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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
12.1 合情推理与演绎推理（答案）
知识回顾
1．合情推理
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
2．演绎推理
(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
例题精讲
考点一 归纳推理
【变式训练1】（1）观察下列式子： ， ， ， …，根据以上规律，第n个不等式是________．
【答案】
【考点】归纳推理
【解析】【解答】解：根据所给不等式可得 ． 故答案为： ．
【分析】根据所给不等式，即可得出结论．21·世纪*教育网
（2）如下等式：
以此类推，则2018出现在第________个等式中．
【答案】31
【考点】归纳推理
【解析】【解答】解：①2+4=6； ②8+10+12=14+16；
③18+20+22+24=26+28+30，…
其规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，
所以第n个等式的首项为2[1+3+…+（2n﹣1）]=2× =2n2 ，
当n=31时，等式的首项为2×312=1932，
当n=32时，等式的首项为2×322=2048，
所以2018在第31个等式中，
故答案为：31
【分析】从已知等式分析，发现规律为：各等式首项分别为2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，即可得出结论．
考点二 类比推理
【变式训练2】有限与无限转化是数学中一种重要思想方法，如在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x．这可以通过方程 =x确定出来x=2，类似地可以把循环小数化为分数，把0. 化为分数的结果为________．
【答案】
【考点】类比推理
【解析】【解答】解：设0. =x，则0.00 = x， 则0.36+ x=x，
解得x= ，
故答案为：
【分析】根据上述可设0. =x，则可得到方程0.36+ x=x，解得即可．
考点三 演绎推理
【变式训练3】（1）下列推理过程属于演绎推理的为（ ）
A. 老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验
B. 由1=12 ， 1+3=22 ， 1+3+5=32 ， …得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2
C. 由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点
D. 通项公式形如an=cqn（cq≠0）的数列{an}为等比数列，则数列{﹣2n}为等比数列
【答案】D
【考点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解：∵老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处， 故A中推理为类比推理；
∵由1=12 ， 1+3=22 ， 1+3+5=32 ， …得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2 ，
是由特殊到一般
故B中推理为归纳推理；
∵由三角形性质得到四面体的性质有相似之处，
故C中推理为类比推理；
∵由通项公式形如an=cqn（cq≠0）的数列{an}为等比数列（大前提），数列{﹣2n}满足这种形式（小前提），则数列{﹣2n}为等比数列（结论）
可得D中推理为演绎推理．
【分析】根据类比推理的定义及特征，可以判断出A，C为类比推理，根据归纳推理的定义及特征，可以判断出B为归纳推理，根据演绎推理的定义及特征，可以判断出D为演绎推理．
（2）下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：
设第n个图有an个树枝，则an+1与an（n≥2）之间的关系是________．
【答案】an+1﹣an=n2+1
【考点】数列递推式，进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解：由题意，图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，an+1﹣an=n2+1 故答案为：an+1﹣an=n2+1
【分析】根据所给图形的规律，图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，即可得到结论．
真题精析
一、单选题
1.（2017 新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A. 乙可以知道两人的成绩 B. 丁可能知道两人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
【考点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，
故选：D．
【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案
2.（2014 福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A. （1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5 B. （1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5
C. （1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5） D. （1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）
【答案】A
【考点】归纳推理，进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个
球，共6种情况，则其所有取法为1+ c+ c2+ c3+ c4+ c5=（1+c）5 ， 根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5 ．
故选：A．
【分析】根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决．21教育网
3.（2014 北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ）
A. 2人 B. 3人 C. 4人 D. 5人2·1·c·n·j·y
【答案】B
【考点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，
语文成绩得B得也最多只有一个，
得C最多只有一个，
因此学生最多只有3人，
显然（AC）（BB）（CA）满足条件，
故学生最多有3个．
故选：B．
【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．
4.（2013 上海）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 、 ；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 、 ．若m、M分别为（ + + ） （ + + ）的最小值、最大值，其中{i，j，k} {1，2，3，4，5}，{r，s，t} {1，2，3，4，5}，则m、M满足（ ）
A. m=0，M＞0 B. m＜0，M＞0 C. m＜0，M=0 D. m＜0，M＜0
【答案】D
【考点】平面向量数量积的运算，进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 、 ；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 、 ，
∴利用向量的数量积公式，可知只有 ，其余数量积均小于等于0，
∵m、M分别为（ + + ） （ + + ）的最小值、最大值，
∴m＜0，M＜0
故选D．
【分析】利用向量的数量积公式，可知只有 ，其余数量积均小于等于0，从而可结论．
5.（2013 广东）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（ ）
A. （y，z，w）∈S，（x，y，w） S B. （y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S
C. （y，z，w） S，（x，y，w）∈S D. （y，z，w） S，（x，y，w） S
【答案】B
【考点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：方法一：特殊值排除法，
取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，
此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D均错误；
只有B成立，故选B．
直接法：
根据题意知，只要y＜z＜w，z＜w＜y，w＜y＜z中或x＜y＜w，y＜w＜x，w＜x＜y中恰有一个成立则可判断（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．
∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，
∴x＜y＜z…①，y＜z＜x…②，z＜x＜y…③三个式子中恰有一个成立； z＜w＜x…④，w＜x＜z…⑤，x＜z＜w…⑥三个式子中恰有一个成立．
配对后有四种情况成立，
第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；
第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；
第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；
第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．
综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．
故选B．
【分析】特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项，即得答案．
6.（2016 全国）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（ ）
A. 各月的平均最低气温都在0℃以上 B. 七月的平均温差比一月的平均温差大
C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个
【答案】D
【考点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确
B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确
