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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
11.5 二项分布与正态分布（答案）
知识回顾
1．条件概率及其性质
条件概率的定义 条件概率的性质
设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 (1)0≤P(B|A)≤1
(2)若B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
2.事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与，与B，与都相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则
P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．
4．正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a函数φμ，σ(x)＝，x∈R的图象(正态曲线)关于直线x＝μ对称，在x＝μ处达到峰值.
(2)正态总体三个基本概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.
例题精讲
考点一 条件概率
【变式训练1】如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P，用A表示事件“点P恰好自由曲线 与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P（B|A）等于（ ）21教育网
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：根据题意，阴影部分由函数y=x与y= 围成，其面积为 （ ﹣x）dx=（ ） = ， A表示事件“点P恰好自由曲线 与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，面积为 = ，
则P（B|A）等于 = ．
故选A．
【分析】阴影部分由函数y=x与y= 围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．
考点二 正态分布下的概率
【【变式训练2】某公司对应聘人员进行能力测试，测试成绩总分为150分．下面是30位应聘人员的测试成绩的测试成绩：64，116，82，93，102，82，104，67，93，118，70，95，119，106，83，72，95，106，72，119，122，95，86，74，131，76，88，108，97，123．
（1）求应聘人员的测试成绩的样本平均数 （保留小数点后两位）；
（2）根据以上数据完成下面茎叶图：
应聘人员的测试成绩
6
7
8
9
10
11
12
13
（3）由茎叶图可以认为，应聘人员的测试成绩Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差s2 ， 其中s2=18.872 ， 利用该正态分布，求P（76.40＜Z＜114.14）．
附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，
P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544． 21*cnjy*com
【答案】（1）解：应聘人员的测试成绩的样本平均数 为 ．
（2）茎叶图如下：
应聘人员的测试成绩
6 4 7
7 0 2 2 4 6
8 2 2 3 6 8
9 3 3 5 5 5
10 2 4 6 6 8
11 6 8 9 9
12 2 3
13 1
（3）∵76.40=95.27﹣18.87=μ﹣σ，114.14=95.27+18.87=μ+σ，
∴P（76.40＜Z＜114.14）=P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826． 【版权所有：21教育】
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】1、由样本平均数 的定义可得。
2、由茎叶图的概念结合（1）可得。
3、由题意可知，应聘人员的测试成绩Z服从正态分布，利用题中的已知条件可得。
考点三 独立重复试验与二项分布
【变式训练3】如图，李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1、L2两条路线，L1路线上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 ；L2路线上有B1、B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为 ， ．
（1）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
【答案】（1）解：设“走L1路线最多遇到1次红灯”为事件A，包括没有遇到红灯和只遇到红灯一次两种情况． 则 ，
所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为 ．
（2）解：依题意，X的可能取值为0，1，2． ， ， ．
随机变量X的分布列为：www-2-1-cnjy-com
X 0 1 2
P
所以
（3）解：设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布Y～ ，所以 ． 因为EX＜EY，所以选择L2路线上班最好
【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】（1）利用二项分布即可得出；（2）利用相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式即可得出；（3）由于走路线L1时服从二项分布即可得出期望，比较走两条路的数学期望的大小即可得出要选择的路线．
真题精析
一、单选题
1.(2015湖北）设，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
2·1·c·n·j·y
A. B.
C. 对任意正数， D. 对任意正数,
【答案】C
【考点】频率分布折线图、密度曲线，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由正态密度曲线的性质可知，,的密度曲线分别关于,对称，因此结合所给图像可得且的密度曲线较 的密度曲线“瘦高”，所以，所以对任意正数，.
【分析】正态曲线的性质
①曲线在轴的上方，与轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线对称．
③曲线在处达到峰值.
④曲线与轴之间的面积为1.
⑤当一定时，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示
⑥μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中．如图乙所示．
2.（2015·山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则％ ，％
A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74%
【答案】B
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】用表示零件的长度，根据正态分布的性质得：
,故选B
【分析】本题考查了正态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率，意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力.
3.（2015·湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附：若，则，
A. 2386 B. 2718 C. 3413 D. 4772
【答案】C
【考点】几何概型，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】根据正态分布的性质，,故选C
【分析】题主要考查正态分布与几何概型等知识点，属于容易题，结合参考材料中给出的数据，结合正态分布曲线的对称性，再利用几何概型即可求解，在复习过程中，亦应关注正态分布等相对冷门的知识点的基本概念.
