吗？
（2）试求游击手能接到球的概率．（参考数据 =3.88，sin14.5°=0.25）．
【答案】（1）解：设游击手的跑速为v，接球所用的时间为t，游击手的初始位置为A，本垒为O，在B处接球，如图，由题意知：OA=1，0B=4vt，AB=vt，∠AOB=α， 在△AOB中，据余弦定理可得，
（vt）2=1+16（vt）2﹣2×4（vt）×cosα，
即15（vt）2﹣8cosα（vt）+1=0，则其判别式△=（8cosα）2﹣4×15×1=64cos2α﹣60．
据题意，当游击手能接到球时：△≥0，
即64cos2α﹣60≥0，∴cos2α≥ ．
∴cosα≥ ，∴0≤sinα≤ ，∴0°≤α≤14.5°，
即当0°≤α≤14.5°时，游击手能接到球．
当α=15°时，15° [0°，14.5°]，所以当α=15°时，游击手没有机会接到球
（2）解：设事件A={游击手能接到球}，总事件Ω={球在O点沿α角击出}， 则事件A中的基本事件满足：0°≤α≤14.5°，
总事件Ω中的条件满足：0°≤α≤90°，
因此P（A）= = ．
【考点】几何概型，解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）设游击手的跑速为v，接球所用的时间为t，游击手的初始位置为A，本垒为O，在B处接球，在△AOB中，据余弦定理可得，推出15（vt）2﹣8cosα（vt）+1=0，通过△≥0，求出当0°≤α≤14.5°时，游击手能接到球．当α=15°时，15° [0°，14.5°]，游击手没有机会接到球．（2）设事件A={游击手能接到球}，总事件Ω={球在O点沿α角击出}，通过几何概型求游击手能接到球的概率．21·cn·jy·com
19.解答
（1）将一颗骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，以分别得到的点数（m，n）作为点P的坐标（m，n），求：点P落在区域 内的概率；
（2）在区间[1，6]上任取两个实数（m，n），求：使方程x2+mx+n2=0有实数根的概率．
【答案】（1）解：抛掷2次骰子共包括36个基本事件，每个基本事件都是等可能的．…（1分）
记“点P落在区域 内”为事件A，
事件A包括下列15个基本事件：15；
所以 ．
答：点P落在内的概率为
（2）解：记“方程x2+mx+n2=0有实数根”为事件B，…（8分）
在区间[1，6]上任取两个实数（m，n），可看作是在区域D： 内随机取一点，
每个点被取到的机会是均等的；
而事件B发生，则视作点（m，n），恰好落在区域d：
所以
答：使方程x2+mx+n2=0有实数根的概率为 www.21-cn-jy.com
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，几何概型
【解析】【分析】（1）由题意知是一个古典概型，由分步计数原理知试验发生的总事件数是6×6，记“点P落在区域 内”为事件A，事件A包括下列15个基本事件：15，即可求点P落在区域 内的概率；（2）在区间[1，6]上任取两个实数（m，n），确定平面区域，求出相应的面积，即可求：使方程x2+mx+n2=0有实数根的概率．
20.某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．
（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；
（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．
【答案】（1）解：某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路， 每个旅游团可任选其中一条旅游线路，基本事件总数n=42=16，
甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同包含的基本事件个数m= =4×3=12，
∴甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率：
p=
（2）解：设甲、乙两个旅游团到达著名景点的时刻分别为x，y， 依题意得 ，即 ，
作出不等式表示的区域，如图：
记“两个旅游团在著名景点相遇”为事件B，
P（B）= = ．
∴两个旅游团在该著名景点相遇的概率为 ．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，几何概型
【解析】【分析】（1）每个旅游团可任选其中一条旅游线路，基本事件总数n=42=16，甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同包含的基本事件个数m= =4×3=12，由此能求出甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率．（2）设甲、乙两个旅游团到达著名景点的时刻分别为x，y，依题意得 ，由此利用几何概型能求出两个旅游团在该著名景点相遇的概率．
21.已知集合M={（x，y）||x|≤2，|y|≤1}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．
（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率．
（2）若x，y都是整数，求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内或该圆上的概率．
【答案】（1）解；集合M={（x，y）||x|≤2，|y|≤1}内的点所形成的区域面积S=8，
因为x2+y2=1的面积S1=π，
故所求概率为P1= = ，
（2）解；因为x，y分别为整数，所以随机取出一个元素（x，y）的全部结果是（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共15分基本事件，
设落在圆圆x2+y2=1内或该圆上的为事件C，
则C包含的基本事件有（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），（0，1），（0，0）共5个基本事件，
故P（C）= = 【来源：21cnj*y.co*m】
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，几何概型
【解析】【分析】（1）属于几何概型的概率问题，求出所对应的面积，根据概率公式计算即可；（2）属于古典概型的概率问题．求出事件的个数，根据概率公式计算即可．
22.先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．
（1）求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率；
（2）将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
【答案】（1）解：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6=36．