D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，
故选：D
【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．
7.（2016 北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )
A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球 D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【答案】B
【考点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】取两个球往盒子中放有 种情况：
①红+红，则乙盒中红球数加 个；
②黑+黑，则丙盒中黑球数加 个；
③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加 个；
④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加 个．
因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．
③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．
① 和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．
综上，选B
【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析
二、填空题
8.（2017 上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1 ， P2 ， P3 ， P4}，点P∈Ω，过P作直线lP ， 使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧．用D1（lP）和D2（lP）分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和．若过P的直线lP中有且只有一条满足D1（lP）=D2（lP），则Ω中所有这样的P为________．
【答案】P1、P3、P4
【考点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：设记为“▲”的四个点为A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，
易知EFGH为平行四边形；如图所示，
四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2 ，
即符合条件的直线lP一定经过点P2 ，
因此：经过点P2的直线有无数条；
同时经过点P1和P2的直线仅有1条，
同时经过点P3和P2的直线仅有1条，
同时经过点P4和P2的直线仅有1条，
所以符合条件的点为P1、P3、P4 ．
故答案为：P1、P3、P4 ．
【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，让四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，那么该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和是相等的；由此得出结论．
9.（2014 新课标I）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________．
【答案】A
【考点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为A．
故答案为：A．
【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．
10.（2013 上海）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）2+y2=1（x≥1）和（x﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π +8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．
【答案】2π2+16π
【考点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4 +8π，该截面的截面积由两部分组成，
一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4 ，看作是把一个半径为1，
高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，
这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，
即Ω的体积为π 12 2π+2 8π=2π2+16π．
故答案为2π2+16π．
【分析】由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可．
11.（2013 上海）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32 ， 所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________．
【答案】4836
【考点】类比推理
【解析】【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：
2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53 ，
所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53）=4836．
可求得2000的所有正约数之和为 4836．
故答案为：4836．
【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53 ， 所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53），即可得出答案．
12.（2013 湖北）设x，y，z∈R，且满足： ，则x+y+z=________．
【答案】
【考点】进行简单的合情推理，一般形式的柯西不等式
【解析】【解答】解：根据柯西不等式，得
（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）
当且仅当 时，上式的等号成立
∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，
结合 ，可得x+2y+3z恰好取到最大值
∴ = ，可得x= ，y= ，z=
因此，x+y+z= + + =
故答案为：
【分析】根据柯西不等式，算出（x+2y+3z）2≤14（x2+y2+z2）=14，从而得到x+2y+3z恰好取到最大值 ，由不等式的等号成立的条件解出x= 、y= 且z= ，由此即可得到x+y+z的值．
13.（2016 全国）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________。
【答案】1和3
【考点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；
∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；
∴甲的卡片上的数字是1和3，
故甲1和3
【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．
14.(2015·山东）
观察下列各式：
……
照此规律，当nN时，
________ .
【答案】
【考点】组合数公式的推导，进行简单的合情推理
【解析】【解答】因为第一个等式右端为：；第二个等式右端为：；第三个等式右端为：·
由归纳推理得：第n个等式为：所以答案应填：
【分析】本题考查了合情推理与组合数，重点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律，从而得到结论.此题属基础题.
三、综合题
15.（2013 湖南）设函数f（x）=ax+bx﹣cx ， 其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为________． 21世纪教育网版权所有
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号）
① x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；
② x∈R，使ax ， bx ， cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则 x∈（1，2），使f（x）=0．
【答案】（1）{x|0＜x≤1}
（2）①②③
【考点】命题的真假判断与应用，进行简单的合情推理，函数的零点
【解析】【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a，所以 ，则 ．
令f（x）=ax+bx﹣cx= ．
得 ，所以 ．
又∵ ＞1，则ln ＞0，所以x= ＞0，
所以0＜x≤1．
故答案为{x|0＜x≤1}；
（2）①因为 ，
又 ，
所以对 x∈（﹣∞，1）， ．
所以命题①正确；
②令x=﹣1，a=2，b=4，c=5．则ax= ，bx= ，cx= ．不能构成一个三角形的三条边长．
所以命题②正确；
③若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．
f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．
所以 x∈（1，2），使f（x）=0．
所以命题③正确．
故答案为①②③．
【分析】（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得 的范围，解出函数f（x）=ax+bx﹣cx的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=ax+bx﹣cx变形为 ，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．
16.（2015·新课标II）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若abcd，则++;
（2）++是|a-b||c-d|的充要条件
【答案】（1）∵（+）2 =a+b+2,（+）2=c+d+2,
由题设a+b=c+d，abcd，得+）2（+）2，
∴++。
（2）若|a-b||c-d|，则（a-b）2（c-d）2 ， 即（a+b）2-4ab（c+d）2-4cd
∵a+b=c+d，
∴abcd，
由（I）得++。
若++，则（+）2（+）2 ， 即a+b+2c+d+2
∵a+b=c+d，所以abcd，于是（a-b）2=（a+b）2-4ab（c+d）2-4cd=（c-d）2.
