第1节 质点__参考系__空间__时间
1．质点是指不考虑物体的大小和形状，用来代替物
体的有质量的点。
2．参考系是指为了描述物体的运动而假定为静止
不动的物体。
3．任何物体的运动都是在空间和时间中进行的，
在时间轴上的一个点表示时刻，一段距离表示
时间。
一、机械运动 质点
1．机械运动
(1)定义：一个物体相对于另一个物体位置的改变。
(2)运动的绝对性和静止的相对性：
运动是绝对的，静止是相对的，当一个物体相对于另一个物体没有发生位置变化，我们说这个物体是静止的。
2．质点
(1)定义：用来代替物体的有质量的点。
(2)将物体看做质点的条件：
如果被研究物体的形状、大小在所讨论的问题中可以忽略，就可把整个物体看做质点。
二、参考系
1．定义
要确定一个物体的位置并描述其运动情况时，被选定作为参考的其他物体。
2．参考系的意义
对同一个物体的运动，选择不同的参考系，观察到的物体运动情况往往不同，因此要描述一个物体的运动，必须首先选择参考系。
三、空间 时间 时刻
1．空间
指物体赖以存在的地方或变动范围。
2．时间
指物体在某处存在或变动过程的长短。
3．时刻
指物体运动的某一瞬时，在时间坐标轴上用一个点表示。
1．自主思考——判一判
(1)很大的物体不能看成质点，很小的物体才能看成质点。(×)
(2)参考系一定选静止不动的物体。(×)
(3)一个物体的运动情况与参考系的选择无关。(×)
(4)比较两个物体的运动情况时可选择不同的参考系。(×)
(5)时间间隔是指较长的一段时间，时刻是指较短的一段时间。(×)
(6)第2 s内和前2 s内指的是不相等的两段时间。(√)
2．合作探究——议一议
(1)研究一列火车从北京到上海的路程，火车能否看做质点？研究火车经过一座桥梁所需要的时间，火车能否看做质点？研究火车发动机、传动机构及车轮的转动时，火车能否看做质点？
图1 1 1
[提示] 研究一列火车从北京到上海运动的路程，火车可以看做质点；研究火车经过一座桥梁所需要的时间，火车的长度与桥梁的长度相比较不能忽略，火车不能看做质点；研究火车发动机、传动机构及车轮的转动，火车不能看做质点。
(2)我们站在公路旁边，描述汽车的运动时，一般选择谁为参考系？我们坐在车里，描述车里同学的运动时，一般选择谁为参考系？
[提示] 我们站在公路旁边，描述汽车的运动时，一般选地面为参考系。我们坐在车里，描述车里同学的运动时，一般选汽车为参考系。
(3)李爷爷起床后外出晨练，在公园遇到张爷爷。“您这么早！练多长时间了？”
“十五分钟左右吧。现在是什么时间？”张爷爷说。
“大约六点。”李爷爷说。
对话中两个“时间”，哪个是“时间”，哪个是“时刻”？
[提示] 第一个是时间，第二个是时刻。“练多长时间”，是指时间间隔；“现在是什么时间”指的是一个瞬间，所以是指时刻。
对质点的理解
1．对质点的认识
(1)质点是用来代替物体的有质量的点，其突出的特点是“具有质量”，但是没有大小、体积、形状，它与几何中的“点”有本质区别。
(2)质点是一种“理想化模型”。
2．如何理解理想化模型
(1)“理想化模型”是为了使研究的问题得以简化或研究问题方便而进行的一种科学的抽象，实际并不存在。
(2)“理想化模型”是以研究目的为出发点，抓住问题的主要因素，忽略次要因素，突出事物的主要特征而建立的“物理模型”。
(3)“理想化模型”是在一定程度和范围内对客观存在的复杂事物的一种近似反映，是物理学中经常采用的一种研究方法。
[典例] 第二届夏季青年奥林匹克运动会于2014年8月在南京举行，共设26个比赛项目中，可将运动员视为质点的是( )
[思路点拨] 一个物体能否看成质点，要看物体的大小和形状对研究问题的影响是否可以忽略。
[解析] 马拉松比赛时，由于长路程，运动员的大小形状可以忽略，可以看成质点，故A正确；跳水时，人们要关注运动员的动作，故运动员的大小形状不能忽略，不能看成质点，故B错误；击剑时要注意运动员的肢体动作，不能看成质点，故C错误；体操中主要根据运动员的肢体动作评分，故不能忽略大小和形状，故不能看成质点，故D错误。
[答案] A
判断一个物体能否看成质点的思路
(1)判断研究问题的性质，即需要关注的要素是什么。
(2)假设物体的形状、大小被忽略，关注的要素是否受影响。
(3)若关注的要素不受影响，物体就能被看成质点；若受影响，则物体不能被看成质点。
1．下列关于质点的说法中，正确的是( )
A．只要是体积很小的物体都可以被看成质点
B．只要是质量很小的物体都可以被看成质点
C．质量很大或体积很大的物体都一定不能被看成质点
D．由于所研究的问题不同，同一物体有时可以被看成质点，有时不能被看成质点
解析：选D 质点是指在研究物体的运动时，根据研究的需要忽略物体的大小和形状，而突出物体具有质量这个要素，把物体简化为一个有质量的物质点，是实际物体的一种理想化的模型。一个物体能否被看成质点，是由物体的大小和形状对所研究问题的影响程度决定的，与物体的质量和体积的大小无关，所以正确选项为D。
2．在下列诗句中，加着重号的字表示的物体可以看成质点的是( )
A．大漠孤烟直，长河落日圆
B．两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山
C．天接云涛晓晓雾，星河欲转千帆舞
D．天苍苍，野茫茫，风吹草低见牛羊
解析：选B 长河落日圆，描写日圆，太阳大小和形状不能忽略，故不能看成质点，故A错误；两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山，轻舟的大小可以忽略不计，故可以简化为质点，故B正确；星河欲转千帆舞，描写帆的动作，故不能看成质点，故C错误；风吹草低见牛羊，草的大小不能忽略，故不能看成质点，故D错误。
3．(多选)下列说法中正确的是( )
A．研究飞机从成都开往北京所用的时间时，飞机可视为质点
B．研究飞机螺旋桨的转动情况时，可将飞机视为质点
C．研究火车过长江大桥所用的时间时，可将火车视为质点
D．研究汽车过长江大桥所用的时间时，可将汽车视为质点
解析：选AD 实际的物体能否视为质点应视具体情况而定，并不是绝对的。A中飞机的大小对所研究的问题无影响，故可视为质点。B中的飞机螺旋桨只是飞机的一部分，飞机的大小不能忽略不计，因此飞机不能视为质点。C中火车过桥时，火车的长度会影响火车过桥的时间，故火车不能视为质点。D中汽车过桥时，汽车的长度远远小于桥的长度，汽车的长度对汽车过桥的时间的影响非常小，故汽车可视为质点。A、D正确。
对参考系的理解
1．参考系的选取原则：以观测方便和使运动的描述尽可能简单为原则。研究地面上物体的运动时，常选地面或相对于地面静止的物体作为参考系。
2．参考系的四个性质
标准性 用来做参考系的物体都是假定不动的，被研究的物体是运动还是静止，都是相对于参考系而言的
任意性 参考系的选取具有任意性，但应以观察方便和运动的描述尽可能简单为原则
统一性 比较不同物体的运动时，应该选择同一参考系
差异性 同一运动选择不同的参考系，观察结果可能不同
[典例] 如图1 1 2所示，由于风，河岸上的旗帜向右飘，在河面上的两条船上的旗帜分别向右和向左飘，两条船的运动状态是( )
图1 1 2
A．A船肯定是向左运动的
B．A船肯定是静止的
C．B船肯定是向右运动的
D．B船可能是静止的
[审题指导]
(1)由河岸上的旗帜飘向判断风向。
(2)从船上的旗帜飘向结合风向判断船的运动方向。
[解析] (1)A船运动情况的确定：由题图知A船与河岸上的旗帜均向右飘，则相对于风，A船、河岸都具有向左的运动速度，所以A船可能相对河岸静止，也可能以任意速度向左运动，还有可能以比风速小的速度向右运动。A、B错误。
(2)B船运动情况的确定：B船中旗帜向左飘，表明B船只能向右运动，且速度大于风速，C对，D错。
[答案] C
参考系的确定和应用问题，往往与物体的相对运动相结合。分析和求解实际问题，必须明确只有选定参考系后，才能确定物体是否运动，运动得快还是慢。选择的参考系不同，则对同一物体运动的描述所作出的结论也不同。巧妙选取参考系，能使我们更方便地处理相对运动问题。一般应根据研究对象和研究对象所在的系统选取参考系，虽然参考系的选取是任意的，但是一定要以能方便、简洁地描述物体的运动为准则。判断物体运动或静止的一般步骤：①确定研究对象；②根据题意选取参考系；③分析被研究的物体相对于参考系有没有发生位置变化。
1．诗句“满眼波光多闪灼，看山恰似走来迎，仔细看山山不动，是船行”中，“看山恰似走来迎”和“是船行”所选的参考系分别是( )
A．船和山 B．山和船
C．地面和山 D．河岸和流水
解析：选A 参考系是为了研究问题的方便而假定不动的物体，在本题中作者和山之间的距离逐渐减小，而作者认为自己静止不动，从而“看山恰似走来迎”，故此现象选择的参考系是自己或者船与船上静止不动的物体。但实际上船是运动的，所谓是“船行”选择的参考系是河岸、山或者地球上相对地球静止不动的其他物体，故选A。
2.如图1 1 3所示，我国空军在进行空中加油训练。大型加油机与接受加油的受油机在空中以同样的速度沿同一方向水平飞行。下列说法中正确的是( )
图1 1 3
A．选地面为参考系，受油机是静止的
B．选地面为参考系，加油机是静止的
C．选加油机为参考系，受油机是运动的
D．选加油机为参考系，受油机是静止的
解析：选D 选地面为参考系，受油机是运动的，故A错误；选地面为参考系，加油机是运动的，故B错误；加油机与接受加油的受油机在空中以同样的速度沿同一方向水平飞行，选加油机为参考系，受油机是静止的。故C错误，D正确。
3．(多选)热气球运动起源于18世纪的法国，随着球皮材料和致热燃料的普及，热气球已成为公众休闲观光和体育旅游项目。在一次观光游览中，甲、乙、丙三人各乘一个热气球，甲看到楼房匀速上升，乙看到甲匀速上升，甲看到丙匀速上升，丙看到乙匀速下降。那么，从地面上看，甲、乙、丙的运动情况可能是( )
A．甲、乙匀速下降，v乙＞v甲，丙停在空中
B．甲、乙匀速下降，v乙＞v甲，丙匀速下降，且v丙＞v甲
C．甲、乙匀速下降，v乙＞v甲，丙匀速上升
D．以上说法均不对
解析：选AC 楼房和地面相当于同一参考系，所以，甲是匀速下降。乙看到甲匀速上升，说明乙也是匀速下降，且v乙＞v甲。甲看到丙匀速上升，有3种可能：丙静止；丙匀速上升；丙匀速下降，且v丙＜v甲。丙看到乙匀速下降，也有3种可能：丙静止；丙匀速上升；丙匀速下降，且v丙＜v乙。综上所述，A、C正确。
对时间和时刻的理解
1．时间间隔与时刻的区别与联系
时间间隔 时刻
区别 物理意义 两时刻间间隔 某一瞬时
时间轴上的表示方法 时间轴上的一段线段表示一段时间 时间轴上的一个点表示一个时刻
表示方法 “3秒内”“前3秒内”“后3秒内”“第1秒内”“第1秒到第3秒”等均指时间间隔 “3秒末”“第3秒末”“第4秒初”“八点半”等均指时刻
联系 两个时刻的间隔即为时间间隔，即Δt＝t2－t1
2．时刻与时间间隔在时间轴上的标示
各时间间隔与时刻如图1 1 4所示：
图1 1 4
1．关于时刻和时间，下列说法正确的是( )
A．作息时间表上的数字均表示时间
B．1 min只能分成60个时刻
C．手表上指针指示的是时间
D．“宁停三分，不抢一秒”指的是时间
解析：选D 作息时间表上的数字表示的是起床、就餐、上下课的时刻，A错。1 min能分成无数多个时刻，B错。
手表上指针指示的是时刻，C错。“宁停三分，不抢一秒”指的是时间，D对。
2．如图1 1 5所示是表示时间的坐标轴，请思考讨论：
图1 1 5
(1)图中A点和B点的意义是什么？
(2)AB之间的线段表示什么？
(3)“第六秒内”在图中怎样表示？
(4)“第二秒末”和“第三秒初”在图中怎么表示？它们是同一时刻吗？
答案：(1)A点和B点是两个时刻。
(2)AB之间的线段表示时间，且时间为1 s。
(3)5～6之间的线段表示第六秒内。
(4)表示“第二秒末”和“第三秒初”的都是数字2所在的点，是同一时刻。
1．在不需要考虑物体本身大小和形状时，可以把物体简化为一个有质量的点，即质点。物理学中，把这种在原型的基础上，突出问题的主要方面，忽略次要方面，经过科学抽象来研究问题的方法称为( )
A．控制变量法 B．理想模型法
C．等效代替法 D．类比法
答案：B
2．下列说法中表示时间的是( )
A．上午8点上课
B．夜半钟声到客船
C．火车7：00出发
D．乘火车从成都到重庆需要2小时
解析：选D 时刻是一瞬间，在时间轴上用一点表示；时间是两时刻之间的间隔，在时间轴上用线段表示，故A、B、C项表示时刻，D项表示时间。
3．下面关于质点的正确说法有( )
A．计算火车通过站台的时间可把火车看成质点
B．研究沿地面翻滚前进的体操运动员的动作可把运动员看成质点
C．蚂蚁很小，可把蚂蚁看成质点
D．研究地球的公转时可把地球看成质点
解析：选D 火车站台与火车大小可以比较，不能将火车看成质点，A错。翻滚前进的运动员的不同部位运动不同，不能将其视为质点，B错。物体的大小不是判断它是否能视为质点的条件，C错。绕太阳公转的地球大小远小于它与太阳间的距离，此时的地球可看做质点，D对。
4．(多选)下列说法中正确的是( )
A．被选为参考系的物体是假定不动的
B．一乘客在车厢内走动的时候，他就说车是运动的
C．研究地面上物体的运动，必须选取地面为参考系
D．质点运动的轨迹是直线还是曲线，与参考系的选取有关
解析：选AD 宇宙间的一切物体都处在永恒的运动中，被选为参考系的物体是假定不动的，所以选项A正确。物体是运动还是静止，是相对于参考系而言的，在车厢内走动的乘客，在没有明确参考系之前就说车是运动的，是错误的，所以选项B错误。研究物体的运动时，参考系是可以任意选取的，所以选项C错误。同一物体的运动，选择不同的参考系所观察到的轨迹可能不同，D正确。
5．(多选)关于时间和时刻，下列说法正确的是( )
A．物体在5 s时指的是物体在5 s末时，指的是时刻
B．物体在5 s内指的是物体在4 s末到5 s末这1 s的时间
C．物体在第5 s内指的是物体在4 s末到5 s末这1 s的时间
D．第4 s末就是第5 s初，指的是时刻
解析：选ACD 画时间轴如图所示，
5 s时指的是5 s末这一时刻，5 s内指的是0～5 s这一段时间，第5 s内指的是在4 s末到5 s末这1 s的时间，第4 s末和第5 s初是同一时刻。故A、C、D正确。
6．某校高二部分学生分别乘两辆汽车从学校出发去敬老院做义工。两辆汽车在平直的公路上运动，甲车内一同学看见前面的乙车向东运动，此时乙车内的同学看见路旁的树木向西移动。如果以地面为参考系，那么上述观察说明( )
A．两车都向东运动，但甲车运动快
B．两车都向东运动，但乙车运动快
C．两车都向西运动，但甲车运动快
D．两车都向西运动，但乙车运动快
解析：选B 因乙车看到路旁的树木向西，则说明乙相对地面在向东运动；而甲车中的同学看到乙车在向东，则说明甲车的速度小于乙车的速度，故B正确。
7．(多选)为了提高枪械射击时的准确率，制造时会在枪膛上刻上螺旋形的槽。这样，当子弹在枪管中运动时，会按照旋转的方式前进，离开枪管后，子弹的高速旋转会降低空气密度、侧风等外部环境对子弹的影响，从而提高子弹飞行的稳定性。下列关于子弹运动的说法中正确的是( )
A．当研究子弹的旋转对子弹飞行的影响时可以把子弹看做质点
B．当研究子弹射击百米外的靶子所用的时间时可以把子弹看做质点
C．无论研究什么问题都可以把子弹看做质点
D．能否将子弹看做质点，取决于我们所研究的具体问题
解析：选BD 在研究子弹的旋转对子弹飞行的影响时不能忽略子弹的大小和形状，因而不可以把子弹看做质点，选项A错误；但研究子弹射击百米外的靶子所用的时间时，其大小和形状可以忽略，可以看做质点，故选项B、D正确，C错误。
8．太阳从东边升起，西边落下，是地球上的自然现象。但在某些条件下，在纬度较高地区上空飞行的飞机上，旅客可以看到太阳从西边升起的奇妙现象。要看到这一现象需满足的条件是( )
A．时间必须是在清晨，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大
B．时间必须是在清晨，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度必须较大
C．时间必须是在傍晚，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大
D．时间必须是在傍晚，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度不能太大
解析：选C 由于我们习惯以地球为参考系，因地球自西向东自转，通常看到的自然现象是太阳从东边升起、西边落下，旅客要看到太阳从西边升起的奇妙现象，太阳此时一定在西方，才可能从西边升起，所以一定是在傍晚，A、B错；在傍晚时太阳正在向西方落下，要产生太阳升起的感觉，只有飞机“下落”速度大于太阳相对于地球的速度才能产生这种效果，即飞机向西飞行的速度大于太阳向西的速度，所以C对。
9．(多选)无人战斗机由无人侦察机发展而来，但其复杂程度远高于无人侦察机，下列可将无人战斗机视为质点的是( )
A．研究人员测试无人战斗机的飞行速度时
B．研究人员观察无人战斗机飞行姿势、测各项技术参数时
C．敌方确定无人战斗机位置时
D．敌方欲对无人战斗机关键部位实施打击时
解析：选AC 观察无人战斗机飞行速度或确定其位置时，无需考虑战斗机的大小和形状，可将其看成质点，A、C正确。而观察战斗机飞行姿势或确定其关键部位时，都必须考虑其大小和形状，故不能看成质点，B、D错误。
10．如图1所示，飞机上的人和地面上的人观察跳伞者的运动情况，得出不同的结果，下列说法中正确的是( )
图1
A．飞机上的人看跳伞者是静止的
B．飞机上的人看跳伞者始终在飞机的后方
C．地面上的人看跳伞者在做曲线运动
D．地面上的人看跳伞者在做直线运动
解析：选C 从飞机上看，就是以飞机为参考系，由于跳伞者在水平方向上的运动速度与飞机相同，所以飞机上的人看到跳伞者竖直向下运动，即做直线运动，A、B错误。从地面上看，就是以地面为参考系，这时跳伞者除了做竖直向下的运动，还做水平方向的运动，其轨迹为曲线，如同在地面上某一高度水平抛出一小石块的轨迹，故C正确，D错误。
11．如图2所示为撑竿跳高运动的几个阶段：助跑、撑竿起跳、越横竿。讨论并回答下列问题，体会质点模型的建立过程。
图2
(1)教练针对训练录像纠正运动员的错误动作时，能否将运动员看成质点？
(2)分析运动员的助跑速度时，能否将运动员看成质点？
(3)测量运动员所跳高度(判定运动员是否打破世界纪录)时，能否将运动员看成质点？
解析：(1)不能，纠正错误动作时不能忽略运动员的姿势及动作(即运动员的形状及大小)。
(2)能，分析运动员的助跑速度时，可以忽略运动员的姿势及动作(即运动员的形状及大小)。
(3)能，理由同(2)。
答案：(1)不能 (2)能 (3)能
12．某人在河中划船逆流航行，经过A地时草帽落入水中，半小时后他才发觉，此时船已行至B点，于是他立即掉转船头追赶， 在A点下游5.4 km处的C点追上，该船相对水流的速率v1不变，求水流速率v2。
解析：该题如果取地面为参考系，运动过程复杂，易造成思维混乱而出错。这时我们不妨逆向思维，把流动的水看做是静止的，并取水为参考系，则船相对于水和水中的草帽将以速率v1先背离运动半小时后，立即返回到追上草帽时也只需半小时，所以从草帽落水到追上草帽共历时1小时，即水流速率为
v2＝＝ m/s＝1.5 m/s。
答案：1.5 m/s第2节 位置变化的描述——位移