∵直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相切的充要条件是
即：a2+b2=25，由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}
∴满足条件的情况只有a=3，b=4，c=5；或a=4，b=3，c=5两种情况．
∴直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相切的概率是
（2）解：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6=36．
∵三角形的一边长为5
∴当a=1时，b=5，（1，5，5）1种
当a=2时，b=5，（2，5，5）1种
当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5）2种
当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5）2种
当a=5时，b=1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），
（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5）6种
当a=6时，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5）2种
故满足条件的不同情况共有14种
故三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为 ．
【考点】几何概型，直线与圆的位置关系
【解析】【分析】本题考查的知识点是古典概型，我们要列出一枚骰子连掷两次先后出现的点数所有的情况个数（1）再根求出满足条件直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1的事件个数，然后代入古典概型公式即可求解；（2）再根求出满足条件a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的事件个数，然后代入古典概型公式即可求解．
23.从一批土鸡蛋中，随机抽取n个得到一个样本，其重量（单位：克）的频数分布表如表：
分组（重量） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100]
频数（个） 10 50 m 15
已知从n个土鸡蛋中随机抽取一个，抽到重量在在[90，95）的土鸡蛋的根底为
（1）求出n，m的值及该样本的众数；
（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的土鸡蛋中共抽取5个，再从这5个土鸡蛋中任取2 个，其重量分别是g1 ， g2 ， 求|g1﹣g2|≥10概率．
【答案】（1）解：依题意可得， ，
解得m=20，n=95，
据表知该样本的众数的近似值是87.5
（2）解：若采用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100]的土鸡蛋中共抽取5个，
则重量在[80，85）的个数为 ×5=2，记为x，y；
在[95，100]的个数为 ×5=3，记为a，b，c；
从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个共有
（x，a），（x，b），（x，c），（a，b），（a，c），
（b，c），（y，a），（y，b），（y，c），（x，y） 10种情况；
要|g1﹣g2|＞10，则必须是“重量在[80，85）和[95，100]中各有一个”，
这样的情况共有
（x，a），（x，b），（x，c），（y，a），（y，b），（y，c） 6种；
设事件A 表示“抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1﹣g2|＞10”，
则P（A）= = ；
答：从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1﹣g2|＞10的概率为
【考点】几何概型
【解析】【分析】（1）根据频率与样本容量的关系，列出方程求出m、n的值，得出众数的值；（2）根据分层抽样法求出[80，85）和[95，100]中抽取的个数，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．21世纪教育网版权所有
24.解答题
（1）在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，求事件“|AM|≤1”的概率；
（2）某班在一次数学活动中，老师让全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x、y，统计出两数能与1构成锐角三角形的三边长的数对（x，y）共有12对，请据此估计π的近似值（精确到0.001）．
【答案】（1）解：如图，在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，满足条件的点M落在扇形BAD内（图中阴影部分），由几何概型概率计算公式，有： P ( | M A | ≤ 1 ) = S阴影部分/S正方形ABCD =，
故事件“|AM|≤1”发生的概率为 ．
（2）以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
任取两个小于1的正数x，y，所有基本事件构成区域 Ω = { ( x , y ) | { 0 < x < 1 ;0 < y < 1 } ，
， 即正方形ABCD内部；
事件N=“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域
， 即扇形BAD以外正方形ABCD以内的阴影部分；
由（1）知：
全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x、y，可以看作在区域Ω中任取56个点；满足“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”的（x，y）共有12对，即有12个点落在区域N中，
故其概率为，用频率估计概率，有,即，
∴即π的近似值为3.143．
【考点】模拟方法估计概率，几何概型
【解析】【分析】（1）根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及事件“|AM|≤1”对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．（2）以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：任取两个小于1的正数x，y，所有基本事件构成区域 ，即正方形ABCD内部；事件N=“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域 ，即扇形BAD以外正方形ABCD以内的阴影部分，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．