二、填空题（共1题；共1分）
4.（2017 新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．
【答案】1.96
【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，
则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．
故答案为：1.96．
【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．
三、解答题
5.（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
【答案】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；
则P（X=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）（1﹣ ）= ，
P（X=1）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ）× = ，
P（X=2）=（1﹣ ）× × + ×（1﹣ ）× + × ×（1﹣ ）= ，
P（X=3）= × × = ；
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望为E（X）=0× +1× +2× +3× = ；
（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，
则所求事件的概率为
P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）
=P（Y=0） P（Z=1）+P（Y=1） P（Z=0）
= × + ×
= ；
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 ．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，
写出它的分布列，计算数学期望值；
（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．
6.（2017 江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N* ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
1 2 3 … m+n
（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ ．
【答案】解：（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，
则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ）
=
= = ．
证明：（Ⅱ）∵X的所有可能取值为 ，…， ，
P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，
∴E（X）= （ ）=
= ＜ =
= （ ）
= = ，
∴E（X）＜ ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值为 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）= （ ）= ，由此能证明E（X）＜ ．
7.（2017 新课标Ⅰ卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592， ≈0.09．
【答案】（1）解：由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，
则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，
因为P（X=0）= ×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，
所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，
又因为X～B（16，0.0026），
所以E（X）=16×0.0026=0.0416；
（2）（ⅰ）由（1）知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026，
由正态分布知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件，
因此上述监控生产过程方法合理；
（ⅱ）因为用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，
且 = =9.97，s= = ≈0.212，
所以 ﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334， +3 =9.97+3×0.212=10.606，
所以9.22 （ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），
因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，
则剩下的数据估计μ= =10.02，
将剔除掉9.22后剩下的15个数据，利用方差的计算公式代入计算可知σ2≈0.008，
所以σ≈0.09．
【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】（1.）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；
（2.）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；
（ⅱ）通过样本平均数 、样本标准差s估计 、 可知（ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），进而需剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．
8.(2015·湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
（Ⅰ）求Z的分布列和均值；该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
【答案】（Ⅰ）Z的分布列为：
X 8160 10200 10800
P 0.3 0.5 0.2
；（Ⅱ）0.973.
【考点】简单线性规划的应用，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】设每天两种产品的生产数量分别为,相应的获利为Z,
则有
目标函数为.当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为。将变形为，当时，直线:在轴上的截距最大，最大获利.当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为.将变形为，当时，直线在轴上的截距最大，最大获利.当时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为.将变形为，当时，直线:在轴上的截距最大，最大获利.故最大获利Z的分布列为
X 8160 10200 10800
P 0.3 0.5 0.2
因此，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率,有二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为.
【分析】二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．2-1-c-n-j-y
四、综合题
9.（2014 新课标I）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差s2 ．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附： ≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．
【答案】（1）解：抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差s2分别为：
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．
（2）解：（i）由（1）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，
依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26
【考点】离散型随机变量的期望与方差，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】（1）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（2）（i）由（1）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．
10.（2013 湖北）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0 ．
（1）求p0的值；
（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
（2）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
【答案】（1）解：由于随机变量X服从正态分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．
由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=
（2）解：设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y．
依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0 ．
由（1）知，p0=P（X≤900），故P（X≤36x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900．
于是问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y．
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．
由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距 最小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆，B型车12辆．
【考点】简单线性规划，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】（1）变量服从正态分布N（800，502），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0 ． （2）设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解．
模拟题精练
一、单选题
1.一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为， 则此射手的命中率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】解：设此射手的命中率是x，则不能命中的概率为1﹣x，
根据题意，该射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，
即4次射击全部没有命中目标的概率为1﹣=，
有（1﹣x）4=，
解可得，x=，
故选B．
【分析】根据题意，设此射手的命中率是x，则不能命中的概率为1﹣x，又由题意，可得4次射击全部没有命中目标的概率为， 即（1﹣x）4=， 解可得答案．
2.甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%．则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为（ ）
A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.66
【答案】A
【考点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：记甲市下雨为事件A，乙市下雨为事件B，
根据题意有P（A）=0.2，P（B）=0.18，P（AB）=0.12；
则在乙市下雨的条件下，甲市也下雨的概率为 = =0.6；
故选A
【分析】记甲市下雨为事件A，乙市下雨为事件B，根据题意可得P（A）、P（B）、P（AB）的值，“乙市下雨时甲市也下雨的概率”就是求“在乙市下雨的条件下，甲市也下雨的概率”，由条件概率公式，计算可得答案
3.在投篮测试中，每人投3次，其中至少有两次投中才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学能通过测试的概率为（ ）
A. 0.352 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.648
【答案】D
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：该同学通过测试的概率为 0.62 0.4+ 0.63=0.648， 故选D．
【分析】利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，计算求得结果．
4.ξ～B（n，P），Eξ=15，Dξ=11.25，则n=（ ）
A. 60 B. 55 C. 50 D. 45
【答案】A
【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：∵ξ～B（n，P），Eξ=15，Dξ=11.25， ∴nP=15，①
nP（1﹣P）=11.25 ②
∴1﹣P=0.75
∴P=0.25
∴n=60，
故选：A．
【分析】根据变量符合二项分布，得到变量的期望和方差的公式，做出关于n，P的关系式，即可得到n，P的值．21cnjy.com
5.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为 × + × + × = ， 其中比赛进行了3局的概率为 × + × = ，
∴所求概率为 = ，
故选B．
【分析】求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．
6.余江人热情好客，凡逢喜事，一定要摆上酒宴，请亲朋好友、同事高邻来助兴庆贺．欢度佳节，迎亲嫁女，乔迁新居，学业有成，仕途风顺，添丁加口，朋友相聚，都要以酒示意，借酒表达内心的欢喜．而凡有酒宴，一定要划拳，划拳是余江酒文化的特色．余江人划拳注重礼节，形式多样；讲究规矩，蕴含着浓厚的传统文化和淳朴的民俗特色．在礼节上，讲究“尊老尚贤敬远客”一般是东道主自己或委托桌上一位酒量好的划拳高手来“做关”，﹣﹣就是依次陪桌上会划拳的划一年数十二拳（也有半年数六拳）．十二拳之后晚辈还要敬长辈一杯酒． 再一次家族宴上，小明先陪他的叔叔猜拳12下，最后他还要敬他叔叔一杯，规则如下：前两拳只有小明猜赢叔叔，叔叔才会喝下这杯敬酒，且小明也要陪喝，如果第一拳小明没猜到，则小明喝下第一杯酒，继续猜第二拳，没猜到继续喝第二杯，但第三拳不管谁赢双方同饮自己杯中酒，假设小明每拳赢叔叔的概率为 ，问在敬酒这环节小明喝酒三杯的概率是多少（ ）
（猜拳只是一种娱乐，喝酒千万不要过量！）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：在敬酒这环节小明喝酒三杯的情况是第一拳小明没有猜到且第二拳小明也没有猜到， ∴在敬酒这环节小明喝酒三杯的概率是：
p=（1﹣ ）（1﹣ ）= ．
故选：A．
【分析】在敬酒这环节小明喝酒三杯的情况是第一拳小明没有猜到且第二拳小明也没有猜到，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出在敬酒这环节小明喝酒三杯的概率．
7.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P(B|A)的值等于 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”； 所有情况有12种，事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，7=5+2=6+1有两种，可知其概率值为2:12=,故选C.
