【备考2018】高考数学真题精讲精练专题11.6 离散型随机变量的均值与方差（2013-2017）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
11.6 离散型随机变量的均值与方差（答案）
知识回顾
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n
(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
(2)方差：称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
3．两点分布与二项分布的均值、方差
均值 方差
变量X服从两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)
X～B(n，p) E(X)＝np D(X)＝np(1－p)
例题精讲
考点一　离散型随机变量的均值与方差
【变式训练1】（1）某公司有A、B、C、D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为8，B、C两辆车的车牌尾号为2，D车的车牌尾号为3，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知A、D两辆汽车每天出车的概率为 ，B、C两辆汽车每天出车的概率为 ，且四辆汽车是否出车是相互独立的． 该公司所在地区汽车限行规定如下：
车牌尾号 0和5 1和6 2和7 3和8 4和9
限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
（Ⅰ）求该公司在星期二至少有2辆汽车出车的概率；
（Ⅱ）设ξ表示该公司在星期三和星期四两天出车的车辆数之和，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】解：（Ⅰ）设事件M表示“星期二只有一辆汽车出车”，事件N表示“星期二没有汽车出车”． ∴P（M）= + = ，P（N）= = ．
∴该公司在星期二至少有2辆汽车出车的概率P=1﹣P（M）﹣P（N）= ．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
∴P（ξ=0）= = ．
P（ξ=1）= + = ，
P（ξ=2）= + × + = ．
P（ξ=3）= + = ．
P（ξ=4）= = ．ξ的分布列：
布列为
ξ 0 1 2 3 4
p
∴Eξ=0+ +2× +3× +4× =
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（I）设事件M表示“星期二只有一辆汽车出车”，事件N表示“星期二没有汽车出车”．可得：P（M）= + = ，P（N）= = ．可得该公司在星期二至少有2辆汽车出车的概率P=1﹣P（M）﹣P（N）．（II）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．利用相互独立事件、互斥事件、古典概率计算公式即可得出．
（2）.《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢《最强大脑》 不喜欢《最强大脑》 合计
男生 15
女生 15
合计
已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4
（ I）请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；
（ II）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X，求X的分布列及数学期望．
下面的临界值表仅参考：
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d）
【答案】解：（Ⅰ）由题意知列联表为：
喜欢《最强大脑》 不喜欢《最强大脑》 合计
男生 45 15 60
女生 15 25 40
合计 60 40 100
K2= ≈14.063＞10.828，
∴有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关．
（II）X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）= = ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
∴X的分布列为：2-1-c-n-j-y
X 0 1 2
P
EX= =
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意知完成列联表，求出K2≈14.063＞10.828，由此有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关．（II）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
（3）已知函数 ，现有一组数据（数据量较大），从中随机抽取10个，绘制所得的茎叶图如图所示，且茎叶图中的数据的平均数为2．（茎叶图中的数据均为小数，其中茎为整数部分，叶为小数部分）
（Ⅰ）现从茎叶图的数据中任取4个数据分别替换m的值，
求至少有2个数据使得函数f（x）没有零点的概率；
（Ⅱ）以频率估计概率，若从该组数据中随机抽取4个数据分别替换m的值，记使得函数f（x）没有零点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
【答案】解：（Ⅰ）根据茎叶图中的数据，计算平均数为 = ×（0.3+0.1×a+0.5+1.4+1.9+1.8+2.3+3.2+3.4+4.5）=2，
解得a=7；
从茎叶图10个数据中任取4个，有 =210种不同的取法；
函数f（x）=x2+ 中，
△=2（m﹣1）2﹣m=2m2﹣5m+2，
令△＜0，解得 ＜m＜2，
∴满足函数f（x）没有零点的数据是0.7，1.4，1.8，1.9共4个；
用抽出的4个数分别替换m的值，至少有2个数据使得函数f（x）没有零点的概率为
P=1﹣ ﹣ = ；
（Ⅱ）满足函数f（x）没有零点的数据有4个，
∴ξ的所有可能取值分别为0，1，2，3，4；
则P（ξ=0）= = ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= = ，
P（ξ=3）= = ，
P（ξ=4）= = ；
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4
P
数学期望为Eξ=0× +1× +2× +3× +4× = =1.6
【考点】茎叶图，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义列方程求出a的值；利用判别式△＜0求出函数f（x）没有零点时m的取值范围，再利用对立事件的概率公式计算所求的概率值；（Ⅱ）根据题意知ξ的所有可能取值，求出对应的概率，写出ξ的分布列，计算数学期望值．
考点二　均值与方差在决策中的应用
【变式训练2】某省组织了一次高考模拟考试，该省教育部门抽取了1000名考生的数学考试成绩，并绘制成频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求样本中数学成绩在95分以上（含95分）的学生人数；
（Ⅱ）已知本次模拟考试全省考生的数学成绩X～N（μ，σ2），其中μ近似为样本的平均数，σ2近似为样本方差，试估计该省的所有考生中数学成绩介于100～138.2分的概率；
（Ⅲ）以频率估计概率，若从该省所有考生中随机抽取4人，记这4人中成绩在[105，125）内的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考数据： ≈18.9， ≈19.1， ≈19.4．
若Z∽N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.9826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9976．
【答案】解：（Ⅰ）依题意，成绩在95分以下（不含95分）的频率为： （0.002+0.008+0.014+0.015）×10=0.39，
∴样本中数学成绩在95分以上（含95分）的学生人数为：
1000×（1﹣0.39）=610．
（Ⅱ）∵ =60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，
S2=1600×0.02+900×0.08+400×0.14+100×0.15+0×0.24+100×0.15+400×0.1+900×0.08+1600×0.04=366．
∴X～N（100，366），故p（100＜x＜138.2）= =0.4772．
（Ⅲ）依题意，成绩在[105，125）内的频率是0.25，故X～B（4， ），
P（X=0）=（ ）4= ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
P（X=4）=（ ）4= ，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
∵X～B（4， ），∴E（X）=4× =1
【考点】频率分布直方图，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出成绩在95分以下（不含95分）的频率，由此能求出样本中数学成绩在95分以上（含95分）的学生人数．（Ⅱ）先分别求出 ，S2 ， 从而X～N（100，366），由此能求出p（100＜x＜138.2）的值．（Ⅲ）成绩在[105，125）内的频率是0.25，故X～B（4， ），由此能求出X的分布列和E（X）．21*cnjy*com