∴|a-b||c-d|
综上所述，++是|a-b||c-d|的充要条件。
【考点】归纳推理，类比推理，进行简单的合情推理
【解析】（I）要证明++， 只需证明（+）2（+）2;展开结合已知条件易证；
（Ⅱ）充要条件的证明需要分为两步，即充分条件的证明和必要条件的证明．证明的关键是寻找条件和结论以及它们和已知之间的联系．21·cn·jy·com
17.（2015·北京卷）已知数列满足：，，且(n=1,2,...)．记
集合．
（1）（Ⅰ）若，写出集合M的所有元素；
（2）（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
（3）（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
【答案】（1）{6,12,24}
（2）证明：（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设 ak 是3的倍数，由已知 ，可用用数学归纳法证明对任意 n ≥ k ， an 是3的倍数，当 k = 1 时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果 k > 1 时，因为 ak = 2ak-1 或 2ak-1 -36 ，所以 2ak-1 是3的倍数，于是 ak-1 是3的倍数，类似可得， ak -2 . . . . . . a1 都是3的倍数，从而对任意 n ≥ 1 ， an 是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数.
（3）8
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】（Ⅰ）由已知可知：，因此。
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数.
（III ）由于M中的元素都不超过36，由,易得，类似可得,其次M中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二哥数必定为偶数，由的定义可知，第三个数后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数，由定义可知，和除以9的余数一样，
（1）若中有3的倍数，由（2）知：所有都是3的倍数，所以都是3的倍数，所以除以9的余数为3，6，3，6，......，或6，3，6，3......，或0，0，0......，而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项，最多4项。
（2）若中没有3的倍数，则都不是3的倍数，对于除以9的余数只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从起，除以9的余数是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，......，不断的6项循环（可能从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，5且是4的倍数（不大于36），只有28，20，4，8，16，32，所以M中的项加上前两项最多的8项，则时，,项数为8，所以集合M的元素个数的最大值为8.
【分析】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二、三两步难度较大，适合选拔优秀学生.
模拟题精练
一、单选题
1.演绎推理“因为对数函数y=logax是增函数（大前提），而y=logx是对数函数（小前提），所以y=logx是增函数（结论）”所得结论错误的原因是（ ）
A. 大前提错 B. 小前提错 C. 推理形式错 D. 大前提和小前提都错
【答案】A
【考点】演绎推理的意义
【解析】【解答】∵当a＞1时，对数函数是一个增函数，
当0＜a＜1时，对数函数是一个减函数，
∴对数函数y=logax是增函数这个大前提是错误的，
从而导致结论错．
故选：A.
【分析】对于对数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，函数是一个减函数．故对数函数是增函数这个大前提是错误的，得到结论。
2.用数学归纳法证明不等式“ + +…+ ＞ （n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（ ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A. 增加了一项
B. 增加了两项
C. 增加了两项 ，又减少了一项
D. 增加了一项 ，又减少了一项
【答案】C
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【解答】解： ，
=
故选C
【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“ + +…+ ＞ （n＞2）左边的各项，他们都是以 开始，以 项结束，共n项，当由n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．
3.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c∈N*）；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是（ ）
A. 每场比赛第一名得分a为4 B. 甲可能有一场比赛获得第二名
C. 乙有四场比赛获得第三名 D. 丙可能有一场比赛获得第一名
【答案】C
【考点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：由题可知（a+b+c）×N=26+11+11=48，且a、b、c及N都是正整数， 所以a+b+c也是正整数，48能被N整除，
N的可能结果是1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
经检验当N=5时 a+b+c=8且a＞b＞c 推断出a=5，b=2，c=1
最后得出结论甲4个项目得第一，1个项目得第二
乙4个项目得第三，1个项目得第一
丙4个项目得第二，1个项目得第三，
故选：C．
【分析】由题可知（a+b+c）×N=26+11+11=48，且a、b、c及N都是正整数，推出N的可能结果，即可判断．
4.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过济南、潍坊、青岛三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过潍坊；乙说：我没去过青岛；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为（ ）
A. 济南 B. 青岛 C. 济南和潍坊 D. 济南和青岛
【答案】A
【考点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：由乙说：我没去过青岛，则乙可能去过济南或潍坊， 但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过潍坊，则乙只能是去过济南，潍坊中的任一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为济南．
故选：A．
【分析】可先由乙推出，可可能去过济南或潍坊，再由甲推出只能是济南，潍坊中的一个，再由丙即可推出结论．
5.已知x>0，由不等式可以推出结论,则a=( )
A. 2 B. 3 C. n2 D. nn
【答案】D
【考点】归纳推理
【解析】【解答】根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简．消去根号，得到右式；对于给出的等式， 左边变形为， 前n个表达式分母都是n，那么根据均值不等式，必有为定值，则可知选D.