1．物体的位置及位置变化可用坐标系来描述，坐标系有一维坐标系和二维坐标系。
2．位移是描述物体位置变化的物理量，用由初位
置指向末位置的有向线段表示。
3．路程是物体运动轨迹的长度，只有大小，没有
方向。
4．矢量既有大小又有方向，而标量只有大小没
有方向，二者的运算法则不相同。
一、确定位置的方法
1．坐标系建立的原因
为了定量地描述物体(质点)的位置以及位置的变化，需要在参考系上建立一个坐标系。
2．坐标系的分类
(1)直线坐标系(一维坐标系)适用于描述物体做直线运动。
(2)平面直角坐标系(二维直角坐标系)适用于描述物体在一个平面内运动。
二、位移
1．概念：物体在一段时间内的位置变化。
2．大小和方向
(1)大小：从初位置到末位置的距离。
(2)方向：由初位置指向末位置。
三、标量和矢量
1．标量
只有大小，没有方向的物理量。如长度、质量、时间、路程、温度等。
2．矢量
既有大小又有方向的物理量。如位移、速度、力等。
1．自主思考——判一判
(1)一维坐标系只能描述直线运动物体的位置和位置变化。(√)
(2)一个物体在平面内做直线运动，必须用平面直角坐标系描述它的位置和位置变化。(×)
(3)位移可用从初位置指向末位置的有向线段表示。(√)
(4)一同学在操场上跑了一圈，用了2分钟，但其位移为零。(√)
(5)温度计的读数有正、有负，所以温度为矢量。(×)
(6)3 m的位移比－5 m的位移大。(×)
2．合作探究——议一议
(1)2015年8月26日，北京世界田径锦标赛400米决赛中，捷克选手苏珊娜·伊希诺娃以53秒50的成绩夺冠。为了准确的描述她在跑道上不同时刻的位置和位置变化，应建立怎样的坐标系？
[提示] 她在400米赛跑时，要经过弯道，故建立平面直角坐标系。
(2)小明要从北京到深圳，出发前，爸爸让小明选择出行方式。有三种方式可供选择：一是乘长途汽车；二是坐高铁；三是乘飞机。三种出行方式的路程是否相同？位置的变化是否相同？位移是否相同？
[提示] 三种方式路程不同，但结果是一样的，即都是从北京到深圳，初位置一样，末位置一样，即位置的变化一样，位移相同。
(3)我们初中物理学习过许多物理量，比如体积、密度、质量、温度、力等等，这些物理量中，哪些是矢量？哪些是标量？
[提示] 体积、密度、质量和温度这几个物理量只有大小，没有方向，所以都是标量；而力有大小也有方向，是矢量。
坐标系的建立及应用
1．建系方法
(1)直线坐标系：选某一位置为坐标原点，以某个方向为正方向，选择适当的标度建立一个坐标轴，就构成了一维坐标系，适用于描述物体在一维空间运动(即物体沿一条直线运动)时的位置。
(2)平面直角坐标系：由两个互相垂直的坐标轴组成，适用于描述物体在二维空间(即在同一平面)内运动时的位置。
2．建系原则
建立坐标系的原则是确定物体的位置方便、简捷。
[典例] 如图1 2 1所示，其人从学校门口A处开始散步，先向南走50 m到达B处，再向东走100 m到达C处，最后又向北走了150 m到达D处，则A、B、C、D各点位置如何表示？
图1 2 1
[思路点拨] 选取坐标原点―→建坐标系―→确定各点坐标
[解析] 以A点为坐标原点，向东为x轴的正方向，向北为y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示。则各点坐标为A(0,0)，B(0，－50 m)，C(100 m，－50 m)，D(100 m，100 m)。
[答案] 见解析
(1)物体的位置坐标与坐标系原点的选取、坐标轴正方向的规定有关。同一位置，建立某种坐标系时所选的原点不同，或选定的正方向不同，物体的位置坐标可能不同。
(2)物体的位置变化与坐标系原点的选取、坐标轴正方向的规定无关。
1．一个小球从距地面4 m高处落下，被地面弹回，在距地面1 m高处被接住。坐标原点定在抛出点正下方2 m处，向下方向为坐标轴的正方向。小球的抛出点、落地点、接住点的位置坐标分别是( )
A．2 m，－2 m，－1 m B．－2 m,2 m,1 m
C．4 m,0,1 m D．－4 m,0，－1 m
解析：选B 根据题意建立如图所示的坐标系，A点为抛出点，坐标为－2 m，B点为坐标原点，D点为地面，坐标为2 m，C点为接住点，坐标为1 m，所以选项B正确。
2．一物体从O点出发，沿东偏北37°的方向运动10 m至A点，然后又向正南方向运动10 m至B点。
(1)建立适当坐标系，描述出该物体的运动轨迹；
(2)依据建立的坐标系，分别求出A、B两点的坐标。
解析：(1)坐标系如图所示，图线OA→AB为运动轨迹。
(2)A点位置：xA＝10cos 37° m＝8 m，yA＝10sin 37° m＝6 m
B点位置：xB＝8 m，yB＝6 m－10 m＝－4 m。
即A点的坐标：(8 m,6 m)，B点的坐标：(8 m，－4 m)。
答案：(1)见解析 (2)A(8 m,6 m) B(8 m，－4 m)
对位移和路程的理解
位移与路程的区别与联系
位移 路程
物理意义 表示物体位置的变化 表示物体运动轨迹的长度
性质 (1)是矢量，有大小和方向(2)位移的方向为从初位置指向末位置(3)位移的大小为有向线段的长度 (1)是标量，只有大小，没有方向(2)物体运动轨迹的长度即为路程的大小(3)遵从算术计算法则
联系 只有在物体做单向直线运动时，位移的大小与路程相等
[典例] 如图1 2 2所示，是一位晨练者每天早晨进行锻炼时的行走路线，从A点出发，沿半径分别为3 m和5 m的半圆经B点到达C点，则他的位移和路程分别为( )
图1 2 2
A．16 m，方向从A指向C；16 m
B．16 m，方向从A指向C；25.1 m
C．25.1 m，方向从A指向C；16 m
D．16 m，方向从C指向A；16 m
[思路点拨] 位移是从A到C的有向线段；路程是A经B再到C的圆弧轨迹长度。
[解析] 半径为3 m的半圆周长为s1＝πr1＝3.14×3 m≈9.4 m，半径为5 m的半圆周长s2＝πr2＝3.14×5 m＝15.7 m，人的路程s＝s1＋s2＝25.1 m；人的位移大小x＝2r1＋2r2＝16 m，方向由A指向C。B正确。
[答案] B
路程和位移的计算方法
(1)画出物体在运动过程中的运动轨迹示意图，则实际路径的总长度就是路程。
(2)找出研究过程的初位置和末位置，则由初位置指向末位置的有向线段就是位移。
1．在长为50 m的标准游泳池举行100 m的游泳比赛，参赛运动员从出发至比赛终点的位移和路程分别是( )
A．0 m,50 m B．50 m,100 m
C．100 m,50 m D．0 m,100 m
解析：选D 由题意可知，人最后回到了起点，故初末位置相同，故位移为0 m；而路程为经过的轨迹的长度，故路程为100 m，故选D。
2.如图1 2 3所示，某人沿半径R＝50 m的圆形跑道运动，从A点出发逆时针跑过圆周到达B点，试求由A到B的过程中，此人运动的路程和位移。
图1 2 3
解析：此人运动的路程等于ACB所对应的弧长，即路程s＝×2πR＝×2×3.14×50 m＝235.5 m，此人从A点运动到B点的位移大小等于由A指向B的有向线段的长度，即x＝R＝1.414×50 m＝70.7 m，位移的方向由A→B，与半径AO的夹角为45°。
答案：235.5 m 70.7 m，方向由A→B，与半径AO的夹角为45°
1．(多选)关于矢量和标量，下列说法中正确的是( )
A．矢量是既有大小又有方向的物理量
B．标量是既有大小又有方向的物理量
C．－10 m的位移比5 m的位移小
D．－10 ℃的温度比5 ℃的温度低
解析：选AD 由矢量和标量的定义可知，A正确，B错误；－10 m的位移比5 m的位移大，负号不表示大小，仅表示方向与正方向相反，故C错误；温度是标量，负号表示该温度比0 ℃低，正号表示该温度比0 ℃高，故－10 ℃的温度比5 ℃的温度低，D正确。
2．下列关于位移和路程的说法中，正确的是( )
A．位移大小和路程不一定相等，所以位移才不等于路程
B．位移的大小等于路程，方向由起点指向终点
C．位移描述物体相对位置的变化，路程描述路径的长短
D．位移描述直线运动，路程描述曲线运动
解析：选C 选项A中表述的因果关系没有意义，故选项A错误；位移的方向从初位置指向末位置，位移的大小并不一定等于路程，往往是位移的大小小于等于路程，选项B错误；位移和路程是两个不同的物理量，位移描述物体位置的变化，路程描述物体运动路径的长短，选项C正确；无论是位移还是路程都既可以描述直线运动，也可以描述曲线运动，选项D错误。
3．如图1所示，物体由A点运动到B点，则物体的坐标变化量与位移分别是
图1
A．7 m,7 m B．7 m，－7 m
C．－7 m,7 m D．－7 m，－7 m
解析：选D A到B的坐标变化是Δx＝xB－xA＝－3 m－4 m＝－7 m，位置变化量即位移，故位移也为－7 m，D选项正确。
4．如图2所示，小王从市中心出发到图书馆。他先向南走400 m到一个十字路口，再向东走300 m到达目的地。小王通过的路程和位移的大小分别是( )
图2
A．700 m,100 m B．400 m,300 m
C．700 m,500 m D．500 m,100 m
解析：选C 由图可知，小王经过的轨迹长度为400 m＋300 m＝700 m；小王的位移为： m＝500 m。故选C。
5.如图3所示，一条绳子长1.5 m，放在高0.8 m的桌子上，有一部分悬在桌外，留在桌面上的部分长1.2 m，以桌边上的一点O′为坐标原点，竖直向下为正方向建立坐标系，则绳的最低端B的坐标为( )
图3
A．x＝0.3 m B．x＝0.5 m
C．(0,0.3 m) D．(0，－0.3 m)
解析：选A 由题意知O′为坐标原点，一维坐标系的正方向向下，O′B＝0.3 m，则B点坐标为x＝0.3 m，A项正确。
6．一质点在x轴上运动，各个时刻t(秒末)的位置坐标如表，则此质点开始运动后( )
t/s 0 1 2 3 4 5
x/m 0 5 －4 －1 －7 1
A．2 s内位移最大
B．1 s时间内，第2 s内位移最大
C．4 s内路程最大
D．1 s时间内，第4 s内路程最大
解析：选B 物体在各秒内的位移大小分别为5 m、9 m、3 m、6 m、8 m；故第3 s内位移最小，第2 s内位移最大；路程为运动轨迹总长度，5 s内的路程最大。故B正确。
7.一个人晨练，按如图4所示，走半径为R的中国古代的八卦图的路线，中央的S形部分是两个直径为R的半圆。BD、CA分别为西东、南北指向。他从A点出发沿曲线ABCOADC运动。求：
图4
(1)他从A点第一次走到O点时的位移的大小和方向。
(2)他从A点第一次走到D点时的位移和路程。
解析：(1)从A点第一次走到O点时的位移的大小等于线段AO的长度，即x1＝R。
位移的方向为由北指向南。
(2)从A点第一次走到D点时的位移的大小等于线段AD的长度，即x2＝R。
位移的方向为东偏南45°。
从A点第一次走到D点时的路程等于整个运动轨迹的长度，即s＝×2πR＋2××πR＝πR。
答案：(1)R 由北指向南
(2)位移大小为R，方向为东偏南45° πR
8.某学校田径运动场400 m标准跑道的示意图如图5所示，100 m赛跑的起跑点在A点，终点在B点，400 m赛跑的起跑点和终点都在A点。在校运动会中，甲、乙两位同学分别参加了100 m、400 m项目的比赛，关于甲、乙运动的位移大小和路程的说法中正确的是( )
图5
A．甲、乙的位移大小相等 B．甲、乙的路程相等
C．甲的位移较大 D．甲的路程较大
解析：选C 由题意可知，400 m的比赛中，起点和终点相同，所以在400 m的比赛中位移的大小是零，而在100 m的比赛中，做的是直线运动，位移的大小就是100 m，所以甲的位移为100 m，乙的位移是零，所以甲的位移大；路程是指物体所经过的路径的长度，所以在100 m、400 m的比赛中，路程最大的是400 m，故乙的路程大，故A、B、D错误，C正确。
9.如图6所示，自行车的车轮半径为R，车轮沿直线无滑动地滚动，当气门芯由车轮的正上方第一次运动到车轮的正下方时，气门芯位移的大小为( )
图6
A．πR B．2R
C．2πR D．R
解析：选D 如图所示，气门芯由车轮的正上方第一次运动到车轮的正下方的过程中，初、末位置之间的距离，也就是位移大小为x＝＝R，因此选项D正确，其他选项错误。
10.如图7所示，某同学沿平直路面由A点出发前进了100 m到达斜坡底端的B点，又沿倾角为60°的斜面前进了100 m到达C点，求此同学的位移和路程。
图7
解析：画出该同学的位移矢量图如图所示，该同学的位移为，方向由A指向C，由直角三角形知识知＝cos 60°＝100× m＝50 m
＝sin 60°＝100× m＝50 m
所以＝＝ m＝100 m≈173 m，方向由A指向C，路程s＝AB＋BC＝200 m。
答案：173 m，方向由A指向C 200 m
11．一支150 m长的队伍匀速前进，通信员从队尾前进300 m后赶到队首，传达命令后立即返回，当通信员回到队尾时，队伍已前进了200 m，则在此全过程中，通信员的位移大小和路程分别是多少？
解析：通信员运动轨迹如图所示，
由图示可知：通信员的位移大小为200 m，
路程为300×2 m－200 m＝400 m。
答案：200 m 400 m第3节快慢与方向的描述——速度
1．速度是用来描述物体运动的快慢和运动方向的
物理量，是矢量。
2．平均速度描述物体在某个过程(或某段时间)
的平均快慢，其大小为＝。
3．瞬时速度是物体经过某位置(或某时刻)的速度，
能准确描述物体运动的快慢。
4．速度—时间图像描述物体的速度随时间变化的
规律，其图像与t轴所围面积表示物体在这段时
间内的位移大小。
一、速度 平均速度
1．速度
(1)定义：位移与发生这段位移所用时间的比值。
(2)公式：v＝＝。
(3)单位：国际单位：m/s；常用单位：km/h、cm/s。
(4)方向：速度是矢量，不但有大小，还有方向，其方向就是物体的运动方向。
(5)物理意义：表示物体位置变化快慢(即运动快慢)和方向的物理量。
2．平均速度
(1)变速运动：物体在相等时间内的位移不相等的运动。
(2)平均速度
①定义：做变速运动的物体的位移与发生这段位移所用时间的比值。
②公式：＝。
③意义：粗略地描述物体运动的快慢。
二、实验：用打点计时器测量平均速度
1．打点计时器
(1)打点计时器是记录做直线运动物体的位置和时间的仪器。
(2)电火花打点计时器：①工作电压：220 V交流电源；②原理：当接通电源、按下脉冲输出开关时，计时器发出的脉冲电流经放电针、墨粉纸盘到纸盘轴，产生火花放电，于是在运动的纸带上就打出一行点迹。
(3)打点周期
打点计时器一般接我国市用交流电，交流电频率为50 Hz，计时器每隔0.02_s打一次点。
2．用电火花打点计时器测量平均速度
(1)实验目的
①练习使用电火花打点计时器。
②利用打上点的纸带研究物体的运动情况。
(2)实验步骤
①如图1 3 1所示，将木板固定在铁架台上，把电火花打点计时器安装在倾斜的木板上，把小车与纸带装好，接好电源。
图1 3 1
②接通电源，将小车从斜面上由静止开始释放，纸带上就会打出一系列点迹。
③关闭电源，取下纸带，以0.1 s为周期标注计数点，如图1 3 2所示。
图1 3 2
(3)分析与处理实验数据
①观察纸带上的点迹，说明如何通过点迹判断小车运动的快慢。
②说明小车的速度是如何变化的。
③测定小车在计数点O—A、O—B、O—C、O—D、O—E、O—F区间的平均速度。
④通过数据分析，你能推断出哪一区间的平均速度能比较准确地反映小车经过D点时运动的快慢？
三、瞬时速度
1．定义
物体在某一时刻或某一位置的速度。
2．方向
物体在某一时刻或某一位置的运动方向。
3．速率
瞬时速度的大小称为瞬时速率，简称速率。
四、速度—时间图像
1．定义
描述速度v与时间t关系的图像，简称速度图像。
2．匀速直线运动的v t图像是与横轴平行的直线。运动物体在时间t内的位移x＝vt，在v t图像中就对应着边长分别为v和t的一块矩形面积。
1．自主思考——判一判
(1)速度既有大小，又有方向，是矢量。(√)
(2)平均速度可以精确描述物体运动的快慢。(×)
(3)电火花打点计时器使用的是低压交流电源。(×)
(4)当接通50 Hz的交流电源时，电火花计时器的打点周期是0.02 s。(√)
(5)物体的瞬时速度总为零，则平均速度为零。(√)
(6)平均速度是速度的算术平均值。(×)
2．合作探究——议一议
(1)发生位移越大的物体一定运动得越快吗？
[提示] 发生位移越大的物体不一定运动得越快。首先，从v＝看，若在相同的Δt情况下，Δx越大，v才越大。如果没有明确Δt的情况，Δx不能唯一确定v的大小。再者，v＝只是速度的定义式，而一个物体运动的快慢与位移大小无关，是因为物体运动才有了位移，不是因为有了位移才有速度。
(2)平均速度和瞬时速度都可以描述运动的快慢，平均速度越大的运动是否瞬时速度也一定越大？
[提示] 平均速度大不表示每一时刻的速度都大，所以平均速度越大的运动其瞬时速度不一定越大。
(3)如图1 3 3所示为甲、乙两个物体的速度—时间图像，请思考甲、乙两个物体，分别做什么运动？哪个物体运动得快些？
图1 3 3
[提示] 甲、乙两个物体，均做匀速直线运动，其速度的大小和方向均不随时间而改变，且甲物体的速度大，甲物体运动得快。
对平均速度和瞬时速度的理解
平均速度与瞬时速度的区别与联系
平均速度
瞬时速度
区 别
定义
运动质点的位移与所用时间的比值
运动质点在某一时刻或某一位置的速度
物理意义
粗略描述物体运动，和时间、位移对应
精确描述物体运动，和时刻、位置对应
方向
与位移方向一致
与某时刻或某位置运动方向一致
联系
①瞬时速度可看做当Δt→0时，Δt内的平均速度
②匀速直线运动中，瞬时速度和平均速度相同
③两者的求解公式都为v＝
1．(多选)下列关于瞬时速度和平均速度的说法中正确的是( )
A．若物体在某段时间内每时刻的瞬时速度都等于零，则它在这段时间内的平均速度一定等于零
B．若物体在某段时间内的平均速度等于零，则它在这段时间内任一时刻的瞬时速度一定等于零
C．匀速直线运动中任意一段时间内的平均速度都等于它任一时刻的瞬时速度
D．变速直线运动中任意一段时间内的平均速度一定不等于它某一时刻的瞬时速度
解析：选AC 由于各时刻的瞬时速度都等于零，即物体静止，因此平均速度也一定等于零，故A正确；物体从某点沿一曲线运动又回到原出发点，则平均速度为零，但各个时刻的瞬时速度不为零，故B错误；匀速直线运动中速度不变，平均速度与瞬时速度相等，故C正确；由于运动情况不确定，一段时间的平均速度可能等于某时刻的瞬时速度，故D错误。
2．下列速度中，指平均速度的是( )
A．汽车通过长江大桥全程的速度
B．子弹射出枪口时的速度
C．雨滴落地时的速度
D．运动员冲过终点时的速度
解析：选A 平均速度是指物体在某段距离或某段时间内通过的位移与所用时间的比值。而瞬时速度是物体在某一时刻或某一位置时的速度。平均速度对应段(包括时间段和位移段)，瞬时速度对应点(包括时间点和位置点)。汽车通过长江大桥在时间上是段，故其速度为平均速度，故A正确。子弹射出枪口中的枪口是一个点，故该速度是瞬时速度，故B错误。雨滴落到地面，地面是一个位置，对应一个点，故该速度是瞬时速度，故C错误。运动员冲过终点，终点是一个点，故该速度是瞬时速度，故D错误。
3．小蒙骑自行车由静止沿直线运动，他在第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内通过的位移分别为1 m、2 m、3 m、4 m，则( )
