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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
11.4 离散型随机变量及其分布列
考纲剖析
1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．
2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.
知识回顾
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为 ，所有取值可以一一列出的随机变量，称为 随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的 ．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；② ＝1
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为
X 0 1
P
，其中p＝P(X＝1)称为 ．
(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.21*cnjy*com
X 0 1 … m
P …
精讲方法
一、离散型随机变量及其分布列
（一）随机变量的概念
1．所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系。这与函数概念在本质上是相同的，不同的是函数的自变量是实数，而随机变量的自变量是试验结果。
2．如果随机变量可能取的值为有限个，则我们能够把其结果一一列举出来。
3．随机变量是随机试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件，在学习中，要注意随机变量与以前所学的变量的区别与联系。21教育网
（二）离散型随机变量的分布列
1．分布列可由三种形式，即表格、等式和图象表示。在分布列的表格表示中，结构为2行n+1列，第1行表示随机变量的取植，第2行是对应的变量的概率。
2．求分布列分为以下几步：（1）明确随机变量的取值范围；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格。
注：分布的求解应注意以下几点：（1）搞清随机变量每个取值对应的随机事件；（2）计算必须准确无误；（3）注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确。
（三）离散型随机变量分布列的性质
注：利用分布列的性质，可以求分布列中的参数值。对于随机变量的函数（仍是随机变量）的分布列，可以按分布的定义来求。
小结
1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误．
2．注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误．
3．求概率分布的常见类型
(1)根据统计数表求离散型随机变量的分布列；
(2)由古典概型求离散型随机变量的分布列；
(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
例题精讲
考点一 离散型随机变量分布列的性质
【例题1】甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在4局以内（含 4 局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和数学期望．
【答案】解：（I）用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，Ak表示第k局甲获胜，Bk表示第k局乙获胜， 则P（Ak）= ，P（Bk）= ，k=1，2，3，4，5
P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（ ）2+ （ ）2+ × ×（ ）2= ．
（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．
P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）= ，
P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）= ，
P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）= ，
P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）= ，
或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）= ，
故分布列为：
X 2 3 4 5
P
E（X）=2× +3× +4× +5× =
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论． （Ⅱ）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及数学期望．
【变式训练1】为研究男女同学空间想象能力的差异，孙老师从高一年级随机选取了20名男生、20名女生，进行空间图形识别测试，得到成绩茎叶图如下，假定成绩大于等于80分的同学为“空间想象能力突出”，低于80分的同学为“空间想象能力正常”． www.21-cn-jy.com
（1）完成下面2×2列联表，
空间想象能力突出 空间想象能力正常 合计
男生
女生
合计
（2）判断是否有90%的把握认为“空间想象能力突出”与性别有关；
（3）从“空间想象能力突出”的同学中随机选取男生2名、女生2名，记其中成绩超过90分的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 下面公式及临界值表仅供参考： 21·世纪*教育网
P（X2≥k） 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
考点二 离散型随机变量的分布列
【例题2】甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球， 【来源：21cnj*y.co*m】
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功．某人第一次左手先取两球，第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 21教育名师原创作品
【答案】（1）解：设事件A为“两手所取的球不同色”，则
（2）解：依题意，X的可能取值为0，1，2． 左手所取的两球颜色相同的概率为 ，
右手所取的两球颜色相同的概率为 ，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
E（X）=0× =
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，由此能求出P（A）．（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，求出左手和右手所取的两球颜色相同的概率，分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），由此能求出X的分布列和EX．
【变式训练2】共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示，若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁～39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”，已知在“经常使用单车用户”中有 是“年轻人”．
（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？
使用共享单车情况与年龄列联表
年轻人 非年轻人 合计
经常使用共享单车用户 120
不常使用共享单车用户 80
合计 160 40 200
（Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与期望．
（参考数据：
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
其中，K2= ，n=a+b+c+d）
考点三 超几何分布问题
【例题3】.拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展.某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下 列联表：
（1）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为 ，试求随机变量 的分布列和数学期望；
（2）若在犯错误的概率不超过 的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的 的值应为多少？请说明理由.附：独立性检验统计量 ，其中 .
独立性检验临界值表：
【答案】（1）解：按分层抽样，8人中“有明显拖延症”6人，“无有明显拖延症” 人，随机变量 的可能取值为0,1,2.按超几何分布可求得分布列。（2）由题意可算得 ， ，所以 ． 试题
（2）解：由题设条件得 ，
由临界值表可知： ，∴ ．
【考点】超几何分布的应用
【解析】【分析】（1）根据题意利用超几何分布即可得出分布列以及数学期望值。（2）根据独立性检验的基本思想的应用计算公式可得出K2 的观测值k即可得出结果。
【变式训练3】“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天 名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段： ， ， ， ， ， 后得到如图所示的频率分布直方图．问：
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（1）估计在40名读书者中年龄分布在 的人数；
（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）若从年龄在 的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在 的人数 的分布列及数学期望．
真题精析
一、单选题
1.（2017 浙江）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi ， P（ξi=0）=1﹣pi ， i=1，2．若0＜p1＜p2＜ ，则（ ）
A. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
2.（2014 浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．
（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；
（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）．
则（ ）
A. p1＞p2 ， E（ξ1）＜E（ξ2） B. p1＜p2 ， E（ξ1）＞E（ξ2）
C. p1＞p2 ， E（ξ1）＞E（ξ2） D. p1＜p2 ， E（ξ1）＜E（ξ2）
3.（2013 湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（ ）
2-1-c-n-j-y
A. B. C. D.
4.（2013 广东）已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的数学期望E（X）=（ ）
A. B. 2 C. D. 3www-2-1-cnjy-com
二、填空题
5.（2017 新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．
6.（2014 浙江）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）= ，E（ξ）=1，则D（ξ）=________．
三、综合题
7.（2017 山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6和4名女志愿者B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
8.（2017 新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
9.（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
10.（2017 北京卷）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（13分）
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）
11.（2017 江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N* ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
1 2 3 … m+n
（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ ．
12.（2017 新课标Ⅰ卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592， ≈0.09．
13.（2014 天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
14.（2014 四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
15.（2013 辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
16.（2013 新课标Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
17.（2014 山东）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为 ，在D上的概率为 ；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为 ，在D上的概率为 ．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：
（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．
18.（2014 辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．
19.（2014 江西）随机将1，2，…，2n（n∈N* ， n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1 ， 最大数为a2；B组最小数为b1 ， 最大数为b2；记ξ=a2﹣a1 ， η=b2﹣b1 ．
（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；
（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；
（3）对（2）中的事件C， 表示C的对立事件，判断P（C）和P（ ）的大小关系，并说明理由．
20.（2014 重庆）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）
21.（2013 山东）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是 ，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ．设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
22.（2013 新课标Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（1）将T表示为x的函数；
（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．
23.（ 2013 湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
24.（2013 北京）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天
（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望
（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
模拟题精练
一、单选题
1.某球星在三分球大赛中命中率为 ，假设三分球大赛中总计投出8球，投中一球得3分，投丢一球扣一分，则该球星得分的期望与方差分别为（ ）
A. 16，32 B. 8，32 C. 8，8 D. 32，32
2.一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意的进行试开，若试开过的钥匙放在一边，试开次数X为随机变量，则P（X=k）=（ ）
A. B. C. D.
3.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（ ）
A. 0.2 B. 0.8 C. 0.196 D. 0.804
4.（2013 广东）已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的数学期望E（X）=（ ）
A. B. 2 C. D. 3【出处：21教育名师】
5.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X；②在(0,1)区间内随机的取一个数X；③某超市一天中的顾客量X。其中的X是离散型随机变量的是（ ）
A. ①； B. ②； C. ③； D. ①③
6.若随机变量X～N（1，9），则D（ x）的值是（ ）
A. 1 B. 3 C. 9 D.
7.某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了10000粒，对于没有发芽的种，每粒需要再补2粒，补种的种子数记为x，则x的数学期望为（ ）
A. 1000 B. 2000 C. 3000 D. 4000
8.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是（ ） 21*cnjy*com
A. （0， ） B. （ ，1） C. （0， ） D. （ ，1）
9.下列变量中是离散型随机变量的是（ ）
A. 你每次接听电话的时间长度
B. 掷10枚硬币出现的正面个数和反面个数之和
C. 某公司办公室每天接到电话的次数
D. 某工厂加工的某种钢管外径与规定的外径尺寸之差
10.口袋中有 个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以 表示取出球的最小号码，则 （ ）
A. B. C. D.
11.已知X的分布列为
X ﹣1 0 1
P
设y=2x+3，则E（Y）的值为（ ）
A. B. 4 C. ﹣1 D. 12·1·c·n·j·y
12.已知离散型随机变量X等可能取值1，2，3，…，n若P（1≤X≤3）=， 则n的值为（ ）
A. 3 B. 5 C. 10 D. 15
二、填空题
13.将3个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个小盒中（每个盒子容纳的小球的个数没有限制），则1号盒子中小球的个数ξ的期望为________．
14.（2017 新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．
15.若随机变量X的分布列为P（X=i）= （i=1，2，3，4），则P（X＞2）=________．
16.已知随机变量ξ的分布列是：
ξ 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.1 x
则x=________，P（2≤ξ≤4）=________．
三、综合题
17.网店为促销，拿出A，B，C三件商品进行抢拍．A，B，C被抢拍成功的概率分别是 ， ， ．小明均参与了以上三件商品的抢拍． 21·cn·jy·com
（1）求至少有一件商品被小明抢拍成功的概率；
（2）记小明抢拍成功商品的件数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
18.某地政府在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120]，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156天，一年按364天计． 【来源：21·世纪·教育·网】
（1）请把频率直方图补充完整；
（2）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才能够运行一台发电机，如60≤X＜90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据．问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？
19.乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（2）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．
20.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器自上方的入口处，小球自由下落，小气在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是 ，
（1）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
（2）在容器 入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．
21.由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：
组别 候车时间（单位：min） 人数
一 [0，5） 1
二 [5，10） 5
三 [10，15） 3
四 [15，20） 1
（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（2）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；