【分析】本题考查条件概率，条件概率有两种做法，本题采用概率来解，还有一种做法是用事件发生所包含的事件数之比来解出结果，本题出现的不多，以这个题目为例，同学们要认真分析
8.若射手射击5次，每次命中的概率为0.6，则5次中有3次中靶的概率是（ ）
A. 0.6 B. 0.36 C. 0.216 D. 0.3456
【答案】D
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】∵射手射击5次，每次命中的概率为0.6，
∴5次中有3次中靶的概率为C530.630.42=0.3456．
故选：D．
【分析】利用n次独立重复试验事件A发生k次的概率公式求出5次射击中恰好中靶3次的概率．www.21-cn-jy.com
9.某人参加一次考试，规定4道题中解对了3道则为及格，已知他解每一题的正确率为0.4，则他能及格的概率约为（ ）
A. 0.18 B. 0.28 C. 0.38 D. 0.48
【答案】A
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】解：他答对3道题的概率为 0.43（1﹣0.4）=0.1536， 他答对4道题的概率为 0.44=0.0256，
故他能及格的概率为 0.1536+0.0256=0.178≈0.18，
故选A．
【分析】先求得他答对3道题的概率为 0.43（1﹣0.4），他答对4道题的概率为 0.44 ， 相加即得所求．
10.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】相互独立事件
【解析】【分析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．【解答】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品（A1)与仅第二个实习生加工一等品（A2)两种情况，则P（A)=P（A1)+P（A2)=,故选B.
11.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为 和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为 ．假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B， 则“甲射击一次，未击中目标”为事件 ，“乙射击一次，未击中目标”为事件 ，
则P（A）= ，P（ ）=1﹣ = ，P（B）=P，P（ ）=1﹣P，
依题意得： ×（1﹣p）+ ×p= ，
解可得，p= ，
故选C．
【分析】由题意知甲、乙两人射击互不影响，则本题是一个相互独立事件同时发生的概率，根据题意可设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，由相互独立事件的概率公式可得，可得关于p的方程，解方程即可得答案．
12.小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A=“4 个人去的景点不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P（ A|B）=（ ）
A. B. C. D. 【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】A
【考点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：小赵独自去一个景点，则有3个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为3×3×3=27种 所以小赵独自去一个景点的可能性为4×27=108种
因为4 个人去的景点不相同的可能性为4×3×2×1=24种，
所以P（A|B）= = ．
故选：A．
【分析】这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．【来源：21cnj*y.co*m】
二、填空题
13.甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是 ，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于________（用分数作答）． 21*cnjy*com
【答案】
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲队获胜分2种情况
①第1、2两局中连胜2场，概率为P1= × = ；
②第1、2两局中甲队失败1场，而第3局获胜，
概率为P2=C21 （1﹣ ）× =
因此，甲队获胜的概率为P=P1+P2=
【分析】先对甲队的获胜情况进行分类，并分别求其概率，进而可得甲队获胜的概率.
14.甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1 ， 按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2 ， 对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3 ， 当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为， 则a1的取值范围是________
【答案】（﹣∞，12]∪[24，+∞）
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意得，a3的结果有四种：
1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12=4a1﹣36=a3 ，
2．a1→2a1﹣12→（2a1﹣12）+12=a1+6=a3 ，
3．a1→a1+12→（a1+12）+12=a1+18=a3 ，
4．a1→a1+12→2（a1+12）﹣12=a1+18=a3 ，
每一个结果出现的概率都是
∵a1+18＞a1 ， a1+6＞a1 ，
∴要使甲获胜的概率为， 即a3＞a1的概率为，
∴4a1﹣36＞a1 ， a1+18≤a1 ，
或4a1﹣36≤a1 ， a1+18＞a1 ，
解得a1≥24或a1≤12．
故a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）
故答案为：（﹣∞，12]∪[24，+∞）
【分析】按要求操作一次产生一个新的实数，实际上这是一个新定义问题，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为， 可求a1的取值范围．
15.甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为________ ．
【答案】0.58
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可得：两人是否击中目标是相互独立的，
因为两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，
所以两人都击中目标的概率为：0.6×0.7=0.42，
所以甲、乙至多一人击中目标的概率为：1﹣0.42=0.58．
故答案为：0.58．
【分析】根据题意可得两人是否击中目标是相互独立的，利用相互独立事件的概率乘法公式可得答案．
16.下列事件A、B是相互独立事件的是________ ．