A．他4 s末的瞬时速度为4 m/s
B．他第2 s内的平均速度为1.5 m/s
C．他4 s内的平均速度为2.5 m/s
D．他1 s末的速度为1 m/s
解析：选C 自行车速度是逐渐增大的，无法确定它的瞬时速度，只能求出平均速度，第2 s内平均速度为 m/s＝2 m/s；4 s内的平均速度＝m/s＝2.5 m/s。选项C正确。
平均速度与平均速率的理解
平均速度和平均速率的区别与联系
平均速度
平均速率
区别
定义
平均速度＝
平均速率＝
方向性
有方向，矢量
无方向，标量
意义
粗略描述物体运动的快慢(包括方向的改变)
粗略描述物体运动的快慢(不包括方向的改变)
联系
(1)都与一段时间对应，都是过程量
(2)两者大小一般不等，但当位移大小等于路程时，即物体做单向直线运动时，平均速率等于平均速度的大小
[典例] 一辆汽车从甲地沿平直的公路以v1＝36 km/h的速度经过2 h到达乙地，休息了4 h后，又沿原路返回，以v2＝54 km/h的速度运动了3 h越过甲地到达丙地。求全程的平均速度和平均速率。
[思路点拨] 物体的运动过程如图1 3 4所示：
图1 3 4
[解析] 汽车全程的位移大小为x＝v2t2－v1t1＝54×3 km－36×2 km＝90 km，全程所用时间为t＝2 h＋4 h＋3 h＝9 h，故平均速度大小＝＝ km/h＝10 km/h，方向是由甲地指向丙地；汽车全程的路程：s＝v2t2＋v1t1＝54×3 km＋36×2 km＝234 km，所以平均速率为v′＝＝ km/h＝26 km/h。
[答案] 平均速度大小为10 km/h，方向是由甲地指向丙地 平均速率为26 km/h
物体做变速运动时，在不同阶段上的平均速度一般不同，因此在求平均速度时一定要明确所求的是哪一个时间段内的平均速度，要紧扣平均速度的定义。
1．(多选)北京成为“世界飞人”博尔特的福地，2015年世锦赛上又分别以9秒79和19秒55的成绩夺得男子100 m和200 m的冠军。下列说法正确的是( )
A．博尔特在百米比赛中的平均速度是10.21 m/s
B．博尔特在百米比赛中的平均速率是10.21 m/s
C．博尔特在200米比赛中的平均速度是10.23 m/s
D．博尔特在200米比赛中的平均速率是10.23 m/s
解析：选ABD 100 m比赛中，位移大小和路程都等于100 m，平均速度大小和平均速率相等，即v1＝ m/s＝10.21 m/s，故A、B对；在200 m比赛中，路程是200 m，位移小于200 m，故平均速率v2＝ m/s＝10.23 m/s，且大于平均速度的大小，故C错D对。
2．2013年5月，我国三大舰队齐赴南海举行了大规模军事演习。各种先进设备相继亮相，其中“飞豹”战机作战半径可达1 500 km，完全冲破了“第一岛链”的“束缚”。假设一架“飞豹”战机于5月20日8点整从“辽宁”号航母起飞，在8点18分正好抵达距航母680 km的指定位置，战机仪表显示此段行程正好为800 km。试求：
(1)战机此段过程的平均速率和飞行100 m约需的时间分别是多少？
(2)此段过程中战机的平均速度大小又是多少？
解析：题干中时间信息为：
该战机飞行时间t＝18 min＝1 080 s
隐含信息为路程s＝800 km＝8×105 m
位移x＝680 km＝6.8×105 m
(1)“飞豹”战机的平均速率为
vs＝＝ m/s≈740.74 m/s
每飞行100 m约需时间为t′＝＝0.135 s。
(2)战机的平均速度为＝＝ m/s≈629.63 m/s。
答案：(1)740.74 m/s 0.135 s (2)629.63 m/s
对v t图像的理解
[典例] 某物体的运动规律如图1 3 5所示，下列说法中正确的是( )
图1 3 5
A. 物体在第1 s末运动方向发生变化
B．第2 s内、第3 s内的速度方向是相同的
C．物体在第2 s内返回出发点，向反方向运动
D．在这7 s内物体做往复运动
[解析] 物体在第1 s末运动方向没有发生变化，A错；第2 s内、第3 s内的速度方向是相反的，B错；物体在第2 s内位移变大，向正方向运动，C错；整个过程中物体做的是往复运动，D正确。
[答案] D
(1)由v t图像可以确定物体各时刻速度的大小和方向，正值说明速度沿正方向，负值则相反。
(2)由v t图像可以确定物体在各段时间内速度大小的变化趋势，即是加速运动还是减速运动。
(3)图像的拐点处速度方向一般没有变化，只是大小变化情况不一样了，比如由加速运动变为减速运动，或者变为匀速运动，或者变为更快的加速运动。
(4)图像与t轴相交，说明速度减小到0后又反向增大，即交点对应的时刻为速度方向变化的时刻。
1．(多选)物体做直线运动，其v t图像如图1 3 6所示。下列说法中正确的是( )
图1 3 6
A．0～2 s内汽车的速度方向沿正向，且速度逐渐增大
B．2～4 s内的位移为4 m
C．第1 s末与第3 s末的速度方向不同
D．5 s时物体又回到了初始位置
解析：选AB 0～2 s内汽车的速度为正，说明方向沿正向，由图知速度逐渐增大，A正确。2～4 s内汽车做匀速运动，位移x＝vt＝4 m，B正确。全过程的速度都为正值，说明速度的方向一直沿着正方向，C错误。5 s时物体的速度为零，在此之前物体一直沿同一个方向运动，故全过程的位移一定不为零，D错误。
2.图1 3 7是一个物体运动的v t图像，从以下三个方面说明它的速度是怎样变化的。
图1 3 7
(1)物体是从静止开始运动还是具有一定的初速度？
(2)运动的方向是否变化？
(3)速度的大小是否变化？怎样变化？
解析：(1)由图像可知，在t＝0时刻v≠0，所以物体具有一定的初速度。
(2)在0～t3这段时间内，速度为正值，说明物体沿正方向运动，t3时刻以后，速度为负值，说明物体沿与正方向相反的方向运动，所以物体运动的方向发生了变化。
(3)速度的大小发生变化，在0～t1时间内速度逐渐增大，t1～t2时间内速度大小不变，t2～t3时间内速度逐渐减小，t3时刻速度为零，在t3时刻以后，速度反向增大。
答案：(1)具有初速度 (2)方向变化 (3)见解析
1．(多选)下列说法中的“快”，哪些不是指速度较大( )
A．从高速公路走，行驶比较快
B．刘翔的起跑是比赛选手中最快的
C．运用ABS技术，汽车能很快停下来
D．某客机能在20 000 m高空中飞行得很快
解析：选BC B、C选项指时间短，而不表示运动的快慢。
2．如图1所示是高速公路旁的交通标志，图中的“100”表示小汽车必须限制在100 km/h内行驶，“杭州 88 km”表示到杭州还有88 km。“100 km/h”和“88 km”分别指( )
图1
A．瞬时速度，位移 B．瞬时速度，路程
C．平均速度，位移 D．平均速度，路程
解析：选B 交通标志里的限速标志是每一时刻的速度均不能超过该速度；故为瞬时速度；里程88 km指的是行驶路程，B项正确。
3．(多选)关于速度的定义式v＝，以下叙述正确的是( )
A．物体做匀速直线运动时，速度v与运动的位移Δx成正比，与运动时间Δt成反比
B．速度v的大小与运动的位移Δx和时间Δt都无关
C．此速度定义式适用于任何运动
D．速度是表示物体运动快慢及方向的物理量
解析：选BCD v＝是计算速度的公式，适用于任何运动，C对；此式只说明速度可用位移Δx除以时间Δt来获得，并不是说v与Δx成正比，与Δt成反比，A错，B对；速度的大小表示物体运动的快慢，方向表示物体的运动方向，D对。
4.用同一张底片对着小球运动的路径每隔 s拍一次照，得到的照片如图2所示，则小球运动过程的平均速度是( )
图2
A．0.25 m/s B．0.2 m/s
C．0.17 m/s D．无法确定
解析：选C 平均速度v＝＝m/s＝0.17 m/s，C正确。
5．某同学以一定的速度去同学家送一本书，停留一会儿后，又以相同的速率沿原路返回家。则下列选项所示的哪个图像能粗略地表示他的运动状态( )
解析：选C 因该同学运动时的速率不变，故A、B、D错误。又由于返回的过程中速度方向不同，所以选项C正确。
6.如图3所示，两个人以相同大小的速度同时从圆形轨道的A点出发，分别沿ABC和ADE方向行走，经过一段时间后在F点相遇(图中未画出)。从出发到相遇的过程中，描述两个人运动情况的物理量可能不相同的是( )
图3
A．瞬时速度 B．位移
C．路程 D．平均速度
解析：选A 两个人所走的路径不同，所以瞬时速度方向可能不相同，A正确。由于两人速度大小相同，故相同时间内走过的路程相同，两人相遇在与A对称的位置，故位移大小等于直径，且方向相同，故平均速度也相等，B、C、D错误。
7．(多选)甲、乙两质点在同一直线上匀速运动，设向右为正，甲质点的速度为2 m/s，乙质点的速度为－4 m/s，则可知( )
A．乙质点的速率大于甲质点的速率
B．因为＋2＞－4，所以甲质点的速度大于乙质点的速度
C．这里的正、负号的物理意义是表示运动的方向
D．若甲、乙两质点同时由同一点出发，则10 s后甲、乙两质点相距60 m
解析：选ACD 因为速度是矢量，所以其正、负号表示物体的运动方向，C正确。速率是标量，等于速度的大小，甲、乙的速率分别为2 m/s、4 m/s，故A正确。速度是矢量，比较大小时看绝对值，B错。甲、乙两质点在同一直线上沿相反方向运动，10 s后的距离等于两者位移之和，计算可得D正确。
8. (多选)三个质点A、B、C的运动轨迹如图4所示，三个质点同时从N点出发，同时到达M点，其间都不停也不返回，则下列说法中正确的是( )
图4
A．三个质点从N到M的平均速度相同
B．B质点从N到M的平均速度方向与任意时刻的瞬时速度方向相同
C．到达M点时的瞬时速率一定是质点A的大
D．三个质点从N到M的平均速率相同
解析：选AB 三个质点的位移相同，时间相同，所以平均速度相同，A正确；由于B质点做单向直线运动，其平均速度方向与瞬时速度方向相同，B正确；三个质点运动的路程不同，运动时间相同，平均速率不相同，D错误；无法判断到达M点时哪个质点的瞬时速率大，故C错误。
9．某人爬山，从山脚爬上山顶，然后又沿原路返回到山脚，上山的平均速度为v1，下山的平均速度为v2，则往返的平均速度的大小和平均速率分别是( )
A.， B.，
C．0， D．0，
解析：选D 平均速度是位移与时间的比值，由于此人爬山往返一次，位移x＝0，平均速度＝＝＝0；平均速率是路程与时间的比值，由于此人往返一次，路程为x1＋x2，又因x1＝x2，则平均速率＝＝＝，所以D项正确。
10. (多选)图5是甲、乙两物体运动的速度—时间图像，下列说法正确的是( )
图5
A．甲处于静止状态
B．乙刚开始时以5 m/s的速度与甲同向运动
C．乙在最初3 s内的位移是10 m
D．乙在最初3 s内的路程是10 m
解析：选BD 甲图线是平行于t轴的直线，因此甲做匀速直线运动，A错误；乙在第1 s内向正方向做速度为5 m/s的匀速直线运动，第2 s内静止，第3 s内沿负方向做速度为5 m/s的匀速直线运动，故B正确；乙在第1 s内的位移为x1＝v1t1＝5 m，在第2 s内的位移为x2＝0，在第3 s内的位移为x3＝v3t3＝－5 m，所以乙在最初3 s内的位移为x＝x1＋x2＋x3＝0，故C错误；乙在最初3 s内的路程为s＝|x1|＋|x2|＋|x3|＝10 m，故D正确。
11．如图6所示，是一条利用打点计时器打出的纸带，0、1、2、3、4、5、6是七个计数点，每相邻两个计数点之间还有四个点未画出，各计数点到0的距离如图所示。求出各计数点的瞬时速度并画出速度－时间图像。
图6
解析：1点对应时刻是0、2之间的中间时刻，求出0、2间的平均速度即可认为是1点的瞬时速度，同理2、3、4、5点的瞬时速度也可求出。而相邻计数点间的时间间隔T＝0.1 s。故v1＝＝ m/s＝0.195 m/s，
v2＝＝ m/s＝0.40 m/s，
同理v3＝0.61 m/s，v4＝0.69 m/s，v5＝0.70 m/s。以0点为坐标原点，横坐标表示时间，纵坐标表示速度建立直角坐标系。根据前面计算出的结果在直角坐标系中描点，然后连线得到速度－时间图像如图所示。
答案：见解析
12．一架飞机水平匀速地在某同学头顶上方飞过，当他听到飞机的发动机声从头顶正上方传来时，发现飞机在他前上方约与地面成60°角的方向上，据此可估算出此飞机的速度约为声速的多少倍？
解析：由题意知声波是在该同学正上方发出的，在该声波由上到下传播的过程中，飞机沿水平直线匀速飞行，画出运动示意图如图所示。
设飞机离地高度为h，则有h＝v声Δt
在Δt时间内，飞机的水平位移Δx＝v飞Δt
由几何知识得＝cot 60°
解得v飞＝v声cot 60 °＝v声≈0.58v声
即飞机的速度约为
答案：0.58倍第4节 速度变化快慢的描述——加速度
1．加速度是表示物体速度变化快慢的物理量。
2．加速度的定义式为a＝。
3．加速度是矢量，其方向与物体速度变化的方向
相同，单位为米每二次方秒，符号是m/s2或m·s－2。
一、加速度
1．定义：速度的改变量与发生这一改变所用时间的比值，通常用a表示。
2．表达式：a＝。
3．矢量性
加速度既有大小，又有方向，是矢量。由a＝可知，加速度a的方向与速度变化量Δv的方向相同。
4．单位
在国际单位制中，加速度的单位是米每二次方秒，符号m/s2或m·s－2。
5．物理意义
加速度是描述物体运动速度变化快慢的物理量。
二、加速度方向与速度方向的关系
1．如图1 4 1所示，取初速度v0的方向为正方向：对于加速运动，有vt>v0，即Δv>0，此时a>0，表示加速度的方向与速度的方向相同，如图甲所示。
图1 4 1
2．对于减速运动，有vt
三、从v t图像看加速度
1．通过速度—时间(v t)图像不但能够了解物体运动的速度随时间变化的规律，还能够知道物体的加速度。
2．从速度—时间图线的倾斜程度大小就能判断加速度的大小，倾斜程度越大，加速度越大。
1．自主思考——判一判
(1)如果速度很大，则加速度一定很大。(×)
(2)如果速度变化量很大，则加速度一定很大。(×)
(3)加速度是矢量，它的方向与速度变化量的方向一致。(√)
(4)物体的速度为零，加速度也为零。(×)
(5)取初速度方向为正方向时，加速度为正值时，物体做加速运动。(√)
(6)物体的v t图像是一条倾斜直线时，物体运动的加速度是恒定的。(√)
2．合作探究——议一议
(1)直线运动中，加速度的正负表示什么含义？加速度为负值，物体就一定做减速运动吗？
[提示] ①加速度的正、负表示与规定的正方向是同向还是反向。②不一定。加速度为负值，若速度为正值，则物体减速；若速度也为负值，则物体加速。
(2)若物体的加速度逐渐减小，速度一定减小吗？若物体的加速度逐渐增大，速度一定增大吗？
[提示] 不一定。若加速度a与初速度v0同向，则物体做加速直线运动，这时若a逐渐减小，只是说明v增加得
慢了；若加速度a与初速度v0反向，则物体做减速直线运动，这时若a逐渐增大，只是说明v减小得快了。
(3)根据某频闪照片中小车的运动情况画出的v t图像如图1 4 2所示，试分析：Δv与Δt之间有什么关系？有什么特点？
图1 4 2
[提示] 如图所示，在时间轴上两点t1、t2间的距离表示时间间隔Δt＝t2－t1，t1时刻的速度为v1，t2时刻的速度为v2，则v2－v1＝Δv，Δv即为时间间隔Δt内的速度变化量。由图像可知，无论Δt选在什么区间，对应的速度v的变化量Δv与时间t的变化量Δt之比都是一样的。
对加速度的理解
1．速度v、速度变化量Δv和加速度a的比较
速度v 速度变化量Δv 加速度a
定义 物体的位移与所用时间的比值 物体的末速度与初速度的矢量差 物体速度的变化量与所用时间的比值
表达式 v＝ Δv＝v2－v1 a＝
单位 m/s m/s m/s2
方向 物体运动的方向 速度改变的方向 与Δv的方向相同
物理意义 表示物体运动的快慢 表示物体速度的变化量 表示物体速度变化的快慢
2．加速度对运动的影响
(1)加速度的大小决定物体速度变化的快慢：
(2)加速度方向与速度方向的关系决定物体是加速还是减速：
1．关于速度和加速度的关系，下列说法正确的是( )
A．速度变化得越多，加速度就越大
B．速度变化得越快，加速度就越大
C．加速度的方向保持不变，速度的方向也保持不变
D．加速度的大小不断变小，速度的大小也不断变小
解析：选B 加速度是速度对时间的变化率，它表示速度变化的快慢，而不表示速度的大小，也不表示速度变化的大小，所以A错误，B正确。加速度方向保持不变，速度方向可能变，也可能不变；如当物体做减速直线运动时，v＝0以后就反向运动，即速度方向改变，故C错误。物体在运动过程中，若加速度的方向与速度的方向相同，即使加速度在变小，物体速度仍在增大，当加速度a＝0时，速度就不再增大，此时速度达到最大值，故D错误。
2．一质点自原点开始在x轴上运动，其初速度v0＞0，加速度a＞0，当加速度a值不断减小至零时，质点的( )
A．速度不断减小，位移不断减小
B．速度不断减小，位移不断增大
C．速度不断增大，当a＝0时速度达到最大值，位移不断增大
D．速度不断增大，当a＝0时位移达到最大值
解析：选C 因为v0＞0，a＞0，所以物体做加速运动，速度和位移都不断增大，A、B错误。当a＝0时，物体的速度不再增大，即速度达到最大值而做匀速运动，位移继续增大，C正确，D错误。
3．两个做变速直线运动的物体，物体A的加速度aA＝3 m/s2，物体B的加速度aB＝－5 m/s2，则( )
A．物体A加速度大
B．物体B加速度大
C．物体A的速度在增加
D．物体B的速度在减小
解析：选B 物体A的加速度aA＝3 m/s2，物体B的加速度aB＝－5 m/s2，它们加速度大小分别为aA＝3 m/s2，aB＝5 m/s2，所以物体B加速度大。故A错误，B正确。由于不知道两物体的初速度方向，故无法判断每个物体的速度方向与加速度方向的关系，无法判断它们的速度变化情况，C、D均不对。
加速度的计算
[典例] 沪杭高铁是连接上海和杭州的现代化高速铁路，试运行时的最大时速达到了413.7公里，再次刷新世界纪录。沪杭高速列车在一次试运行中由A站开往B站，A、B车站间的铁路为直线。技术人员乘此列车从A车站出发，列车从静止加速到100 m/s，用了250 s时间，然后匀速运动了10分钟后，列车做减速运动，经过300 s后刚好停在B车站。求此高速列车加速、减速时的加速度。
[思路点拨]
(1)全过程的初末速度均为零。
(2)减速过程的初速度与匀加速过程的末速度相等。
[解析] 加速阶段的加速度a1＝＝
＝ m/s2＝0.4 m/s2
减速阶段加速度a2＝＝ m/s2≈－0.33 m/s2。
[答案] 0.4 m/s2，方向与运动方向相同 0.33 m/s2，方向与运动方向相反
利用a＝计算加速度的方法
(1)规定正方向
一般规定初速度的方向为正方向，和正方向相同的取“＋”(一般省略)，和正方向相反的取“－”，这样就把矢量运算转化成标量运算。
(2)求出速度变化量Δv，并找准与之对应的时间Δt。
(4)计算加速度，并对其方向加以解释。
a为正，说明加速度与规定的正方向相同；a为负，说明加速度与规定的正方向相反。
1．(多选)某质点做直线运动，零时刻的速度大小为3 m/s，经过1 s后速度大小为4 m/s，该质点的加速度大小是( )
A．1 m/s2 B．2 m/s2
C．3 m/s2 D．7 m/s2
解析：选AD 取初速度方向为正方向，即有v0＝3 m/s。
若末速度方向与初速度方向相同，则v＝4 m/s，加速度为a＝＝m/s2＝1 m/s2