【分析】本题考查归纳推理，需要注意不等式左右两边的变化规律，并要结合基本不等式进行分析．
6.记录k（k≤n）个点的颜色，称为该圆的一个“k阶段序”，当且仅当两个k阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k阶色序．若某圆的任意两个“k阶段序”均不相同，则称该圆为“k阶魅力圆”．“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
【考点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：“3阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有2×2×2=8种， 一方面，n个点可以构成n个“3阶色序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个；
另一方面，若n=8，则必需包含全部共8个“3阶色序”，
不妨从（红，红，红）开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件．
故“3阶魅力圆”中最多可有8个等分点．
故选：C
【分析】由题意可得，“3阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有2×2×2=8种，从两个方面进行了论证，即可得到答案．
7.某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立. 现已知当n=7时该命题不成立，那么可推得（ ）
A. 当n=6时该命题不成立 B. 当n=6时该命题成立
C. 当n=8时该命题不成立 D. 当n=8时该命题成立
【答案】A
【考点】归纳推理，数学归纳法
【解析】【解答】由当时该命题不成立，可以推出当时该命题不成立，否则如果当时该命题成立，由已知可得当时该命题成立，与已知矛盾.
【分析】判断此小题有些类似于逆否命题的判断.www.21-cn-jy.com
8.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（ ） 21教育名师原创作品
A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确21*cnjy*com
【答案】A
【考点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题， 因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，
∴大前提错误，
故选A．
【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．
9.类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是（ ）
A. 连续两项的和相等的数列叫等和数列
B. 从第二项起，以后每一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列
C. 从第二项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列
D. 从第一项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列
【答案】C
【考点】类比推理
【解析】【解答】类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是“从第二项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列”，故选C。
【分析】类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。本题属于基础题。
10.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ）
A. 演绎推理 B. 类比推理 C. 合情推理 D. 归纳推理
【答案】A
【考点】演绎推理的基本方法
【解析】【解答】解：在推理过程“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”中
所有金属都能导电，是大前提
铁是金属，是小前提
所以铁能导电，是结论
故此推理为演绎推理
故选A
【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．
11.凸 n 边形有 f(n) 条对角线，则凸 n+1 边形的对角线的条数 f(n+1) 为（ ）
A. f(n)+n+1 B. f(n)+n C. f(n)+n-1 D. f(n)+n-2
【答案】C
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【解答】凸多边形边数增加1条，即增加一个顶点，自这一顶点向其它不相邻的k-2个顶点可引k-2条对角线，原来一条边变为对角线，所以共增加k-1条，故选C。
考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤，多边形
【分析】本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法分析计算即可
二、填空题
12.甲、乙、丙三位同学同时参加M项体育比赛，每项比赛第一名、第二名、第三名得分分别为p1 ， p2 ， p3（p1＞p2＞p3 ， p1 ， p2 ， p3∈N*，比赛没有并列名次），比赛结果甲得22分，乙、丙都得9分，且乙有一项得第一名，则M的值为________．
【答案】2，3，4，5
【考点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：M=1时不成立． M=2时，假设第一项比赛得分分别为：乙8甲7丙6，则另一项比赛得分分别为：甲15丙3乙1．满足条件．
M=3时，可能三项得分分别为：乙7甲6丙5，甲8丙2乙1，甲8丙2乙1，满足条件．
M=4时，可能三项得分分别为：乙6甲5丙2，甲6丙3乙1，甲6丙2乙1，甲5丙2乙1，满足条件．
M=5时，可能三项得分分别为：乙5甲4丙1，甲5丙2乙1，甲5丙2乙1，甲4丙2乙1，甲4丙2乙1，满足条件．
M≥6时，不可能满足条件．
综上可得：M的值可为：2，3，4，5．
故答案为：2，3，4，5．
【分析】M=1时不成立．M=2时，假设第一项比赛得分分别为：乙8甲7丙6，则另一项比赛得分分别为：甲15丙3乙1．满足条件．同理可得：M=3，4，5满足条件．M≥6时，不可能满足条件．
13.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为________．
【答案】1：8
【考点】类比推理
【解析】【解答】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，
类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：
在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 1：8
故答案为：1：8．
【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．
14.已知在等差数列{an}中， ，则在等比数列{bn}中，类似的结论为________．
【答案】
【考点】类比推理
【解析】【解答】解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，
等差数列中除法对应等比数列中的开方，
故此我们可以类比得到结论： ．
故答案为： ．
【分析】在等差数列中，等差数列的性质m+n=p+q，则am+an=ap+aq ， 那么对应的在等比数列中对应的性质是若m+n=p+q，则bmbn=bpbq ．
15.用演绎推理证明“y=tanx是周期函数”时，大前提为________
【答案】若对定义域内任意的x都有：f（x+T）=f（x），则f（x）为周期函数
【考点】演绎推理的意义
【解析】【解答】∵证明“y=tanx是周期函数”时，依据的原理就是周期函数的定义，即若对定义域内任意的x都有：f（x+T）=f（x），则f（x）为周期函数，
∴用演绎推理证明“y=tanx是周期函数”时，大前提为：若对定义域内任意的x都有：f（x+T）=f（x），则f（x）为周期函数；
故答案为：若对定义域内任意的x都有：f（x+T）=f（x），则f（x）为周期函数．
