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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
12.3 数学归纳法及其应用
考纲剖析
1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
知识回顾
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第 时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝ 时命题成立，证明当 时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有 都成立．
数学归纳法的框图表示
精讲方法
数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题
2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值；第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法。21世纪教育网版权所有
1.用数学归纳法证明等式
(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．www.21-cn-jy.com
(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．
2.用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．
3.归纳——猜想——证明
“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性．21教育网
小结
1．在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n＝k到n＝k＋1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．21·世纪*教育网
2．对于证明等式问题，在证n＝k＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法．www-2-1-cnjy-com
3．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写．
例题精讲
考点一 用数学归纳法证明等式
【例题1】用数学归纳法证明： 第一步应验证的等式是________．
【答案】
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】当n＝1时，等式的左边为1－＝，右边＝，∴左边＝右边．
【分析】一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法2·1·c·n·j·y
【变式训练1】在数列{an}中，an=cos （n∈N*）
（1）试将an+1表示为an的函数关系式；
（2）若数列{bn}满足bn=1﹣ （n∈N*），猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论．
考点二 用数学归纳法证明不等式
【例题2】 已知：x∈（0+∞），求证： ；
【答案】证明：不妨令 ，则t∈（0+∞）， = ， 设 ，则f′（t）= ﹣ = ＞0，
∴f（t）在（0，+∞）上单调递增，∴f（t）＞f（0）=0，
∴ ．
即： ．（2）已知：n∈N且n≥2，求证： ．
解：方法一：由（1）知 ，即 ，
∴ln2＞ ，ln ＞ ，ln ＞ ，，ln ＞ ，
以上各式相加得： ，
即得： ．
方法二：当n=2时， ，即左边＞右边，命题成立；
②假设当n=k（k≥2）时，命题成立，
即 成立，
当n=k+1时
右边=
由（1）知：令x=k，有 ，即
因此有：左边=
故，左边＞右边，
即，当n=k+1时，命题成立．
综上①②，当n∈N且n≥2， 成立． 21*cnjy*com
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）设 ，令f（t）=ln（t+1）﹣ ，判断f（t）在（0，+∞）上的单调性，得出f（t）的值域从而得出结论；（2）把x=1，2，3，，n﹣1代入（1）的结论，各式相加即可得出结论．【版权所有：21教育】
【变式训练2】已知数列{an}前n项的和为Sn ， 满足a1=0，an≥0，3an+12=an2+an+1（n∈N*） （Ⅰ）用数学归纳法证明：1 ≤an＜1（n∈N*）
（Ⅱ）求证：an＜an+1（n∈N*） 21*cnjy*com
考点三 归纳——猜想——证明
【例题3】设等差数列{an}的公差d＞0，且a1＞0，记Tn= + ++ ．
（1）用a1、d分别表示T1、T2、T3 ， 并猜想Tn；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】（1）解：T1= = ； T2= + = （ ）+ （ ﹣ ）= （ ）= = ；
T3= + + = （ ）+ （ ﹣ ）+ （ ﹣ ）= （ ﹣ ）= = ；
由此可猜想Tn= ．
（2）证明：①当n=1时，T1= ，结论成立， ②假设当n=k时（k∈N*）时结论成立，
即Tk= ，
则当n=k+1时，Tk+1=Tk+ = + =
= = ．
即n=k+1时，结论成立．
由①②可知，Tn= 对于一切n∈N*恒成立．
【考点】归纳推理，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）利用裂项法计算T1、T2、T3 ， 并猜想结论；（2）先验证n=1，再假设n=k猜想成立，推导n=k+1猜想成立．
【变式训练3】数列{an}满足Sn=2n﹣an（n∈N*）． （Ⅰ）计算a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通项公式an；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．
真题精析
一、综合题
1.（2015·北京卷）已知数列满足：，，且(n=1,2,...)．记
集合．
（1）（Ⅰ）若，写出集合M的所有元素；
（2）（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
（3）（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
2.（2014 重庆）设a1=1，an+1= +b（n∈N*）
（1）若b=1，求a2 ， a3及数列{an}的通项公式；
（2）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．
3.函数f（x）=ln（x+1）﹣ （a＞1）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明： ＜an≤ ．
4.（2013 江苏）设数列{an}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…， ，…，即当 ＜n≤ （k∈N*）时， ．记Sn=a1+a2+…+an（n∈N ）．对于l∈N ， 定义集合Pl=﹛n|Sn为an的整数倍，n∈N ， 且1≤n≤l} 2-1-c-n-j-y
（1）求P11中元素个数；
（2）求集合P2000中元素个数．
5.（2016 北京）设数列A： ， ,… (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有 ＜ ，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。
（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（2）证明：若数列A中存在 使得 > ，则G（A） ；
（3）证明：若数列A满足 - ≤1（n=2,3, …,N）,则GA．的元素个数不小于 - 。
6. (2015·江苏）已知集合X={1，2，3}，Yn={1,2,3...,n}(nN*)，Sn={(a,b)|a整除b或b整除a， aX, bYn}, 令f(n)表示集合Sn所包含元素的个数。
（1）写出f（6）的值；
（2）当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.
