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29.1.2 正投影
基础训练
1.球的正投影是( )
A.圆 B.椭圆 C.点 D.圆环
2.如图,水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影是( )
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3.把一个正五棱柱如图摆放,当投影线由正前方射到后方时,它的正投影是( )
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4.下列投影中,正投影有( )
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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图所示的圆台的上、下底面与投影线平行,此圆台的正投影是( )
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A.矩形 B.两条线段
C.等腰梯形 D.圆环
6.如图,箭头表示投影线的方向,则图中圆柱体的正投影是( )
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A.圆 B.圆柱 C.梯形 D.矩形
7.小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验,通过观察,发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是( )21教育网
A.三角形 B.线段 C.矩形 D.正方形
8.几何体在平面P的正投影,取决于( )
①几何体形状;②几何体与投影面的位置关系;③投影面P的大小.
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
9.当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影的面积为( )
A.20 cm2 B.300 cm2 C.400 cm2 D.600 cm2
10.一根笔直的小木棒(记为线段AB),它的正投影为线段CD,则下列各式中一定成立的是( )
A.AB=CD B.AB≤CD C.AB>CD D.AB≥CD
11.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是 .
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12.如图,请用平行投影的方法画出圆柱的正投影.
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提升训练
13.已知一根长为8 cm的木棒AB与投影面平行,投影线垂直于投影面.
(1)求此时的影子A1B1的长度;
(2)如图是将木棒绕其端点A逆时针旋转30°后的示意图(此时平面ABB2A2垂直于投影面),求旋转后木棒的影长A2B2.www.21-cn-jy.com
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14.已知一纸板的形状为正方形ABCD, ( http: / / www.21cnjy.com )且边长为10 cm.如图,四边形A1B1C1D1是正方形ABCD在面β上的正投影,AD,BC与投影面β平行,且AB,CD与投影面β成30°角,求正方形ABCD的正投影的面积.2·1·c·n·j·y
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15.操作与研究:
如图,△ABC被平行光线照射,CD⊥AB于D,AB在投影面上.
(1)指出图中AC的投影是什么,CD与BC的投影呢
(2)探究:当△ABC为直角三角形(∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )B=90°)时,易得AC2=AD·AB,此时有如下结论:直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积,这一结论我们称为射影定理.
通过上述结论的推理,请证明以下两个结论:
①BC2=BD·AB;②CD2=AD·BD.
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16.如图,某居民小区有一朝向为正南方向的 ( http: / / www.21cnjy.com )居民楼,该居民楼的一楼是高6 m的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15 m处要盖一栋高20 m的新楼,当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时,21cnjy.com
(1)问:超市以上的居民住房的采光是否有影响
(2)若要使超市采光不受影响,两楼应至少相距多少米
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参考答案
基础训练
1.A 2.D 3.B 4.B
5.C
解析:根据正投影的性质可知,该几何体的正投影应为等腰梯形.
6.D
解析:当投影线与圆柱的底面平行时,它的正投影为矩形.
7.A 8.A 9.C 10.D 11.π
12.错解:如图①所示.
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(第12题①)
剖析:错解的原因是没有正确 ( http: / / www.21cnjy.com )理解正投影的含义.圆柱的正投影是平行光线下的投影,投影线与投影面是垂直的,所以投影后是矩形(最大截面).由于上、下底面与投影面垂直,故其正投影为两条线段,不可能是圆.21·cn·jy·com
正解:如图②所示.
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提升训练
13.分析:(1)当木棒平行于投影面时,其正投影的长度与木棒的长度一致;
(2)当木棒倾斜于投影面时,可转化为解直角三角形来求解.
解:(1)因为木棒平行于投影面,
所以A1B1=AB=8 cm,
即此时的影子A1B1的长度为8 cm.
(2)如图,过点A作AH⊥BB2于点H.
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因为AA2⊥A2B2,BB2⊥A2B2,
所以四边形AA2B2H为矩形,
所以AH=A2B2.
在Rt△ABH中,∠BAH=30°,AB=8 cm,
所以A2B2=AH=AB·cos 30°=8×=4(cm).
即旋转后木棒的影长A2B2为4cm.
14.解:如图,过点A作AH⊥BB1于点H.依题意,得∠BAH=30°,四边形A1B1C1D1是矩形,
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其中
A1D1=AD=B1C1=BC,A1B1=C1D1=AH.
∵AH⊥BB1,∠BAH=30°,
∴AH=AB·cos 30°=10×=5(cm),
∴A1B1=AH=5cm.
∵A1D1=AD=10 cm,
∴=A1B1·A1D1=5×10=50(cm2).21世纪教育网版权所有
则正方形ABCD的正投影的面积是50cm2.
15.(1)解:AC的投影是AD,CD的投影是点D,BC的投影是BD.
(2)证明:易证得△BCD∽△BAC,可得BC2=BD·AB;易证得△ACD∽△CBD,可得CD2=AD·BD.
16.解:(1)如图,设CE=x m,则AF=(20-x)m.
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∵tan 32°=,即20-x=15·tan 32°,
∴x≈11.
∵11>6,∴超市以上的居民住房的采光有影响.
(2)当tan 32°=时,BC≈20×=32(m),
∴若要使超市采光不受影响,两楼应至少相距32 m.
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29.1.2正投影
人教版 九年级下
导入新知
1．什么叫做中心投影、平行投影
2．下面两个图都是表示一块三角板在光线照射下形成的投
影，它们的投影线与投影面的位置关系有什么不同
导入新知
1
知识点
正投影的定义
正投影法：投影线与投影面垂直的平行投影法，
所得的投影，称为正投影 .