真题精析
一、单选题
1.（2017 浙江）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi ， P（ξi=0）=1﹣pi ， i=1，2．若0＜p1＜p2＜ ，则（ ） 21世纪教育网版权所有
A. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
【答案】A
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi ， P（ξi=0）=1﹣pi ， i=1，2，…，
0＜p1＜p2＜ ，
∴ ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，
E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1 ，
E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2 ，
D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）= ，
D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）= ，
D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（ ）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，
∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．
故选：A．
【分析】由已知得0＜p1＜p2＜ ， ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1 ， E（ξ2）=p2 ， 从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．
2.（2014 浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．
（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；
（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）．
则（ ）
A. p1＞p2 ， E（ξ1）＜E（ξ2） B. p1＜p2 ， E（ξ1）＞E（ξ2）
C. p1＞p2 ， E（ξ1）＞E（ξ2） D. p1＜p2 ， E（ξ1）＜E（ξ2）
【答案】A
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解析： ， ，
，所以P1＞P2；
由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，
所以， = = ，
E（ξ1）﹣E（ξ2）= ．
故选A
【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1 ， P2和E（ξ1），E（ξ2）进行比较即可．
二、填空题
3.（2017 新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．
【答案】1.96
【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，
则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．
故答案为：1.96．
【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．
4.（2014 浙江）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）= ，E（ξ）=1，则D（ξ）=________．
【答案】
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q= ， ，
解得 ， ，
所以 ．
故答案为：
【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．
三、综合题
5.（2017 山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6和4名女志愿者B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
【答案】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P（M）= = ．
（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，
∴P（X=0）= = ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
P（X=4）= = ．
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× =2．
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，组合及组合数公式 21教育名师原创作品
【解析】【分析】（Ⅰ）利用组合数公式计算概率；
（Ⅱ）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．
6.（2017 新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，
P（X=200）= =0.2，
P（X=300）= ，
P（X=500）= =0.4，
∴X的分布列为：
X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400，
当200＜n≤300时，
若x=200，则Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n，
若x≥300，则Y=n（6﹣4）=2n，
∴EY=p（x=200）×（800﹣2n）+p（x≥300）×2n=0.2（800﹣2n）+0.8=1.2n+160，
∴EY≤1.2×300+160=520，
当300＜n≤500时，若x=200，则Y=800﹣2n，
若x=300，则Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n，
∴当n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520，
若x=500，则Y=2n，
∴EY=0.2×（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4×2n=640﹣0.4n，
当n≥500时，Y= ，
EY=0.2（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4（2000﹣2n）=1440﹣2n，
∴EY≤1440﹣2×500=440．
综上，当n=300时，EY最大值为520元．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400；当200＜n≤300时，EY≤1.2×300+160=520；当300＜n≤500时，n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520；当n≥500时，EY≤1440﹣2×500=440．从而得到当n=300时，EY最大值为520元．
7.（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
【答案】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；
则P（X=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）（1﹣ ）= ，
P（X=1）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ）× = ，
P（X=2）=（1﹣ ）× × + ×（1﹣ ）× + × ×（1﹣ ）= ，
P（X=3）= × × = ；
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望为E（X）=0× +1× +2× +3× = ；
（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，
则所求事件的概率为
P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）
=P（Y=0） P（Z=1）+P（Y=1） P（Z=0）
= × + ×
= ；
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 ．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，
写出它的分布列，计算数学期望值；
（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．