7.（2017 浙江）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ；
（Ⅲ） ≤xn≤ ． 21教育名师原创作品
模拟题精练
一、单选题
1.观察式子：， ， ， 则可归纳出式子（ ）
A.
B.
C.
D. 【来源：21·世纪·教育·网】
2.用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═ 时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（ ）
A. （k+1）2+2k2 B. （k+1）2+k2 C. （k+1）2 D.
3.用数学归纳法证明“ ”时，由n=k不等式成立，证明n=k+1时，左边应增加的项数是（ ）
A. 2k﹣1 B. 2k﹣1 C. 2k D. 2k+1
4.用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ）
A. n=1成立 B. n=2成立 C. n=3成立 D. n=4成立
5.某个命题与正整数有关，若当n=k 时该命题成立，那么可推得当 n=k+1 时该命题也成立，现已知当 n=4 时该命题不成立，那么可推得（ ）
A. 当 n=5 时，该命题不成立 B. 当 n=5 时，该命题成立
C. 当 n=3 时，该命题成立 D. 当 n=3 时，该命题不成立
6.用数学归纳法证明1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = + +…+ ，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（ ）
A. B. ﹣ C. ﹣ D. +
7.用数学归纳法证明（且n>1),第二步证明从“k到k+1”，左端增加的项数是( )
A. 2k+1 B. 2k-1 C. 2k D. 2k-1
8.利用数学归纳法证明“，（a ≠1，nN）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（ ）
A. 1 B. 1+a C. 1+a+a2 D. 1+a+a2+a3
9.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)为（ ）
A. f(n)+n+1 B. f(n)+n C. f(n)+n-1 D. f(n)+n-2
10.下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是( )
A. 6＋6·7k B. 2＋7k－1 C. 2(2＋7k＋1) D. 3(2＋7k）
11.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3﹣1”，验证n=1时，左边计算所得的式子为（ ）
A. 1 B. 1+2 C. 1+2+22 D. 1+2+22+23
二、填空题
12.在用数学归纳法求证：1+2+3+…+2n= （n∈N*）的过程中，则当n=k+1时，左端应在n=k时的左端上加上________．
13.用数学归纳法证明：1+ + +… = （n∈N*），由“k递推到k+1”时左端需增加的代数式是________．
14.用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步验证为________．
15.用数学归纳法证明： 第一步应验证的等式是________．
16.已知 ，则 f(n) 中共有________项．
17.已知数列,通过计算得, 由此可猜测Sn＝________.
三、综合题
18.已知数列{an}满足条件（n﹣1）an+1=（n+1）（an﹣1），且a2=6，
（1）计算a1、a3、a4 ， 请猜测数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明；
（2）设bn=an+n（n∈N*），求 的值．
19.数列 满足 ，且 .
（1）写出 的前3项，并猜想其通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
20.已知数列{an}满足（an+1﹣1）（an﹣1）= （an﹣an+1），a1=2，若bn= ．
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）令cn= ，{cn}的前n项和为Tn ， 用数学归纳法证明Tn≥ （n∈N*）．
21.已知数列 （n∈N*）．
（1）证明：当n≥2，n∈N*时， ；
（2）若a＞1，对于任意n≥2，不等式 恒成立，求x的取值范围．
22.已知数列{an}满足a1=1，（an﹣3）an+1﹣an+4=0（n∈N*）．
（1）求a2 ， a3 ， a4；
（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
23.已知点Pn(an ， bn)满足an＋1＝an·bn＋1 ， bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．
（1）求过点P1 ， P2的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N* ， 点Pn都在(1)中的直线l上．
24.已知数列{an}的通项公式是 ，（n∈N*），记bn=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣an）
（1）写出数列{bn}的前三项；
（2）猜想数列{bn}通项公式，并用数学归纳法加以证明．
25.已知对任意的n∈N* ， 存在a，b∈R，使得1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）= （an2+b） 21·cn·jy·com
（1）求a，b的值；
（2）用数学归纳法证明上述恒等式．
26.用数学归纳法证明不等式 + +…+ ≥ 对一切正整数n都成立．
27.已知如下等式： ， ， ，…当n∈N*时，试猜想12+22+32+…+n2的值，并用数学归纳法给予证明． 【来源：21cnj*y.co*m】
28.用数学归纳法证明： + + +…+ ＞ （n＞1，且n∈N*）．
29.用数学归纳法证明：
30.函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（1）=1 （Ⅰ）分别求f（2），f（3），f（4）的值；
（Ⅱ）猜想f（n）（n∈N*）的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
31.已知数列 Sn为其前n项和．计算得 观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明． 21cnjy.com
32.求和：Sn= + +…+ ，并用数学归纳法证明．
33.已知数列{an}，a1=2，an+1= an ， （n∈N*）．
（1）求a2 ， a3 ， a4 ， 猜测通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
12.3 数学归纳法及其应用（答案）
知识回顾
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
数学归纳法的框图表示
例题精讲
考点一 用数学归纳法证明等式
【变式训练1】在数列{an}中，an=cos （n∈N*）