（3）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望． 21cnjy.com
22.（2012 广东）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中x的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
23.（2014 四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 【版权所有：21教育】
24.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（3）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．
25.一名学生每天骑车上学，从他家到学饺的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ．
（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；
（2）设Y为这名学生在首次停前经过的路口数，求Y的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
26.口袋中有大小形状质量相同的四个白球和两个红球，每次从中任取一个球，各个球被取到的可能性是一样的，取后不放回．若能把两个红球区分出来就停止，用ξ表示停止时取球的次数，
（1）求ξ=3时的概率P（ξ=3）
（2）求ξ的分布列与均值．
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
11.4 离散型随机变量及其分布列（答案）
知识回顾
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表【版权所有：21教育】
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为
X 0 1
P 1－p p
，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.21教育名师原创作品
X 0 1 … m
P …
例题精讲
考点一 离散型随机变量分布列的性质
【变式训练1】为研究男女同学空间想象能力的差异，孙老师从高一年级随机选取了20名男生、20名女生，进行空间图形识别测试，得到成绩茎叶图如下，假定成绩大于等于80分的同学为“空间想象能力突出”，低于80分的同学为“空间想象能力正常”．
（1）完成下面2×2列联表，
空间想象能力突出 空间想象能力正常 合计
男生
女生
合计
（2）判断是否有90%的把握认为“空间想象能力突出”与性别有关；
（3）从“空间想象能力突出”的同学中随机选取男生2名、女生2名，记其中成绩超过90分的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 下面公式及临界值表仅供参考： 21·cn·jy·com
P（X2≥k） 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
【答案】（1）
空间想象能力突出 空间想象能力正常 合计
男生 7 13 20
女生 4 16 20
合计 11 29 40
（2）由公式 ，计算得X2≈1.129， 因为X2＜2.706，所以没有90%的把握认为“空间想象能力突出”与性别有关
（3）解： ， ， ， ， ， 所以ξ的分布列是：21·世纪*教育网
ξ 0 1 2 3 4
P
数学期望是：
【考点】独立性检验，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）2×2列联表如下，再利用X2计算公式可得结论．（3）利用互斥事件、独立事件的概率计算公式可得ξ的分布列及其数学期望计算公式．
考点二 离散型随机变量的分布列
【变式训练2】共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示，若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁～39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”，已知在“经常使用单车用户”中有 是“年轻人”．
（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？
使用共享单车情况与年龄列联表
年轻人 非年轻人 合计
经常使用共享单车用户 120
不常使用共享单车用户 80
合计 160 40 200
（Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与期望．
（参考数据：
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
其中，K2= ，n=a+b+c+d）
【答案】解：（Ⅰ） 100|20|60|20于是a=100，b=20，c=60，d=20，
∴K2= ≈2.083＞2.072，
即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为 =10%，
即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，
∵X～B（3，0.1），X=0，1，2，3，
∴P（X=0）=（1﹣0.1）3=0.729，
P（X=1）= ，
P（X=2）= ，
P（X=3）=0.13=0.001，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
∴X的数学期望E（X）=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3
【考点】独立性检验，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：（Ⅰ）补全的列联表如下：
年轻人 非年轻人 合计
经常使用共享单车 100 20 120
不常使用共享单车 60 20 80
合计 160 40 200
【分析】（Ⅰ）补全的列联表，求出K2≈2.083＞2.072，从而有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关． （Ⅱ）经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为10%，从而X～B（3，0.1），由此能出X的分布列和数学期望E（X）．21*cnjy*com
考点三 超几何分布问题
【变式训练3】“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天 名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段： ， ， ， ， ， 后得到如图所示的频率分布直方图．问：
（1）估计在40名读书者中年龄分布在 的人数；
（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）若从年龄在 的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在 的人数 的分布列及数学期望． 【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】（1）由频率分布直方图知年龄在[40,70）的频率为 ，所以 40名读书者中年龄分布在[40,70）的人数为40×0.75=30．
（2）
设中位数为x，则 ，解得x=55，即40名读书者年龄的中位数为55.
（3）年龄在[20,30）的读书者有 人，年龄在[30,40）的读书者有0.01×10×40=4人，所以X的所有可能取值是 0，1，2． ， ， ，X的分布列如下：
X 0 1 2
P
数学期望
【考点】频率分布直方图，用样本的数字特征估计总体的数字特征，离散型随机变量的期望与方差，超几何分布的应用 2-1-c-n-j-y
【解析】【分析】本题主要考查频率分布直方图的识别与计算、样本的数字特征、超几何分布，随机变量的期望，以及考查识图能力、审读能力、获取信息的能力、分类讨论思想．
真题精析
一、单选题
1.（2017 浙江）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi ， P（ξi=0）=1﹣pi ， i=1，2．若0＜p1＜p2＜ ，则（ ）
A. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
【答案】A
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi ， P（ξi=0）=1﹣pi ， i=1，2，…，
0＜p1＜p2＜ ，
∴ ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，
E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1 ，
E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2 ，
D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）= ，
D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）= ，
D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（ ）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，
∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．
故选：A．
【分析】由已知得0＜p1＜p2＜ ， ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1 ， E（ξ2）=p2 ， 从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．
2.（2014 浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．
（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；
（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）．
则（ ）
A. p1＞p2 ， E（ξ1）＜E（ξ2） B. p1＜p2 ， E（ξ1）＞E（ξ2）
C. p1＞p2 ， E（ξ1）＞E（ξ2） D. p1＜p2 ， E（ξ1）＜E（ξ2）
【答案】A
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解析： ， ，
，所以P1＞P2；
由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，
所以， = = ，
E（ξ1）﹣E（ξ2）= ．
故选A
【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1 ， P2和E（ξ1），E（ξ2）进行比较即可．
3.（2013 湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．
①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）= ；
②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）= ；
③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）= ．
④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）= ．
X 0 1 2 3
P
故X的分布列为
因此E（X）= = ．
故选B．
【分析】由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，