【分析】大前提是指一个一般的原理，证明“y=tanx是周期函数”时，依据的原理就是周期函数的定义，即若对定义域内任意的x都有：f（x+T）=f（x），则f（x）为周期函数。
16.在平面内，Rt△ABC中，BA⊥CA，有结论BC2=AC2+AB2 ， 空间中，在四面体V﹣BCD中，VB，VC，VD两两互相垂直，且侧面的3个三角形面积分别记为S1 ， S2 ， S3 ， 底面△BCD的面积记为S，类比平面可得到空间四面体的一个结论是________．
【答案】
【考点】类比推理
【解析】【解答】解：由边对应着面，边长对应着面积， 由类比可得 ．
故答案为： ．
【分析】斜边的平方等于两个直角边的平方和，边对应面．可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和．
17.已知x＞0，观察下列不等式：①x ，②x ③x ≥4，…，则第n个不等式为________．
【答案】x
【考点】归纳推理
【解析】【解答】解：观察下列不等式：①x ，②x ③x ≥4，…， 可知，各个不等式左边共有两项，第一项都为x，第二项依次为 ， ， ，… ，右边依次为2，3，4，…，n+1
从而得满足的不等式为x ．
故答案为：x ．
【分析】根据不等式：①x ，②x ③x ≥4，…，结合左右两边式子的特点，可以猜测第n个不等式x ．【来源：21·世纪·教育·网】
三、综合题
18.请先阅读：
在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x） 2=4cosx （﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx sinx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），证明： ．
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i） ；
（ii） ；
（iii） ．
【答案】（1）证明：在等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn两边对x求导得n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1
移项得 （*）
（2）证明：（i）在（*）式中，令x=﹣1，整理得
所以
（ii）由（1）知n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1 ， n≥3
两边对x求导，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2Cn2+3 2Cn3x+…+n（n﹣1）Cnnxn﹣2
在上式中，令x=﹣1，得0=2Cn2+3 2Cn3（﹣1）+…+n（n﹣1）Cn2（﹣1）n﹣2
即 ，
亦即 （1）
又由（i）知 （2）
由（1）+（2）得
（iii）将等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn两边在[0，1]上对x积分
由微积分基本定理，得
所以
【考点】微积分基本定理，二项式定理，类比推理
【解析】【分析】（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式．（2）（i）对（1）中的x 赋值﹣1，整理得到恒等式．（ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值﹣1化简即得证．（iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．
19.在数列{an}中， ，an+1= ．
（1）计算a2 ， a3 ， a4并猜想数列{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】（1）解：∵ ，an+1= ． ∴a2= = ，a3= = ，a4= =
猜想数列{an}的通项公式为an=
（2）解：①n=1时，a1= = 满足通项公式； ②假设当n=k时猜想成立，即 ，则 = = ，
当n=k+1时猜想也成立．
综合①②，对n∈N*猜想都成立
【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）根据 ，an+1= 可求出a2 ， a3 ， a4的值，根据前四项的值可猜想数列{an}的通项公式；（2）根据数学归纳法的步骤进行证明即可．
20.设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（1）g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+ ， 求g1（x），g2（x），g3（x），并猜想gn（x）的表达式（不必证明）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N+ ， 比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并用数学归纳法加以证明．
【答案】（1）解：f′（x）= ，g（x）= ， ∴
猜想：gn（x）= （x≥0）
（2）解：令h（x）=f（x）﹣ag（x）=ln（1+x）﹣ （x≥0）， ∵f（x）≥ag（x）恒成立，∴hmin（x）≥0．
h′（x）= ﹣ = ，
令h′（x）＞0得x＞a﹣1，
当a﹣1≤0即a≤1时，h（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴hmin（x）=h（0）=0，符合题意；
当a﹣1＞0即a＞1时，h（x）在[0，a﹣1）上单调递减，在[a﹣1，+∞）上单调递增，
∴hmin（x）=h（a﹣1）=lna﹣a+1，
令φ（a）=lna﹣a+1（a＞1），则φ′（a）= ﹣1＜0，
∴φ（a）在（1，+∞）上单调递减，
∴φ（a）＜φ（1）=0，
即hmin（x）＜0，不符合题意．
综上，a的取值范围是（﹣∞，1]
（3）解：g（1）= ，1﹣f（1）=1﹣ln2， ∵ln2＞ln = ，∴1﹣ln2＜ ，即g（1）＞1﹣f（1），
猜想：
证明如下：
（i）当n=1时，显然猜想成立；
（ii） 假设n=k时， 成立，
当n=k+1时，左边=
欲证左边＞右边，
即证： ，
即证：
由（2）中的结论，令a=1得不等式：
所以 成立
即n=k+1时，猜想成立．
由（i） （ii） 对一切n∈N+ ， 不等式 成立
【考点】归纳推理，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）求出g（x）的解析式，依次计算即可得出猜想；（2）令h（x）=f（x）﹣ag（x）=ln（1+x）﹣ （x≥0），对a进行讨论，求出h（x）的最小值，令hmin（x）≥0恒成立即可；（3）比较g（1）与1﹣f（1）猜测大小关系，利用（2）的结论进行证明．
21.设数列{an}满足：a1=1且an+1=2an+1（n∈N+）．
（1）求数列{an}的前n项和Sn；
（2）用数学归纳法证明不等式： + +…+ ＜n（n≥2，n∈N+）．
【答案】（1）解：由题意有： ， 即{an+1}是一个以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴ ，
∴ =
（2）证明：由（Ⅰ）可得所证不等式为 （n≥2，n∈N*）． 下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，左边= ，不等式成立；
③ 假设n=k（k≥2，k∈N*）时不等式成立，
即 ，
当n=k+1时，不等式左边= ，
∵k≥2，k∈N* ， ∴ ，∴ ，
∴当n=k+1时， 成立，
综上①②，对任意n∈N* ， 不等式成立
【考点】数列的求和，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式，和等比数列的求和公式即可求出答案．（2）直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=2时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．
22.在数列{an}中， ，an+1= ．
（1）计算a2 ， a3 ， a4并猜想数列{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】（1）解：∵ ，an+1= ． ∴a2= = ，a3= = ，a4= =
猜想数列{an}的通项公式为an=
（2）解：①n=1时，a1= = 满足通项公式； ②假设当n=k时猜想成立，即 ，则 = = ，