若末速度方向与初速度方向相反，则v＝－4 m/s，加速度为a＝＝ m/s2＝－7 m/s2综上，A、D正确。
2．足球运动员在罚点球时，球获得30 m/s的速度并做匀速直线运动。设脚与球作用时间为0.1 s，球在空中飞行0.3 s后被守门员挡住，守门员双手与球接触时间为0.1 s，且球被挡出后以10 m/s沿原路反弹，求：
(1)罚点球的瞬间，球的加速度的大小；
(2)守门员接球瞬间，球的加速度的大小。
解析：(1)设球被踢出时的速度方向为正方向，则罚点球时的速度由v0＝0变到v1＝30 m/s，用时t1＝0.1 s，由a＝得罚点球时a1＝＝ m/s2＝300 m/s2。
(2)接球时速度由v1变为v2＝－10 m/s，用时t2＝0.1 s，则接球时a2＝＝ m/s2＝－400 m/s2。即加速度大小为400 m/s2。
答案：(1)300 m/s2 (2)400 m/s2
根据v t图像确定加速度
1．v t图像的斜率表示加速度大小
如图1 4 3所示的v t图像中，图线的倾斜程度(斜率)k＝＝a，表示物体的加速度。斜率越大，加速度越大；斜率越小，加速度越小；斜率为零，加速度为零，即速度保持不变。
图1 4 3
2．斜率的正负表示加速度的方向
斜率为正，表示加速度的方向与正方向相同；斜率为负，表示加速度的方向与正方向相反。
3．由v t图像判断速度的变化
通过v t图像可直观判断出速度的正、负与加速度的正、负无关。如图1 4 4所示，在整个运动过程中物体的加速度a＞0。
图1 4 4
(1)在0～t0时间内，v＜0，a＞0，物体做减速运动；
(2)在t＞t0时间内，v＞0，a＞0，物体做加速运动。
[典例] (多选)如图1 4 5所示是某物体的v t图像，则下列说法正确的是( )
图1 4 5
A．前2 s和后3 s内物体的加速度大小均不变
B．2～5 s内物体静止
C．前2 s和后3 s内速度的变化量均为5 m/s
D．前2 s的加速度为2.5 m/s2，后3 s的加速度为－ m/s2
[思路点拨] 物体的运动过程是：加速→匀速→减速。
[解析] 根据v t图像中图线的斜率表示加速度可知，前2 s和后3 s内图线的斜率均不变，故前2 s和后3 s内物体的加速度大小均不变，A正确。0～2 s内物体沿正方向做加速运动，前2 s内速度的变化量为5 m/s，加速度a1＝ m/s2＝2.5 m/s2,2～5 s内物体的速度保持5 m/s不变，物体做匀速直线运动，5～8 s内物体沿正方向做减速运动，速度的变化量为－5 m/s，加速度a2＝ m/s2＝－ m/s2，B、C错误，D正确。
[答案] AD
在分析v t图像时要注意
(1)只要直线的斜率相同，则加速度的大小和方向都相同。
(2)图线不是物体运动的轨迹，分析时要把图像与物体的实际运动结合起来。
1.某物体沿直线运动，其v t图像如图1 4 6所示，下列说法正确的是( )
图1 4 6
A．第1 s内和第2 s内物体的速度方向相反
B．第1 s内和第2 s内物体的加速度方向相反
C．第3 s内物体的速度方向和加速度方向相反
D．第2 s末物体的加速度为零
解析：选B 第1 s内、第2 s内纵坐标为正，速度均为正向，A错误；根据斜率的正、负，第1 s内加速度为正向，第2 s内加速度为负向，B正确；第3 s内速度为负向，加速度为负向，C错误；第2 s末物体的加速度为－2 m/s2，D错误。
2.如图1 4 7所示是某质点运动的v t图像。
图1 4 7
(1)质点在图中各段中做什么性质的运动？
(2)在0～4 s内、4～8 s内、8～10 s内、10～12 s内质点的加速度各是多少？
解析：(1)质点在0～4 s内做加速直线运动，在4～8 s内做匀速直线运动，在8～10 s内做减速直线运动，在10～12 s内做反向的加速直线运动。
(2)由a＝得
0～4 s内的加速度a1＝ m/s2＝2.5 m/s2
4～8 s内速度不变，加速度a2＝0
8～10 s内的加速度a3＝ m/s2＝－5 m/s2
10～12 s内的加速度a4＝ m/s2＝－5 m/s2。
答案：(1)见解析
(2)2.5 m/s2 0 －5 m/s2 －5 m/s2
1．关于加速度的概念，下列说法正确的是( )
A．加速度就是加出来的速度
B．加速度反映了速度变化的大小
C．加速度反映了速度变化的快慢
D．加速度为正值，表示速度的大小一定越来越大
解析：选C 加速度是反映速度变化快慢的物理量，等于速度的变化量与所用时间的比值，并不反映速度变化的大小，故C项正确，A、B项错误。加速度为正值，说明加速度的方向与所取正方向一致，这与速度变大变小无关。速度是否增加，取决于加速度方向与速度方向的关系，故D错。
2．做加速直线运动的物体，加速度为2 m/s2，它的意义是( )
A．物体在任一秒末的速度是该秒初的速度的2倍
B．物体在任一秒末速度比该秒初的速度大2 m/s
C．物体在任一秒的初速度比前一秒的末速度大2 m/s
D．物体在任一秒的末速度比前一秒的初速度大2 m/s
解析：选B 在任何1 s内物体的末速度一定比初速度大2 m/s，故A错误，B正确。某1 s初与前1 s末为同一时刻，速度相等，故C错误。物体在任一秒的末速度比前一秒的初速度大4 m/s，故D错误。
3．(多选)由a＝可知( )
A．a与Δv成正比
B．物体加速度大小由Δv决定
C．a的方向与Δv的方向相同
D.叫速度变化率，就是加速度
解析：选CD 加速度的大小与Δv和Δt的比值有关，只知道Δv或Δt的大小，不能确定加速度的大小，A、B错；a的方向与Δv的方向相同，C对；叫速度变化率，表示速度变化的快慢，也就是加速度，D对。
4.小球以v1＝3 m/s的速度水平向右运动，碰到墙壁经Δt＝0.01 s后以v2＝ 2 m/s的速度沿同一直线返回，如图1所示，小球在这0.01 s内的平均加速度是( )
图1
A．100 m/s2，方向向右 B．100 m/s2，方向向左
C．500 m/s2，方向向左 D．500 m/s2，方向向右
解析：选C 取v2方向为正方向，则平均加速度a＝＝500 m/s2，方向向左，C正确。
5．火车启动时，能在30 s内使速度由零增加到36 km/h；自行车启动时，能在10 s内使速度由零增加到10 m/s；长跑运动员起跑时，能在1 s内使速度由零增加到5 m/s；短跑运动员起跑时，能在0.4 s内使速度由零增加到4 m/s。在以上4种情况下，加速度最大的是( )
A．火车 B．自行车
C．长跑运动员 D．短跑运动员
解析：选D 由a＝可求得火车、自行车、长跑运动员、短跑运动员的加速度大小分别为0.33 m/s2,1 m/s2，5 m/s2，10 m/s2，故短跑运动员起跑时，加速度最大，D项正确。
6.如图2所示为一物体做直线运动的v t图像，用v1、a1表示物体在0～t1时间内的速度和加速度，v2、a2表示物体在t1～t2时间内的速度和加速度，则由图可知( )
图2
A．v1与v2方向相同，a1与a2方向相同，a1＞a2
B．v1与v2方向相同，a1与a2方向相反，a1＜a2
C．v1与v2方向相反，a1与a2方向相同，a1＞a2
D．v1与v2方向相反，a1与a2方向相反，a1＜a2
解析：选B 0～t1时间内速度方向沿正方向，加速度(图像斜率)为正，t1～t2时间内速度方向沿正方向，加速度为负，即沿负方向，从图像的斜率大小可判断a1＜a2，B对。
7．(多选)已知物体做直线运动，下列对物体运动性质的判断正确的是( )
A．v0＞0，a＜0，物体先做加速运动，后做减速运动
B．v0＜0，a＜0，物体做加速运动
C．v0＜0，a＞0，物体先做减速运动，后做加速运动
D．v0＞0，a＞0，物体做加速运动
解析：选BCD 根据v0、a二者的方向关系，可判断物体做何种运动。若a与v0同向，则物体做加速运动；若a与v0反向，则物体做减速运动。由于速度和加速度都是矢量，速度、加速度的正负号表示方向，若二者的符号相同，就表示它们的方向相同，则物体就做加速运动，故B、D正确。若二者的符号相反，就表示它们的方向相反，则物体开始时做减速运动，当时间足够长，且加速度始终存在时，物体先减速至零后做反向加速运动，故A错误，C正确。
8. (多选)做直线运动的物体在t1、t3两时刻对应的速度如图3所示，下列结论正确的是( )
图3
A．t1、t3两时刻速度相同
B．t1、t3两时刻加速度相同
C．t1、t3两时刻加速度等值反向
D．若t2＝2t1，则可以求出物体的初速度为8 m/s
解析：选BD 由题图知，t1、t3时刻的速度大小相同，但方向相反，A项错误；t1、t3时刻图线斜率相同，加速度相同，B项正确，C项错误；若t2＝2t1，由于v t图线为直线，所以Δt1和Δt2时间内速度的变化量Δv1＝Δv2＝－4 m/s，可得v0＝8 m/s，D项正确。
9.甲、乙两个物体在同一直线上运动，它们的速度图像如图4所示，下列说法正确的是( )
图4
A．在0～t1时间内，甲的加速度大于乙的加速度，且方向相反
B．在0～t1时间内，甲、乙加速度方向相同
C．在0～t2时间内，甲、乙运动方向相同
D．在0～t2时间内，甲的加速度大于乙的加速度，且方向相同
解析：选B 由v t图像的斜率知，0～t2时间内，甲的加速度小于乙的加速度，两者的加速度方向相同，A、D错，B对。0～t2时间内，甲一直向正方向运动，0～t1时间内，乙向负方向运动，t1～t2时间内，乙向正方向运动，C错。
10．(多选)一物体做加速度不变的直线运动，某时刻速度的大小为4 m/s,2 s后速度的大小为8 m/s。在这2 s内该物体的( )
A．速度变化量的大小可能大于8 m/s
B．速度变化量的大小可能小于4 m/s
C．加速度的大小可能大于4 m/s2
D．加速度的大小可能小于2 m/s2
解析：选AC 题中只给出了初、末速度的大小，这就隐含了初、末速度的方向可能相同，也可能相反。若初、末速度方向相同，则Δv＝v末－v初＝(8－4)m/s＝4 m/s，加速度a＝＝2 m/s2；若初、末速度方向相反，取初速度方向为正方向，则v末＝－8 m/s，速度变化量Δv＝v末－v初＝(－8－4)m/s＝－12 m/s，加速度a＝＝－6 m/s2，负号说明a的方向与初速度方向相反。
11．卡车以v0＝10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为道口出现红灯，司机从较远的地方开始刹车，使卡车减速前进，当速度减至v＝2 m/s时，交通信号灯转为绿灯，司机当即放开刹车，并且只用了原来一半的时间就加速到了原来的速度。已知从刹车开始到汽车恢复到原来的速度，整个过程用时t＝12 s，司机的反应时间忽略不计，求：
(1)卡车减速所用的时间t1和加速所用的时间t2。
(2)卡车减速时的加速度a1与加速时的加速度a2。
解析：(1)由题意知t1＋t2＝t，t2＝t1，联立得t1＝8 s，t2＝4 s。
(2)以卡车运动的方向为正方向。
减速阶段，a1＝＝－1 m/s2，负号表示加速度的方向与卡车运动方向相反。
加速阶段，a2＝＝2 m/s2，加速度方向与卡车运动方向相同。
答案：(1)8 s 4 s (2)－1 m/s2，方向与运动方向相反 2 m/s2，方向与运动方向相同
12.如图5所示为测定气垫导轨上滑块的加速度的装置，滑块上安装了宽度为3.0 cm的遮光板，滑块在牵引力作用下先后通过两个光电门，配套的数字毫秒计记录了遮光板通过第一个光电门的时间Δt1＝0.29 s，通过第二个光电门的时间为Δt2＝0.11 s，遮光板从通过第一个光电门到开始遮住第二个光电门所用时间为Δt＝3.57 s，求滑块的加速度。
图5
解析：经过第一个光电门的速度为
v1＝＝ m/s≈0.103 m/s
经过第二个光电门的速度为
v2＝＝ m/s≈0.273 m/s
由a＝得a＝
＝ m/s2≈0.045 m/s2。
答案：0.045 m/s2第5节 匀变速直线运动速度与时间的关系
1．匀变速直线运动是指加速度的大小和方向都不
改变的直线运动，分为匀减速直线运动和匀加
速直线运动两种情况。
2．匀变速直线运动的速度与时间的关系式为
vt＝v0＋at。
3．在v t图像中，平行于t轴的直线表示物体做
匀速直线运动，倾斜直线表示物体做匀变速
直线运动。
4．在v t图像中，图线的斜率的大小表示物体
的加速度的大小，斜率正负表示加速度的
方向。
一、匀变速直线运动速度与时间的关系
1．匀变速直线运动
(1)定义：速度随时间均匀变化即加速度恒定的运动。
(2)分类
匀加速直线运动：加速度与速度方向相同。
匀减速直线运动：加速度与速度方向相反。
2．速度与时间的关系
(1)速度公式：vt＝v0＋at。
(2)对公式的解释：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度vt，就等于物体在开始时刻的速度v0再加上在整个过程中速度的变化量at。
二、匀变速直线运动的v t图像
公式vt＝v0＋at表示了匀变速直线运动速度vt是时间t的一次函数，对应的v t图像是一条斜线，其斜率表示了加速度的大小和方向。
(1)匀加速直线运动：Δv＞0，a＝＞0，a与v0同向，如图1 5 1所示。
(2)匀减速直线运动：Δv＜0，a＝＜0，a与v0反向，如图1 5 2所示。
图1 5 1 图1 5 2
1．自主思考——判一判
(1)加速度不变的运动就是匀变速直线运动。(×)
(2)匀变速直线运动就是速度均匀变化的直线运动。(√)
(3)在匀变速直线运动中，由公式vt＝v0＋at可知，经过相同时间t，v0越大，则v越大。(×)
(4)在匀变速直线运动中，由公式vt＝v0＋at可知，初速度相同，加速度a越大，则v越大。(×)
(5)匀变速直线运动的v t图像是一条倾斜直线。(√)
(6)v t图像的斜率为负值时，物体一定做匀减速直线运动。(×)
2．合作探究——议一议
(1)结合图1 5 3中的图像，试由a＝和Δv＝vt－v0，推导物体运动的速度与时间的关系。
图1 5 3
[提示] 因为加速度a＝，所以Δv＝aΔt，又Δv＝vt－v0，所以有vt＝v0＋at。
(2)在如图1 5 4所示的v t图像中，OA段斜率为正，物体做匀加速直线运动，AC段斜率为负，物体做匀减速直线运动，这种说法对吗？
图1 5 4
[提示] 这种说法不全对，物体在OA段做匀加速直线运动，在AB段做匀减速直线运动，而在BC段做反向匀加速直线运动。
速度公式的应用
1．主要应用
公式vt＝v0＋at反映了初速度v0、加速度a、时间t、末速度vt之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。
2．公式的矢量性
(1)公式中的v0、vt、a均为矢量，应用公式解题时，首先要规定正方向，一般取v0的方向为正方向，a、vt与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值。计算时将各量的数值和正负号一并代入计算。
(2)a与v0同向时物体做匀加速直线运动，a与v0方向相反时，物体做匀减速直线运动。
3．公式的适用条件
公式vt＝v0＋at只适用于匀变速直线运动。
4．公式的特殊形式
[典例] 在某汽车4S店，一顾客正在测试汽车加速、减速性能。汽车以36 km/h的速度匀速行驶，现以0.6 m/s2的加速度加速，则10 s后速度能达到多少？若汽车以0.6 m/s2的加速度刹车，则10 s和20 s后速度各为多少？
[思路点拨]
→→→。
[解析] 初速度v0＝36 km/h＝10 m/s，
加速度a1＝0.6 m/s2，a2＝－0.6 m/s2。
由速度公式得
v1＝v0＋a1t1＝10 m/s＋0.6×10 m/s＝16 m/s，
开始刹车10 s后汽车的速度
v2＝v0＋a2t2＝10 m/s－0.6×10 m/s＝4 m/s，
开始刹车至汽车停下所需时间
t3＝＝ s＝16.7 s＜20 s。
故刹车20 s后汽车早已停止运动，所以车速为0。
[答案] 16 m/s 4 m/s 0
(1)在解题时，要先规定正方向，一般以v0的方向为正方向，若v0＝0时，一般以a的方向为正方向。
(2)物体做减速运动时，a的方向与v0方向相反，注意符号不要弄错。
(3)对于做匀减速直线运动的物体，应注意物体速度减为零之后能否加速返回，若不能返回，应注意题中所给时间与物体所能运动的最长时间t＝的关系。
1．高速列车从静止开始做匀加速直线运动，20 s末的速度是30 m/s，列车加速度的大小是( )
A．1.5 m/s2 B．2 m/s2
C．3 m/s2 D．6 m/s2
解析：选A 由vt＝v0＋at可得：a＝＝1.5 m/s2；故选A。
2．一物体从静止开始以2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，经5 s后做匀速直线运动，最后2 s的时间内物体做匀减速直线运动直至静止。求：
(1)物体做匀速直线运动的速度的大小；
(2)物体做匀减速直线运动时的加速度。
解析：解题关键是画出如下的示意图：
设图中A→B做匀加速直线运动，B→C做匀速直线运动，C→D做匀减速直线运动，匀速运动的速度为AB段的末速度，也为CD段的初速度。
(1)由速度与时间的关系式得
vB＝a1t1＝2×5 m/s＝10 m/s
vC＝vB＝10 m/s
即做匀速直线运动的速度为10 m/s
(2)由vD＝vC＋a2t2得
a2＝＝ m/s2＝－5 m/s2。
负号表示加速度方向与运动方向相反。
答案：(1)10 m/s
(2)－5 m/s2，加速度方向与运动方向相反
v t图像的理解及应用
1.如图1 5 5所示，匀变速直线运动的v t图像是一条倾斜的直线，直线a为匀加速直线运动的图像；直线b为匀减速直线运动的图像。
图1 5 5
2．如果某时间段内v t图像一段在t轴上方，另一段在t轴下方，但仍是直线，只是说明运动方向发生了改变，但加速度是恒定的，全过程可以看成统一的匀变速直线运动，如图中的c所示。
3．斜率：斜率表示加速度，斜率的大小表示加速度的大小；斜率的正负表示加速度的方向。
4．截距：纵截距表示初速度，横截距表示速度为零的时刻。
5．交点：交点表示同一时刻两物体具有相同的速度。
[典例] 如图1 5 6所示，是A、B两物体做匀变速直线运动的速度—时间图像。问：
图1 5 6
(1)A、B各做什么运动？其加速度是多少？
(2)两图线的交点有什么意义？
(3)1 s末A、B的速度各是多少？
(4)5 s末A、B的速度各是多少？
[思路点拨] v t图线
[解析] (1)A物体沿规定的正方向做匀加速直线运动，加速度大小a1＝＝ m/s2＝1 m/s2，方向与规定的正方向相同；B物体前4 s沿规定的正方向做匀减速直线运动，4 s后沿反方向做匀加速直线运动，其加速度a2＝＝ m/s2＝－2 m/s2，负号表示方向与规定的正方向相反。
(2)图像交点表示二者的速度相等。
(3)1 s末vA＝v0＋a1t1＝(2＋1×1)m/s＝3 m/s，vB＝v0′＋a2t1＝(8－2×1)m/s＝6 m/s，方向都与规定的正方向相同。
(4)5 s末vA′＝v0＋a1t2＝(2＋1×5)m/s＝7 m/s，vB＝v0′＋a2t2＝(8－2×5) m/s＝－2 m/s，A的方向与规定的正方向相同，B的方向与初速度方向相反。
[答案] 见解析
(1)加速度是否变化看有无拐点：在拐点位置，图线的斜率改变，表示此时刻物体的加速度改变。v t图像为曲线，可认为曲线上处处是拐点，加速度时刻在改变。