（1）试将an+1表示为an的函数关系式；
（2）若数列{bn}满足bn=1﹣ （n∈N*），猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解： = ═ ∴ ∴
又n∈N* ， n+1≥2，an+1＞0∴
（2）解：当n=1时， ，b1=1﹣2=﹣1，∴a1＞b1当n=2时， ， ，∴a2=b2
当n=3时， ， ，∴a3＜b3
猜想：当n≥3时，an＜bn ，
下面用数学归纳法证明：
证：①当n=3时，由上知，a3＜b3 ， 结论成立．
②假设n=k，k≥3，n∈N*时，ak＜bk成立，即
则当n=k+1， = ，
要证ak+1＜bk+1 ， 即证明
即证明
即证明
即证明 ，显然成立．
∴n=k+1时，结论也成立．
综合①②可知：当n≥3时，an＜bn成立．
综上可得：当n=1时，a1＞b1；当n=2时，a2=b2
当n≥3，n∈N*时，an＜bn 21·cn·jy·com
【考点】归纳推理，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）利用数列的通项公式化简求解递推关系式即可．（2）通过当n=1时，当n=2时，当n=3时，计算结果猜想：当n≥3时，an＜bn ， 然后利用数学归纳法的坐标方法证明即可．2·1·c·n·j·y
考点二 用数学归纳法证明不等式
【变式训练2】已知数列{an}前n项的和为Sn ， 满足a1=0，an≥0，3an+12=an2+an+1（n∈N*） （Ⅰ）用数学归纳法证明：1 ≤an＜1（n∈N*）
（Ⅱ）求证：an＜an+1（n∈N*） www-2-1-cnjy-com
【答案】证明：（I）当n=1时，显然结论成立； 假设n=k时，结论成立，即1﹣ ≤ak＜1，
则3ak+12=ak2+ak+1＜3，
由ak+1≥0，∴ak+1＜1，
又ak≥1﹣ ，
∴3ak+12=ak2+ak+1≥（1﹣ ）2+（1﹣ ）+1= ﹣ +3，
ak+12≥1﹣ + ＞1﹣ + =（1﹣ ）2 ，
∴ak+1＞1﹣ ，
∴当n=k+1时，结论成立，
∴1 ≤an＜1（n∈N*）．
（II）3an+12﹣3an2=﹣2an2+an+1=﹣2（an﹣ ）2+ ，
由（1）可知0≤an＜1，
∴﹣2（an﹣ ）2+ ＞0，
∴3an+12﹣3an2＞0，
∴an＜an+1 21*cnjy*com
【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（I）验证n=1结论成立，假设n=k结论成立，利用不等式的性质推导n=k+1时结论成立即可；（II）使用作差法和二次函数的性质得出结论．【版权所有：21教育】
考点三 归纳——猜想——证明
【变式训练3】数列{an}满足Sn=2n﹣an（n∈N*）． （Ⅰ）计算a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通项公式an；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想． 21教育名师原创作品
【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=2﹣a1 ， 所以a1=1． 当n=2时，a1+a2=s2=2×2﹣a2 ， 所以 ．
同理： ， ．
由此猜想
（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立．
②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即 ，
那么n=k+1时，ak+1=sk+1﹣sk=2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1 ，
所以2ak+1=2+ak ， 所以 ，
这表明n=k+1时，结论成立．
由①②知对一切n∈N*猜想 成立
【考点】数列递推式，归纳推理，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（Ⅰ）通过n=1，2，3，4，直接计算a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通项公式 ；（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设 ，证明．
真题精析
一、综合题
1.（2015·北京卷）已知数列满足：，，且(n=1,2,...)．记
集合．
（1）（Ⅰ）若，写出集合M的所有元素；
（2）（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
（3）（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
【答案】（1）{6,12,24}
（2）证明：（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设 ak 是3的倍数，由已知 ，可用用数学归纳法证明对任意 n ≥ k ， an 是3的倍数，当 k = 1 时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果 k > 1 时，因为 ak = 2ak-1 或 2ak-1 -36 ，所以 2ak-1 是3的倍数，于是 ak-1 是3的倍数，类似可得， ak -2 . . . . . . a1 都是3的倍数，从而对任意 n ≥ 1 ， an 是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数.
（3）8 21·世纪*教育网
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】（Ⅰ）由已知可知：，因此。
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数.
（III ）由于M中的元素都不超过36，由,易得，类似可得,其次M中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二哥数必定为偶数，由的定义可知，第三个数后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数，由定义可知，和除以9的余数一样，
（1）若中有3的倍数，由（2）知：所有都是3的倍数，所以都是3的倍数，所以除以9的余数为3，6，3，6，......，或6，3，6，3......，或0，0，0......，而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项，最多4项。
（2）若中没有3的倍数，则都不是3的倍数，对于除以9的余数只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从起，除以9的余数是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，......，不断的6项循环（可能从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，5且是4的倍数（不大于36），只有28，20，4，8，16，32，所以M中的项加上前两项最多的8项，则时，,项数为8，所以集合M的元素个数的最大值为8.
【分析】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二、三两步难度较大，适合选拔优秀学生.