①一枚硬币掷两次，事件A表示“第一次为正面”，事件B表示“第二次为反面”②袋中有2白，2黑的小球，不放回的摸两球，事件A表示“第一次摸到白球”，事件B表示“第二次摸到白球”③掷一枚骰子，事件A表示“出现的点数为奇数”，事件B表示“出现的点数为偶数”④事件A表示“人能活到20岁”，事件B表示“人能活到50岁”
【答案】①
【考点】相互独立事件
【解析】【解答】解：①一枚硬币掷两次，事件A表示“第一次为正面”，事件B表示“第二次为反面”，不可能同时发生，故事件A、B是相互独立事件；
②袋中有2白，2黑的小球，不放回的摸两球，事件A表示“第一次摸到白球”，事件B表示“第二次摸到白球”，事件的发生彼此有影响，故事件A、B是相互独立事件；
③掷一枚骰子，事件A表示“出现的点数为奇数”，事件B表示“出现的点数为偶数”，结果具有唯一性事件A、B是互斥事件；
④事件A表示“人能活到20岁”，事件B表示“人能活到50岁”，是条件概率．
故答案为：①．
【分析】根据相互独立事件的定义，即可得出结论．
17.接种某疫苗后，经过大量的试验发现，出现发热反应的概率为， 现有3人接种该疫苗，恰有一人出现发热反应的概率为________
【答案】
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】解：恰有一人出现发热反应的概率为
故答案为：．
【分析】由条件利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式计算求得结果．
18.历年气象统计表明：某地区一天下雨的概率是 ，连续两天下雨的概率是 ．已知该地区某天下雨，则随后一天也下雨的概率是________．
【答案】
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：某地区一天下雨的概率是 ，连续两天下雨的概率是 ． 设该地区某天下雨，随后一天也下雨的概率是p，
则由题意得： ，
解得p= ．
故答案为： ．
【分析】设该地区某天下雨，随后一天也下雨的概率是p，则由题意利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．
三、综合题
19.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（3）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．
【答案】（1）解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，
=
=
=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5
（2）解：
=
=0.5×0.4
=0.2
∴
（3）解：ξ～B（3，0.8），
故ξ的分布列P（ξ=0）=0.23=0.008
P（ξ=1）=C31×0.8×0.22=0.096
P（ξ=2）=C32×0.82×0.2=0.384
P（ξ=3）=0.83=0.512
所以Eξ=3×0.8=2.4
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，包括两种情况：即进入商场的1位顾客购买甲种商品不购买乙种商品，进入商场的1位顾客购买乙种商品不购买甲种商品，分析后代入相互独立事件的概率乘法公式即可得到结论．（2）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习甲商品也不购买乙商品，我们可以利用对立事件概率减法公式求解．（3）由（1）、（2）的结论，我们列出ξ的分布列，计算后代入期望公式即可得到数学期望．
20.袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子．
（1）求得分X的分布列；
（2）求得分大于6的概率．
【答案】（1）解：X的取值为5、6、7、8．
，
，
，
．
X的分布列为
X 5 6 7 8
P
（2）解：根据X的分布列，可得到得分大于6的概率为：
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）X的取值为5、6、7、8．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）根据X的分布列，能得到得分大于6的概率．
21.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．
（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；
（2）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（A）和P（B|A）．
【答案】（1）解：某班从6名班干部中（男生4人，女生2人）选3人参加学校义务劳动， 总的选法有 =20种，男生甲或女生乙被选中的选法有 =12+4=16种，
∴男生甲或女生乙被选中的概率为 =
（2）解：总的选法有 =20种，男生甲被选中的概率为P（A）= ， 男生甲、女生乙都被选中的概率为P（AB）= = ；
则在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率为P（B|A）= =
【考点】互斥事件与对立事件，条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）某班从6名班干部中（男生4人，女生2人）选3人参加学校义务劳动，总的选法有 =20，男生甲或女生乙被选中的选法有 =12+4=16种，由此能求出男生甲或女生乙被选中的概率．（2）总的选法有 =20种，可得男生甲被选中的概率；男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中，再从剩余4人中选1人，有4种选法，由此能求出结果．
22.盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：
（1）取到的2只都是次品；
（2）取到的2只中正品、次品各一只；
（3）取到的2只中至少有一只正品．
【答案】（1）解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有 =36种不同取法， 取到的两只都是次品的情况为 种，
∴取到的2只都是次品的概率p1=
（2）解：取到的2只中正品、次品各一只有两种可能： ①第一次取到正品，第二次取到次品，有4×2种取法；
②第一次取到次品，第二次取到正品，有2×4种取法．
∴取到的2只中正品、次品各一只的概率p2=
（3）解：取到的2只中至少有一只正品的概率p3=1﹣p1=1﹣
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）从6只灯泡中有放回地任取两只，共有 =36种不同取法，取到的两只都是次品的情况为 =4种，由此能求出取到的2只都是次品的概率．（2）取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：①第一次取到正品，第二次取到次品，有4×2种取法；②第一次取到次品，第二次取到正品，有2×4种取法．由此能求出取到的2只中正品、次品各一只的概率．（3）利用对立事件概率公式能求出取到的2只中至少有一只正品的概率．
23.某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对 辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：
经计算：样本的平均值 ，标准差 ，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于 或车速大于 是需矫正速度.