(2)速度方向是否改变看与时间轴有无交点：在与时间轴的交点位置，纵坐标的符号改变，表示物体的速度方向改变。
1. (多选)甲、乙、丙是三个在同一直线上运动的物体，它们运动的v t图像如图1 5 7所示，下列说法正确的是( )
图1 5 7
A．丙与甲的运动方向相反
B．丙与乙的运动方向相同
C．乙的加速度的大小大于甲的加速度的大小
D．丙的加速度的大小小于乙的加速度的大小
解析：选BC 甲、乙、丙三个物体的速度均为正值，运动方向相同，选项A错误，B正确。根据速度图像斜率的绝对值表示加速度的大小，乙的加速度的大小大于甲的加速度的大小，丙的加速度的大小大于乙的加速度的大小，选项C正确，D错误。
2. (多选)如图1 5 8所示是质点做直线运动的v t图像，则有( )
图1 5 8
A．在前6 s内物体做匀变速直线运动
B．在2～4 s内质点做匀变速直线运动
C．4 s末质点的速度大小是4 m/s，方向与规定的正方向相反
D．3～4 s内与4～6 s内质点的速度方向相反
解析：选BC 质点在0～6 s内速度方向改变，加速度没有保持恒定不变，故整个6 s内质点不是做匀变速直线运动，A错误。质点在2～4 s内，速度图线的斜率不变，即加速度不变，质点做匀变速直线运动，B正确。根据图像可知4 s末质点的速度是－4 m/s，即大小是4 m/s，方向与规定的正方向相反，C正确。质点在3～4 s内和4～6 s内速度均为负值，表明在这两段时间内质点的速度方向相同，都与规定的正方向相反，D错误。
3．一辆汽车在平直的公路上从静止开始运动，先后经历匀加速、匀速、匀减速直线运动，最后停止。从汽车启动开始计时，下表记录了汽车某些时刻的瞬时速度，根据数据可判断出汽车运动的v t图像是( )
时刻/s 1.0 2.0 3.0 5.0 7.0 9.5 10.5
速度/(m/s) 3.0 6.0 9.0 12 12 9.0 3.0
解析：选C 匀加速运动过程中，加速度为a1＝＝ m/s2＝3 m/s2，匀加速运动的末速度等于匀速运动的速度，由表格读出末速度大小为v＝12 m/s，则此过程经历时间为t1＝＝ s＝4 s；匀减速运动过程中，加速度为a2＝＝ m/s2＝－6 m/s2，匀减速运动的初速度等于匀速运动的速度，初速度大小为v＝12 m/s，则此过程经历时间为t2＝＝ s＝2 s；故C正确。
1．下列关于匀变速直线运动的说法中，正确的是( )
A．匀变速直线运动是运动快慢相同的运动
B．匀变速直线运动是速度变化量相同的运动
C．匀变速直线运动的速度一直在增加
D．匀变速直线运动就是速度变化快慢相同的运动
解析：选D 匀变速直线运动是速度变化快慢相同的运动，即在相同时间内速度变化量相等的运动，若时间不相同，则速度的变化量不同，因此A、B错误，D正确。匀变速直线运动分为匀加速直线运动和匀减速直线运动，只有加速度方向与速度方向相同时，才做加速运动，C错误。
2．下列选项中的四个图像表示物体做匀加速直线运动的是( )
解析：选A 若速度大小随时间的增加而均匀增大，则物体做匀加速直线运动，速度的正负不表示速度是否增加，A正确。
3．对于匀变速直线运动的速度与时间关系式vt＝v0＋at，以下理解正确的是( )
A．v0是时间间隔t开始的速度，vt是时间间隔t内的平均速度
B．vt一定大于v0
C．at在时间间隔t内，可以是速度的增加量，也可以是速度的减少量
D．a与匀变速直线运动的v t图像的倾斜程度无关
解析：选C v0、vt都是瞬时速度，at是速度的变化量，A错C对；在匀加速直线运动中vt＞v0，在匀减速直线运动中vt＜v0，B错误；v t图像的斜率表示加速度，D错误。
4．一辆以12 m/s的速度沿平直公路行驶的汽车，因发现前方有险情而紧急刹车，刹车后获得大小为4 m/s2的加速度，汽车刹车后5 s末的速度为( )
A．8 m/s B．－8 m/s
C．0 D．32 m/s
解析：选C 汽车匀减速减到停止的时间t＝＝ s＝3 s＜5 s，故5 s末速度为0，C正确。
5．(多选)跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机在离地某一足够高的高度静止时，运动员离开飞机下落，运动一段时间后打开降落伞，展伞后运动员以大小为4 m/s2的加速度匀减速下降，直至安全着地。则运动员打开降落伞运动1 s后至着地前的任1 s内( )
A．运动员的末速度比前1 s的末速度小4 m/s
B．运动员的末速度比前1 s的末速度小8 m/s
C．运动员的末速度比前1 s的初速度小4 m/s
D．运动员的末速度比前1 s的初速度小8 m/s
解析：选AD 根据匀变速直线运动的速度公式vt＝v0＋at知运动员在任1 s的末速度比前1 s的末速度小4 m/s，比前1 s的初速度小8 m/s。
6.如图1是某物体做直线运动的v t图像，由图像可知( )
图1
A．物体在0～2 s内做匀速直线运动
B．物体在2～8 s内静止
C．物体在4 s末的速度为10 m/s
D．物体在6 s末的速度为12 m/s
解析：选D 物体在0～2 s内速度随时间均匀增大，做匀加速直线运动，故A错误。物体在2～8 s内速度随时间不变，做匀速直线运动，故B错误。从图像知，物体在4 s末和6 s末的速度都为12 m/s，故C错误，D正确。
7.如图2所示，小球以v0＝6 m/s的速度从中间滑上光滑且足够长的斜面，已知小球在斜面上运动时的加速度大小为2 m/s2，问小球速度大小为3 m/s时需多少时间。(小球在光滑斜面上运动时，加速度大小、方向不变)
图2
解析：小球先减速上升到最高点后再反向匀加速直线运动，整个过程是一个匀变速直线运动。
规定沿斜面向上的方向为正，a＝－2 m/s2。
若上升阶段速度变为3 m/s时，v1＝v0＋at1，取v1＝3 m/s，得t1＝1.5 s；
若下滑阶段速度为3 m/s时，v2＝v0＋at2，取v2＝－3 m/s，得t2＝4.5 s。
答案：1.5 s或4.5 s
8. (多选)物体沿水平直线运动，从A点开始计时，取向右的方向为运动的正方向，其v t图像如图3所示，则物体在最初的4 s内( )
图3
A．前2 s内物体做匀减速直线运动
B．前2 s内物体向左运动，后2 s内物体向右运动
C．t＝2 s时刻，物体与A点距离最远
D．t＝4 s时刻，物体与A点距离最远
解析：选ABC 由题图可知，物体前2 s内向左做匀减速直线运动，后2 s内向右做匀加速直线运动，2 s末物体与A点距离最远，故A、B、C正确，D错误。
9．一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a t图像如图4所示。下列v t图像中，可能正确描述此物体运动的是( )
图4
解析：选D 解答本题的突破口是T～2T时间内的加速度跟0～时间内的加速度大小相等，方向相反，从而排除选项A、B、C，本题选D。
10.一物体做匀变速直线运动的v t图像如图5所示。
图5
(1)分析物体的运动情况，求出加速度；
(2)求从计时开始，速度大小变为10 m/s，所需时间t。
解析：(1)由v t图像知，0～9 s内，速度由v0＝18 m/s变为v＝0，故加速度a＝＝－2 m/s2；v t图线是一条倾斜的直线，表明物体在运动过程中加速度不变。故物体做初速度为18 m/s，加速度为－2 m/s2的匀变速直线运动。
(2)末速度大小为10 m/s，其方向可能与v0相同，也可能相反。
当v＝10 m/s时，由v＝v0＋at得t＝＝ s＝4 s；
当v＝－10 m/s时，t＝＝ s＝14 s。
答案：(1)见解析 (2)4 s或14 s
11．发射卫星一般应用多级火箭，第一级火箭点火后，使卫星向上匀加速运动的加速度为50 m/s2，燃烧30 s后第一级火箭脱离，第二级火箭没有马上点火，所以卫星向上做加速度为10 m/s2的匀减速运动，10 s后第二级火箭点火，卫星的加速度为80 m/s2，这样又经过1分半钟第二级火箭脱离时，卫星的速度多大？试用v t图像描述卫星的运动情况。
解析：整个过程中卫星的运动可以分为三个匀变速直线运动处理。
第一级火箭脱离时卫星的速度v1＝a1t1＝50×30 m/s＝1 500 m/s，减速上升10 s后的速度v2＝v1－a2t2＝1 500 m/s－10×10 m/s＝1 400 m/s，第二级火箭脱离时卫星的速度v3＝v2＋a3t3＝1 400 m/s＋80×90 m/s＝8 600 m/s。作出v t图像如图所示。
答案：见解析第6节 匀变速直线运动位移与时间的关系
1．在v t图像中图线与t轴所围的面积表示物体
的位移。
2．匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2。
3．匀变速直线运动的平均速度公式＝＝v。
4．匀速直线运动的x t图线是一条倾斜的直线，匀变速直线运动的x t图线是抛物线的一部分。
一、匀变速直线运动的位移
1．在匀变速直线运动中(如图1 6 1所示)：物体的位移等于v t图线下面梯形的面积。
图1 6 1
2．匀变速直线运动的位移公式：由梯形面积x＝，将速度公式vt＝v0＋at代入上式得匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2。
二、位移—时间图像
1．定义：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像。
2．静止物体的x t图像：是一条平行于时间轴的直线。
3．匀速直线运动的x t图像：是一条倾斜的直线。
4．由匀变速直线运动的位移公式看出，x是t的二次函数，故其x t图像是过原点的抛物线的一部分。
三、匀变速直线运动的两个重要推论
1．平均速度
做匀变速直线运动的物体在一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半，即＝v＝。
2．逐差相等
在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2。
推导：时间T内的位移x1＝v0T＋aT2①
在时间2T内的位移x2＝v0(2T)＋a(2T)2②
则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③
由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
此推论可用于判断物体是否做匀变速直线运动，也可用于求加速度。
1．自主思考——判一判
(1)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀变速直线运动。(√)
(2)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大。(×)
(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。(√)
(4)由x t图像能得出对应时刻物体所在的位置。(√)
(5)x t图像中的图线就是物体的实际运动轨迹。(×)
(6)由x t图像能得到某时间内物体的位移。(√)
2．合作探究——议一议
(1)如何根据x t图像比较做匀速直线运动物体的速度大小？
[提示] 匀速直线运动的x t图像是一条过原点的倾斜直线，直线的斜率等于物体的速度大小，所以比较直线的斜率便可比较出物体的速度大小。
(2)在变速直线运动中，物体在某段时间内的平均速度一定等于初速度与末速度的平均值吗？
[提示] 在一般的变速直线运动中，物体在某段时间内的平均速度并不一定等于初、末速度的平均值，只有在匀变速直线运动中，物体在某段时间内的平均速度才等于初、末速度的平均值。
对匀变速直线运动位移的理解
1．对位移公式x＝v0t＋at2的理解
(1)适用条件：匀变速直线运动。
(2)矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。
(3)公式用法：公式反映了初速度v0、加速度a、时间t、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。
(4)公式的特殊形式
2．对v t图像中“面积”的进一步理解
(1)对于任何形式的直线运动的v t图像，图线与时间轴所围的面积都等于物体的位移。
(2)如果一个物体的v t图像如图1 6 2所示，图线与t轴围成两个三角形，面积分别为x1和x2，此时x1＜0，x2＞0，则0～t2时间内的总位移x＝|x2|－|x1|。若x＞0，位移为正；若x＜0，位移为负；物体在0～t2时间内通过的总路程s＝|x1|＋|x2|。
图1 6 2
[典例] 飞机着陆后做匀减速滑行，着陆时的初速度是216 km/h，在最初2 s内(未停下来)滑行114 m。求：
(1)5 s末的速度大小是多少？
(2)飞机着陆后12 s内滑行多远？
[思路点拨]
(1)由x＝v0t＋at2求出a。
(2)判断滑行的时间，由速度公式和位移公式计算。
[解析] (1)最初2 s内：
x1＝v0t1＋at12
解得：a＝－3 m/s2
5 s末的速度：v2＝v0＋at2＝45 m/s。
(2)着陆减速总时间：t＝＝20 s
飞机着陆后12 s内的位移：
x2＝v0t3＋at32＝504 m。
[答案] (1)45 m/s (2)504 m
处理刹车类问题的思路
(1)先确定刹车时间，若车辆从刹车到速度减到零所用的时间为T，则刹车时间为T＝。
(2)将题中所给出的已知时间t与T比较，若T＜t，则在利用公式v＝v0－at、x＝v0t－at2进行计算时，公式中的时间应为T；若T＞t，则在利用以上公式进行计算时，公式中的时间应为t。
1.如图1 6 3是物体做直线运动的v t图像。由图可知，该物体( )
图1 6 3
A．第1 s内和第3 s内的运动方向相反
B．第3 s内和第4 s内的加速度相同
C．第1 s内和第4 s内的位移大小不相等
D．0～2 s和0～4 s内的平均速度大小相等
解析：选B 第1 s内和第3 s内的速度都为正的，运动方向相同，A项错误；第3 s内和第4 s内的图像斜率相同，因此加速度相同，B项正确；第1 s内和第4 s内的位移大小都等于图线与横轴所围面积的大小，大小都为x＝×1×1 m＝0.5 m，C项错误；0～2 s内的位移和0～4 s内的位移相同，但由于时间不同，因此平均速度不同，D项错误。
2．物体以初速度v0＝10 m/s做匀加速直线运动，物体运动的加速度a＝1 m/s2，则求物体运动8 s内的位移和第2个8 s内的位移。
解析：据题意可知，v0＝10 m/s，a＝1 m/s2，
据x＝v0t＋at2解得物体在8 s内的位移为
x1＝v0t1＋at12＝112 m。
物体在16 s内的位移为
x2＝v0t2＋at22＝288 m。
则物体在第2个8 s内位移为
x′＝x2－x1＝288 m－112 m＝176 m。
答案：112 m 176 m
对x t图像的理解
由x t图像可获取的信息
位移 大小 初、末位置的纵坐标差的绝对值
方向 末位置与初位置的纵坐标差的正负，表示方向，正值表示位移沿正方向，负值表示位移沿负方向
速度 大小 斜率的绝对值
方向 斜率为正值时，速度方向沿正方向，斜率为负值时，速度方向沿负方向
运动开始位置 图线起点纵坐标
运动开始时刻 图线起点横坐标
两图线交点的含义 表示两物体在同一位置(相遇)
[典例] 如图1 6 4甲所示是一个物体沿直线运动的x t图像。求：
图1 6 4
(1)第5秒末的速度大小；
(2)0～60秒内的总路程；
(3)在v t坐标中作出0～60 s内物体的速度—时间图像。
[审题指导] 通过题图可以获得以下信息：
(1)0～10 s内物体向正方向做匀速直线运动。
(2)10～40 s内物体静止。
(3)40～60 s内物体向负方向做匀速直线运动。
[解析] (1)0～10 s内匀速运动的速度v1＝＝＝2 m/s，即第5秒末的速度大小为2 m/s。
(2)0～10 s内的路程d1＝20 m
10～40 s内的路程d2＝0
40～60 s内的路程d3＝20 m
所以0～60 s内的路程d＝d1＋d2＋d3＝40 m。
(3)0～10 s内速度v1＝2 m/s
10～40 s内速度为0
40～60 s内速度v2＝＝＝1 m/s，方向与原速度方向相反，
速度—时间图像如图所示。
[答案] 见解析
(1)分析图像问题时首先注意坐标轴所对应的物理量，确定是x t图像还是v t图像。
(2)不同图像对应斜率的含义不同，x t图像的斜率表示物体速度的大小和方向，而v t图像的斜率表示物体加速度的大小和方向。
1．下列图像均能正确反映物体在直线上的运动，在t＝2 s内物体位移最大的是( )
解析：选B 选项A、C、D中2 s内位移均为0，选项B一直向正方向运动，B正确。
2．一质点的x t图像如图1 6 5所示，那么此质点的v t图像可能是选项中的( )
图1 6 5
解析：选A x t图像的切线斜率表示速度，由图像可知：0～时间内图像的斜率为正且越来越小，在时刻图像斜率为0，即物体正向速度越来越小，时刻减为零；从～t1时间内，斜率为负值，数值越来越大，即速度反向增大，故选项A正确。
3. (多选)如图1 6 6所示为在同一直线上运动的A、B两质点的x t图像，由图可知( )
图1 6 6
A．t＝0时，A在B的前面
B．B在t2时刻追上A，并在此后运动到A的前面
C．B开始运动的速度比A的小，t2时刻后才大于A的速度
D．A运动的速度始终比B的大
解析：选AB t＝0时，A在原点正方向x1位置处，B在原点处，A在B的前面，A对。t2时刻两图线相交，表示该时刻B追上A，并在此后运动到A的前面，B对。B开始运动的速度比A的小，t1时刻后A静止，B仍然运动，C、D错。
＝v＝及Δx＝aT2的应用
[典例] 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度大小和末速度大小及加速度大小。
[思路点拨]
(1)“连续相等的两个时间间隔内”→时间T相同且T＝4 s
[解析] 方法一：
基本公式法
x1＝vAT＋aT2
x2＝vA·2T＋a(2T)2－(vAT＋aT2)
vC＝vA＋a·2T
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上三式，解得
a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
方法二：平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为：
1＝＝ m/s＝6 m/s，
2＝＝ m/s＝16 m/s。
且1＝，2＝，
由于B是A、C的中间时刻，则
vB＝＝＝ m/s＝11 m/s。
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
其加速度为：a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。
方法三：逐差法
由Δx＝aT2可得
a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2①
又x1＝vAT＋aT2②
vC＝vA＋a·2T③
由①②③式解得：vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