2.（2014 重庆）设a1=1，an+1= +b（n∈N*）
（1）若b=1，求a2 ， a3及数列{an}的通项公式；
（2）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．
【答案】（1）解：∵a1=1，an+1= +b，b=1，
∴a2=2，a3= +1；
又（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+1，
∴{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列；
∴（an﹣1）2=n﹣1，
∴an= +1（n∈N*）；
（2）解：设f（x）= ，则an+1=f（an），
令c=f（c），即c= ﹣1，解得c= ．
下面用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1．
n=1时，a2=f（1）=0，a3=f（0）= ﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；
设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1
∵f（x）在（﹣∞，1]上为减函数，
∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2 ，
∴1＞c＞a2k+2＞a2 ，
∴c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，
∴c＜a2k+3＜1，
∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1时结论成立，
综上，c= 使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立
【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）若b=1，利用an+1= +b，可求a2 ， a3；证明{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式；（2）设f（x）= ，则an+1=f（an），令c=f（c），即c= ﹣1，解得c= ．用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1即可．
3.函数f（x）=ln（x+1）﹣ （a＞1）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明： ＜an≤ ．
【答案】（1）解：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）= ，
①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，
若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，
若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，
若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，
若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．
（2）解：由（1）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，
即ln（x+1）＞ ，（x＞0），
又由（1）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，
当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜ ，
下面用数学归纳法进行证明 ＜an≤ 成立，
①当n=1时，由已知
，故结论成立．
②假设当n=k时结论成立，即 ，
则当n=k+1时，an+1=ln（an+1）＞ln（ +1） ，
an+1=ln（an+1）＜ln（ +1） ，
即当n=k+1时， 成立，
综上由①②可知，对任何n∈N 结论都成立．
【考点】利用导数研究函数的单调性，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（2）利用数学归纳法即可证明不等式．
4.（2013 江苏）设数列{an}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…， ，…，即当 ＜n≤ （k∈N*）时， ．记Sn=a1+a2+…+an（n∈N ）．对于l∈N ， 定义集合Pl=﹛n|Sn为an的整数倍，n∈N ， 且1≤n≤l}
（1）求P11中元素个数；
（2）求集合P2000中元素个数．
【答案】（1）解：由数列{an}的定义得a1=1，a2=﹣2，a3=﹣2，a4=3，
a5=3，a6=3，a7=﹣4，a8=﹣4，a9=﹣4，a10=﹣4，a11=5，
所以S1=1，S2=﹣1，S3=﹣3，S4=0，S5=3，S6=6，S7=2，
S8=﹣2，S9=﹣6，S10=﹣10，S11=﹣5，
从而S1=a1 ， S4=0 a4 ， S5=a5 ， S6=2a6 ， S11=﹣a11 ，
所以集合P11中元素的个数为5；
（2）解：先证：Si（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）．
事实上，①当i=1时，Si（2i+1）=S3=﹣3，﹣i（2i+1）=﹣3，故原等式成立；
②假设i=m时成立，即Sm（2m+1）=﹣m（2m+1），则i=m+1时，
S（m+1）（2m+3）=Sm（2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m（2m+1）﹣4m﹣3
=﹣（2m2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）．
综合①②可得Si（2i+1）=﹣i（2i+1）．于是S（i+1）（2i+1）=Si（2i+1）+（2i+1）2
=﹣i（2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）．
由上可知Si（2i+1）是2i+1的倍数，而ai（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），
所以Si（2i+1）+j=Si（2i+1）+j（2i+1）是ai（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍数．
又S（i+1）（2i+1）=（i+1） （2i+1）不是2i+2的倍数，
而a（i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），
所以S（i+1）（2i+1）+j=S（i+1）（2i+1）+j（2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j（2i+2）
不是a（i+1）（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+2）的倍数，
故当l=i（2i+1）时，集合Pl中元素的个数为1+3+…+（2i﹣1）=i2 ，
于是，当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合Pl中元素的个数为i2+j．
又2000=31×（2×31+1）+47，
故集合P2 000中元素的个数为312+47=1008．
【考点】数列与函数的综合，计数原理的应用，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）由数列{an}的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合Pl ， 即可得到元素个数；（2）运用数学归纳法证明Si（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）．再结合定义，运用等差数列的求和公式，即可得到所求．
5.（2016 北京）设数列A： ， ,… (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有 ＜ ，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。
（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（2）证明：若数列A中存在 使得 > ，则G（A） ；
（3）证明：若数列A满足 - ≤1（n=2,3, …,N）,则GA．的元素个数不小于 - 。
【答案】（1）解：
（2）证明：因为存在 ，设数列 中第一个大于 的项为 ，则 ，
其中 ，所以 ，
（3）证明：设 数列的所有“ 时刻”为 ，
对于第一个“ 时刻” ，有 ， ，则
．
对于第二个“ 时刻” ，有 （ ）．
则 ．
类似的 ，…， ．
于是， ．
对于 ，若 ，则 ；
若 ，则 ，否则由⑵，知 中存在“ 时刻”，与只有 个“ 时刻”矛盾．
从而， ，证毕
【考点】数列与函数的综合，数学归纳法
【解析】【分析】（1）结合“G时刻”的定义进行分析；（2）可以采用假设法和递推法进行分析；（3）可以采用假设法和列举法进行分析
6.(2015·江苏）已知集合X={1，2，3}，Yn={1,2,3...,n}(nN*)，Sn={(a,b)|a整除b或b整除a， aX, bYn}, 令f(n)表示集合Sn所包含元素的个数。 【来源：21·世纪·教育·网】
（1）写出f（6）的值；
（2）当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.