③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．
4.（2013 广东）已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的数学期望E（X）=（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】A
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：E（X）= = ．
故选A．
【分析】利用数学期望的计算公式即可得出．
二、填空题
5.（2017 新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．
【答案】1.96
【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，
则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．
故答案为：1.96．
【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．
6.（2014 浙江）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）= ，E（ξ）=1，则D（ξ）=________．
【答案】
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q= ， ，
解得 ， ，
所以 ．
故答案为：
【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．
三、综合题
7.（2017 山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6和4名女志愿者B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
【答案】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P（M）= = ．
（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，
∴P（X=0）= = ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
P（X=4）= = ．
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× =2．
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，组合及组合数公式
【解析】【分析】（Ⅰ）利用组合数公式计算概率；
（Ⅱ）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．
8.（2017 新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，
P（X=200）= =0.2，
P（X=300）= ，
P（X=500）= =0.4，
∴X的分布列为：
X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400，
当200＜n≤300时，
若x=200，则Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n，
若x≥300，则Y=n（6﹣4）=2n，
∴EY=p（x=200）×（800﹣2n）+p（x≥300）×2n=0.2（800﹣2n）+0.8=1.2n+160，
∴EY≤1.2×300+160=520，
当300＜n≤500时，若x=200，则Y=800﹣2n，
若x=300，则Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n，
∴当n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520，
若x=500，则Y=2n，
∴EY=0.2×（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4×2n=640﹣0.4n，
当n≥500时，Y= ，
EY=0.2（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4（2000﹣2n）=1440﹣2n，
∴EY≤1440﹣2×500=440．
综上，当n=300时，EY最大值为520元．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400；当200＜n≤300时，EY≤1.2×300+160=520；当300＜n≤500时，n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520；当n≥500时，EY≤1440﹣2×500=440．从而得到当n=300时，EY最大值为520元．
9.（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
【答案】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；
则P（X=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）（1﹣ ）= ，
P（X=1）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ）× = ，
P（X=2）=（1﹣ ）× × + ×（1﹣ ）× + × ×（1﹣ ）= ，
P（X=3）= × × = ；
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望为E（X）=0× +1× +2× +3× = ；
（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，
则所求事件的概率为
P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）
=P（Y=0） P（Z=1）+P（Y=1） P（Z=0）
= × + ×
= ；
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 ．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，
写出它的分布列，计算数学期望值；
（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．
10.（2017 北京卷）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（13分）
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）
【答案】（1）解：由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，
则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：
p= = ．
（2）解：由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，
可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）= ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= = ，
∴ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P
E（ξ）= =1．
（3）解：由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．
【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用，古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1.）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．
（2.）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
（3.）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．
11.（2017 江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N* ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
1 2 3 … m+n
（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ ．
【答案】解：（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，
则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ）
=
= = ．
证明：（Ⅱ）∵X的所有可能取值为 ，…， ，
P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，
∴E（X）= （ ）=
= ＜ =
= （ ）
= = ，
∴E（X）＜ ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值为 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）= （ ）= ，由此能证明E（X）＜ ．
12.（2017 新课标Ⅰ卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592， ≈0.09．
【答案】（1）解：由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，
则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，
因为P（X=0）= ×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，
所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，
又因为X～B（16，0.0026），
所以E（X）=16×0.0026=0.0416；
（2）（ⅰ）由（1）知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026，
由正态分布知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件，
因此上述监控生产过程方法合理；
（ⅱ）因为用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，
且 = =9.97，s= = ≈0.212，
所以 ﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334， +3 =9.97+3×0.212=10.606，
所以9.22 （ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），
因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，
则剩下的数据估计μ= =10.02，
将剔除掉9.22后剩下的15个数据，利用方差的计算公式代入计算可知σ2≈0.008，
所以σ≈0.09．
【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】（1.）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；
（2.）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；