[答案] 1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2
(1)＝适用于任何形式的运动。
(2)＝只适用于匀变速直线运动。
(3)用平均速度求位移，因为不涉及加速度，比较简单方便。x＝t＝t也是矢量式。
(4)Δx＝aT2只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用推论式来处理问题。
1．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动。开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m，则刹车后6 s内的位移是( )
A．20 m B．24 m
C．25 m D．75 m
解析：选C 设汽车的初速度为v0，加速度为a。根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2得：x2－x1＝aT2
得a＝＝＝－2 m/s2。
根据第1 s内的位移：x1＝v0t＋at2，代入数据得，
9＝v0×1＋×(－2)×12，解得v0＝10 m/s。
汽车刹车到停止所需的时间t0＝＝ s＝5 s。
则汽车刹车后6 s内的位移等于5 s内的位移，为x＝t0＝×5 m＝25 m。故C正确，A、B、D错误。
2．一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求：
(1)质点4 s末的速度；
(2)质点2 s末的速度。
解析：解法一：利用平均速度公式
4 s内的平均速度＝＝，
代入数据解得，4 s末的速度v4＝8 m/s
2 s末的速度v2＝＝ m/s＝5 m/s。
解法二：利用两个基本公式
由x＝v0t＋at2得
a＝1.5 m/s2
再由v＝v0＋at得
质点4 s末的速度v4＝(2＋1.5×4)m/s＝8 m/s
2 s末的速度v2＝(2＋1.5×2)m/s＝5 m/s。
答案：(1)8 m/s (2)5 m/s
1．根据匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2，关于做匀加速直线运动的物体在t秒内的位移，下列说法正确的是( )
A．加速度大的物体位移大
B．初速度大的物体位移大
C．末速度大的物体位移大
D．以上说法都不对
解析：选D 由x＝v0t＋at2知，x的大小与初速度、加速度、时间都有关，t一定时，x与两个量有关，不能简单地说初速度大或加速度大，位移一定大，A、B、C均错，D对。
2．汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s内与开始刹车后6 s内汽车通过的位移之比为( )
A．1∶1 B．1∶3
C．3∶4 D．4∶3
解析：选C 汽车从刹车到静止用时：t刹＝＝ s＝4 s，
故刹车后2 s为：x1＝v0t－at2＝20×2 m－×5×22 m＝30 m
刹车后6 s内汽车的位移：x2＝v0t刹－at刹2＝20×4 m－×5×42 m＝40 m，故：x1∶x2＝3∶4，故A、B、D错误，C正确。
3．下列位移—时间图像中，均表示物体做直线运动，其中表示物体做匀速直线运动的速度为2 m/s的图像是( )
解析：选B 由于x t图像的斜率等于速度，则由图像可得出vA＝ m/s＝ m/s，vB＝ m/s＝2 m/s，vC＝－ m/s＝－2 m/s，D物体做变速运动，由此可得出，B正确，A、C、D均错误。
4．物体从斜面顶端由静止开始滑下，经t s到达中点，则物体从斜面顶端到底端共用时间为( )
A.t s B. s
C．2t s D.t s
解析：选A 设斜面的总长度为x，有＝at2，x＝at′2，综合两式得，t′＝t。故A正确，B、C、D错误。故选A。
5．一辆汽车做匀加速直线运动，经过路旁两棵相距50 m的树共用时间5 s，它经过第二棵树时的速度是15 m/s，则它经过第一棵树时的速度是( )
A．2 m/s B．10 m/s
C．5 m/s D．2.5 m/s
解析：选C 汽车的平均速度为：＝＝ m/s＝10 m/s，因为＝，则汽车经过第一棵树时的速度为：v1＝2－v2＝2×10 m/s－15 m/s＝5 m/s。故C正确，A、B、D错误。
6．(多选)某质点的位移随时间变化的关系是x＝4t＋4t2，x与t的单位分别为m和s，设质点的初速度为v0，加速度为a，下列说法正确的是( )
A．v0＝4 m/s，a＝4 m/s2
B．v0＝4 m/s，a＝8 m/s2
C．前2 s内的位移为24 m
D．2 s末的速度为24 m/s
解析：选BC 将位移随时间变化的关系与位移公式x＝v0t＋at2相对照即可判定v0＝4 m/s，a＝8 m/s2，A错误，B正确。把t＝2 s代入公式可得x＝24 m，C正确。由于v＝v0＋at，即v＝4＋8t，把t＝2 s代入可得v＝20 m/s，D错误。
7. (多选)如图1所示为甲、乙两物体运动的x t图像，则下列说法正确的是( )
图1
A．甲做变速直线运动，乙做匀速直线运动
B．两物体的初速度都为零
C．在t1时间内两物体平均速度大小相等
D．相遇时，甲的速度大于乙的速度
解析：选ACD 由x t图像形状可知，甲做变速直线运动，乙做匀速直线运动，两物体的初速度大小不能确定，故A对，B错。0～t1时间内，甲、乙的位移相同，平均速度相同，C对。t1时刻甲、乙相遇，根据x t图像斜率等于速度大小的特点知，v甲＞v乙，D对。
8．(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法正确的是( )
A．第2 s内的位移是2.5 m
B．第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s
C．前3 s的平均速度是 m/s
D．质点的加速度是0.5 m/s2
解析：选BD 由Δx＝aT2，得a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，x3－x2＝x4－x3，所以第2 s内的位移x2＝1.5 m，同理第1 s内的位移x1＝1 m，前3 s的平均速度＝＝＝1.5 m/s，A、C错误，D正确；第3 s末的速度等于第2～4 s内的平均速度，所以v3＝＝2.25 m/s，B正确。
9.一质点做直线运动的v t图像如图2所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s内平均速度的大小和方向分别为( )
图2
A．0.25 m/s 向右
B．0.25 m/s 向左
C．1 m/s 向右
D．1 m/s 向左
解析：选B 根据速度图像与坐标轴所围的“面积”大小等于位移，则得前3 s内质点的位移为x1＝ m＝3 m；后5 s内质点沿负方向运动，位移为负值，则位移为x2＝－ m＝－5 m
故前8 s内的位移为x＝x1＋x2＝－2 m，前8 s内平均速度为＝＝ m/s＝－0.25 m/s，即平均速度大小为0.25 m/s，方向向左，B正确。
10．一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移Δx所用的时间为t2。则物体运动的加速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 灵活选用推论解题，可使解题过程简单。两连续相等位移的中间时刻的瞬时速度分别为v1、v2，它们与这两连续位移的平均速度相等，则v1＝，v2＝。由加速度定义式得a＝＝＝，即选项A正确。
11．一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动。设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离。
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离。
解析：汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2；汽车运动的总时间t＝＝＝4 s。
(1)因为t1＝2 s＜t，所以汽车2 s末没有停止运动
故x1＝v0t1＋at12＝m＝30 m。
(2)因为t2＝5 s＞t，所以汽车5 s时早已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝m＝40 m。
答案：(1)30 m (2)40 m
12．矿井里的升降机，由静止开始匀加速上升，经过5 s速度达到4 m/s后，又以这个速度匀速上升20 s，然后匀减速上升，经过4 s停在井口，则矿井的深度为多少？
解析：因为升降机从井底到井口的运动分为三个阶段：匀加速、匀速、匀减速
解法一：(1)匀加速上升阶段
a1＝＝0.8 m/s2
h1＝a1t12＝×0.8×52 m＝10 m。
(2)匀速上升阶段h2＝vt2＝4×20 m＝80 m。
(3)匀减速上升阶段a3＝＝ m/s＝1 m/s2
h3＝a3t32＝×1×42 m＝8 m
所以矿井深度h＝h1＋h2＋h3＝(10＋80＋8)m＝98 m。
解法二：本题如用平均速度来解就不用求a1、a3，而只要根据＝，x＝t就可求解。
(1)匀加速上升阶段h1＝1t1＝t1＝×5 m＝10 m。
(2)匀速上升阶段h2＝vt2＝4×20 m＝80 m。
(3)匀减速上升阶段h3＝3t3＝t3＝×4 m＝8 m。
所以矿井深度h＝h1＋h2＋h3＝10 m＋80 m＋8 m＝98 m。
答案：98 m第7节 对自由落体运动的研究
1．自由落体运动是只在重力作用下由静止开始下
落的匀变速直线运动。
2．重力加速度g的方向竖直向下，一般情况下g
取9.8 m/s2，估算时g可取10 m/s2。
3．不同地点的重力加速度g的大小有差异，纬度
越大，重力加速度越大；同一地点，高度越大，
重力加速度越小。
4．自由落体运动的规律：速度vt＝gt，位移h＝gt2。
一、自由落体运动
1．对下落物体的认识
(1)古希腊哲学家亚里士多德提出了物体越重下落越快的观点。
(2)通过实验说明造成“重快轻慢”的真正原因是：空气对物体的阻碍作用。
2．自由落体运动
(1)定义：只在重力的作用下，物体由静止开始下落的运动。
(2)特点
①初速度为零：v0＝0。
②只受重力作用。
二、伽利略对落体运动规律的探究
1．发现问题
伽利略根据亚里士多德的观点得出了相互矛盾的结论，说明亚里士多德的观点是错误的。
2．提出假说
物体下落的过程是一个速度逐渐增大的过程，其速度与时间成正比，即v∝t；物体下落的距离与时间的平方成正比，即h∝t2。
3．间接验证
让小球从阻力很小的斜面上滚下，由静止开始到每个相等的时间间隔末物体运动的距离之比为1∶4∶9∶16…，证明了h∝t2，也证明了v∝t。
4．合理外推
伽利略设想将斜面倾角外推到90°时，小球的运动就成为自由下落，伽利略认为小球仍会做匀变速直线运动。
三、自由落体加速度
1．概念
自由落体运动的加速度a＝＝＝g，称为自由落体加速度或重力加速度。
2．大小
重力加速度的大小在地球的不同地方略有不同。计算中通常取g＝9.8 m/s2，在粗略计算中还可以取g＝10 m/s2。
3．方向
重力加速度的方向竖直向下。
四、自由落体运动规律
1．性质
自由落体运动是初速度为0，加速度为g的匀变速直线运动。
2．基本公式
速度公式：vt＝gt。
位移公式：h＝gt2。
1．自主思考——判一判
(1)初速度为零的下落运动就是自由落体运动。(×)
(2)只在重力作用下的下落运动就是自由落体运动。(×)
(3)物体越重，重力加速度越大，下落的越快。(×)
(4)理想斜面实验是通过“合理外推”得出自由落体运动的规律的，并没有直接验证自由落体运动的规律。(√)
(5)重力加速度的方向总是垂直向下。(×)
(6)物体在月球上做自由落体运动的重力加速度也是9.8 m/s2。(×)
2．合作探究——议一议
(1)在空气中同一高度处由静止同时释放两个大小相同的金属球和棉花球，两小球的落地时间相同吗？为什么？
[提示] 不同，同体积金属球质量比棉花球大的多，受空气阻力影响较小，而棉花球受空气阻力影响大，故金属球先落地，它们的运动时间不同。
(2)伽利略是怎样运用逻辑推理证明亚里士多德的观点是错误的？
[提示] 伽利略提出：把轻重不同的两个物体连在一起让它们下落，由于两个物体原来各自的下落速度不同而相互牵制，它们只能以某个中间大小的速度下落；但两个物体要比原来较重的物体更重一些，下落的速度就应当比较重的物体更大。两个结论相互矛盾。
(3)匀变速直线运动的推论对于自由落体运动是否适用？
[提示] 自由落体运动就是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动，是匀变速直线运动的实例，所以匀变速直线运动的所有推论公式都适用于自由落体运动。
对自由落体运动及自由落体加速度的理解
1．自由落体运动是一种理想化模型
这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力。实际中，物体下落时由于受空气阻力的作用，并不做自由落体运动，只有当空气阻力远小于重力时，物体由静止开始的下落才可看做自由落体运动，如在空气中自由下落的石块可看做自由落体运动，空气中羽毛的下落不能看做自由落体运动。
2．对重力加速度的理解
(1)产生原因：由于地球上的物体受到地球的吸引力而产生的。
(2)大小：与地球上的位置及距地面的高度有关，在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大，在赤道处重力加速度最小，在两极处重力加速度最大，但差别很小。在地面上的同一地点，随高度的增加，重力加速度减小，在一般的高度内，可认为重力加速度的大小不变。
(3)方向：竖直向下。由于地球是一个球体，所以各处的重力加速度的方向是不同的。
1．小丽同学在探究自由落体运动规律时，从生活情景中选出处于不同状态的四种物体进行探究，你认为哪一个选项中的物体所做运动是自由落体运动( )
A．枫叶的自由下落的运动
B．从桌边由静止开始滑落的钢笔的运动
C．被运动员推出去的铅球的运动
D．从水面自由落到水底的石子的运动
解析：选B 枫叶在自由下落时，所受到的空气阻力并不远小于其重力，阻力不能忽略不计，枫叶的下落不是自由落体运动，选项A错误；钢笔从桌边由静止开始滑落后，钢笔的运动是自由落体运动，因为其初速度为零且下落过程中的阻力远小于钢笔的重力，可忽略不计，选项B正确；被运动员推出去的铅球初速度不为零，不是自由落体运动，选项C错误；从水面自由落到水底的石子，除了自身重力外，还受水的阻力作用，不是自由落体运动，选项D错误。
2．关于重力加速度的说法中不正确的是( )
A．重力加速度g是标量，只有大小没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2
B．在地面上不同的地方，g的大小不同，但它们相差不是很大
C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中落至同一高度时的加速度都相同
D．在地球上同一地点，离地面高度越大，重力加速度g越小
解析：选A 重力加速度是矢量，方向竖直向下，在地球的表面，不同的地方重力加速度g的大小略有不同，但都在9.8 m/s2左右。在地球表面同一地点，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐减小。
3. “自由落体”演示实验装置如图1 7 1所示，当牛顿管被抽成真空后，将其迅速倒置，管内轻重不同的物体从顶部下落到底端的过程中，下列说法正确的是( )
图1 7 1
A．时间相同，加速度相同
B．时间相同，加速度不同
C．时间不同，加速度相同
D．时间不同，加速度不同
解析：选A 轻重不同的物体在真空管中，不受阻力，做自由落体运动，所以加速度相同，都为g，高度相同，根据h＝gt2知运动时间相同。故A正确，B、C、D错误。
自由落体运动规律的应用
匀变速直线运动 自由落体运动
速度公式 vt＝v0＋at vt＝gt
平均速度公式 ＝＝v ＝＝v
位移公式 x＝v0t＋at2 h＝gt2
位移差公式 Δx＝aT2 Δh＝gT2
[典例] 一个小球自屋檐自由下落，在Δt＝0.25 s内通过了高度Δh＝2 m的窗口，求窗口的顶端距屋檐多高？(g取10 m/s2)
[思路点拨] 根据自由落体运动的位移公式或匀变速直线运动的相关推论即可进行求解。
[解析] 方法一：设窗口顶端与屋檐的距离为h，小球下落至窗口顶端经历的时间为t，则
h＝gt2
h＋Δh＝g(t＋Δt)2
联立两式得gt2＋Δh＝g(t＋Δt)2
解得t＝0.675 s，h≈2.28 m。
方法二：小球经过窗口的过程的中间时刻的瞬时速度v1＝＝ m/s＝8 m/s
设小球从屋檐落至速度为v1的位置经历的时间为t1，则
v1＝gt1，即t1＝＝ s＝0.8 s
设小球从屋檐落至窗口顶端经历的时间为t，则
t＝t1－＝s＝0.675 s
所以屋檐到窗口顶端的距离
h＝gt2＝×10×0.6752 m≈2.28 m。
[答案] 2.28 m
分析自由落体运动问题有多种方法，可以利用自由落体运动的规律，也可以利用匀变速直线运动的相关推论，如某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度。灵活选用相关推论来解题，往往能起到事半功倍的效果。
1．物体从某一高度自由下落，第1 s内就通过了全程的一半，物体还要下落多少时间才会落地( )
A．1 s B．1.5 s
C. s D．(－1)s
解析：选D 利用自由落体运动的位移时间关系式h＝gt2知，物体通过全程所需时间为t1＝，自开始至通过全程的一半所需时间为t2＝＝1 s，物体还要下落的时间Δt＝t1－t2＝(－1)＝(－1)s，故D正确。
2．从离地面500 m的空中自由落下一个小球，取g＝10 m/s2，求小球：
(1)落到地面所用的时间；
(2)自开始下落计时，在第1 s内的位移、最后1 s内的位移。
解析：由h＝500 m和自由落体加速度，根据位移公式可直接算出落地所用时间，根据运动时间，可算出第1 s内的位移。最后1 s内的位移是下落总位移和前(n－1)s下落位移之差。
(1)由h＝gt2，得落地所用时间：
t＝ ＝ s＝10 s。
(2)第1 s内的位移：
h1＝gt12＝×10×12 m＝5 m
因为从开始运动起前9 s内的位移为
h9＝gt92＝×10×92 m＝405 m
所以最后1 s内的位移为Δh＝h－h9＝500 m－405 m＝95 m。
答案：(1)10 s (2)5 m 95 m
自由落体加速度的测量
测量重力加速度的三种方法
(1)打点计时器法
①利用如图1 7 2所示装置，让物体自由下落打出点迹清晰的纸带。
图1 7 2
②对纸带上计数点间的距离x进行测量，利用g＝，求出重力加速度。
(2)频闪照相法：频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置，根据Δx是否为恒量，可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动。并且可以根据匀变速运动的推论Δx＝gT2求出重力加速度g＝。也可以根据v＝ ＝，求出物体在某一时刻的速度，则由v＝v0＋gt，也可求出重力加速度g。