8.（2017 江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N* ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
1 2 3 … m+n
（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ ．
【答案】解：（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，
则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ）
=
= = ．
证明：（Ⅱ）∵X的所有可能取值为 ，…， ，
P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，
∴E（X）= （ ）=
= ＜ =
= （ ）
= = ，
∴E（X）＜ ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件
【解析】【分析】（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值为 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）= （ ）= ，由此能证明E（X）＜ ．
9.（2014 重庆）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）
【答案】（1）解：由古典概型的概率计算公式得所求概率为
P= ，
（2）解：由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且
P（X=1）= ，
P（X=2）= ，
P（X=3）= ，
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
所以E（X）=
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现．
10.（2013 辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望． 21教育网
【答案】（1）解：设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”
则 =张同学至少取到的全为甲类题
∴P（A）=1﹣P（ ）=1﹣ =
（2）解：X的所有可能取值为0，1，2，3
P （X=0）= =
P（X=1）= =
P（X=2）= + =
P（X=3）= =
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
EX=
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有 ，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解（2）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值
11.（2013 新课标Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1 ， 第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2 ，
第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1 ， 第二次取出的1件产品是优质品为事件B2 ，
这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，
所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）
= =
（2）解：X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）= ，P（X=500）= ，
P（X=400）=1﹣ ﹣ = ，故X的分布列如下：
X 400 500 800
P
故EX=400× +500× +800× =506.25
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1 ， 第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2 ， 第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1 ， 第二次取出的1件产品是优质品为事件B2 ， 这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（2）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．
模拟题精练
一、单选题
1.若离散型随机变量X的分布列为 则X的数学期望E（X）=（　　）
X 0 1
P
A. 2 B. 2或 C. D. 1
【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，，
∴a=1，
∴E（X）=0×+1×=．
故选：C．
【分析】利用概率的性质求出a，再求出X的数学期望．
2.已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D（X）等于（ ）
X 0 1
P m 2m
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可得：m+2m=1，所以m= ，
所以Eξ=0× +1× = ，
所以Dξ=（0﹣ ）2× +（1﹣ ）2× = ．
故选B．
【分析】由于已知分布列即可求出m的取值，进而使用公式求期望、方差．
3.随机变量X～B（n， ），E（X）=3，则n=（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
【答案】B
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：E（X）= =3， ∴n=12．
故选B．
【分析】根据二项分布的数学期望公式计算得出．
4.若X是离散型随机变量，P（X=x1）= ，P（X=x2）= ，且x1＜x2 ， 又已知E（X）= ，D（X）= ，则x1+x2的值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：∵E（X）= ，D（X）= ， ∴ ，
解得 或 （舍），
∴x1+x2=3．
故选C．
【分析】根据数学期望和方差公式列方程组解出x1 ， x2 ． 21cnjy.com
5.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2， 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意得3a+2b=2，
=（ ）×
=
故选D
【分析】依题意可求得3a+2b的值，进而利用 =1把 转化为（ ）× 展开后利用基本不等式求得问题的答案．
6.设随机变量X的分布列如下表，则DX=（ ）
X 0 1 2
P 0.2 0.2 y
A. 0.64 B. 1.2 C. 1.6 D. 2【版权所有：21教育】
【答案】A
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由随机变量X的分布列知： 0.2+0.2+y=1，
解得y=0.6，
∴EX=1×0.2+2×0.6=1.4，
∴Dξ=（0﹣1.4）2×0.2+（1﹣1.4）2×0.2+（2﹣1.4）2×0.6=0.64．
故选：A．
【分析】由随机变量X的分布列求出y=0.6，从而EX=1×0.2+2×0.6=1.4，由此能求出Dξ．
7.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．
①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）= ；
②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）= ；
③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）= ．
④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）= ．
X 0 1 2 3
P
故X的分布列为
因此E（X）= = ．
故选B．
【分析】由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，
③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．
8.若X﹣B（n，p），且E（X）=6，D（X）=3，则P=（ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】A
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：∵随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=6，Dξ=3，
∴np=6，且np（1﹣p）=3，解得n=12，p= ．
故选：A．
【分析】根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于n和p的方程组，整体计算求解方程组得答案．