【答案】（1）解：（1）f（6）=6+2++=13
（2）当n≥6时，f（n）=．
下面用数学归纳法证明：
假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：
1）若k+1=6t，则k=6（t-1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；
2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；
3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；
4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；
5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；
6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．
综上所述，结论f（n）=n+[]+[]+2，对满足n≥6的自然数n均成立．
【考点】集合中元素个数的最值，数学归纳法
【解析】【分析】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：
①归纳奠基：证明当取第一个自然数n0时命题成立；
②归纳递推：假设n=k，(kN*，k≥n0)时，命题成立，证明当n=k+1时，命题成立；
③由①②得出结论．
7.（2017 浙江）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ；
（Ⅲ） ≤xn≤ ．
【答案】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn＞0，
当n=1时，x1=1＞0，成立，
假设当n=k时成立，则xk＞0，
那么n=k+1时，若xk+1＜0，则0＜xk=xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾，
故xn+1＞0，
因此xn＞0，（n∈N*）
∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1 ，
因此0＜xn+1＜xn（n∈N*），
（Ⅱ）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1），
记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0
∴f′（x）= +ln（1+x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（0）=0，
因此xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0，
故2xn+1﹣xn≤ ；
（Ⅲ）∵xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+1=2xn+1 ，
∴xn≥ ，
由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，
∴ ﹣ ≥2（ ﹣ ）≥…≥2n﹣1（ ﹣ ）=2n﹣2 ，
∴xn≤ ，
综上所述 ≤xn≤ ．
【考点】利用导数研究函数的单调性，数列的函数特性，数列递推式，数列与不等式的综合，数学归纳法
【解析】【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，
（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，
（Ⅲ）由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，继续放缩即可证明
模拟题精练
一、单选题
1.观察式子：， ， ， 则可归纳出式子（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【考点】归纳推理，数学归纳法
【解析】【解答】所以选项C正确.
【分析】解决此类问题，关键是找清楚它们的递推关系.
2.用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═ 时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（ ）
A. （k+1）2+2k2 B. （k+1）2+k2 C. （k+1）2 D.
【答案】B
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， 由于n=k，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12
n=k+1时，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12
比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2
故选B．
【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案．
3.用数学归纳法证明“ ”时，由n=k不等式成立，证明n=k+1时，左边应增加的项数是（ ）
A. 2k﹣1 B. 2k﹣1 C. 2k D. 2k+1
【答案】C
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【解答】解：用数学归纳法证明等式 ”时， 当n=k时，左边=1+ +…+ ，
那么当n=k+1时，左边=1+ +…+ ，
∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了共2k+1﹣2k=2k项，
故选：C．
【分析】比较由n=k变到n=k+1时，左边变化的项，即可得出结论．
4.用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ）
A. n=1成立 B. n=2成立 C. n=3成立 D. n=4成立
【答案】C
【考点】归纳推理，数学归纳法
【解析】【解答】因为边数最少的多边形是三角形，所以选C。
【分析】简单题，注意三角形是边数最少的多边形。
5.某个命题与正整数有关，若当n=k 时该命题成立，那么可推得当 n=k+1 时该命题也成立，现已知当 n=4 时该命题不成立，那么可推得（ ）
A. 当 n=5 时，该命题不成立 B. 当 n=5 时，该命题成立
C. 当 n=3 时，该命题成立 D. 当 n=3 时，该命题不成立
【答案】D
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】因为原命题与其逆否命题的真假性一致，所以可得若 时该命题不成立，则当 时该命题也不成立，由此可得选D
【分析】本题主要考查了数学归纳法的证明步骤，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析即可
6.用数学归纳法证明1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = + +…+ ，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（ ）
A. B. ﹣ C. ﹣ D. +
【答案】C
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【解答】解：∵用数学归纳法证明1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = + +…+ ， n=k时，则1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ，
当n=k+1时，左侧=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ，
所以当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上 ，
故选C．
【分析】先看出所给的不等式的左边的结构式，看出左边的分母是从n+1变化到n+n，写出当n=k时和n=k+1时的不等式，把写出的不等式相减，得到结论．
7.用数学归纳法证明（且n>1),第二步证明从“k到k+1”，左端增加的项数是( )
A. 2k+1 B. 2k-1 C. 2k D. 2k-1
【答案】C
【考点】数学归纳法
【解析】【解答】根据题意，由于数学归纳法证明,第二步证明从“k到k+1”，则可知增加的项数为， 故答案为C.