（ⅱ）通过样本平均数 、样本标准差s估计 、 可知（ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），进而需剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．
13.（2014 天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，
则 ，
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为 ．
（2）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3， （k=0，1，2，3）
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（2）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3， （k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．
14.（2014 四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． www.21-cn-jy.com
【答案】（1）解：X可能取值有﹣200，10，20，100．
则P（X=﹣200）= ，
P（X=10）= =
P（X=20）= = ，
P（X=100）= = ，
故分布列为：
X ﹣200 10 20 100
P
由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p= + =
（2）解：则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣ ．
（3）解：由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）× +10× +20× ×100=﹣ = ．
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．
15.（2013 辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”
则 =张同学至少取到的全为甲类题
∴P（A）=1﹣P（ ）=1﹣ =
（2）解：X的所有可能取值为0，1，2，3
P （X=0）= =
P（X=1）= =
P（X=2）= + =
P（X=3）= =
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
EX=
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有 ，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解（2）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值
16.（2013 新课标Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1 ， 第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2 ，
第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1 ， 第二次取出的1件产品是优质品为事件B2 ，
这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，
所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）
= =
（2）解：X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）= ，P（X=500）= ，
P（X=400）=1﹣ ﹣ = ，故X的分布列如下：
X 400 500 800
P
故EX=400× +500× +800× =506.25
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1 ， 第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2 ， 第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1 ， 第二次取出的1件产品是优质品为事件B2 ， 这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（2）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．
17.（2014 山东）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为 ，在D上的概率为 ；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为 ，在D上的概率为 ．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：
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（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为 + = ，
回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为 + = ，
故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P= ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× = + = ．
（2）解：ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6
其中P（ξ=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）= ；
P（ξ=1）= ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× = ；
P（ξ=2）= × = ；
P（ξ=3）= ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× = ；
P（ξ=4）= × + × = ；
P（ξ=6）= × = ；
故ξ的分布列为：【出处：21教育名师】
ξ 0 1 2 3 4 6
P
故ξ的数学期望为E（ξ）=0× +1× +2× +3× +4× +6× = ．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．
18.（2014 辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．
【答案】（1）解：设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”
B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，
因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，
P（A2）=0.003×50=0.15，
P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，
（2）解：X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，
，
，
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X～B（3，0.6），
所以期望E（X）=3×0.6=1.8，
方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72 【来源：21cnj*y.co*m】
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求出事件A1 ， A2的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；（2）写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列．根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E（X）及方差D（X）．
19.（2014 江西）随机将1，2，…，2n（n∈N* ， n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1 ， 最大数为a2；B组最小数为b1 ， 最大数为b2；记ξ=a2﹣a1 ， η=b2﹣b1 ．
（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；
（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；
（3）对（2）中的事件C， 表示C的对立事件，判断P（C）和P（ ）的大小关系，并说明理由． www-2-1-cnjy-com
【答案】（1）解：当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5
其中P（ξ=2）= = ，
P（ξ=3）= = ，
P（ξ=4）= = ，
P（ξ=5）= = ，
故随机变量ξ的分布列为：
ξ 2 3 4 5
P
ξ的数学期望E（ξ）=2× +3× +4× +5× =
（2）解：∵C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，
∴P（C）=2×
（3）解：当n=2时，P（C）=2× = ，此时P（ ）＜ ；
即P（ ）＜P（C）；
当n≥3时，P（C）=2× ＜ ，此时P（ ）＞ ；
即P（ ）＞P（C）
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．（2）根据C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件C发生的概率P（C）的表达式；（3）判断P（C）和P（ ）的大小关系，即判断P（C）和 的大小关系，根据（2）的公式，可得答案．
20.（2014 重庆）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）
【答案】（1）解：由古典概型的概率计算公式得所求概率为
P= ，
（2）解：由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且
P（X=1）= ，
P（X=2）= ，
P（X=3）= ，
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
所以E（X）=
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现．
21.（2013 山东）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是 ，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ．设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜
①3：0，概率为P1=（ ）3= ；
②3：1，概率为P2=C （ ）2×（1﹣ ）× = ；
③3：2，概率为P3=C （ ）2×（1﹣ ）2× =
∴甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：
（2）解：乙队得分X，则X的取值可能为0，1，2，3．
由（1）知P（X=0）=P1+P2= ；
P（X=1）=P3= ；
P（X=2）=C （1﹣ ）2×（ ）2× = ；
P（X=3）=（1﹣ ）3+C （1﹣ ）2×（ ）× = ；
则X的分布列为
X 3 2 1 0
P
E（X）=3× +2× +1× +0× =