9.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（　　）
A. 2.44 B. 3.376 C. 2.376 D. 2.4
【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意知ξ=0，1，2，3，
∵当ξ=0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，
∴P（ξ=0）=0.43 ，
∵当ξ=1时，表示前两次都没射中，第三次射中
∴P（ξ=1）=0.6×0.42 ，
∵当ξ=2时，表示第一次没射中，第二次射中
∴P（ξ=2）=0.6×0.4，
∵当ξ=3时，表示第一次射中，
∴P（ξ=3）=0.6，
∴Eξ=2.376．
故选C．
【分析】由题意知ξ=0，1，2，3，当ξ=0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，当ξ=1时，表示前两次都没射中，第三次射中，当ξ=2时，表示第一次没射中，第二次射中，当ξ=3时，表示第一次射中，算出概率和期望．
10.经检测有一批产品合格率为 ，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P（ξ=k）取得最大值时k的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，随机变量ξ～B（5， ），
∴P（ξ=k）= ，
由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近．
∵Eξ=5× =3.75，
∴k=4是极值，
∴P（ξ=k）取最大值时k的值是4．
故选：C．
【分析】随机变量ξ～B（5， ），P（ξ=k）= ，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近．由Eξ=5× =3.75，知k=4是极值，由此能求出p（ξ=k）取最大值时k的值．
11.某射击运动员进行打靶训练，若气枪中有5发子弹，运动员每次击中目标概率均为 ，击中即停止打靶，则运动员所需子弹数的期望为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：运动员所需子弹数X的可能取值为1，2，3，4，5； 则P（X=1）= ，
P（X=2）= × = ，
P（X=3）= × × = ，
P（X=4）= × × × = ，
P（X=5）= × × × × = ；
∴X的分布列为：www-2-1-cnjy-com
X 1 2 3 4 5
P
EX= +4× = ．
故选：D．
【分析】运动员所需子弹数X的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出运动员所需子弹数的期望．
二、填空题
12.一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是________．若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的期望为________．
【答案】；6
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：①从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率P= = ． ②由题意可得：ξ的取值为4，5，6，7，8．
P（ξ=4）=P（2红1黄）= = = ，P（ξ=5）=P（2红1绿）+P（2黄1红）= + = = ，P（ξ=6）=P（1红1黄1绿）= = = ，P（ξ=7）=P（2黄1绿）+P（2绿1红）= + = = ，P（ξ=8）=P（2绿1黄）= = = ．
∴
ξ 4 5 6 7 8
P
E（ξ）=4× +5× +6× +7× +8× =6．∴
故答案为： ，6．
【分析】①从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率P= ．
②由题意可得：ξ的取值为4，5，6，7，8．通过分类讨论，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出分布列，进而得出数学期望．
13.有一射击时击中目标的概率为0.7，记4次射击击中目标的次数为随机变量ξ，则P（ξ≥1）=________．
【答案】0.9919
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：P（ξ≥1）=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣0.7）4=0.9919 故答案为：0.9919．
【分析】利用P（ξ≥1）=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣0.7）4 ， 即可得出．
14.已知随机变量ξ～B（n，p），若 ， ，则n=________，p=________．
【答案】5；
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：∵随机变量ξ～B（n，p）， ， ， 则np= ，np（1﹣p）= ，
解得n=5，p= ．
故答案为：5， ．
【分析】随机变量ξ～B（n，p），可得E（ξ）=np，D（ξ）=np（1﹣p），即可得出．
15.设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取两个球，令取到白球的个数为ξ，且ξ的数学期望Eξ= ，则口袋中白球的个数为________．
【答案】3
【考点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：设口袋中有白球x个， 由已知得ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）= ，
P（ξ=1）= ，
P（ξ=2）= ，
∵Eξ= ，∴ × ，
解得x=3．
∴口袋中白球的个数为3．
故答案为：3．
【分析】设口袋中有白球x个，由已知得ξ的可能取值为0，1，2，由Eξ= ，得 × ，由此能求出口袋中白球的个数．
三、综合题
16.某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm），并将所得数据分组，画出频率分布表如表：
组 距 频 数 频 率
[100，102） 16 0.16
[102，104） 18 0.18
[104，106） 25 0.25
[106，108） a b
[108，110） 6 0.06
[110，112） 3 0.03
合计 100 1
（1）求如表中a、b的值；
（2）估计该基地榕树树苗平均高度；
（3）若将这100株榕树苗高度分布的频率视为概率，从培育基地的榕树苗中随机选出4株，其中在[104，106）内的有X株，求X的分布列和期望． 【出处：21教育名师】
【答案】（1）解：由频率分布表，知：a=100﹣16﹣18﹣25﹣6﹣3=32，
（2）解：估计该基地榕树树苗平均高度为 （cm）
（3）解：由频率分布表知树苗高度在[104，106）范围内的有25株， 因此X的所有可能取值为0，1，2，3，4…
，
，
，
．
分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E（X）=np=4×0.24=1
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由频率分布表，能求出a和b；（2）取组距的中间值，能估计该基地榕树树苗平均高度；（3）由频率分布表知树苗高度在[104，106）范围内的有25株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3，4分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．
17.根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图显示．
（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值． 21·世纪*教育网
（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：∵[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，
∴由频率分布直方图得 ，
解得a=0.035，b=0.025
（2）解：利用分层抽样从样本中抽取10人，
其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人．
从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X，
则X的所有可能取值为：150，200，250，300．
P（X=150）= ，
P（X=200）= ，
P（X=250）= ，
P（X=300）= ，
∴X的分布列为：
X 150 200 250 300
P
EX=150× +200× +250× +300× =210．