【分析】主要是考查了数学归纳法的原理的运用，属于基础题。www.21-cn-jy.com
8.利用数学归纳法证明“，（a ≠1，nN）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（ ）
A. 1 B. 1+a C. 1+a+a2 D. 1+a+a2+a3
【答案】C
【考点】数学归纳法
【解析】【分析】首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1= （a≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．
【解答】用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=（a≠1)”
在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2 ．
故选C．
9.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)为（ ）
A. f(n)+n+1 B. f(n)+n C. f(n)+n-1 D. f(n)+n-2
【答案】C
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】凸多边形边数增加1条，即增加一个顶点，自这一顶点向其它不相邻的k-2个顶点可引k-2条对角线，原来一条边变为对角线，所以共增加k-1条，故选C。
【分析】简单题，注意认真分析图形的变化。21世纪教育网版权所有
10.下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是( )
A. 6＋6·7k B. 2＋7k－1 C. 2(2＋7k＋1) D. 3(2＋7k）
【答案】D
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】取k＝1检验，只有3(2＋7k)能被9整除．选D
【分析】采用特殊值法可以使题目变得简单21教育网
11.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3﹣1”，验证n=1时，左边计算所得的式子为（ ）
A. 1 B. 1+2 C. 1+2+22 D. 1+2+22+23
【答案】D
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【解答】解：左边的指数从0开始，依次加1，直到n+2，所以当n=1时，应加到23 ， 故选：D．
【分析】通过表达式的特点，直接写出结果即可．
二、填空题
12.在用数学归纳法求证：1+2+3+…+2n= （n∈N*）的过程中，则当n=k+1时，左端应在n=k时的左端上加上________．
【答案】4k+3
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2+3+…+2k，
当n=k+1时，等式左端=1+2+…+2k+（2k+1）+（2k+2），
即当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上2k+1+2k+2即为4k+3
故答案为：4k+3
【分析】整理当n=k+1时的等式左端的式子即为当n=k时的式子的基础上加上4k+3。
13.用数学归纳法证明：1+ + +… = （n∈N*），由“k递推到k+1”时左端需增加的代数式是________． 【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【解答】解：由等差数列前n项和公式可知1+2+3…+n= ， = ，
∴等式左边=1+ + +…+ + + ，
∴用数学归纳法证明时，由n=k到n=k+1左边需要添加的项是 ，
故答案为： ．
【分析】根据等差数列前n项和公式可知1+2+3…+n= ，求得 = ，再根据数学归纳法由n=k到n=k+1左边需要添加的项是 ．
14.用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步验证为________．
【答案】当n＝1时，左边＝4≥右边，不等式成立
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】由n∈N＋可知初始值为1.
【分析】数学归纳法第一步验证第一项成立
15.用数学归纳法证明： 第一步应验证的等式是________．
【答案】
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】当n＝1时，等式的左边为1－＝，右边＝，∴左边＝右边．
【分析】一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法
16.已知 ，则 f(n) 中共有________项．
【答案】n2-n+1
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】分母由n，依次增加1，直到 。由等差数列知识得 中共有 项
【分析】本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤结合所给事件问题分析计算即可
17.已知数列,通过计算得, 由此可猜测Sn＝________.
【答案】
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【解答】通过计算易得答案
【分析】归纳法解题，注意观察值与下标之间的关系
三、综合题
18.已知数列{an}满足条件（n﹣1）an+1=（n+1）（an﹣1），且a2=6，
（1）计算a1、a3、a4 ， 请猜测数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明；
（2）设bn=an+n（n∈N*），求 的值．
【答案】（1）解：当n=1时，a1=1，且a2=6
当n=2时，a3=3（a2﹣1）=15，
当n=3时，2a4=4（a3﹣1），∴a4=28，
猜测
下面用数学归纳法证明：
ⅰ当n=1，2，3，4时，等式 已成立
ⅱ假设当n=k时，
则由（k﹣1）ak+1=（k+1）（ak﹣1），有： =2k2+3k+1=2（k+1）2﹣（k+1）
即n=k+1时，等式也成立
综上， 成立
（2）解：bn=an+n=2n2
∴bn﹣2=2（n﹣1）（n+1）
∴ = （ ）
∴ =
= = 21cnjy.com
【考点】数列的极限，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）计算前几项，猜想数列的通项，再利用数学归纳法进行证明；（2）确定数列的通项，利用裂项法求和，即可求得结论．【出处：21教育名师】
19.数列 满足 ，且 .
（1）写出 的前3项，并猜想其通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】（1）解： ，猜想 ；（2）①验证 时成立; ②假设 时，猜想成立，即有 ，由 ，，及 ，证得 时成立,故命题成立.
（2）解：①当 时， 成立；
②假设 时，猜想成立，即有 ，
由 ，，及 ，
得 ，即当 时猜想成立，
由①②可知， 对一切正整数 均成立.
【考点】数列递推式，数学归纳法
【解析】【分析】（1）将n=1，n=2分别代入递推关系式中即可求出a2 ， a3 ， 通过观察前3项的规律可发现数列{an}是一个等差数列，根据等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d即可写出an并验证；（2）验证当n=1时猜想成立，假设当n=k时猜想成立，证明当n=k+1时猜想成立.