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；（2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．
22.（2013 新课标Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（1）将T表示为x的函数；
（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．
【答案】（1）解：由题意得，当x∈[100，130）时，T=500x﹣300（130﹣x）=800x﹣39000，
当x∈[130，150）时，T=500×130=65000，
∴T= ．
（2）解：由（1）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150．
由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，
所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．
（3）解：依题意可得T的分布列如图，
T 45000 53000 61000 65000
p 0.1 0.2 0.3 0.4
所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400．
【考点】频率分布直方图，用样本的频率分布估计总体分布，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意先分段写出，当x∈[100，130）时，当x∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（2）由（1）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．（3）利用利润T的数学期望=各组的区间中点值×该区间的频率之和即得．
23.（ 2013 湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 =36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为 = ；
（2）解：先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3
由P（X=k）= 得P（X=1）= ，P（X=2）= ，P（X=3）= = ，P（X=4）= =
∴所求的分布列为
Y 51 48 45 42
P
数学期望为E（Y）=51× +48× +45× +42× =46
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（2）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．21教育网
24.（2013 北京）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天
（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望
（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
【答案】（1）解：设Ai表示事件“此人于5月i日到达该地”（i=1，2，…，13）
依据题意P（Ai）= ，Ai∩Aj= （i≠j）
设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P（B）=
（2）解：X的所有可能取值为0，1，2
P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）=
∴X的分布列为21*cnjy*com
X 0 1 2
P
∴X的数学期望为E（X）=
（3）解：从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大
【考点】极差、方差与标准差，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（2）由题意可知X所有可能取值为0，1，2，得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列与数学期望；（3）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．
模拟题精练
一、单选题
1.某球星在三分球大赛中命中率为 ，假设三分球大赛中总计投出8球，投中一球得3分，投丢一球扣一分，则该球星得分的期望与方差分别为（ ）
A. 16，32 B. 8，32 C. 8，8 D. 32，32
【答案】B
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据题意，随机变量X～B（8， ）， 且P（X=k）= = = ，其中k=0，1，2，…，8；
∴EX=8× =4，DX=8× ×（1﹣ ）=2；
球星得分为随机变量Y，则Y的可能取值为﹣8，﹣4，0，4，8，12，16，20，24；
且P（Y=﹣8）=P（X=0）= ，
P（Y=﹣4）=P（X=1）= ，
P（Y=0）=P（X=2）= ，
P（Y=4）=P（X=3）= ，
P（Y=8）=P（X=4）= ，
P（Y=12）=P（X=5）= ，
P（Y=16）=P（X=6）= ，
P（Y=20）=P（X=7）= ，
P（Y=24）=P（X=8）= ；
∴随机变量X、Y的关系为：Y=4X﹣8，
∴EY=E（4X﹣8）=4EX﹣8=4×4﹣8=8；
DY=D（4X﹣8）=16DX=16×2=32．
故选：B．
【分析】根据题意，随机变量X～B（8， ），计算EX、DX，
随机变量Y=4X﹣8，计算EY和DY即可．
2.一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意的进行试开，若试开过的钥匙放在一边，试开次数X为随机变量，则P（X=k）=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：记An为第n次开门成功，Bn为第n次开门失败
则P（X=1）=P（A1）= ，
P（X=2）=P（B1A2）= = ，
P（X=3）=P（B1B2A3）= = ，
…
P（X=n）=P（B1B2…Bn﹣1An）= = ，
∴P（X=k）= ．
故选：B．
【分析】记An为第n次开门成功，Bn为第n次开门失败，由此求出P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=…=P（X=n）= ．由此能求出结果．
3.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（ ）
A. 0.2 B. 0.8 C. 0.196 D. 0.804
【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：∵由题意知该病的发病率为0.02，且每次实验结果都是相互独立的，
∴ξ～B（10，0.02），
∴由二项分布的方差公式得到
Dξ=10×0.02×0.98=0.196．
故选C
【分析】把每个牛是否得病作为一个实验，牛发病的概率是0.02，且牛是否发病相互之间没有影响，得到发病的牛的头数为ξ服从二项分布，根据方差的公式Dξ=npq，得到结果．
4.（2013 广东）已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的数学期望E（X）=（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】A
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：E（X）= = ．
故选A．
【分析】利用数学期望的计算公式即可得出．
5.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X；②在(0,1)区间内随机的取一个数X；③某超市一天中的顾客量X。其中的X是离散型随机变量的是（ ）
A. ①； B. ②； C. ③； D. ①③
【答案】D
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】所有取值可以一一列出的随机变量成为随机变量。所以①③中的X是离散性随机变量，故选D。
6.若随机变量X～N（1，9），则D（ x）的值是（ ）
A. 1 B. 3 C. 9 D.
【答案】A
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：X～N（1，9）， ∴σ2=D（X）=9，
∴D（ ）= D（X）= =1．
故选：A．
【分析】由X～N（1，9），得到σ2=D（X）=9，由此利用方差的性质能求出D（ ）．
7.某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了10000粒，对于没有发芽的种，每粒需要再补2粒，补种的种子数记为x，则x的数学期望为（ ）
A. 1000 B. 2000 C. 3000 D. 4000
【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：∵某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了10000粒， ∴没有发芽的种子数的期望为：10000×（1﹣0.85）=1500，
∵对于没有发芽的种，每粒需要再补2粒，补种的种子数记为x，
∴x的数学期望E（X）=1500×2=3000．
故选：C．
【分析】由已知先求出没有发芽的种子数的期望为：10000×（1﹣0.85）=1500，由此地结合题意能求出x的数学期望E（X）．
8.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是（ ）
A. （0， ） B. （ ，1） C. （0， ） D. （ ，1）
【答案】C
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p，即P（X=1）=p， 发球次数为2即二次发球成功的概率P（X=2）=p（1﹣p），
发球次数为3的概率P（X=3）=（1﹣p）2 ，
则Ex=p+2p（1﹣p）+3（1﹣p）2=p2﹣3p+3，
依题意有EX＞1.75，则p2﹣3p+3＞1.75，
解可得，p＞ 或p＜ ，
结合p的实际意义，可得0＜p＜ ，即p∈（0， ）
故选C．
【分析】根据题意，首先求出X=1、2、3时的概率，进而可得EX的表达式，由题意EX＞1.75，可得p2﹣3p+3＞1.75，解可得p的范围，结合p的实际意义，对求得的范围可得答案．
9.下列变量中是离散型随机变量的是（ ）
A. 你每次接听电话的时间长度
B. 掷10枚硬币出现的正面个数和反面个数之和
C. 某公司办公室每天接到电话的次数
D. 某工厂加工的某种钢管外径与规定的外径尺寸之差
【答案】B
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：A．你每次接听电话的时间长度，是变化的量，因此不是一个离散型的随机变量；
B．掷10枚硬币出现的正面个数和反面个数之和，是可列无限多个值，因此是一个离散型的随机变量；
C．某公司办公室每天接到电话的次数，是变化的量，因此不是一个离散型的随机变量；
D．某工厂加工的某种钢管外径与规定的外径尺寸之差，是变化的量，因此不是一个离散型的随机变量；
故选：B．
【分析】利用离散型随机变量的定义：若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量离散型随机变量，求解即可．
10.口袋中有 个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以 表示取出球的最小号码，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】易知随机变量 X的取值为 0，1，2，由古典概型概率公式，得 , , ，所以 ，故选 B.
【分析】本题主要考查排列组合的应用，古典概型概率的计算，随机变量的期望等数学基础知识，意在考查逻辑分析能力，属于基础知识的考查，是容易题.