25.设函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4
（1）若a是从0，1，2三个数中任取的一个数，b是从﹣2，﹣1，0，1，2五个数中任取的一个数，求函数f（x）有零点的概率；
（2）若a是从区间[﹣3，3]上任取的一个数，b是从区间[0，3]上任取的一个数，求函数g（x）=f（x）+5无零点的概率．
【答案】（1）解：函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4有零点等价于方程x2+2ax﹣b2+4=0有实根，
可得△=（2a）2﹣4（﹣b2+4）≥0，可得a2+b2≥4
记事件A为函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4有零点，
总的基本事件共有15个：（0，﹣2，），（2，﹣1），（2，﹣2），（0，﹣1），
（1，﹣1），（1，﹣2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），
（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），事件A包含9个基本事件，
∴P（A）=
（2）解：如图，试验的全部结果所构成的区域为（矩形区域）
函数g（x）=f（x）+5无零点表示事件A，所构成的区域为A={（a，b）|a2+b2＜9且（a，b）∈Ω}即图中的阴影部分．
∴P（A）= ．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，几何概型
【解析】【分析】（1）问题等价于a2+b2≥4，列举可得基本事件共有15个，事件A包含6个基本事件，可得概率；（2）作出图形，由几何概型的概率公式可得．
26.设函数
（1）若b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求对任意x∈R，f（x）＞0恒成立的概率．
（2）若b是从区间[0，8]（3）任取得一个数，c是从[0，6]任取的一个数，求函数f（x）的图象与x轴有交点的概率． www-2-1-cnjy-com
【答案】（1）解：由点（b，c）组成的点共36tkh，
设A={任意x∈R，f（x）＞0恒成立}即△=b2﹣c2＜0，
∴b＜c，A中包含基本事件15个，
∴P（A）= ；
（2）解：（b，c）所在的区域Ω={（b，c）|0≤b≤8，0≤c≤6}
若使函数f（x）的图象与x轴有交点，
则b≥c≥0．
∴事件B={（b，c）|b＞c，0≤b≤8，0≤c≤6}如图，
∴P（B）= ．
【考点】等可能事件的概率，几何概型
【解析】【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，f（x）＞0要满足判别式小于0，列举出结果．（2）利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
11.3 几何概型
考纲剖析
1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2．了解几何概型的意义.
知识回顾
几何概型
(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 ( )成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为 ．21*cnjy*com
(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
(3)公式：
P(A)＝
精讲方法
三、几何概型
（一）与长度有关的几何概型
1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为
P（A）=。
2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。
（二）与面积（体积）有关的几何概型
1．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：
。
2．“面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中常考的题型。
3．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：
。
注：解决此类问题一定要注意几何概型的条件。
（三）生活中的几何概型
注：对于活生生中的几何概型问题：
（1）要注意实际问题中的可能性的判断；
（2）将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域。【来源：21cnj*y.co*m】
（3）如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为：
。解决此类问题事件A的角必须含在事件的全部构成的角之内。
小结
1．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
2．转化思想的应用
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．
例题精讲
考点一 与长度、角度有关的几何概型
【例题1】 （1）在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：如图所示，△BCD是圆内接等边三角形， 过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，
显然当弦为CD时就是△BCD的边长，
要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，
记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，
由几何概型概率公式得P（A）= ，
即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是 ．
故选C．
【分析】由题意可得：如图，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，即可得出结论、2·1·c·n·j·y
（2）如图所示，已知菱形ABCD是由等边△ABD与等边△BCD拼接而成，两个小圆与△ABD以及△BCD分别相切，则往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为（ ） www.21-cn-jy.com
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：设等边三角形的边长为a，则内切圆的半径为 a， ∴往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为 = ，