【考点】频率分布直方图，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由等差数列性质和频率分布直方图得 ，由此能求出a，b．（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人．从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X，则X的所有可能取值为：150，200，250，300．分别求出相应的概率，由此能求出此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望
18.2017年省内事业单位面向社会公开招聘工作人员，为保证公平竞争，报名者需要参加笔试和面试两部分，且要求笔试成绩必须大于或等于90分的才有资格参加面试，90分以下（不含90分）则被淘汰．现有2000名竞聘者参加笔试，参加笔试的成绩按区间[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]分段，其频率分布直方图如下图所示（频率分布直方图有污损），但是知道参加面试的人数为500，且笔试成绩在的人数为1440． 21*cnjy*com
（1）根据频率分布直方图，估算竞聘者参加笔试的平均成绩；
（2）若在面试过程中每人最多有5次选题答题的机会，累计答题或答错3题即终止答题．答对3题者方可参加复赛．已知面试者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．若他连续三次答题中答对一次的概率为 ，求面试者甲答题个数X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设竞聘者成绩在区间[30，50），[90，110），[110，130）的人数分别为x，y，z， 则（0.0170+0.0140）×20×2000+x=2000﹣500，解得x=260，
（0.0170+0.0140）×20×2000+y=1440，解得y=200，
0.0032×20×2000+200+z=500，解得z=172，
竞聘者参加笔试的平均成绩为：
×（260×40+200×100+172×120）+（0.014×60+0.017×80+0.0032×140）×20=78.48（分）
（2）解：设面试者甲每道题答对的概率为p，则 = ，解得p= ， 面试者甲答题个数X的可能取值为3，4，5，
则P（X=3）=（ ）3+（ ）3= ，
P（X=4）= ，
P（X=5）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣ ﹣ = ，
∴X的人布列为：
X 3 4 5
P
E（X）= =
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）求出竞聘者成绩在区间[30，50），[90，110），[110，130）的人数，由此能求出竞聘者参加笔试的平均成绩．（2）设面试者甲每道题答对的概率为p，则 = ，解得p= ，面试者甲答题个数X的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的人布列和E（X）．【来源：21·世纪·教育·网】
19.设不等式x2+y2≤4确定的平面区域为U，|x|+|y|≤1确定的平面区域为V．
（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率； 【来源：21cnj*y.co*m】
（2）在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：依题可知平面区域U的整点为（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±2，0），（±1，±1）共有13个， 平面区域V的整点为（0，0），（0，±1），（±1，0）共有5个，
∴
（2）解：依题可得：平面区域U的面积为：π 22=4π，平面区域V的面积为： ， 在区域U内任取1个点，则该点在区域V内的概率为 ，
易知：X的可能取值为0，1，2，3，
且 ，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴X的数学期望：
（或者： ，故
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型，用列举法求出平面区域U的整点的个数N，平面区域V的整点个数为n，这些整点中恰有2个整点在区域V的概率 ；（2）依题可得：平面区域U的面积为：π 22=4π，平面区域V的面积为： ，在区域U内任取1个点，则该点在区域V内的概率为 ，易知：X的可能取值为0，1，2，3，则X∽B（3， ），代入概率公式即可求得求X的分布列和数学期望．
20.调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性，现将这三项的满意度指标分别记为x、y、z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标ω=x+y+z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级，为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：
人员编号 1 2 3 4 5
（x，y，z） （1，1，2） （2，1，1） （2，2，2） （0，1，1） （1，2，1）
人员编号 6 7 8 9 10
（x，y，z） （1，2，2） （1，1，1） （1，2，2） （1，0，0） （1，1，1）
（1）在这10名被调查者中任取两人，求这两人的居住满意度指标z相同的概率；
（2）从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量ξ=m﹣n，求随机变量ξ的分布列及其数学期望． 2·1·c·n·j·y
【答案】（1）解：记事件A为“从10被调查者中任取两人，这两人的居住满意度指标z相同”，
则居住满意指标z为0的只有编号为9的一位，
居住满意指标z为1的有编号为2，4，5，7，10，共五位，
居住满意指标z为2的有编号为1，3，6，8，共四位，
从10被调查者中任取两人，基本事件总数n= =10，
这两人的居住满意度指标z相同的结果为 =16，
∴这两人的居住满意度指标z相同的概率p= ．
（2）解：计算10名被调查者的综合指标，可列下表：
人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
综合指标 4 4 6 2 4 5 3 5 1 3
其中居住满意度为一级的有编号为1，2，3，5，6，8共六位，则m的可能取值为4，5，6，
居住满意度不是一级的有编号为4，7，9，10共四位，则n的可能取值为1，2，3，
∴ξ=m﹣n的可能取值为1，2，3，4，5，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= = ，
P（ξ=3）= = ，
P（ξ=4）= = ，
P（ξ=5）= = ，
∴ξ的分布列为：
ξ 1 2 3 4 5
P
Eξ= =
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 www.21-cn-jy.com
【解析】【分析】（1）记事件A为“从10被调查者中任取两人，这两人的居住满意度指标z相同”，从10被调查者中任取两人，先求出基本事件总数，再求出这两人的居住满意度指标z相同的结果，由此能求出这两人的居住满意度指标z相同的概率．（2）由题意ξ=m﹣n的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
21.2017年存节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600 元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种． 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸到2个红球，则打6折；若摸到1个红球，则打7折；若没摸到红球，则不打折．
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．
（1）若两个顾客均分别消费了 600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算．
【答案】（1）解：选择方案一，若享受到免单优惠，则需要摸出3个红球， 设顾客享受到免单优惠为事件A，则
，
所以两位顾客均享受到免单的概率为
；
（2）解：若选择方案一，设付款金额为X元，则 X可能的取值为0，600，700，1000；
计算 ，
，
故X的分布列为：
X 0 600 700 1000
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算两位顾客均享受到免单的概率值；（2）选择方案一，计算所付款金额X的分布列和数学期望值， 选择方案二，计算所付款金额Z的数学期望值，比较得出结论．
P
所以 （元）；
若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z元，则Z=1000﹣200Y，
由已知可得 ，故 ，
所以E（Z）=E（1000﹣200Y）=1000﹣200E（Y）=820（元），
因为E（X）＜E（Z），所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算．
22.高考数学试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：
（1）得50分的概率；
（2）得多少分的可能性最大；
（3）所得分数ξ的数学期望．
【答案】（1）解：得分为50分，10道题必须全做对．