（1）从该快速车道上所有车辆中任取 个，求该车辆是需矫正速度的概率；
（2）从样本中任取 个车辆，求这 个车辆均是需矫正速度的概率
（3）从该快速车道上所有车辆中任取 个，记其中是需矫正速度的个数为 ，求 的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：记事件 为“从该快速车道上所有车辆中任取 个，该车辆是需矫正速度”，
因为 ，
由样本条形图可知，所求的概率为P(A)=
（2）解：记事件 为“从样本中任取 个车辆，这 个车辆均是需矫正速度”
由题设可知样本容量为 ，又需矫正速度个数为 个，故所求概率为
（3）解：需矫正速度的个数 服从二项分布，即 ，
∴ ， ，
，
因此 的分布列为
由 ，知数学期望
【考点】用样本的频率分布估计总体分布，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型 21·cn·jy·com
【解析】【分析】(1)根据题意由已知可得出 μ 3 σ = 78.4 , μ + 2 σ = 89.4，观察样本条形图由图可知P(A)=求出其值即可。(2)利用已知由题设可知样本容量为100，又需矫正速度个数为 5 个根据概率的定义求出比值。(3)按照二项分布的公式逐一代入数值计算出结果列表即可，再结合数学期望的公式代入数值求出即可。
24.现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． 【出处：21教育名师】
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．
【答案】（1）解：：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ，去参加乙游戏的人数的概率为 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），∴P（Ai）=
这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=
（2）解：设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4 ， ∴P（B）=P（A3）+P（A4）=
（3）解：ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）= P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）= ，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=
∴ξ的分布列是
ξ 0 2 4
P
数学期望Eξ=
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ，去参加乙游戏的人数的概率为 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），故P（Ai）= （1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4 ， 利用互斥事件的概率公式可求；（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．
25.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
（1）求红队至少两名队员获胜的概率；
（2）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
【答案】（1）解：设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
∵甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5
可以得到D，E，F的对立事件的概率分别为0.4，0，5，0.5
红队至少两名队员获胜包括四种情况：DE ，D F， ，DEF，
这四种情况是互斥的，
∴P=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55
（2）解：由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3
P（ξ=0）=0.4×0.5×0.5=0.1．，
P（ξ=1）=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35
P（ξ=3）=0.6×0.5×0.5=0.15
P（ξ=2）=1﹣0.1﹣0.35﹣0.15=0.4
∴ξ的分布列是
ξ 0 1 2 3
P 0.1 0.35 0.4 0.15
∴Eξ=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意知红队至少有两名队员获胜包括四种情况，一是只有甲输，二是只有乙输，三是只有丙输，四是三个人都赢，这四种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率得到结果．（2）由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，变量等于2使得概率可以用1减去其他的概率得到，写出分布列，算出期望．
26.西安世园会志愿者招骋正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为 ，甲、乙两人都不能被录用的概率为 ，乙、丙两人都能被录用的概率为 ．
（1）乙、丙两人各自能被录用的概率；
（2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率．
【答案】（1）解：设乙、丙能被录用的概率分别为x，y， 则 且 ，
解得 ， ，
∴乙、丙能被录用的概率分别为 ，
（2）解：设甲、乙、丙能被录用的事件分别为A、B、C，则P（A）= ，P（B）= ，P（C）= ， 且A、B、C相互独立，三人至少有两人能被录用包括ABC、 BC、A C、AB 四种彼此互斥的情况，
则其概率为P（ABC+ BC+A C+AB ）=P（ABC）+P（ BC）+P（A C）+P（AB ）
= × × + × × + × × + × × =
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）设乙、丙能被录用的概率分别为x，y，根据题意，可得 且 ，解可得答案；（2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为A、B、C，分析可得，三人至少有两人能被录用包括ABC、 BC、A C、AB 四种彼此互斥的情况，分别求得各种情况的概率，进而由互斥事件概率的加法公式计算可得答案．
27.设随机变量X的分布列为P（X= ）=ak，（k=1，2，3，4，5）
（1）求a；
（2）求P（X≥ ）；
（3）P（ ）．
【答案】（1）解：∵随机变量X的分布列为P（X= ）=ak，（k=1，2，3，4，5） ∴P（X= ）+P（X= ）+P（X= ）+P（X= ）+P（X=1）
=a+2a+3a+4a+5a=1，
解得a=
（2）解：P（X≥ ）=1﹣P（X= ）﹣P（X﹣ ） =1﹣
= ．
（3）解：P（ ）=P（X= ）+P（X= ）+P（X= ）=
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由随机变量X的分布列的性质能求出a的值．（2）由对立事件概率计算公式能求出P（X≥ ）的值．（3）由互斥事件概率加法公式能求出P（ ）．
28.汽车租赁业被称为“朝阳产业”，因为它具有无须办理保险、无须年检维修、车型可随意更换等优点，以租车代替买车来控制陈本，正慢慢受到国内企事业单位和个人用户的青睐，可以满足人民群众个性化出行、商务活动需求和保障重大社会活动．2013年国庆长假期间某汽车租赁公司为了调查P、Q两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如表： P型车 21世纪教育网版权所有
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 5 10 30 35 15 3 2
Q型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 14 20 20 16 15 10 5
（1）根据一周内的统计数据，预测该公司一辆P型车，一辆Q型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（2）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从P、Q两种车型中购买一辆，请你给出建议应该购买哪一种车型，并说明理由．
【答案】（1）解：设事件Ai表示“一辆P型车在一周内出租天数恰到好处好为i天”， 事件Bj表示“一辆Q型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j=1，2，3，…，7，
则该公司一辆P型车、一辆Q型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为：