20.已知数列{an}满足（an+1﹣1）（an﹣1）= （an﹣an+1），a1=2，若bn= ．
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）令cn= ，{cn}的前n项和为Tn ， 用数学归纳法证明Tn≥ （n∈N*）．
【答案】（1）证明：由（an+1﹣1）（an﹣1）= （an﹣an+1）得 ﹣ =2，
即bn+1﹣bn=2，
∴{bn}是首项为b1= =1，公差为2的等差数列．
（2）解：由（1）知，bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，cn= = ，
①当n=1时，则有T1=1有T1≥ =1成立；
②假设当n=k时，不等式成立，即Tk≥ 成立，
则当n=k+1时，Tk+1=Tk+ck+1= ≥ + ，
欲证 + ≥ ，
只须证 +1≥k+1，
即证 ≥k，即证 ≥ ，即证1≥0，而此式成立
故当n=k+1时，不等式也成立．
故有Tn≥ （n∈N*）．
【考点】等差关系的确定，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）由（an+1﹣1）（an﹣1）= （an﹣an+1）得 ﹣ =2，继而得到{bn}是首项为b1= =1，公差为2的等差数列．（2）由数学归纳法和分析法即可证明．
21.已知数列 （n∈N*）．
（1）证明：当n≥2，n∈N*时， ；
（2）若a＞1，对于任意n≥2，不等式 恒成立，求x的取值范围．
【答案】（1）证：①当n=2时，左边= ， 右边= ，左边＞右边，命题成立；
②假设n=k时命题成立，即： ；
那么n=k+1时， =
=
∴n=k+1时命题成立，
∴对于n≥2，n∈N*命题都成立
（2）解：令f（n）=a2n﹣an= ， ∴f（n+1）﹣f（n）= ﹣（ ）
= = ＞0，即f（n）单调递增，
∴a2n﹣an≥f（2）= ，
故问题转化为： ＞ （loga+1x﹣logax+1）恒成立，
可得loga+1x＜logax，即：lgx（lg（a+1）﹣lga）＞0，可得x＞1
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）利用数学归纳法的证明步骤，证明求解即可．（2）构造函数f（n）=a2n﹣an ， 判断函数的单调性，转化不等式为，对数不等式，通过函数的性质，转化求解即可．
22.已知数列{an}满足a1=1，（an﹣3）an+1﹣an+4=0（n∈N*）．
（1）求a2 ， a3 ， a4；
（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】（1）解：令n=1，﹣2a2+3=0，a2= ， 令n=2，﹣ a3﹣ +4=0，a3= ，
令n=3，﹣ a4﹣ +4=0，a4=
（2）解：猜想an= （n∈N*）． 证明：当n=1时，a1=1= ，所以an= 成立，
假设当n=k时，an= 成立，即ak= ，
则（ak﹣3）ak+1﹣ak+4=0，即（ ﹣3）ak+1﹣ +4=0，
所以 ak+1= ，即ak+1= = ，
所以当n=k+1时，结论an= 成立．
综上，对任意的n∈N* ， an= 成立
【考点】数列的概念及简单表示法，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）由数列{an}的递推公式依次求出a2 ， a3 ， a4；（2）根据a2 ， a3 ， a4值的结构特点猜想{an}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立
23.已知点Pn(an ， bn)满足an＋1＝an·bn＋1 ， bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．
（1）求过点P1 ， P2的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N* ， 点Pn都在(1)中的直线l上．
【答案】（1）【解答】
由P1的坐标为（1，-1）知a1=1,b1=-1.
所以
所以点p2的坐标为
所以直线l的方程为2x+y=1.
（2）【解答】
证明：（1）当n=1时，2a1+b1=21+(-1)=1成立。
（2）假设n=k时，2ak+bk=1成立。
则当n=k+1时，
所以当n=k+1时，命题也成立。
由（1）（2）知，对,都有2an+bn=1,
即点Pn在直线l上.
【考点】数学归纳法的证明步骤
【解析】【分析】一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法
24.已知数列{an}的通项公式是 ，（n∈N*），记bn=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣an）
（1）写出数列{bn}的前三项；
（2）猜想数列{bn}通项公式，并用数学归纳法加以证明．
【答案】（1）解： ， ，
（2）解：猜想： ①n=1时，
②假设n=k时，
当n=k+1时bk+1=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣ak）（1﹣ak+1）
=bk（1﹣ak+1）= （1﹣ ）
= = =
综合①②： ．
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）由题意可得，代值计算即可，（2）猜想，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
25.已知对任意的n∈N* ， 存在a，b∈R，使得1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）= （an2+b）
（1）求a，b的值；
（2）用数学归纳法证明上述恒等式．
【答案】（1）解：由题意1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）= （an2+b），
上述等式分别取n=1，2得 ，解得 ，
（2）解：由（1）得1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）= （n2﹣1），
证明：①当n=1时，左边=1×（12﹣12）=0，右边= ×12（12﹣1）=0，等式成立，
②假设当n=k时，等式成立，即1×（k2﹣12）+2×（k2﹣22）+3×（k2﹣32）+…+k（k2﹣k2）= k2（k2﹣1），
则当n=k+1时，左边=1×[（k2﹣12）+（2k+1）]+2×[（k2﹣22）+（2k+1）]+…+k[（k2﹣k2）+（2k+1）]，
=1×（k2﹣12）+2×（k2﹣22）+3×（k2﹣32）+…+k（k2﹣k2）+（2k+1）（1+2+3+…+k），
= k2（k2﹣1）+（2k+1） k（k+1），
= k（k+1）（k2+3k+2），
= （k+1）2k（k+2），
= （k+1）2[（k+1）2﹣1]，
所以当n=k+1时等式成立，
综上所述，对任意n∈N* ， 原等式成立．