在其余的四道题中，有两道题答对的概率为 ，有一道题答对的概率为 ，还有一道答对的概率为 ，所以得分为5（0分）的概率为：P= × × × = ；
（2）解：依题意，该考生得分的范围为{30，35，40，45，50}．
得分为30分表示只做对了6道题，其余各题都做错，所以概率为：P1= × × × = ．
同样可以求得得分为35分的概率为：P2= ﹣ × × × + × × × + × × × = ．
得分为40分的概率为：P3= ； 得分为4（5分）的概率为：P4= ；
得分为50分的概率为：P5= ．
所以得35分或得40分的可能性最大；
（3）解：由（2）可知ξ的分布列为：
ξ 30 35 40 45 50
P
∴Eξ=30× +35× +40× +45× +50× =
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意，该考生10道题全答对即另四道题也全答对，根据相互独立事件概率的乘法公式，计算可得答案．（2）该考生选择题得分的可能取值有：30，35，40，45，50共五种．设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A，“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B，“不能理解题意的”该题选对为事件C．得分为30，表示只做对有把握的那4道题，其余各题都做错；得分为35时，表示做对有把握的那4道题和另外四题中的一题；得分为40时，表示做对有把握的那4道题和另外四题中的二题；得分为45时，表示做对有把握的那4道题和另外四题中的三题；得分为50时，表示10题全部做对，做出概率．（3）由题意知变量的可能取值分别是30，35，40，45，50，根据第二问做出的结果，写出离散型随机变量的分布列，根据期望的定义，即可求出期望
23.现有4人去旅游，旅游地点有A，B两个地方可以选择，但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地．
（1）求这4个人恰好有1个人去A地的概率；
（2）用X，Y分别表示这4个人中去A，B两地的人数，记ξ=X Y，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）． 21·cn·jy·com
【答案】（1）解：由题意这4人中，每个人去A地旅游的概率为 ，去B地旅游的概率为 ，
设“这4个人中恰有i人去A地旅游”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），
∴P（Ai）= ，
∴这4个人恰好有1个人去A地的概率：
P（A1）= =
（2）解：由题意ξ的可能取值为0，3，4，
P（ξ=0）=P（A0）+P（A4）= = ，
P（ξ=3）=P（A1）+P（A3）= + = ，
P（ξ=4）=P（A2）= ═ ，
∴ξ的分布列为：
ξ 0 3 4
P
Eξ= =
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意这4人中，每个人去A地旅游的概率为 ，去B地旅游的概率为 ，设“这4个人中恰有i人去A地旅游”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），P（Ai）= ，由此能求出这4个人恰好有1个人去A地的概率．（2）由题意ξ的可能取值为0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．
24.某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．
（1）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；
（2）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．
则 ， ．
因为事件A与B相互独立，
所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为 ．
（2）解：设事件C为“丙同学选中C课程”．
则 ．X的可能取值为：0，1，2，3．
．
= ．
= ．
．
X为分布列为：
X 0 1 2 3
P
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．求出A，B的概率，然后求解甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率．（2）X的可能取值为：0，1，2，3．求出概率，得到X为分布列，然后求解期望．
25.如图是从成都某中学参加高三体育考试的学生中抽出的60名学生体育成绩（均为整数）的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70，80）内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：
（1）求成绩在区间[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；并估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；
（2）假设成绩在[80，90）内的学生中有 的成绩在85分以下，从成绩在[80，90）内的学生中选出三人，记在85分以上（含85分）的人数为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：因为各组的频率和等于1，
故成绩在[70，80）内的频率为：
f4=1﹣（0.01×2+0.015+0.020+0.005）×10=0.4．
频率分布直方图如右图．
依题意，6（0分）及以上的分数在第三、四、五、六段，
故其频率和为（0.02+0.04+0.01+0.005）×10=0.75，
∴抽样学生成绩的及格率是75%
（2）解：∵成绩在[80，90）内的人数=0.01×10×60=6，
∴成绩在[80，85）和[85，90）内的人数分别为4人和2人．
∴X的可能取值为0、1、2
P（X=0）= = ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
∴X的分布列为：
X 0 1 2
P
∴E（X）= =1．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由各组的频率和等于1，能求出成绩在[70，80）内的频率，从而补全频率分布直方图，并能估计抽样学生成绩的及格率．（2）由题意X的可能取值为0、1、2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)
3621世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
11.6 离散型随机变量的均值与方差
考纲剖析
1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
知识回顾
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n
(1)均值：称E(X)＝ 为随机变量X的均值或数学期望．
(2)方差：称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的 ．【版权所有：21教育】
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ .
(2)D(aX＋b)＝ ．(a，b为常数)
3．两点分布与二项分布的均值、方差
均值 方差
变量X服从两点分布 E(X)＝ D(X)＝
X～B(n，p) E(X)＝ D(X)＝
精讲方法
一、离散型随机变量的均值与方差的计算
（一）离散型随机变量均值与方差的计算
求离散型随机变量均值与方差的方法：
（1）理解的意义，写出可能取的全部值；
（2）求取每个值的概率；
（3）写出的分布列；
（4）由均值的定义求E；
（5）由方差的定义求D。
注：（1）随机变量的均值等于该随机变量的每一个取值与取该值时对应的概率乘积的和。
（2）均值（数学期望）是随机变量的一个重复特征数，它反映或刻画的是随机变量值的平均水平，均值（数学期望）是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均。
（3）EX是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而EX是不变的。
注：求离散型随机变量分布列时要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率。求随机变量的分布列，关键是概率类型的确定与转化，如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验有k次发生的概率等。21*cnjy*com
（二）均值与方差的实际应用
1．DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度，DX越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近，统计中常用来描述X的分散程度。
2．随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定。
(三)均值与方差性质的应用
注: 是随机变量,则一般是随机变量,在求的均值和方差时,熟练应用均值和方差的性质,可以避免再求的分布列带来的繁琐运算.