当n=k+1时猜想也成立．
综合①②，对n∈N*猜想都成立
【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）根据 ，an+1= 可求出a2 ， a3 ， a4的值，根据前四项的值可猜想数列{an}的通项公式；（2）根据数学归纳法的步骤进行证明即可．
23.已知函数f（x）= ．
（1）计算f（3），f（4），f（ ）及f（ ）的值；
（2）由（1）的结果猜想一个普遍的结论，并加以证明；
（3）求值f（1）+f（2）+…+f（2017）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）．
【答案】（1）解：
（2）解：猜想： ．证明如下： 因为 ，所以 ，
所以
（3）解：因为 ， 所以 ，…， ，
又 ，所以f（1）=1，
故 =1+2016×2=4 033
【考点】归纳推理
【解析】【分析】（1）代值计算即可，（2）猜想： ，根据条件证明即可，（3）由（2）的结论可得．
24.已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=﹣ ，Sn+ =an﹣2（n≥2，n∈N）
（1）求S2 ， S3 ， S4的值；
（2）猜想Sn的表达式；并用数学归纳法加以证明．
【答案】（1）解： S1=a1=﹣ ，∵Sn+ =an﹣2（n≥2，n∈N），令n=2可得，
S2+ =a2﹣2=S2﹣a1﹣2，∴ = ﹣2，∴S2=﹣ ．
同理可求得 S3=﹣ ，S4=﹣ ．
（2）解：猜想Sn=﹣ ，n∈N+ ， 下边用数学归纳法证明：
①当n=2时，S2=a1+a2=﹣ ，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即SK=﹣ ．
则当n=k+1时，∵Sn+ =an﹣2，∴ ，
∴ ，∴ = ﹣2= ，
∴SK+1=﹣ ，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 Sn=﹣ ，n∈N+成立．
【考点】归纳推理，数学归纳法
【解析】【分析】（1）S1=a1 ， 由S2+ =a2﹣2=S2﹣a1 求得S2 ， 同理求得 S3 ， S4 ． （2）猜想Sn=﹣ ，n∈N+ ， 用数学归纳法进行证明．www-2-1-cnjy-com
25.已知函数fn（x）= x3﹣ （n+1）x2+x（n∈N*），数列{an}满足an+1=f'n（an），a1=3．
（1）求a2 ， a3 ， a4；
（2）根据（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）求证： + +…+ ＜ ．
【答案】（1）解： ，a1=3，又 ，
∴ ， ，
（2）解：猜想an=n+2，用数学归纳法证明：
当n=1时显然成立，
假设当n=k（k∈N*）时，ak=k+2，
则当n=k+1（k∈N*）时，
ak+1=ak2﹣（k+1）ak+1=（k+2）2﹣（k+1）（k+2）+1，
=k+3=（k+1）+2，
∴当n=k（k∈N*）时，猜想成立．
根据数学归纳法对一切n∈N* ， an=n+2均成立
（3）证明：当k≥2时，有 ＜ ，
∴n≥2时，有 ＜1+ [（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…（ ﹣ ）]
=1+ （1﹣ ）＜1+ = ．
又n=1时， =1＜ ．
故对一切n∈N* ， 有 ＜ 2-1-c-n-j-y
【考点】数列与函数的综合，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）先求导，再根据递推公式分别求出a2 ， a3 ， a4；（2）利用数学归纳法证明即可，（3）利用裂项求和和放缩法即可证明．21*cnjy*com
26.若an+1=2an+1（n=1，2，3，…）．且a1=1．
（1）求a2 ， a3 ， a4 ， a5；
（2）归纳猜想通项公式an ．
【答案】（1）解：由已知a1=1，an+1=2an+1，得 a2=3=22﹣1，a3=7=23﹣1，
a4=15=24﹣1，a5=31=25﹣1
（2）解：归纳猜想，得an=2n﹣1（n∈N*） 【版权所有：21教育】
【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）根据递推公式，分别代值计算即可，（2）由（1）可以猜想an=2n﹣1（n∈N*）．
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
12.1 合情推理与演绎推理
考纲剖析
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
知识回顾
1．合情推理
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的 对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出 的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到 、由个别到 的推理．www.21-cn-jy.com
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到 的推理．2·1·c·n·j·y
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
2．演绎推理
(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到 的推理．21*cnjy*com
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
精讲方法
合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．
在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误。
应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．21·cn·jy·com
1.归纳推理
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
2.类比推理
在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．
演绎推理
演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．
小结
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．
2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．
3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
例题精讲
考点一 归纳推理
【例题1】中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是： ，则算筹式 表示的数字为________．
【答案】368
【考点】归纳推理
【解析】【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，
个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，
算筹式 表示368，
故答案为：368
【分析】本题考查的是由归纳法找规律。
【变式训练1】（1）观察下列式子： ， ， ， …，根据以上规律，第n个不等式是________．
（2）如下等式：
以此类推，则2018出现在第________个等式中．
考点二 类比推理
【例题2】天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”从新开始，即“甲戊”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80年时，即2029年为________年． 【版权所有：21教育】
【答案】己酉
【考点】类比推理
【解析】【解答】解：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列， 从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，
则80÷10=8，则2029的天干为己，
80÷12=6余8，则2029的地支为酉，