(3)滴水法
如图1 7 3所示，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节到使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头口开始下落，并且能依次持续下去。用刻度尺测出水龙头口距盘面的高度h，再测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启秒表开始计时，之后每落下一滴水依次数1、2、3…，当数到n时按下秒表停止计时，读出秒表时间t，则每一滴水滴下落的时间为T＝，由h＝gT2得g＝＝。
图1 7 3
由于h＝gt2，则h∝t2，因此先画出h t2图像，利用图线的斜率来求重力加速度更准确。
[典例] 用滴水法可以测定重力加速度，方法是：在自来水龙头下面固定一块挡板A，使水一滴一滴断续地滴到挡板上，如图1 7 4所示仔细调节水龙头，使得耳朵刚好听到前一个水滴滴在挡板上的声音的同时，下一个水滴刚好开始下落。首先测量出水龙头口离挡板的高度h，再用秒表计时，计时方法是：当听到某一水滴滴在挡板上的声音的同时，开启秒表开始计时，并数1，以后每听到一声水滴声，依次数2,3…一直数到n时，按下秒表按钮停止计时，读出秒表的示数为t。
图1 7 4
(1)写出用上述测量方法计算重力加速度g的表达式：
g＝________；
(2)为了减小误差，改变h的数值，测出多组数据，记录在表格中(表中T是水滴从水龙头口到A板所用的时间，即水滴在空中运动的时间)，请在图1 7 5中所示的坐标纸上作出适当的图像，并利用图像求出重力加速度g的值：
g＝________(要求保留两位有效数字)。
图1 7 5
次数 高度h/cm 空中运动时间T/s
1 20.10 0.20
2 25.20 0.23
3 32.43 0.26
4 38.45 0.28
5 44.00 0.30
6 50.12 0.32
[思路点拨]
(1)→→
(2)→→→
[解析] (1)滴水的周期就是水滴自由下落的时间，则
T＝，
由h＝gT2
可得g＝。
(2)根据测量值，h T2图像如图所示。
其斜率为k＝＝g，求得g≈9.8 m/s2。
[答案] (1) (2)见解析图 9.8 m/s2
由于水滴下落的时间较短，实验时要测多滴水下落的时间，若用图像法测量，则g值更准确。
1.如图1 7 6所示，为小球自由下落过程中，用频闪照相的方法获得的轨迹的一部分，用刻度尺量出计数点1、2之间的距离为7.65 cm,2、3之间的距离为8.73 cm，已知每次闪光的时间间隔为 s，则小球运动到计数点2时的瞬时速度为________，小球下落的重力加速度为________。
图1 7 6
解析：已知小球做自由落体运动，故其运动遵循匀变速直线运动的规律，所以小球运动到计数点2时的瞬时速度v2＝＝＝＝×10－2 m/s≈2.46 m/s。由Δx＝aT2得a＝，故小球下落的重力加速度g＝＝×10－2 m/s2＝9.72 m/s2。
答案：2.46 m/s 9.72 m/s2
2．某同学用如图1 7 7甲所示的装置测定重力加速度时，所打的纸带如图乙所示。
甲
乙
图1 7 7
(1)实验时纸带的________端应和重物相连接(选填“A”或“B”)。
(2)纸带上1至9各点为计时点，由纸带所示数据可算出当地的重力加速度为________ m/s2。
(3)当地的重力加速度为9.8 m/s2，请列出测量值与当地重力加速度值有差异的一个原因________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
解析：(1)由自由落体运动规律知，在连续相等时间内物体的位移越来越大，故B端应和重物相连接。
(2)Δx＝ngT2，又Δx＝3.92 cm－2.04 cm＝1.88×10－2 m，n＝5，T＝0.02 s，故g＝9.4 m/s2。
答案：(1)B (2)9.4
(3)纸带与墨粉纸盘及其他接触物间存在摩擦
1．在物理学的发展历程中，下面的哪位科学家首先建立了用来描述物体运动的概念，并首先采用了实验检验猜想和假设的科学方法，把实验和逻辑推理和谐地结合起来，从而有力地推进了人类科学的发展( )
A．亚里士多德 B．伽利略
C．牛顿 D．爱因斯坦
解析：选B 在物理学发展史上，是伽利略建立了物理学的正确的研究方法，推进了人类科学的发展。
2．如图所示，能描述物体做自由落体运动的图像是( )
解析：选C A图表示匀速运动，B图表示静止，C图表示匀加速直线运动，D图表示匀速直线运动，而自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，故C正确。
3．甲物体的重力是乙物体重力的3倍，它们在同一高度处同时自由下落，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先着地 B．甲比乙的加速度大
C．甲、乙同时着地 D．无法确定谁先着地
解析：选C 自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动，产生自由落体的条件是：初速度为零，只受重力作用。其运动性质与物体的质量无关，只要从同一高度同时开始运动，它们就一定同时落地。所以，本题的正确选项为C。
4．(多选)关于自由落体运动，下列说法正确的是( )
A．物体从静止开始下落的运动就是自由落体运动
B．如果空气阻力比重力小得多，空气阻力可以忽略不计，这时由静止开始下落的运动是自由落体运动
C．跳伞运动员从飞机上由静止开始下落，打开降落伞以前的运动是自由落体运动，打开降落伞以后的运动不是自由落体运动
D．雨滴经过窗子的这段运动可以看做是自由落体运动
解析：选BC 自由落体运动是从静止开始、只在重力作用下的运动，A选项中没有明确物体只受重力作用，故错误；D选项中雨滴经过窗子的这段运动的初速度不为零，因而不是自由落体运动，D错；如果空气阻力可以忽略不计，从静止下落的物体的运动可以看做自由落体运动，B、C正确。
5. (多选)如图1是测量人的反应时间的小实验，乙同学在甲同学的大拇指与食指之间的正上方捏住一把直尺，甲同学的大拇指与食指之间距离较小(约3 cm)，乙同学突然放开尺子，甲同学尽快用手指去夹住。下列表述正确的有( )
图1
A．测的是甲同学的反应时间
B．测的是乙同学的反应时间
C．实验原理是h＝gt2
D．实验原理是vt＝gt
解析：选AC 图中上方的手是释放直尺者的，下方的手是受测者的，所以测的是甲同学的反应时间，故A正确，B错误；由h＝gt2知，受测者的反应时间只与下落的高度有关，故C正确，D错误。
6．钢球A自塔顶自由落下2米时，钢球B自离塔顶6米距离处自由落下，两钢球同时到达地面，不计空气阻力，g取10 m/s2，则塔高为( )
A．24 m B．15 m
C．12 m D．8 m
解析：选D 设钢球A下落h1＝2 m时达到的速度为v1，则有v1＝gt1，h1＝gt12，解得v1＝2 m/s。
设A、B同时下落的时间为t，
则有h1＋(v1t＋gt2)＝h2＋gt2，
将h2＝6 m代入解得t＝ s，
所以塔高H＝h2＋gt2＝8 m，选项D正确。
7．(多选)甲、乙两球从同一高度相隔1 s先后自由下落，在下落过程中( )
A．两球的距离始终不变
B．两球的距离越来越大
C．两球的速度差始终不变
D．两球的速度差越来越大
解析：选BC 甲、乙两球间的距离Δh＝g(t＋1)2－gt2＝gt＋g。由此可以看出Δh随t的增大而增大，A错，B对。两球的速度差Δv＝g(t＋1)－gt＝g，由此可以看出Δv不随t而变化，C对，D错。
8.科技馆中有一个展品，如图2所示。在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头。在一种特殊的灯光照射下，可观察到一个个下落的水滴。缓慢调节水滴下落的时间间隔到适当情况，可看到一种奇特的现象，水滴似乎不再往下落，而是固定在图中A、B、C、D四个位置不动。一般要出现这种现象，照明光源应该满足(g取10 m/s2)( )
图2
A．普通光源即可
B．间歇发光，间歇时间为1.8 s
C．间歇发光，间歇时间为0.14 s
D．间歇发光，间歇时间为0.2 s
解析：选C 只有用间歇光源才能看到这种现象。由于各位置间的时间间隔Δt相同，由Δx＝gΔt2得Δt＝ ＝ s≈0.14 s，当t＝kΔt(k＝1,2,3…n)时，也会看到同样现象，所以C正确。
9.小球从空中某处从静止开始自由下落，与水平地面碰撞后上升到空中某一高度处，此过程中小球速度随时间变化的关系如图3所示，则( )
图3
A．在下落和上升两个过程中，小球的加速度不同
B．小球开始下落处离地面的高度为0.8 m
C．整个过程中小球的位移为1.0 m
D．整个过程中小球的平均速度大小为2 m/s
解析：选B v t图像斜率相同，即加速度相同，所以选项A错误；0～0.4 s内为自由落体过程，通过的位移即为高度0.8 m，选项B正确；前0.4 s自由下落0.8 m，后0.2 s反弹向上运动0.2 m，所以整个过程小球位移为0.6 m，选项C错误；整个过程小球的平均速度大小为1 m/s，选项D错误。
10.小球从靠近竖直砖墙的某位置由静止释放，用频闪方法拍摄的小球位置如图4中1、2、3和4所示。已知连续两次闪光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d。由此可知小球( )
图4
A．下落过程中的加速度大小约为
B．经过位置3时的瞬时速度大小约为2gT
C．经过位置4时的瞬时速度大小约为
D．从位置1到4过程中的平均速度大小约为
解析：选C 根据Δx＝d＝aT2得，下落过程中的加速度a＝，故A错误。经过位置3的瞬时速度等于2、4段的平均速度，则v3＝，故B错误。根据速度时间公式得，通过位置4的瞬时速度v4＝v3＋aT＝，故C正确。从位置1到4过程中的平均速度大小＝＝，故D错误。
11.在离地面7.2 m处，手提2.2 m长的绳子的上端如图5所示，在绳子的上下两端各拴一小球，放手后小球自由下落(绳子的质量不计，球的大小可忽略，g＝10 m/s2)求：
图5
(1)两小球落地时间相差多少？
(2)B球落地时A球的速度多大？
解析：(1)设B球落地所需时间为t1，
因为h1＝gt12，
所以t1＝ ＝ s＝1 s，
设A球落地时间为t2
依h2＝gt22得t2＝ ＝ s＝1.2 s
所以两小球落地的时间差为Δt＝t2－t1＝0.2 s。
(2)当B球落地时，A球的速度与B球的速度相等。
即vA＝vB＝gt1＝10×1 m/s＝10 m/s。
答案：(1)0.2 s (2)10 m/s
12．一矿井深为125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球。当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底，则相邻小球开始下落的时间间隔为多少？这时第3个小球和第5个小球相距多远？(g取10 m/s2)
解析：设相邻小球开始下落的时间间隔为T，
则第1个小球从井口落至井底的时间t＝10T，
由题意可知h＝gt2＝g(10T)2，
得T＝ ＝ s＝0.5 s。
由第3个小球下落的时间t3＝8T，
第5个小球下落的时间t5＝6T，
由h＝gt2，得h3＝gt32，h5＝gt52，
则Δh＝h3－h5＝gt32－gt52
＝g(t32－t52)＝×10×28×0.52 m
＝35 m。
答案：0.5 s 35 m第8节 匀变速直线运动规律的应用
1．匀变速直线运动的两个基本公式：
vt＝v0＋at，x＝v0t＋at2。
2．匀变速直线运动的速度—位移关系式：
vt2－v02＝2ax。
3．匀变速直线运动位移中点的速度公式：
v＝ 。
一、速度—位移关系式
1．vt2－v02＝2ax的推导过程
2．如果所求匀变速直线运动的问题中，已知量和未知量都不涉及时间，利用位移和速度的关系式来求解，往往会使问题的求解变得简单、方便。
二、匀变速直线运动的几个推论
1．中间位置的瞬时速度
(1)公式：v＝ 。
(2)推导：在匀变速直线运动中，某段位移x的初、末速度分别是v0和vt，加速度为a，中间位置的速度为v，则据速度与位移关系式，对前一半位移：v2－v02＝2a，对后一半位移vt2－v2＝2a，即v2－v02＝vt2－v2，所以v＝ 。
(3)与中间时刻瞬时速度的关系
v＞v (不论是匀加速还是匀减速直线运动)
证明：v2－v2＝－
＝＝＞0
所以v＞v。
2．由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例关系
(1)T末，2T末，3T末，…，nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
(2)T内，2T内，3T内，…，nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶33∶…∶n2
(3)第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内位移之比
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
(4)通过前x，前2x，前3x，…，前nx位移时的速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶
(5)通过前x，前2x，前3x，…，前nx位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶
(6)通过连续相等的位移所用时间之比
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
1．自主思考——判一判
(1)公式vt2－v02＝2ax是矢量式，解题时应先规定正方向。(√)
(2)公式vt2－v02＝2ax中的四个物理量都是矢量，各量的正、负表示与规定的正方向相同还是相反。(√)
(3)应用公式vt2－v02＝2ax进行计算时，只能规定初速度方向为正。(×)
(4)当规定初速度方向为正方向时，匀加速时a取正值，匀减速时a取负值。(√)
(5)只有初速度为零的匀加速直线运动，v＞v的关系才是成立的。(×)
(6)对于末速度为零的匀减速直线运动，可以把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系进行求解。(√)
2．合作探究——议一议
(1)建造滑梯时，若已知小孩在滑梯上下滑的加速度和在滑梯底端的安全速度，如何设计出滑梯的长度？
[提示] 因为vt和a已知且小孩初速度为零，根据vt2－v02＝2ax可知x＝，要想保证小孩安全，则滑梯长度x满足x≤。
(2)某城市的交通部门规定，交通繁忙路段机动车辆的速度限制在25 km/h以内，并要求驾驶员必须保持至少5 m的车距。一旦发生交通事故，我们会看到交警测量有关距离，其中非常重要的是刹车距离。你知道测量刹车距离的目的吗？这样做的物理原理是什么？
[提示] 测量刹车距离，因末速度为0，由公式0－v02＝2ax即可算出汽车刹车前的速度，从而判断汽车是否超速。
公式vt2－v02＝2ax的应用
1．公式的矢量性
一般先规定初速度v0的方向为正方向：
(1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值。
(2)位移x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明位移的方向与初速度的方向相反。
2．适用范围
匀变速直线运动。
3．特例
(1)当v0＝0时，vt2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)
(2)当vt＝0时，－v02＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动，如刹车问题)
[典例] 我国多地出现了雾霾天气，给交通安全带来了很大的危害，某地雾霾天气中高速公路上的能见度只有72 m，要保证行驶前方突发紧急情况下汽车的安全，汽车行驶的速度不能太大。已知汽车刹车时的加速度大小为5 m/s2。
(1)若前方紧急情况出现的同时汽车开始制动，汽车行驶的速度不能超过多大？(结果可以带根号)
(2)若驾驶员从感知前方紧急情况到汽车开始制动的反应时间为0.6 s，汽车行驶的速度不能超过多大？
[审题指导]
(1)该问题中减速过程中，已知量和未知量都不涉及时间，可用速度和位移的关系式求解。
(2)在驾驶员的反应时间内，汽车做匀速直线运动。
[解析] (1)汽车刹车的加速度a＝－5 m/s2，要在x＝72 m内停下，设行驶的速度不超过v1，
由运动学公式有：0－v12＝2ax
代入题中数据可得：v1＝12 m/s。
(2)设汽车行驶的速度不超过v2，在驾驶员的反应时间t0内汽车做匀速运动的位移为x1，则
x1＝v2t0
刹车减速位移x2＝－
x＝x1＋x2
联立各式代入数据可得：v2＝24 m/s。
[答案] (1)12 m/s (2)24 m/s
对于匀变速直线运动速度与位移的关系：v2－v02＝2ax，在运用时要注意v0＝0或v＝0的情况，尤其是在实际问题中，注意到这一点，公式就大大地简化了，问题也就迎刃而解了。
1．A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动，经过B点的速度是v，到C点的速度是3v，则xAB∶xBC等于( )
A．1∶8 B．1∶6
C．1∶5 D．1∶3
解析：选A 由公式vt2－v02＝2ax，得v2＝2axAB，(3v)2＝2a(xAB＋xBC)，两式相比可得xAB∶xBC＝1∶8。
2.某喷气式飞机起飞滑行时，从静止开始做匀加速运动，加速度大小为4.0 m/s2，飞机速度达到80 m/s时离开地面升空。如果在飞机刚达到起飞速度时，突然接到命令停止起飞，飞行员立即使飞机紧急制动，飞机做匀减速运动，加速度的大小为5.0 m/s2。请你为该类型的飞机设计一条跑道，使在这种特殊的情况下飞机停止起飞而不滑出跑道。那么，设计的跑道至少要多长？
图1 8 1
解析：由匀变速直线运动速度—位移关系式，可得飞机匀加速和匀减速阶段的位移分别为
x1＝＝ m＝800 m，x2＝＝ m＝640 m
所以，设计的跑道至少长
x＝x1＋x2＝800 m＋640 m＝1 440 m。
答案：1 440 m
初速度为零的匀变速直线运动的比例式的应用
[典例] (多选)如图1 8 2所示，光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD＝DE，一物体从A点由静止释放，下列结论中正确的是( )
图1 8 2
A．物体到达B、C、D、E点的速度之比为1∶2∶3∶4
B．物体到达各点经历的时间tE＝2tB＝tC＝ tD
C．物体从A运动到E全过程的平均速度等于vB
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
[审题指导]
(1)物体沿光滑斜面做初速度为零的匀加速直线运动。
(2)从四段位移相等入手，利用对应的比例关系判断求解各物理量的关系。