故选：D．
【分析】设等边三角形的边长为a，则内切圆的半径为 a，求出相应的面积，以面积为测度可得结论．
【变式训练1】在半径为1的圆O内任取一点M，过M且垂直OM与直线l与圆O交于圆A，B两点，则AB长度大于 的概率为（ ）
A. B. C. D.
考点二 与面积有关的几何概型
【例题2】如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2 ， 若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．
【答案】
【考点】定积分的简单应用，几何概型
【解析】【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4， 阴影部分的面积为 =（4x﹣ ）| = ，
由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于 ；
故答案为： ．
【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．
【变式训练2】（1）如图所示，已知AB，CD是圆O中两条互相垂直的直径，两个小圆与圆O以及AB，CD均相切，则往圆O内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为（ ）
A. 12﹣8 B. 3﹣2 C. 8﹣5 D. 6﹣4
（2）设不等式组 ，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） 21·cn·jy·com
A. B. C. D.
考点三 与体积有关的几何概型
【例题3】已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F在侧棱PA，PB上且PE=2EA，PF=2FB，点M为四棱锥内任一点，则M在平面EFCD上方的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：如图，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S， ∴ ．
∵PE=2EA，PF=2FB，
∴EF∥AB，则EF∥平面ABCD，且F到平面ABCD的距离为 ，
∴ ，
， = ．
则多面体ABCDEF的体积为 ．
∴ ．
∴M在平面EFCD上方的概率是 ．
故选：B．
【分析】由题意画出图形，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，可得四棱锥的体积，再利用比例关系结合等积法求出多面体ABCDEF的体积，作出得到四棱锥P﹣DCFE的体积，由测度比为体积比得答案．21cnjy.com
【变式训练3】如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（ ） 21·世纪*教育网
A. 1﹣ B. C. D. 1﹣
真题精析
一、单选题
1.（2013 陕西）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）
2-1-c-n-j-y
A. B. C. D. 21*cnjy*com
2.（2013 四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ）
A. B. C. D. 【版权所有：21教育】
3.（2014 湖北）由不等式组 确定的平面区域记为Ω1 ， 不等式组 确定的平面区域记为Ω2 ， 在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.（2017 新课标Ⅰ卷）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.（2016 全国）从区间 随机抽取2n个数 , ，…， ， ， ，…， ，构成n个数对 ， ，…， ，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为( )
A. B. C. D.
6.（2016 全国）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.（2016 全国）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.（2015·山东）在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为( )
A. B. C. D. 21教育名师原创作品
9.(2015·湖北）在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 （ ）
A. B. C. D.
10.（2015.福建）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)．且点C与点D在函数的图像上．若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ）
A. B. C. D.
11.（2015·湖北）在区间的概率，为事件“”的概率，则（ ）
A. B.
C. D.
12.（2015·湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附：若，则，21教育网
A. 2386 B. 2718 C. 3413 D. 4772
二、填空题
13.（2013 福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为________．
14.（2013 山东）在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为________．
15.（2014 福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．
16.（2014 辽宁）正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
17.（2017 江苏）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
18.（2016 山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为________．
19.（2015·福建卷）如图，点A的坐标（1,0），点C的坐标为（2,4），函数f(x)=，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________ .
20.（2015重庆）在区间上随机地选择一个数p，则方程有两个负根的概率为________ .