故答案为：己酉
【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以1949年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．21教育名师原创作品
【变式训练2】有限与无限转化是数学中一种重要思想方法，如在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x．这可以通过方程 =x确定出来x=2，类似地可以把循环小数化为分数，把0. 化为分数的结果为________．
考点三 演绎推理
【例题3】已知数集A={a1 ， a2 ， …，an}（1=a1＜a2＜…＜an ， n≥4）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n）， i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1，2，4，6}与{1，3，4，7}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）求证：a4≤2a1+a2+a3；
（Ⅲ）若an=72，求n的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）因为2=1+1，4=2+2，6=2+4，所以{1，2，4，6}具有性质P．
因为不存在ai ， aj∈{1，3，4，7}，使得3=ai+aj ．
所以{1，3，4，7}不具有性质P．
（Ⅱ）因为集合A={a1 ， a2 ， …，an}具有性质P，
所以对a4而言，存在ai ， aj∈{a1 ， a2 ， …，an}，使得 a4=ai+aj
又因为1=a1＜a2＜a3＜a4…＜an ， n≥4
所以ai ， aj≤a3 ， 所以a4=ai+aj≤2a3 ．
同理可得a3≤2a2 ， a2≤2a1
将上述不等式相加得a2+a3+a4≤2（a1+a2+a3）
所以a4≤2a1+a2+a3 ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a2≤2a1 ， a3≤2a2…，
又a1=1，所以a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72
所以n≥8
构造数集A={1，2，4，5，9，18，36，72}（或A={1，2，3，6，9，18，36，72}），
经检验A具有性质P，故n的最小值为8． 21cnjy.com
【考点】进行简单的演绎推理
【解析】【分析】（I）利用数集A具有性质P的条件分别对数集{1，2，4，6}与{1，3，4，7}逐一检验；（II）由题意可证a4≤2a3 ， a3≤2a2 ， a2≤2a1 ， 进而可证a4≤2a1+a2+a3；（III）由（II）可得a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72，进而可得n的取值范围，再构造数集A，检验A具有性质P，进而可得n的最小值．【来源：21cnj*y.co*m】
【变式训练3】（1）下列推理过程属于演绎推理的为（ ）
A. 老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验
B. 由1=12 ， 1+3=22 ， 1+3+5=32 ， …得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2
C. 由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点
D. 通项公式形如an=cqn（cq≠0）的数列{an}为等比数列，则数列{﹣2n}为等比数列
（2）下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：
设第n个图有an个树枝，则an+1与an（n≥2）之间的关系是________．
真题精析
一、单选题
1.（2017 新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A. 乙可以知道两人的成绩 B. 丁可能知道两人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩
2.（2014 福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A. （1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5 B. （1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5
C. （1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5） D. （1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）
3.（2014 北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ）
A. 2人 B. 3人 C. 4人 D. 5人网
4.（2013 上海）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 、 ；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、 、 ．若m、M分别为（ + + ） （ + + ）的最小值、最大值，其中{i，j，k} {1，2，3，4，5}，{r，s，t} {1，2，3，4，5}，则m、M满足（ ）
A. m=0，M＞0 B. m＜0，M＞0 C. m＜0，M=0 D. m＜0，M＜0www-2-1-cnjy-com
5.（2013 广东）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（ ） 21*cnjy*com
A. （y，z，w）∈S，（x，y，w） S B. （y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S
C. （y，z，w） S，（x，y，w）∈S D. （y，z，w） S，（x，y，w） S
6.（2016 全国）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（ ）
A. 各月的平均最低气温都在0℃以上 B. 七月的平均温差比一月的平均温差大
C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个
7.（2016 北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )
A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球 D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
二、填空题
8.（2017 上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1 ， P2 ， P3 ， P4}，点P∈Ω，过P作直线lP ， 使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧．用D1（lP）和D2（lP）分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和．若过P的直线lP中有且只有一条满足D1（lP）=D2（lP），则Ω中所有这样的P为________．
9.（2014 新课标I）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________．
10.（2013 上海）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）2+y2=1（x≥1）和（x﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π +8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．
10.（2013 上海）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32 ， 所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________．