小结
1．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
(2)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(3)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．求离散型随机变量均值与方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解．21·cn·jy·com
(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解．
例题精讲
考点一　离散型随机变量的均值与方差
【例题1】以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的《中国诗词大会》，是央视科教频道推出的一档大型演播室文化益智节目，每季赛事共分为10场，每场分个人追逐赛与擂主争霸赛两部分，其中擂主争霸赛在本场个人追逐赛的优胜者与上一场擂主之间进行，一共备有9道抢答题，选手抢到并答对获得1分，答错对方得1分，当有一个选手累计得分达到5分时比赛结束，该选手就是本场的擂主，在某场比赛中，甲、乙两人进行擂主争霸赛，设每个题目甲答对的概率都为 ，乙答对的概率为 ，每道题目都有人抢答，且每人抢到答题权的概率均为 ，各题答题情况互不影响． （Ⅰ）求抢答一道题目，甲得1分的概率；
（Ⅱ）现在前5题已经抢答完毕，甲得2分，乙得3分，在接下来的比赛中，设甲的得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ． 2·1·c·n·j·y
【答案】解：（I）设“抢答一道题目，甲得1分”为事件A，则事件A发生当且仅当甲抢到答题权后答对或乙抢到答题权后答错．∴P（A）= + = ． （II）在接下来的比赛中，甲的得分为ξ取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= × × = ，P（ξ=2）= × = ，P（ξ=3）=1﹣ ﹣ ﹣ = ．
∴ξ的分布列：
ξ 0 1 2 3
P
Eξ=0× +1× +2× +3× =
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（I）设“抢答一道题目，甲得1分”为事件A，则事件A发生当且仅当甲抢到答题权后答对或乙抢到答题权后答错．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．（II）在接下来的比赛中，甲的得分为ξ取值为0，1，2，3．P（ξ=0）= ，P（ξ=1）= × × ，P（ξ=2）= × ，P（ξ=3）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）．
【变式训练1】（1）某公司有A、B、C、D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为8，B、C两辆车的车牌尾号为2，D车的车牌尾号为3，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知A、D两辆汽车每天出车的概率为 ，B、C两辆汽车每天出车的概率为 ，且四辆汽车是否出车是相互独立的． 该公司所在地区汽车限行规定如下：
车牌尾号 0和5 1和6 2和7 3和8 4和9
限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
（Ⅰ）求该公司在星期二至少有2辆汽车出车的概率；
（Ⅱ）设ξ表示该公司在星期三和星期四两天出车的车辆数之和，求ξ的分布列和数学期望．
（2）.《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢《最强大脑》 不喜欢《最强大脑》 合计
男生 15
女生 15
合计
已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4
（ I）请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；
（ II）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X，求X的分布列及数学期望．
下面的临界值表仅参考：【来源：21cnj*y.co*m】
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d）
（3）已知函数 ，现有一组数据（数据量较大），从中随机抽取10个，绘制所得的茎叶图如图所示，且茎叶图中的数据的平均数为2．（茎叶图中的数据均为小数，其中茎为整数部分，叶为小数部分）
（Ⅰ）现从茎叶图的数据中任取4个数据分别替换m的值，
求至少有2个数据使得函数f（x）没有零点的概率；
（Ⅱ）以频率估计概率，若从该组数据中随机抽取4个数据分别替换m的值，记使得函数f（x）没有零点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
考点二　均值与方差在决策中的应用
【例题2】某中学人力资源部计划2016年招聘2名数学教师，共5名应聘者进入最后课堂实录环节．5名数学组评审专家给出评分如表：
评审专家/应聘老师 1 2 3 4 5
评审专家A 93.0 90.0 88.5 89.5 82.5
评审专家B 94.0 83.0 89.0 93.0 81.0
评审专家C 91.0 85.0 81.5 88.0 81.0
评审专家D 92.0 91.5 81.0 94.5 87.0
评审专家E 95.5 91.0 90.0 95.5 88.5
（Ⅰ）若依据去掉一个最高分和一个最低分规则计算应聘老师成绩，试确定最终应聘成功的2名数学老师的序号；
（Ⅱ）在课堂实录环节，每名应聘老师都需要从5名评审专家中随机选取2名进行点评，且每名应聘老师的选择互不影响，设X表示评审专家A进行点评的次数，求X的分布列以及数学期望；
（Ⅲ）记评审专家A与评审专家B给出的评分的方差分别为 ，试比较 与 的大小．（只需写出结论） 21世纪教育网版权所有
【答案】解：（Ⅰ）去掉一个最高分和一个最低分后，各应聘教师的总分依次为：
教师1：93.0+94.0+92.0=279.0；教师2：90.0+85.0+91.0=266.0；
教师3：88.5+89.0+81.5=259.0；教师4：89.5+93.0+94.5=277.0；
教师5：82.5+81.0+87.0=250.5．
所以最终应聘成功的是教师1和教师4．
（Ⅱ）每名应聘教师选择专家A进行点评的概率都是 = ，且每名应聘老师的选择互不影响，
∴专家A进行点评的次数X服从二项分布 ，
∴P（X=0）=（ ）5= ，P（X=1）= （ ）4= ，P（X=2）= （ ）2 （ ）3= ，
P（X=3）= （ ）3 （ ）2= ，P（X=4）= （ ）4 = ，P（X=5）=（ ）5= ．
所以X的分布列为：【来源：21·世纪·教育·网】
X 0 1 2 3 4 5
P
．
（Ⅲ）评审专家A的平均分 ，
方差为 ，
评审专家B的平均分 ，方差为
所以 ． www-2-1-cnjy-com
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）计算各应聘教师的总分即可得出结论，（2）根据二项分布的概率公式得出分布列，求出期望，（3）利用方差公式进行计算即可.21*cnjy*com
【变式训练2】某省组织了一次高考模拟考试，该省教育部门抽取了1000名考生的数学考试成绩，并绘制成频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求样本中数学成绩在95分以上（含95分）的学生人数；
（Ⅱ）已知本次模拟考试全省考生的数学成绩X～N（μ，σ2），其中μ近似为样本的平均数，σ2近似为样本方差，试估计该省的所有考生中数学成绩介于100～138.2分的概率；
（Ⅲ）以频率估计概率，若从该省所有考生中随机抽取4人，记这4人中成绩在[105，125）内的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考数据： ≈18.9， ≈19.1， ≈19.4．
若Z∽N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.9826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9976．
真题精析
一、单选题
1.（2017 浙江）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi ， P（ξi=0）=1﹣pi ， i=1，2．若0＜p1＜p2＜ ，则（ ）
A. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
2.（2014 浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．
（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；
（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）．
则（ ）
A. p1＞p2 ， E（ξ1）＜E（ξ2） B. p1＜p2 ， E（ξ1）＞E（ξ2）
C. p1＞p2 ， E（ξ1）＞E（ξ2） D. p1＜p2 ， E（ξ1）＜E（ξ2）
二、填空题
3.（2017 新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．
4.（2014 浙江）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）= ，E（ξ）=1，则D（ξ）=________．
三、综合题
5.（2017 山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6和4名女志愿者B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
6.（2017 新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：【出处：21教育名师】
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
7.（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
8.（2017 江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N* ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．