三、综合题
21.（2016 山东）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
（1）求小亮获得玩具的概率；
（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
模拟题精练
一、单选题
1.如下图，矩形OABC内的阴影部分由曲线及直线与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值为（ ）
A. B. C. D.
2.在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（ ）
A. B. C. D.
3.已知集合， 在区间上任取一实数x，则“”的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为（ ）
A. 0.9544 B. 0.6828 C. D.
5.已知， 若向区域内随机投一点， 则点落在区域内的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知圆， 直线， 圆C上任意一点A到直线的距离小于2的概率为( )
A. B. C. D.
7.在长为10㎝的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49 cm2之间的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.一个多面体的三视图和直观图如图所示，M是AB的中点，一只蜻蜓在几何体ADF﹣BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F﹣AMCD内的概率为（ ）
A. B. C. D. 【来源：21·世纪·教育·网】
9.从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数f（x）=sinx+ cosx，当x∈[0，π]时，f（x）≥1的概率为（ ）
A. B. C. D.
11.向边长分别为3、4、5的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（ ）
A. 1﹣ B. 1﹣ C. 1﹣ D. 1﹣
12.如右图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均为 ，那么两个指针至少有一落在奇数所在区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
13.在[0，1]上随机取一个数k，则事件“直线y=kx与函数y=lnx的图象有2个公共点”发生的概率为________．
14.长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________
15.有一张画有内接正方形的圆形纸片，若随机向圆形纸片内丢一粒小豆子，则豆子落入正方形内的概率为________．
16.已知0≤x≤1，0≤y≤1，则满足y≤2x所有解的概率是________
三、综合题（共10题；共100分）
17.已知点P（x、y）满足
（1）若x∈{0，1，2，3，4，5}，y∈{0，1，2，3，4}，则求y≥x的概率．
（2）若x∈[0，5]，y∈[0，4]，则求x＞y的概率．
18.在一场垒球比赛中，其中本垒与游击手的初始位置间的距离为1，通常情况下，球速是游击手跑速的4倍．
（1）若与连结本垒及游击手的直线成α角（0°＜α＜90°）的方向把球击出，角α满足什么条件下时，游击手能接到球？并判断当α=15°时，游击手有机会接到球吗？
（2）试求游击手能接到球的概率．（参考数据 =3.88，sin14.5°=0.25）．
19.解答
（1）将一颗骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，以分别得到的点数（m，n）作为点P的坐标（m，n），求：点P落在区域 内的概率； 21世纪教育网版权所有
（2）在区间[1，6]上任取两个实数（m，n），求：使方程x2+mx+n2=0有实数根的概率．
20.某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．
（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；
（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．
21.已知集合M={（x，y）||x|≤2，|y|≤1}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．
（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率．
（2）若x，y都是整数，求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内或该圆上的概率．
22.先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．
（1）求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率；
（2）将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
23.从一批土鸡蛋中，随机抽取n个得到一个样本，其重量（单位：克）的频数分布表如表：
分组（重量） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100]
频数（个） 10 50 m 15
已知从n个土鸡蛋中随机抽取一个，抽到重量在在[90，95）的土鸡蛋的根底为
（1）求出n，m的值及该样本的众数；
（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的土鸡蛋中共抽取5个，再从这5个土鸡蛋中任取2 个，其重量分别是g1 ， g2 ， 求|g1﹣g2|≥10概率．
24.解答题
（1）在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，求事件“|AM|≤1”的概率；
（2）某班在一次数学活动中，老师让全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x、y，统计出两数能与1构成锐角三角形的三边长的数对（x，y）共有12对，请据此估计π的近似值（精确到0.001）． www-2-1-cnjy-com
25.设函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4
（1）若a是从0，1，2三个数中任取的一个数，b是从﹣2，﹣1，0，1，2五个数中任取的一个数，求函数f（x）有零点的概率；
（2）若a是从区间[﹣3，3]上任取的一个数，b是从区间[0，3]上任取的一个数，求函数g（x）=f（x）+5无零点的概率． 【出处：21教育名师】
26.设函数
（1）若b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求对任意x∈R，f（x）＞0恒成立的概率．
（2）若b是从区间[0，8]（3）任取得一个数，c是从[0，6]任取的一个数，求函数f（x）的图象与x轴有交点的概率．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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