P（A1B3+A2B2+A3B1）
=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）
= =
（2）解：设X为P型车出租天数，则X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6 7
P 0.05 0.10 0.30 0.35 0.15 0.03 0.02
设Y为Q型车出租天数，则Y的分布列为：
Y 1 2 3 4 5 6 7
P 0.14 0.20 0.20 0.16 0.15 0.10 0.05
E（X）=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62，
E（Y）=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48，
一辆P类型的出租车一个星期出租天数的平均数为3.62天，Q类型出租车一个星期出租天数的平均值为3.48天，
从出租天数的数据看，P型出租车出租天的方差小于Q型出租车出租天数的方差，
综合分析，选择P类出租车更加合理．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）设事件Ai表示“一辆P型车在一周内出租天数恰到好处好为i天”，事件Bj表示“一辆Q型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j=1，2，3，…，7，则该公司一辆P型车、一辆Q型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P（A1B3+A2B2+A3B1），由此能求出结果．（2）设X为P型车出租天数，求出X的分布列和数学期望，设Y为Q型车出租天数，求出Y的分布列和数学期望，再由出租天数的数据看，P型出租车出租天的方差小于Q型出租车出租天数的方差，由此能求出结果．
29.某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为 ．
（1）求比赛三局甲获胜的概率；
（2）求甲获胜的概率；
（3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．
【答案】（1）解：记甲n局获胜的概率为 Pn ， n=3，4，5， 比赛三局甲获胜的概率是：P3= =
（2）解：比赛四局甲获胜的概率是：P4= = ； 比赛五局甲获胜的概率是：P5= = ；
甲获胜的概率是：P3+P4+P5=
（3）解：记乙n局获胜的概率为 Pn′，n=3，4，5． P3′= = ，P4′= = ； P5′= = ；
故甲比赛次数的分布列为：
X 3 4 5
P（X） P3+P3′ P4+P4′ P5+P5′
所以甲比赛次数的数学期望是：EX=3（ ）+4（ ）+5（ ）=
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）比赛三局甲获胜的概率是：P3= = ．（2）再求出P4和P5 ， 甲获胜的概率是：P3+P4+P5= ．（3）写出甲比赛次数的分布列，根据分布列求得甲比赛次数的数学期望是 EX．
30.某人射击一次命中7～10环的概率如下表
命中环数 7 8 9 10
命中概率 0.16 0.19 0.28 0.24
计算这名射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率；
（3）射中环数不足8环的概率．
【答案】（1）解：某人射击一次命中7环、8环、9环、10环的事件分别记为A、B、C、D 则可得P（A）=0.16，P（B）=0.19，P（C）=0.28，P（D）=0.24
射中10环或9环即为事件D或C有一个发生，根据互斥事件的概率公式可得
P（C+D）=P（C）+P（D）=0.28+0.24=0.52
答：射中10环或9环的概率0.52
（2）解：至少射中7环即为事件A、B、C、D有一个发生，据互斥事件的概率公式可得 P（A+B+C+D）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=0.16+0.19+0.28+0.24=0.87
答：至少射中7环的概率0.87
（3）解：射中环数不足8环，P=1﹣P（B+C+D）=1﹣0.71=0.29 答：射中环数不足8环的概率0.29 21·世纪*教育网
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】某人射击一次命中7环、8环、9环、10环的事件分别记为A、B、C、D，则可得P（A）=0.16，P（B）=0.19，P（C）=0.28，P（D）=0.24（1）事件D或C有一个发生，根据互斥事件的概率公式可得（2）事件A、B、C、D有一个发生，据互斥事件的概率公式可得（3）考虑“射中环数不足8环“的对立事件：利用对立事件的概率公式P（M）=1﹣P（ ）求解即可21教育名师原创作品
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
11.5 二项分布与正态分布
考纲剖析
1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念．
2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．
3．能解决一些简单的实际问题.
知识回顾
1．条件概率及其性质
条件概率的定义 条件概率的性质
设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝ 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
(2)若B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝
2.事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝ ，则称事件A与事件B相互独立．
若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与，与B，与都相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则21教育网
P(A1A2A3…An)＝ ．
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为 ．21*cnjy*com
4．正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a函数φμ，σ(x)＝，x∈R的图象(正态曲线)关于直线 对称，在x＝μ处达到峰值.
(2)正态总体三个基本概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝ .
精讲方法
一、二项分布及其应用
（一）条件概率
条件概率的求法
（1）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B|A）=P（AB）/P（A）。
（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)= n(AB)/ n(A).
(二)事件的相互独立性
1.判断事件是否相互独立的方法
(1)利用定义:
事件A、B相互独立P(AB)=P(A)·P(B).
(2)利用性质:A与B相互独立,则A与,与B, 与也都相互独立.
(3)具体背景下:
①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.
②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.
2.在解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.已知两个事件A、B，它们的概率分别为P（A）、P（B），则【出处：21教育名师】
A、B中至少有一个发生的事件为A∪B；
A、B都发生的事件为AB；
A、B都不发生的事件为；
A、B恰有一个发生的事件为A∪B；
A、B中至多有一个发生的事件为A∪B∪。
注:两事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.学习中要注意两者的区别,以免出现计算错误.
(三)二项分布
1.二项分布满足条件
(1)每次试验中,事件发生的概率是相同的.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生.
(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.
2.解决概率问题的步骤
(1)记“事件”或设“事件”.
(2)确定事件的性质.古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验.把所给问题归结为四类事件中的某一种.
(3)判断事件的运算是和事件还是积事件,即事件是至少有一个发生,还是同时发生,然后分别运用相加或相乘公式.
(4)运用公式进行计算.
(5)简明写出答案.