11.已知X的分布列为
X ﹣1 0 1
P
设y=2x+3，则E（Y）的值为（ ）
A. B. 4 C. ﹣1 D. 1
【答案】A
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由X的分布列，得： E（X）= =﹣ ，
∵Y=2X+3，
∴E（Y）=2E（X）+3=﹣ = ．
故选：A．
【分析】由X的分布列，求出E（X），由Y=2X+3，得E（Y）=2E（X）+3，由此能求出结果．
12.已知离散型随机变量X等可能取值1，2，3，…，n若P（1≤X≤3）=， 则n的值为（ ）
A. 3 B. 5 C. 10 D. 15
【答案】D
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：∵离散型随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，
P（1≤X≤3）=，
∴P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=…=P（X=n）=，
∴n×=1，解得n=15．
故选：D．
【分析】由已知条件得P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=…=P（X=n）=， 所以n×=1，由此能求出n=15．
二、填空题
13.将3个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个小盒中（每个盒子容纳的小球的个数没有限制），则1号盒子中小球的个数ξ的期望为________．
【答案】
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：将3个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个小盒中， 每个小球有4种不同的放法，共有43=64种；
则1号盒子中小球的个数ξ的可能取值为0，1，2，3；
且P（ξ=0）= = ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= = ，
P（ξ=3）= = ；
则随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
数学期望为E（ξ）=0× +1× +2× +3× = ．
【分析】将3个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个小盒中，每个小球有4种不同的放法，共有43种；
1号盒子中小球的个数ξ的可能取值为0，1，2，3；求出对应的概率值，
写出随机变量ξ的分布列，计算数学期望值．
14.（2017 新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．
【答案】1.96
【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，
则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．
故答案为：1.96．
【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．
15.若随机变量X的分布列为P（X=i）= （i=1，2，3，4），则P（X＞2）=________．
【答案】0.7
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：∵随机变量X的分布列为P（X=i）= （i=1，2，3，4），
∴P（X＞2）=P（X=3）+P（X=4）
=
=0.7．
故答案为：0.7．
【分析】由已知得P（X＞2）=P（X=3）+P（X=4），由此能求出结果．
16.已知随机变量ξ的分布列是：
ξ 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.1 x
则x=________，P（2≤ξ≤4）=________．
【答案】0.2；0.7
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由随机变量ξ的分布列的性质可知： =1，即0.1+0.2+0.4+0.1+x=1， 解得：x=0.2，
由P（2≤ξ≤4）=1﹣[P（ξ=0）+P（ξ=1）]=1﹣0.1﹣0.2=0.7，
故答案为：0.2，0.7．
【分析】由随机变量ξ的分布列的性质可知： =1，代入即可求得x的值，根据P（2≤ξ≤4）=1﹣（P（ξ=0）+P（ξ=1））=1﹣0.1﹣0.2=0.7．
三、综合题
17.网店为促销，拿出A，B，C三件商品进行抢拍．A，B，C被抢拍成功的概率分别是 ， ， ．小明均参与了以上三件商品的抢拍．
（1）求至少有一件商品被小明抢拍成功的概率；
（2）记小明抢拍成功商品的件数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：三件商品中没有一件被抢拍成功的概率为 ， ∴三件商品中至少有一件被小明抢拍成功的概率为
（2）解：由题意可知：ξ=0，1，2，3， 则 ，
，
，
．
∴ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2 3
P
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）至少有一件商品被小明抢拍成的对立事件为三件商品中没有一件被抢拍成功，由概率公式三件商品中没有一件被抢拍成功的概率为 ，由 ；（2）由题意可知：ξ的取值为0，1，2，3，根据概率公式求得P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）及P（ξ=3），列出其分布列求得数学期望．21世纪教育网版权所有
18.某地政府在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120]，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156天，一年按364天计．
（1）请把频率直方图补充完整；
（2）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才能够运行一台发电机，如60≤X＜90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据．问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？
【答案】（1）解：在区间[30，60）的频率为 ， = = ，
设在区间[0，30）上， =a，
则（a+ ）×30=1，
解得a= ，
补充频率分布直方图如右图所示．
（2）解：记水电站日利润为Y元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为 ， 恰好运行一台发电机的概率为 ，恰好运行二台发电机的概率为 ，
恰好运行三台发电机的概率为 ，
①若安装1台发电机，则Y的值为﹣500，4000，其分布列为：
Y ﹣500 4000
P
E（Y）=﹣500× +4000× = ．
②若安装2台发电机，则Y的值为﹣1000，3500，8000，其分布列为：
Y ﹣1000 3500 8000
P
E（Y）=﹣1000× +3500× +8000× = ．
③若安装3台发电机，则Y的值为﹣1500，3000，7500，12000，其分布列为
Y ﹣1500 3000 7500 12000
P
E（Y）=﹣1500× +3000× +7500× +12000× = ，
∵ ，
∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．
【考点】频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）设在区间[0，30）上， =a，由频率分布直方图的性质求出a= ，由此能补充完整频率分布直方图．（Ⅱ）记水电站日利润为Y元．不能运行发电机的概率为 ，恰好运行一台发电机的概率为 ，恰好运行二台发电机的概率为 ，恰好运行三台发电机的概率为 ，分别求出安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机的数学期望，由此得到要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．
19.乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（2）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．
【答案】（1）解：记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；
B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1
∵P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48
∴P（B）=0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）=0.352；
（2）解：P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3
P（ξ=0）=P（A2A）=0.36×0.4=0.144
P（ξ=2）=P（B）=0.352
P（ξ=3）=P（A0 ）=0.16×0.6=0.096
P（ξ=1）=1﹣0.144﹣0.352﹣0.096=0.408
∴ξ的期望Eξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1 ，根据P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48，即可求得结论；（2）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的期望．