12.（2013 湖北）设x，y，z∈R，且满足： ，则x+y+z=________．
13.（2016 全国）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________。
14.(2015·山东）
观察下列各式：
……
照此规律，当nN时，
________ .
三、综合题
15.（2013 湖南）设函数f（x）=ax+bx﹣cx ， 其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为________．
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号）
① x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；
② x∈R，使ax ， bx ， cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则 x∈（1，2），使f（x）=0．
16.（2015·新课标II）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若abcd，则++;
（2）++是|a-b||c-d|的充要条件
17.（2015·北京卷）已知数列满足：，，且(n=1,2,...)．记
集合．
（1）（Ⅰ）若，写出集合M的所有元素；
（2）（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
（3）（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
模拟题精练
一、单选题
1.演绎推理“因为对数函数y=logax是增函数（大前提），而y=logx是对数函数（小前提），所以y=logx是增函数（结论）”所得结论错误的原因是（ ）
A. 大前提错 B. 小前提错 C. 推理形式错 D. 大前提和小前提都错21·世纪*教育网
2.用数学归纳法证明不等式“ + +…+ ＞ （n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（ ）
A. 增加了一项
B. 增加了两项
C. 增加了两项 ，又减少了一项
D. 增加了一项 ，又减少了一项
3.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c∈N*）；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是（ ）
A. 每场比赛第一名得分a为4 B. 甲可能有一场比赛获得第二名
C. 乙有四场比赛获得第三名 D. 丙可能有一场比赛获得第一名
4.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过济南、潍坊、青岛三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过潍坊；乙说：我没去过青岛；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为（ ）
A. 济南 B. 青岛 C. 济南和潍坊 D. 济南和青岛2-1-c-n-j-y
5.已知x>0，由不等式可以推出结论,则a=( )
A. 2 B. 3 C. n2 D. nn
6.记录k（k≤n）个点的颜色，称为该圆的一个“k阶段序”，当且仅当两个k阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k阶色序．若某圆的任意两个“k阶段序”均不相同，则称该圆为“k阶魅力圆”．“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
7.某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立. 现已知当n=7时该命题不成立，那么可推得（ ）
A. 当n=6时该命题不成立 B. 当n=6时该命题成立
C. 当n=8时该命题不成立 D. 当n=8时该命题成立
8.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（ ）
A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确
9.类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是（ ）
A. 连续两项的和相等的数列叫等和数列
B. 从第二项起，以后每一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列
C. 从第二项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列
D. 从第一项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列21世纪教育网版权所有
10.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ）
A. 演绎推理 B. 类比推理 C. 合情推理 D. 归纳推理【来源：21·世纪·教育·网】
11.凸 n 边形有 f(n) 条对角线，则凸 n+1 边形的对角线的条数 f(n+1) 为（ ）
A. f(n)+n+1 B. f(n)+n C. f(n)+n-1 D. f(n)+n-2
二、填空题
12.甲、乙、丙三位同学同时参加M项体育比赛，每项比赛第一名、第二名、第三名得分分别为p1 ， p2 ， p3（p1＞p2＞p3 ， p1 ， p2 ， p3∈N*，比赛没有并列名次），比赛结果甲得22分，乙、丙都得9分，且乙有一项得第一名，则M的值为________．
13.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为________．
14.已知在等差数列{an}中， ，则在等比数列{bn}中，类似的结论为________．
15.用演绎推理证明“y=tanx是周期函数”时，大前提为________
16.在平面内，Rt△ABC中，BA⊥CA，有结论BC2=AC2+AB2 ， 空间中，在四面体V﹣BCD中，VB，VC，VD两两互相垂直，且侧面的3个三角形面积分别记为S1 ， S2 ， S3 ， 底面△BCD的面积记为S，类比平面可得到空间四面体的一个结论是________．
17.已知x＞0，观察下列不等式：①x ，②x ③x ≥4，…，则第n个不等式为________．
三、综合题
18.请先阅读：
在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x） 2=4cosx （﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx sinx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），证明： ．
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i） ；
（ii） ；
（iii） ．
19.在数列{an}中， ，an+1= ．
（1）计算a2 ， a3 ， a4并猜想数列{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
20.设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（1）g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+ ， 求g1（x），g2（x），g3（x），并猜想gn（x）的表达式（不必证明）； 【出处：21教育名师】
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N+ ， 比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并用数学归纳法加以证明．
21.设数列{an}满足：a1=1且an+1=2an+1（n∈N+）．
（1）求数列{an}的前n项和Sn；
（2）用数学归纳法证明不等式： + +…+ ＜n（n≥2，n∈N+）．
22.在数列{an}中， ，an+1= ．
（1）计算a2 ， a3 ， a4并猜想数列{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
23.已知函数f（x）= ．
（1）计算f（3），f（4），f（ ）及f（ ）的值；
（2）由（1）的结果猜想一个普遍的结论，并加以证明；
（3）求值f（1）+f（2）+…+f（2017）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）．
24.已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=﹣ ，Sn+ =an﹣2（n≥2，n∈N）
（1）求S2 ， S3 ， S4的值；
（2）猜想Sn的表达式；并用数学归纳法加以证明．
25.已知函数fn（x）= x3﹣ （n+1）x2+x（n∈N*），数列{an}满足an+1=f'n（an），a1=3．
（1）求a2 ， a3 ， a4；
（2）根据（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）求证： + +…+ ＜ ．
26.若an+1=2an+1（n=1，2，3，…）．且a1=1．
（1）求a2 ， a3 ， a4 ， a5；
（2）归纳猜想通项公式an ．
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