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）分别取n=1，2，得到关于a，b的方程组解得即可，（2）先根据当n=1时，把n=1代入求值等式成立；再假设n=k时关系成立，利用变形可得n=k+1时关系也成立，综合得到对于任意n∈N*时都成立
26.用数学归纳法证明不等式 + +…+ ≥ 对一切正整数n都成立．
【答案】证明：n=1时，左侧= + + = ＞ ， ∴n=1时，不等式成立．
假设n=k时，不等式成立，即 …+ ≥ ，
则n=k+1时，左侧= +… + + ≥ + + ﹣
= + = ＞ ，
∴当n=k+1时，不等式成立．
所以不等式 + +…+ ≥ 对一切正整数n都成立
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】先验证n=1时不等式成立，再假设n=k时不等式成立，推导n=k+1时不等式也成立即可．
27.已知如下等式： ， ， ，…当n∈N*时，试猜想12+22+32+…+n2的值，并用数学归纳法给予证明．
【答案】解：由已知，猜想12+22+32+…+n2= ， 下面用数学归纳法给予证明：
①当n=1时，由已知得原式成立；
②假设当n=k时，原式成立，即12+22+32+…+k2= ，
那么，当n=k+1时，12+22+32+…+（k+1）2= +（k+1）2
=
=
故n=k+1时，原式也成立．
由①、②知12+22+32+…+n2= 成立
【考点】归纳推理，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，从中猜想12+22+32+…+n2的值．再用数学归纳法证明，证明时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，命题成立，第二步，先假设当n=k时，原式成立，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．
28.用数学归纳法证明： + + +…+ ＞ （n＞1，且n∈N*）．
【答案】证明：①n=2时，左边= ＞ ，不等式成立； ②假设n=k（k＞1，且k∈N*）时结论成立，即 + +…+ ＞
则n=k+1时，左边= + +…+ + = + +…+ + ﹣ ＞ + ﹣ = ＞
即n=k+1时结论成立
综上， + + +…+ ＞ （n＞1，且n∈N*）
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】先证明n=2时，结论成立；假设n=k（k＞1，且k∈N*）时结论成立，利用归纳假设，证明n=k+1时结论成立．
29.用数学归纳法证明：
【答案】证明：①当 n=1 时，左边 ，右边 左边，∴等式成立．
②设当n=k 时，等式成立，
即 ．则当 n=k+1 时，
左边
∴ n=k+1 时，等式成立．
由①、②可知，原等式对于任意 成立． 21*cnjy*com
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是首先证明当n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，得到等式 ，下面证明当n=k+1时等式左边 ，根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．
30.函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（1）=1 （Ⅰ）分别求f（2），f（3），f（4）的值；
（Ⅱ）猜想f（n）（n∈N*）的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
【答案】解：（Ⅰ）f（1）=1， ，
（Ⅱ）猜想f（n）=n2 ，
下用数学归纳法证明之．
①当n=1时，f（1）=1，猜想成立；
②假设当n=k时，猜想成立，即 f（k）=k2 ，
则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2k×1=k2+2k+1=（k+1）2 ，
即当n=k+1时猜想成立．
由①、②可知，对于一切n∈N*猜想均成立
【考点】函数的值，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得当x=1，y=1时，求得f（2），当x=2，y=1求得f（x），当x=3，y=1，即可求得f（4）的值；（Ⅱ）利用数学归纳法的步骤，当n=1时，f（1）=1，猜想成立；假设当n=k时，f（k）=k2 ， 当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2k×1=k2+2k+1=（k+1）2 ， 当n=k+1时猜想成立，因此f（n）=n2 ．
31.已知数列 Sn为其前n项和．计算得 观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明．
【答案】解：观察分析题设条件可知 证明如下：（i）当n=1时， ，等式成立．
（ii）设当n=k时等式成立，即 则 = = = = = =
由此可知，当n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）可知，等式对任何n∈N都成立
【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】观察分析题设条件可知 ．然后再用数学归纳法进行证明．
32.求和：Sn= + +…+ ，并用数学归纳法证明．
【答案】解：S1= ，S2= ，S3= 猜想：Sn= ．
①n=1时，S1成立；
②假设n=k时，猜想成立，即Sk= ，
则n=k+1时，Sk+1= + = ，
∴n=k+1时猜想也成立
根据①②可知猜想对任何n∈N*都成立
【考点】数列的求和，数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】利用条件计算S1 ， S2 ， S3 ， 由此推测Sn的计算公式；利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
33.已知数列{an}，a1=2，an+1= an ， （n∈N*）．
（1）求a2 ， a3 ， a4 ， 猜测通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．
【答案】（1）解：由a1=2，an+1= an ， （n∈N*）．
所以a2= =6，
同理a3= =12，a4=
（2）解：猜想an=n（n+1）
证明：①当n=1时，猜想成立．
②设当n=k时（n∈N*）时，猜想成立，即ak=k（k+1），
则当n=k+1时，有ak+1= = =（k+1）（k+2），
所以当n=k+1时猜想也成立
综合①②，猜想对任何n∈N*都成立 2-1-c-n-j-y
【考点】数学归纳法，数学归纳法
【解析】【分析】（1）利用已知条件通过n=1，2，3即可求a2 ， a3 ， a4；（2）由（1）a1 ， a2 ， a3 ， a4；猜想数列{an}的通项公式，利用用数学归纳法的证明步骤在证明即可．
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