(四)独立重复试验
注：（1）独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。（2）在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）=在利用该公式时一定要审清公式中的n,k各是多少。
小结
1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看做是C个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k个A事件与(n－k)个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k.
3．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.
例题精讲
考点一 条件概率
【例题1】如图，ABCD是以O为圆心、半径为2的圆的内接正方形，EFGH是正方形ABCD的内接正方形，且E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．将一枚针随机掷到圆O内，用M表示事件“针落在正方形ABCD内”，N表示事件“针落在正方形EFGH内”，则P（N|M）=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：由题意，正方形EFGH与正方形ABCD的边长比为 ， 面积比为 ，
∴P（N|M）= ，
故选C．
【分析】由题意，正方形EFGH与正方形ABCD的边长比为 ，面积比为 ，即可求出P（N|M）．
【变式训练1】如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P，用A表示事件“点P恰好自由曲线 与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P（B|A）等于（ ）
A. B. C. D.
考点二 正态分布下的概率
【例题2】《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N（168，16）．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；
（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望． 参考数据：若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974．
【答案】（1）解：该社区50名市民的平均成绩为162×0.05×4+166×0.07×4+170×0.08×4+174×0.02×4+178×0.02×4+182×0.01×4=168.72， ∴该社区被测试的50名市民的成绩略高于全市市民的平均成绩．
50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人数为50×（0.02+0.02+0.01）×4=10
（2）解：∵P（168﹣3×4≤ξ＜168+3×4）=0.9974，∴P（ξ≥180）= （1﹣0.9974）=0.0013， ∵0.0013×100 000=130．
∴全市前130名的成绩在180个以上（含180个），
这50人中成绩在180 个以上（含180个）的有2人．
∴随机变量ξ的可能取值为0，1，2，
∴P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = ，
∴E（ξ）=0× +1× +2× =
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，频率分布直方图。
【解析】【分析】（1）利用组中值代替本组数据计算平均值，和168比较得出结论；求出后3组的面积之和，再乘上总人数得出成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）利用正态分布得出全市前130名的成绩，得出50名社区居民中符合条件的人数，使用超几何分布的概率公式得出分布列．
【变式训练2】某公司对应聘人员进行能力测试，测试成绩总分为150分．下面是30位应聘人员的测试成绩的测试成绩：64，116，82，93，102，82，104，67，93，118，70，95，119，106，83，72，95，106，72，119，122，95，86，74，131，76，88，108，97，123．
（1）求应聘人员的测试成绩的样本平均数 （保留小数点后两位）；
（2）根据以上数据完成下面茎叶图：
应聘人员的测试成绩
6
7
8
9
10
11
12
13
（3）由茎叶图可以认为，应聘人员的测试成绩Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差s2 ， 其中s2=18.872 ， 利用该正态分布，求P（76.40＜Z＜114.14）．
附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，
P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544． www-2-1-cnjy-com
考点三 独立重复试验与二项分布
【例题3】五一期间，某商场决定从 种服装、 种家电、 种日用品中，选出 种商品进行促销活动. 21教育名师原创作品
（1）试求选出 种商品中至少有一种是家电的概率；
（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高 元，规定购买该商品的顾客有 次抽奖的机会: 若中一次奖，则获得数额为 元的奖金；若中两次奖，则获得数额为 元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 元的奖金. 假设顾客每次抽奖中奖的概率都是 ，请问: 商场将奖金数额 最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？ 21·世纪*教育网
【答案】（1）解：设选出的 种商品中至少有一种是家电为事件A，从 种服装、 种家电、 种日用品中，选出 种商品，一共有 种不同的选法，
选出的 种商品中，没有家电的选法有C种，
所以，选出的 种商品中至少有一种是家电的概率为
（2）解：设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量 ，其所有可能的取值为0， ， ， .（单元：元），
表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以 ，
同理 ;
;
;
顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
，
由 ，解得 ，
所以 最高定为 元，才能使促销方案对商场有利.
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，古典概型及其概率计算公式，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】(1)根据题意由已知求出各种情况下的概率再利用对立事件的概率求出即可。(2)由已知可得随机变量 ξ 所有可能的取值，再根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率即可出各个取值下的概率列表即可，然后再由数学期望方差公式求出结果。
【变式训练3】如图，李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1、L2两条路线，L1路线上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 ；L2路线上有B1、B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为 ， ． 2-1-c-n-j-y
（1）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
真题精析
一、单选题
1.(2015湖北）设，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
21世纪教育网版权所有
A. B.
C. 对任意正数， D. 对任意正数,
2.（2015·山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则％ ，％
A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74%
3.（2015·湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附：若，则，
A. 2386 B. 2718 C. 3413 D. 4772
二、填空题
4.（2017 新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________． 【版权所有：21教育】
三、解答题
5.（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
6.（2017 江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N* ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
1 2 3 … m+n
（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ ．
7.（2017 新课标Ⅰ卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：21*cnjy*com
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592， ≈0.09．
8.(2015·湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
（Ⅰ）求Z的分布列和均值；该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
四、综合题（共2题；共20分）
9.（2014 新课标I）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差s2 ．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附： ≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．
