5.5 用二次函数解决问题学案（无答案）

二次函数运用
诊断测试
如图，在一面靠墙的空地上用长24米的竹篱笆围成中间隔有两道篱笆的长方形花园。若设花园的宽AB为xm,则（1）花园的长BC为＿＿＿＿＿＿m;
(2)花园的面积S（m）与x的函数关系式＿＿＿；
（3）当x=＿＿＿＿时，S值最大。
2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能售出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个.若设销售单价为x元（x<100），则（1）每个商品的利润为＿＿＿＿元；（2）这种商品的日销售量为＿＿＿＿个；
（3）日销售利润W（元）关于x的函数关系式＿＿＿＿＿＿＿＿.
3．已知一名男同学推出的铅球所经过的路线是二次函数.如图是这个二次函数图像的一部分，点A是这名男同学出手处.
则该男同学把铅球推出去的距离为＿＿＿＿.
4．如图，桥拱是抛物线形，其函数关系式为，当水位线在AB位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h=＿＿＿＿＿m
5．某果品批发公司为指导今年的某种水果的销售，对往年的这种水果市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：
销售价x元/kg
…
25
24
23
22
…
销售量ykg
…
2000
2500
3000
3500
…
试判断y与x的函数关系，并求出y与x的函数关系式；
若这种水果的进价为13元/kg,试求销售利润P元与销售价x元/kg之间的函数关系式，当x为何值时，P的值最大？
6.已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；
（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．
基础演练
例1、某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=-x+60（30≤x≤60）．
设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
例2、某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售,在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上,对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测,提供了两个方面的信息,如图所示.
请你根据图象提供的信息解答:
(1)在3月份出售这种蔬菜,每千克的收益是多少元 (收益=售价-成本)
(2)哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大 说明理由
1.某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元。若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元。已知该服装成本是每件200元。设顾客一次性购买服装件时，该网店从中获利元。
（1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？
2.某家禽养殖场，用总长为110m的围栏靠墙（墙长为22m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
3.某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y=60+2x，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用．
（1）若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为_________
（元/千克），获得的总利润为_______________（元）；
（2）设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w（元）与保存时间x（天）之间的函数关系式；
（3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润．
4、某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)、销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义．
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式．
(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
例3在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数的图象的一部分（如图），如果这个男生的出手处A点坐标为（0，2），铅球路线的最高处B的坐标为（6，5）。
（1）求这个二次函数的解析式。
（2）该男生把铅球推出去多远？（精确到0.01米)
1、如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.
(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？
(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？
2.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成某一角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系h=20t-5t2．请解答以下问题：
（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（3）小球从飞出到落地要用多少时间？
例4、如图,一位篮球运动员在点A处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮框.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数解析式
(2)若该运动员身高1.8米,这次跳投时,球在他头顶上方0.25米处出手,他跳离地面多高
1、练习：
1、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣
1/6x2+bx+c表示，且抛物线时的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为
17/2m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
2、
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m.
（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式.
（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d表示h的函数关系式；
（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？
3．如图所示是一桥供为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽AB=24m，最高点C离水面8m.
建立适当的直角坐标系，求出此主桥拱所在抛物线的函数关系式；
桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处12m的小船，试探究此船能否开到桥下？
例6、如图，二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内。
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为（x,y），试求矩形ABCD的周长p关于自变量x的函数解析式，
（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论。
1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
提升拓展
1、“双十一”淘宝网销售一款工艺品，每件的成本是50元．销售期间发现，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）当降价了x元时，每天的销售利润是
元（直接写出结果）；
（2）当定价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果每天的销售利润不低于4000元，那么每天的总成本至少需要多少元？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
2.已知一次函数y=x+4的图象与二次函数y=ax（x﹣2）的图象相交于A（﹣1，b）和B，点P是线段AB上的动点（不与A、B重合），过点P作PC⊥x轴，与二次函数y=ax（x﹣2）的图象交于点C．
（1）求a、b的值
（2）求线段PC长的最大值；
（3）若△PAC为直角三角形，请直接写出点P的坐标．
4.如图，是将抛物线y=-x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．
课外延伸
1.用
6m
长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？
2.有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为
4m，跨度为
10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中.
①求这条抛物线所对应的函数关系式.
②如图，在对称轴右边
1m
处，桥洞离水面的高是多少？
3.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图16－2所示的直角墙角(两边足够长)，用28
m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x
m.
(1)若花园的面积为192
m2，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15
m和6
m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．
5、.如图，抛物线y＝ax2－x－2(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为(4,0)．(1)求抛物线的解析式；
(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
知识点一：
题型一、抛物线y=-2x -6x+3，当x=_____时，y有最大值是__________
解决生活中的最优化问题
方法：
1、确定变量，设出变量
2、列函数关系式
3、配方或公式法求最值
4、结论
知识点二：
抛物线y=-2x -6x+3，当x=0时，y=__________,当y=0时，x=_____
解决生活中的x、y轴交点问题（抛球）
方法：
1、设恰当的关系式
2、求函数关系式
3、已知x=0求y值或已知0值求x值
4、结论
知识点三：
抛物线y=-2x -6x+3，当x=-1时，y=______,当y=2时，x=_____
解决生活中的求自变量x或函数值y问题（线段长、通行）
方法：
1、建立适当的平面直角坐标系，数学化点的坐标
2、设恰当的关系式
3、求函数关系式
4、已知x值求y值或已知y值求x值
5.结论
知识点四：
二次函数与图形
综合运用几何图形的判定与性质