20.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器自上方的入口处，小球自由下落，小气在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是 ，
（1）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
（2）在容器 入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：记“小球落入A袋中”为事件M”，小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件N，
而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，
故P（M）= + = ，
从而P（N）=1﹣P（M）=1﹣ = ．
（2）解：显然，随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4
且B（4， ），
故P（ξ=0）= ×（ ）0×（ ）4= ，
P（ξ=1）= ×（ ）1×（ ）3= ，
P（ξ=2）= ×（ ）2×（ ）2= ，
P（ξ=3）= ×（ ）3×（ ）1= ，
P（ξ=4）= ×（ ）4×（ ）0= ，
则ξ的分布列为：2·1·c·n·j·y
ξ 0 1 2 3 4
P
故ξ的数学期望为E（ξ）=4× =
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设出“小球落入A袋中”为事件M”，小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件N，而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，运用对立事件求解即可．（2）确定随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4判断出二项分布，得出B（4， ），运用概率公式求解即可．
21.由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：
组别 候车时间（单位：min） 人数
一 [0，5） 1
二 [5，10） 5
三 [10，15） 3
四 [15，20） 1
（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（2）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；
（3）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：候车时间少于10分钟的人数为 60×（ + ）=36（人）．
（2）解：设“至少有一人来自第二组为事件A”，则P（A）=1﹣ = ．
（3）解：X的可能值为1，2，3，P（X=1）= = ， P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
∴EX= +2 +3× =
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）用总人数乘以样本中候车时间少于10分钟的人数所占的比例，即为所求．（2）用1减去这三个人都不是第二组的人的概率，即得至少有一人来自第二组的概率．（3）X的可能值为1，2，3，P（X=1）、P（X=2）、P（X=3）的值，可得X的分布列以及X的数学期望．
22.（2012 广东）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中x的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
【答案】（1）解：由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018
（2）解：由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人
随机变量ξ的可能取值有0，1，2
∴
【考点】频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人，则随机变量ξ的可能取值有0，1，2，然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率，从而可求出数学期望．
23.（2014 四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
【答案】（1）解：X可能取值有﹣200，10，20，100．
则P（X=﹣200）= ，
P（X=10）= =
P（X=20）= = ，
P（X=100）= = ，
故分布列为：
X ﹣200 10 20 100
P
由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p= + =
（2）解：则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣ ．
（3）解：由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）× +10× +20× ×100=﹣ = ．
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．
24.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（3）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．
【答案】（1）解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，
=
=
=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5
（2）解：
=
=0.5×0.4
=0.2
∴
（3）解：ξ～B（3，0.8），
故ξ的分布列P（ξ=0）=0.23=0.008
P（ξ=1）=C31×0.8×0.22=0.096
P（ξ=2）=C32×0.82×0.2=0.384
P（ξ=3）=0.83=0.512
所以Eξ=3×0.8=2.4
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，包括两种情况：即进入商场的1位顾客购买甲种商品不购买乙种商品，进入商场的1位顾客购买乙种商品不购买甲种商品，分析后代入相互独立事件的概率乘法公式即可得到结论．（2）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习甲商品也不购买乙商品，我们可以利用对立事件概率减法公式求解．（3）由（1）、（2）的结论，我们列出ξ的分布列，计算后代入期望公式即可得到数学期望．
25.一名学生每天骑车上学，从他家到学饺的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ．
（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；
（2）设Y为这名学生在首次停前经过的路口数，求Y的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
【答案】（1）解：由已知得X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，且X～B（6， ），
∴P（X=0）= = ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
P（X=4）= = ，
P（X=5）= = ，
P（X=6）= = ，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 6
P
（2）解：由已知得Y的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
P（Y=0）= = ，
P（Y=1）= ，
P（Y=2）= = ，
P（Y=3）= = ，
P（Y=4）= = ，
P（Y=5）=（ ）4× = ，
P（Y=6）= = ，
∴Y的分布列为：
Y 0 1 2 3 4 5 6
P
（3）解：由（1）得，这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率：
p=1﹣P（X=0）=1﹣ =
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，且X～B（6， ），由此能求出X的分布列．（2）由已知得Y的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列．（3）利用对立事件概率计算公式由（1）能求出这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
26.口袋中有大小形状质量相同的四个白球和两个红球，每次从中任取一个球，各个球被取到的可能性是一样的，取后不放回．若能把两个红球区分出来就停止，用ξ表示停止时取球的次数，
（1）求ξ=3时的概率P（ξ=3）
（2）求ξ的分布列与均值．
【答案】（1）解：P（ξ=3）=
（2）解：由已知ξ的取值为2，3，4，5 P（ξ=2）= ﹣ ，P（ξ=3）= ，
，P（ξ=5）= = ．
ξ 2 3 4 5
P
分布列为
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据ξ=3的含义，即可求ξ=3时的概率P（ξ=3）（2）求出随机变量取每一个值的概率值，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出取球次数的分布及数学期望．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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