知1－导
导入新知
知1－导
q
Q
H
P
H
p
导入新知
新知讲解
新知讲解
例1 如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台
的正投影是（ ）
A、矩形 B、两条线段
C、等腰梯形 D、圆环
根据正投影的定义及正投影形状分析．根据题意：
圆台的上下底面与投影线平行，则圆台的正投影是
该圆台的轴截面，即等腰梯形．故选C．
知1－讲
分析：
C
新知讲解
总 结
知1－讲
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影
面的位置有关．它分物体与投影面平行、倾斜、垂直
三种情况.
巩固提升
如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的
正投影
知1－练
解：(1)如图所示；(2)如图所示．
(1)
(2)
巩固提升
2 投影线________于投影面产生的投影叫做正投影；它包含以下两个要素：
(1)正投影是特殊的________，它不可能是________．
(2)正投影只要求________与________垂直，与物体位
置无关．
知1－练
垂直
平行投影
中心投影
光线
投影面
巩固提升
球的正投影是( )
A．圆 B．椭圆
C．点 D．圆环
【2017·绥化】正方形的正投影不可能是( )
A．线段 B．矩形
C．正方形 D．梯形
知1－练
3
4
A
D
巩固提升
下列投影中，正投影有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
知1－练
5
B
巩固提升
6 如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向
如箭头所示，它的正投影是( )
知1－练
D
巩固提升
底面与投影面垂直的圆锥体的正投影是( )
A．圆 B．三角形
C．矩形 D．正方形
知1－练
7
B
巩固提升
【中考·南宁】把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
知1－练
8
A
巩固提升
如图，投影线的方向如箭头所示，画出下列各图形的正投影．
知1－练
9
解：如图所示．
新知讲解
2
知识点
正投影的性质
知2－讲
如图,把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置：
(1) 铁丝平行于投影面；
(2) 铁丝倾斜于投影面；
(3) 铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有交点）.
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状
新知讲解
知2－讲
通过观察、测量可知：
(1)当线段AB平行于投影面时，它的正投影是线段A1B1，
它们的大小 关系为AB=A1B1;
(2)当线段AB倾斜于投影面时，它的正投影是线段A2B2，
它们的大小 关系为AB＞A2B2;
(3)当线段AB垂直于投影面时，它的正投影是一个点A3.
新知讲解
知2－讲
如图,把一块正方形硬纸板P (记为正方形ABCD)放在
三个不同位置：
(1) 纸板平行于投影面； (2) 纸板倾斜于投影面；
(3) 纸板垂直于投影面.
三种情形下纸板的正投影各是什么形状
新知讲解
知2－讲
通过观察、测量可知：
当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、
大小一样；
当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、
大小不完全 一样；
(3) 当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为一条线段.
新知讲解
总 结
知2－讲
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投
影与这个面的形状、 大小完全相同.
新知讲解
例2 画出如图摆放的正方体在投影面 上的正投影.
(1) 正方体的一个面ABCD平行于投影面 (图(1));
(2) 正方体的一个面ABCD倾斜于投影面， 底面ADEF 垂
直于投影面，并且其对角线AE垂 直于投影面(图(2) )
知2－讲
新知讲解
(1)当正方体在如图 (1)的位置时，正方体的一个面
ABCD 及与其相对的另一面与投影面平行，这两
个面的正投影是与正方体的一个面的 形状、大小
完全相同的正方形A′B′C′D′.正方形A′B′C′D′的四
条边分别是正方 体其余四个面（这些面垂直于投
影面）的投影.因此，正方体的正投影是一个正 方
形.
知2－讲
分析：
新知讲解
(2)当正方体在如图 (2)的位置时，它的面ABCD和面
ABGF 倾斜于投影面，它们的投影分别是矩形
A′B′C′D′和A′B′G′F′ ;正方体其余两个侧面的投影
也分别是上述矩形；上、下底面的投影分别是线
段D′F′和C′G′.因此，正方体的投影是矩形F′G′C′D′
其中线段A′B′把矩形一分 为二.
知2－讲
新知讲解
(1)如图 (1)，正方体的正投影为 正方形A′B′C′D′ ，
它与正方体的一个面是全等 关系.
(2)如图(2)，正方体的正投影为矩形F′G′C′D′ ,这个
矩形的长等于正方体的底面对角线长，矩形的宽
等于正方体的棱长.矩形上、 下两边中点连线A′B′
是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的
投影.
知2－讲
解：
新知讲解
总 结
知2－讲
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面
的位置有关．画一般立体图形的正投影的关键是找
出平行于投影面的立体图形的最大截面．
巩固提升
一根笔直的小木棒(记为线段AB)，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是( )
A．AB＝CD B．AB≤CD
C．AB＞CD D．AB≥CD
知2－练
1
D
巩固提升
2
知2－练
(中考·南宁)小乐用一块矩形硬纸板在阳光下做投影实
验，通过观察，发现这块矩形硬纸板在平整的地面上
不可能出现的投影是( )
A．三角形 B．线段
C．矩形 D．平行四边形
A
巩固提升
3
知2－练
当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时，
这个正方体的正投影的面积为( )
A．200 cm2 B．300 cm2
C．400 cm2 D．600 cm2
C
巩固提升
知2－练
几何体在平面P的正投影，取决于( )
①几何体的形状；②投影面与几何体的位置关系；
③投影面P的大小．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
4
A
课堂小结
1.回顾正投影的含义及其性质；
2.反思作简单几何图形的正投影的过程及自己作图过
程中失误的原因，体会正投影的作图方法与技巧；
3.物体的正投影的形状、大小与它相对于投影面的位
置是否有关系？
1
知识小结
课堂小结
如图所示，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放
一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的
正投影是( )
2
易错小结
易错点：对正方体的正投影的类型认识不全而致错.
C
谢谢
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