1 2 3 … m+n
（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ ．
9.（2014 重庆）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）
10.（2013 辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
11.（2013 新课标Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
模拟题精练
一、单选题
1.若离散型随机变量X的分布列为 则X的数学期望E（X）=（　　）
X 0 1
P
A. 2 B. 2或 C. D. 1
2.已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D（X）等于（ ）
X 0 1
P m 2m
A. B. C. D.
3.随机变量X～B（n， ），E（X）=3，则n=（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
4.若X是离散型随机变量，P（X=x1）= ，P（X=x2）= ，且x1＜x2 ， 又已知E（X）= ，D（X）= ，则x1+x2的值为（ ）
A. B. C. 3 D.
5.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2， 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 21教育名师原创作品
6.设随机变量X的分布列如下表，则DX=（ ）
X 0 1 2
P 0.2 0.2 y
A. 0.64 B. 1.2 C. 1.6 D. 2
7.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（ ）
A. B. C. D.
8.若X﹣B（n，p），且E（X）=6，D（X）=3，则P=（ ）
A. B. 3 C. D. 2
9.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（　　）
A. 2.44 B. 3.376 C. 2.376 D. 2.4
10.经检测有一批产品合格率为 ，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P（ξ=k）取得最大值时k的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11.某射击运动员进行打靶训练，若气枪中有5发子弹，运动员每次击中目标概率均为 ，击中即停止打靶，则运动员所需子弹数的期望为（ ） www.21-cn-jy.com
A. B. C. D.
二、填空题
12.一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是________．若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的期望为________．
13.有一射击时击中目标的概率为0.7，记4次射击击中目标的次数为随机变量ξ，则P（ξ≥1）=________．
14.已知随机变量ξ～B（n，p），若 ， ，则n=________，p=________．
15.设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取两个球，令取到白球的个数为ξ，且ξ的数学期望Eξ= ，则口袋中白球的个数为________．
三、综合题
16.某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm），并将所得数据分组，画出频率分布表如表：
组 距 频 数 频 率
[100，102） 16 0.16
[102，104） 18 0.18
[104，106） 25 0.25
[106，108） a b
[108，110） 6 0.06
[110，112） 3 0.03
合计 100 1
（1）求如表中a、b的值；
（2）估计该基地榕树树苗平均高度；
（3）若将这100株榕树苗高度分布的频率视为概率，从培育基地的榕树苗中随机选出4株，其中在[104，106）内的有X株，求X的分布列和期望． 21教育网
17.根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图显示．
（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值． 21cnjy.com
（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望． 21·世纪*教育网
18.2017年省内事业单位面向社会公开招聘工作人员，为保证公平竞争，报名者需要参加笔试和面试两部分，且要求笔试成绩必须大于或等于90分的才有资格参加面试，90分以下（不含90分）则被淘汰．现有2000名竞聘者参加笔试，参加笔试的成绩按区间[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]分段，其频率分布直方图如下图所示（频率分布直方图有污损），但是知道参加面试的人数为500，且笔试成绩在的人数为1440．
（1）根据频率分布直方图，估算竞聘者参加笔试的平均成绩；
（2）若在面试过程中每人最多有5次选题答题的机会，累计答题或答错3题即终止答题．答对3题者方可参加复赛．已知面试者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．若他连续三次答题中答对一次的概率为 ，求面试者甲答题个数X的分布列和数学期望．
19.设不等式x2+y2≤4确定的平面区域为U，|x|+|y|≤1确定的平面区域为V．
（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；
（2）在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望．
20.调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性，现将这三项的满意度指标分别记为x、y、z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标ω=x+y+z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级，为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果： 2-1-c-n-j-y
人员编号 1 2 3 4 5
（x，y，z） （1，1，2） （2，1，1） （2，2，2） （0，1，1） （1，2，1）
人员编号 6 7 8 9 10
（x，y，z） （1，2，2） （1，1，1） （1，2，2） （1，0，0） （1，1，1）
（1）在这10名被调查者中任取两人，求这两人的居住满意度指标z相同的概率；
（2）从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量ξ=m﹣n，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．
21.2017年存节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600 元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种． 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸到2个红球，则打6折；若摸到1个红球，则打7折；若没摸到红球，则不打折．
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．
（1）若两个顾客均分别消费了 600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算．
22.高考数学试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：
（1）得50分的概率；
（2）得多少分的可能性最大；
（3）所得分数ξ的数学期望．
23.现有4人去旅游，旅游地点有A，B两个地方可以选择，但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地．
（1）求这4个人恰好有1个人去A地的概率；
（2）用X，Y分别表示这4个人中去A，B两地的人数，记ξ=X Y，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．
24.某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．
（1）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；
（2）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．
25.如图是从成都某中学参加高三体育考试的学生中抽出的60名学生体育成绩（均为整数）的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70，80）内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：
（1）求成绩在区间[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；并估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；
（2）假设成绩在[80，90）内的学生中有 的成绩在85分以下，从成绩在[80，90）内的学生中选出三人，记在85分以上（含85分）的人数为X，求X的分布列及数学期望．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)
18