10.（2013 湖北）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0 ．
（1）求p0的值；
（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．） 【来源：21cnj*y.co*m】
（2）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
模拟题精练
一、单选题
1.一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为， 则此射手的命中率是（ ）
A. B. C. D.
2.甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%．则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为（ ）
A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.66
3.在投篮测试中，每人投3次，其中至少有两次投中才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学能通过测试的概率为（ ）
A. 0.352 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.648
4.ξ～B（n，P），Eξ=15，Dξ=11.25，则n=（ ）
A. 60 B. 55 C. 50 D. 45
5.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.余江人热情好客，凡逢喜事，一定要摆上酒宴，请亲朋好友、同事高邻来助兴庆贺．欢度佳节，迎亲嫁女，乔迁新居，学业有成，仕途风顺，添丁加口，朋友相聚，都要以酒示意，借酒表达内心的欢喜．而凡有酒宴，一定要划拳，划拳是余江酒文化的特色．余江人划拳注重礼节，形式多样；讲究规矩，蕴含着浓厚的传统文化和淳朴的民俗特色．在礼节上，讲究“尊老尚贤敬远客”一般是东道主自己或委托桌上一位酒量好的划拳高手来“做关”，﹣﹣就是依次陪桌上会划拳的划一年数十二拳（也有半年数六拳）．十二拳之后晚辈还要敬长辈一杯酒． 再一次家族宴上，小明先陪他的叔叔猜拳12下，最后他还要敬他叔叔一杯，规则如下：前两拳只有小明猜赢叔叔，叔叔才会喝下这杯敬酒，且小明也要陪喝，如果第一拳小明没猜到，则小明喝下第一杯酒，继续猜第二拳，没猜到继续喝第二杯，但第三拳不管谁赢双方同饮自己杯中酒，假设小明每拳赢叔叔的概率为 ，问在敬酒这环节小明喝酒三杯的概率是多少（ ）
（猜拳只是一种娱乐，喝酒千万不要过量！）
A. B. C. D.
7.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P(B|A)的值等于 （ ）
A. B. C. D.
8.若射手射击5次，每次命中的概率为0.6，则5次中有3次中靶的概率是（ ）
A. 0.6 B. 0.36 C. 0.216 D. 0.3456www.21-cn-jy.com
9.某人参加一次考试，规定4道题中解对了3道则为及格，已知他解每一题的正确率为0.4，则他能及格的概率约为（ ）
A. 0.18 B. 0.28 C. 0.38 D. 0.48
10.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为（ ）
A. B. C. D. 21·cn·jy·com
11.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为 和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为 ．假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（ ）
A. B. C. D. 【来源：21·世纪·教育·网】
12.小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A=“4 个人去的景点不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P（A|B）=（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
13.甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是 ，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于________（用分数作答）．
14.甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1 ， 按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2 ， 对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3 ， 当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为， 则a1的取值范围是________
15.甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为________ ．
16.下列事件A、B是相互独立事件的是________ ．
①一枚硬币掷两次，事件A表示“第一次为正面”，事件B表示“第二次为反面”②袋中有2白，2黑的小球，不放回的摸两球，事件A表示“第一次摸到白球”，事件B表示“第二次摸到白球”③掷一枚骰子，事件A表示“出现的点数为奇数”，事件B表示“出现的点数为偶数”④事件A表示“人能活到20岁”，事件B表示“人能活到50岁”
17.接种某疫苗后，经过大量的试验发现，出现发热反应的概率为， 现有3人接种该疫苗，恰有一人出现发热反应的概率为________
18.历年气象统计表明：某地区一天下雨的概率是 ，连续两天下雨的概率是 ．已知该地区某天下雨，则随后一天也下雨的概率是________．
三、综合题
19.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（3）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．
20.袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子．
（1）求得分X的分布列；
（2）求得分大于6的概率．
21.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．
（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；
（2）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（A）和P（B|A）．
22.盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：
（1）取到的2只都是次品；
（2）取到的2只中正品、次品各一只；
（3）取到的2只中至少有一只正品．
23.某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对 辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：
经计算：样本的平均值 ，标准差 ，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于 或车速大于 是需矫正速度.
（1）从该快速车道上所有车辆中任取 个，求该车辆是需矫正速度的概率；
（2）从样本中任取 个车辆，求这 个车辆均是需矫正速度的概率
（3）从该快速车道上所有车辆中任取 个，记其中是需矫正速度的个数为 ，求 的分布列和数学期望.
24.现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．
25.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
（1）求红队至少两名队员获胜的概率；
（2）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
26.西安世园会志愿者招骋正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为 ，甲、乙两人都不能被录用的概率为 ，乙、丙两人都能被录用的概率为 ．
（1）乙、丙两人各自能被录用的概率；
（2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率．
27.设随机变量X的分布列为P（X= ）=ak，（k=1，2，3，4，5）
（1）求a；
（2）求P（X≥ ）；
（3）P（ ）．
28.汽车租赁业被称为“朝阳产业”，因为它具有无须办理保险、无须年检维修、车型可随意更换等优点，以租车代替买车来控制陈本，正慢慢受到国内企事业单位和个人用户的青睐，可以满足人民群众个性化出行、商务活动需求和保障重大社会活动．2013年国庆长假期间某汽车租赁公司为了调查P、Q两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如表： P型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 5 10 30 35 15 3 2
Q型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 14 20 20 16 15 10 5
（1）根据一周内的统计数据，预测该公司一辆P型车，一辆Q型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率； 21cnjy.com
（2）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从P、Q两种车型中购买一辆，请你给出建议应该购买哪一种车型，并说明理由． 2·1·c·n·j·y
29.某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为 ．
（1）求比赛三局甲获胜的概率；
（2）求甲获胜的概率；
（3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．
30.某人射击一次命中7～10环的概率如下表
命中环数 7 8 9 10
命中概率 0.16 0.19 0.28 0.24
计算这名射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率；
（3）射中环数不足8环的概率．
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