[解析] 初速度为零的匀加速运动的推论：tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2，物体到达各点的速率之比为1∶∶∶2，又因为v＝at，故物体到达各点所经历的时间tE＝2tB＝tC＝ tD，故A错误、B正确。物体从A运动到E的全过程平均速度等于中间时刻的瞬时速度，AB与BE的位移之比为1∶3，可知B点为AE段的中间时刻，则物体从A运动到E全过程的平均速度＝vB，故C正确。物体通过每一部分时，所用时间不同，故其速度增量不同，故D错误。
[答案] BC
比例关系只适用于初速度为零的匀加速直线运动。如果物体的初速度不为零，上述比例关系是不成立的。但末速度为零的匀减速运动可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，所以也可应用上述比例关系求解，以使问题更简化。
1．做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s内的位移是( )
A．3.5 m B．2 m
C．1 m D．0
解析：选B 物体做匀减速直线运动至停止，可以把这个过程看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7，所以由＝得，所求位移x1＝2 m。
2．一个从静止开始作匀加速直线运动的物体，从开始运动起，依次通过三段相邻位移的长度分别是1 m、8 m、27 m，则通过这三段位移的时间之比是( )
A．1∶3∶6 B．1∶2∶3
C．1∶2∶2 D．1∶9∶36
解析：选B 在初速度为零的匀加速直线运动中，经过相邻的相同的时间内通过的位移之比为1∶3∶5∶7…，因此经过1 s、2 s、3 s内通过的位移之比为1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，所以一个从静止开始作匀加速直线运动的物体，从开始运动起，依次通过三段相邻位移的长度分别是1 m、8 m、27 m，则通过这三段位移的时间之比是1∶2∶3。故B正确，A、C、D错误。
3．完全相同的三木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度v水平射入，若子弹在木块中做匀减速直线运动，恰好射穿三块木块，则子弹依次在每块木块中运动的时间之比为( )
图1 8 3
A．3∶2∶1 B.∶∶1
C．1∶∶ D．(－)∶(－1)∶1
解析：选D 由初速度为0的匀加速运动有x＝at2，由此可得当物体从起始位置开始运动至距起始位置x、2x、3x时(设从开始至上述三时刻的时间为t1、t2、t3)存在关系：x＝at12、2x＝at22、3x＝at32，联立以上三式可得t1∶(t2－t1)∶(t3－t2)＝1∶(－1)∶(－)，题中子弹运动的过程可以看做是初速为0的匀加速运动的反向运动过程，由此可知D正确。
追及、相遇问题
1．追及问题
(1)追及的特点：两个物体在同一时刻到达同一位置。
(2)追及问题满足的两个关系
①时间关系：从后面的物体追赶开始，到追上前面的物体时，两物体经历的时间相等。
②位移关系：x2＝x0＋x1，其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面追赶物体的位移。
(3)临界条件：当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞，相距最远、相距最近等情况，即出现上述四种情况的临界条件为v1＝v2。
2．相遇问题
(1)特点：在同一时刻两物体处于同一位置。
(2)条件：同向运动的物体追上即相遇；相向运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇。
(3)临界状态：避免相碰撞的临界状态是两个物体处于相同的位置时，两者的相对速度为零。
[典例] 汽车正以10 m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好没碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远？
[思路点拨] 本题求解可按如下程序进行：
→→→
[解析] 运动草图如下：
解法一：用基本公式法求解。汽车减速到4 m/s时发生的位移和运动的时间分别为
x汽＝＝ m＝7 m
t＝＝ s＝1 s
这段时间内自行车发生的位移
x自＝v自t＝4×1 m＝4 m
汽车关闭油门时离自行车的距离
x＝x汽－x自＝7 m－4 m＝3 m。
解法二：利用v t图像进行求解。如图所示，图线Ⅰ、Ⅱ分别是汽车与自行车的v t图像，其中阴影部分的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多运动的位移，即汽车关闭油门时离自行车的距离x。
图线Ⅰ的斜率大小的绝对值即为汽车减速运动的加速度大小，所以应有
x＝＝×
＝ m＝3 m。
[答案] 3 m
解答追及与相遇问题的常用方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系。
(2)图像法：将两者的速度—时间图像在同一坐标系中画出，然后利用图像求解。
(3)数学极值法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相碰。
(4)相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系，往往可以非常简便快速的解题。
1.甲、乙两物体同时从同一地点沿同一方向做直线运动的速度－时间图像如图1 8 4所示，则下列说法正确的是( )
图1 8 4
A．两物体两次相遇的时刻是2 s和6 s
B．4 s后甲在乙前面
C．两物体相距最远的时刻是1 s末
D．乙物体先向前运动2 s，随后向后运动
解析：选A t＝2 s时乙的位移x＝×2×4 m＝4 m，甲的位移x′＝2×2 m＝4 m，两者位移相同，又是从同一地点出发，故2 s末时二者相遇，同理可判断，6 s末二者也是相遇，A正确。4 s时甲的位移x＝4×2 m＝8 m，乙的位移x′＝m＝10 m，甲的位移小于乙的位移，故甲在乙后面，B错误。1 s末两物体相距的距离等于一个小三角形的面积，而4 s末两物体相距的距离等于2～4 s之间三角形的面积，明显4 s末二者的距离最大，C错误。乙的运动方向始终未发生变化，D错误。
2．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车追上自行车？此时汽车的速度是多少？
解析：(1)解法一：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δx，则有v1＝at1＝v自
所以t1＝＝2 s
Δx＝v自t1－at12＝6 m。
解法二：自行车和汽车的v t图像如图所示。由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有
t1＝＝ s＝2 s，Δx＝＝ m＝6 m。
(2)当两车位移相等时，汽车追上自行车，
设此时经过的时间为t2，则有v自t2＝at22
解得t2＝＝ s＝4 s
此时汽车的速度v2＝at2＝12 m/s。
答案：(1)2 s 6 m (2)4 s 12 m/s
1．关于公式x＝，下列说法正确的是( )
A．此公式只适用于匀加速直线运动
B．此公式适用于匀减速直线运动
C．此公式只适用于位移为正的情况
D．此公式不可能出现a、x同时为负值的情况
解析：选B 公式x＝适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，选项B正确，选项A、C错误。当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a、x就会同时为负值，选项D错误。
2.若有一个小孩从图1所示的滑梯上由静止开始沿直线匀加速下滑。当他下滑的距离为l时，速度为v；那么，当他的速度是时，下滑的距离是( )
图1
A. B.
C. D.
解析：选C 根据v2－v02＝2ax得v2＝2al，所以l＝，又2＝2al1，得l1＝＝，故C正确。
3．做匀加速直线运动的物体，速度从v增加到2v时经过的位移是x，则它的速度从3v增加到4v时所发生的位移是( )
A.x B.x
C.x D.x
解析：选D 若物体的加速度为a，则：(2v)2－v2＝2ax1，(4v)2－(3v)2＝2ax2，故x1∶x2＝3∶7，x2＝x1＝x，D正确。
4．一石块从楼房阳台边缘处向下做自由落体运动到达地面，把它在空中运动的时间分为相等的3段，如果它在第1段时间内的位移是1.2 m，那么它在第3段时间内的位移为( )
A．1.2 m B．3.6 m
C．6.0 m D．10.8 m
解析：选C 利用重要推论x1∶x3＝1∶5，得x3＝5x1＝1.2×5 m＝6.0 m，故C正确。
5．一列火车有n节相同的车厢，一观察者站在第一节车厢的前端，当火车由静止开始做匀加速直线运动时( )
A．每节车厢末端经过观察者时的速度之比是1∶2∶3∶…∶n
B．每节车厢经过观察者所用的时间之比是1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
C．在相等时间里，经过观察者的车厢节数之比是1∶2∶3∶…∶n
D．如果最后一节车厢末端经过观察者时的速度为v，那么在整个列车经过观察者的过程中，平均速度为
解析：选B 根据匀变速直线运动的速度位移公式得，v2＝2ax，知每节车厢末端经过观察者时的速度之比为1∶∶∶…∶，故A错误。每节车厢的长度相同，初速度为零的匀加速直线运动，每节车厢经过观察者所用时间之比为1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)，故B正确。在连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，则通过的车厢节数之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，故C错误。如果最后一节车厢末端经过观察者时的速度为v，那么在整个列车经过观察者的过程中，平均速度为，故D错误。
6．据说，当年牛顿躺在树下被一只从树上掉下的苹果砸中，从而激发灵感发现万有引力定律。假设苹果以大约6 m/s的速度砸中牛顿，那么苹果下落前离地高度约为( )
A．1 m B．1.8 m
C．3.6 m D．6 m
解析：选B 根据v2＝2gh得
h＝＝ m＝1.8 m
因当年牛顿躺在树下，那么苹果下落前离地高度约为1.8 m，故选B。
7．(多选)甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v t图像如图2所示，图中△OPQ和△OQT的面积分别为x1和x2(x2>x1)。初始时，甲车在乙车前方x0处( )
图2
A．若x0＝x1＋x2，两车不会相遇
B．若x0C．若x0＝x1，两车相遇1次
D．若x0＝x2，两车相遇1次
解析：选ABC 若x0＝x1，则甲、乙两车速度相同时，乙车追上甲车，此时t＝T，此后甲车速度大于乙车速度，全程甲、乙仅相遇1次；若x0x1，则甲、乙两车速度相同时，甲车仍在乙车的前面，以后乙车不可能再追上甲车了，全程中甲、乙都不会相遇。综上所述，A、B、C正确，D错误。
8．一观察者发现，每隔一定时间就有一个水滴自8 m高处的屋檐落下，而且当看到第五滴水刚要离开屋檐时，第一滴水正好落到地面，那么这时第二滴水离地面的高度是(g取10 m/s2)( )
A．2 m B．2.5 m
C．2.9 m D．3.5 m
解析：选D 由匀变速直线运动规律的推论知相邻水滴距离之比为1∶3∶5∶7，所以第二滴水到地面(第一滴)的距离应为总高度的＝，所以其离地距离为×8 m＝3.5 m。
9．(多选)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与在第2 s内位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2，以下说法正确的是( )
A．x1∶x2＝1∶3 B．x1∶x2＝1∶4
C．v1∶v2＝1∶2 D．v1∶v2＝1∶
解析：选AD 从静止开始的匀加速直线运动第1 s内、第2 s内、第3 s内位移之比为1∶3∶5。根据v2＝2ax，走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比v1∶v2＝1∶，选项A、D正确。
10．一个质点从静止开始做匀加速直线运动，它在第3 s内与第6 s内通过的位移之比为x1∶x2，通过第3 m与通过第6 m时的平均速度之比为v1∶v2，则( )
A．x1∶x2＝5∶11，v1∶v2＝1∶
B．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
C．x1∶x2＝5∶11，v1∶v2＝(＋)∶(＋)
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝(＋)∶(＋)
解析：选C 质点从静止开始做匀加速直线运动，它在连续相等的时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以x1∶x2＝(2×3－1)∶(2×6－1)＝5∶11，B、D错误；连续相等位移上的时间之比：1∶(－1)∶(－)…∶(－)，所以：t3∶t6＝(－)∶(－)。所以v1∶v2＝∶＝(＋)∶(＋)。故选C。
11．一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，当火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，问：
(1)列车的加速度a是多大？
(2)列车中点经过此路标时的速度v是多大？
(3)整列火车通过此路标所用的时间t是多大？
解析：(1)由匀变速直线运动的规律2ax＝v22－v12得，火车加速度a＝。
(2)对于前一半位移，有v2－v12＝2a×，对于后一半位移，有v22－v2＝2a×，所以有v22－v2＝v2－v12，故v＝ 。
(3)火车的平均速度＝，
故所用时间t＝＝。
答案：(1) (2) (3)
12．甲车以3 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动。乙车落后2 s在同一地点由静止开始，以6 m/s2的加速度做匀加速直线运动。两车的运动方向相同。求：
(1)在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是多少？
(2)乙车出发后经多长时间可追上甲车？此时它们离出发点多远？
解析：(1)两车距离最大时速度相等，设此时乙车已开动的时间为t，则甲、乙两车的速度分别是
v1＝3×(t＋2)＝3t＋6
v2＝6t
由v1＝v2得：t＝2 s
由x＝at2知，两车距离的最大值
Δx＝a甲(t＋2)2－a乙t2
＝×3×42 m－×6×22 m
＝12 m。
(2)设乙车出发后经t′追上甲车，则
x1＝a甲(t′＋2)2
x2＝a乙t′2
x1＝x2，代入数据求得
t′＝(2＋2) s
将所求得的时间代入位移公式可得
x1＝x2≈70 m。
答案：(1)12 m (2)(2＋2)s 70 m第9节 测定匀变速直线运动的加速度
一、实验目的
1．进一步练习使用打点计时器。
2．会利用平均速度求瞬时速度。
3．会用v t图像处理实验数据，并据此判断物体的运动性质。
4．能根据实验数据求加速度。
二、实验原理
利用打点计时器打出的纸带上记录的数据，计算出各时刻的速度，再作出速度—时间的关系图像。
1．某点的瞬时速度等于以它为中间时刻的一小段时间内的平均速度。
2．若v t图像为一倾斜直线，则物体做匀变速直线运动，图线的斜率表示加速度。
三、实验器材
打点计时器、纸带、交流电源、小车、细绳、一端带有滑轮的长木板、刻度尺、钩码、坐标纸、复写纸、导线。
四、有效数字和误差
1．可靠数字：通过直接读数获得的准确数字。
2．存疑数字：通过估读得到的数字。
3．有效数字：把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫做有效数字，有效数字的最后一位是测量者估读出来的。
4．误差：测量值与真实值之间的差异。
5．误差分类
系统误差 偶然误差
定义 由于实验原理不完善，实验方法粗略或仪器本身不精确而引起的误差 由于各种不可预测、不可避免的偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的误差
减小方法 提高实验仪器的测量精度，完善实验原理，改进实验方法 多次测量取平均值
五、实验步骤
1．如图1 9 1所示，把一端装有定滑轮的长木板平放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面，把打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端，连接好电路。
图1 9 1
2．把细绳拴在小车上，并在另一端挂上适当的钩码，使之跨过定滑轮，调整装置，使小车能在长木板上平稳地加速滑行。
3．把纸带穿过打点计时器，并将其一端固定在小车的后面。
4．把小车停在靠近打点计时器处，接通电源，放开小车，让小车拖着纸带运动。于是，打点计时器就在纸带上打下一系列的点。换上新纸带，重复实验三次。
六、数据处理
1．挑选纸带并测量
在三条纸带中选择一条点迹最清晰的。为了便于测量，舍掉开头一些过于密集的点迹，找一个适当的点当作计时起点(0点)，每5个点(相隔0.1 s)取一个计数点进行测量，如图1 9 2所示。(相邻两点间还有4个点未画出)
图1 9 2
2．瞬时速度的计算和记录
(1)根据vn＝，计算某点瞬时速度，其中T＝0.1 s。
(2)设计表格并记录相关数据
位置 0 1 2 3 4 5 6 7
时刻t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
v/(m·s－1)
3．作出小车运动的v t图像
(1)定标度：坐标轴的标度选取要合理，应使图像大致分布在坐标平面中央。
(2)描点：在坐标纸上确定出各个坐标点的位置。
(3)连线：用一条平滑的曲线或直线“拟合”这些点。
4．求出小车的加速度
方法有两种
(1)利用v t图像的斜率：a＝。
(2)利用逐差法：a＝
七、注意事项
1．开始释放小车时，应使小车靠近打点计时器。
2．先接通电源，打点计时器正常工作后，再放开小车，当小车停止运动时要及时断开电源。
3．要防止钩码落地和小车跟滑轮相撞，在小车到达滑轮处之前及时用手按住它。
4．牵引小车的钩码个数要适当，以免加速度过大而使纸带上的点太少，或者加速度太小，而使各段位移无多大差别，从而使误差增大；加速度的大小以能在50 cm长的纸带上清楚地取得六、七个计数点为宜。
5．要区别计时器打出的点与人为选取的计数点，一般在纸带上每隔四个点取一个计数点，即时间间隔为T＝0.02×5 s＝0.1 s。
6．描点时最好用坐标纸，在纵、横坐标轴上选取合适的单位，用细铅笔认真描点。
[例1] “在探究小车速度随时间变化的规律”实验中，某同学操作以下实验步骤，其中错误或遗漏的步骤有(遗漏步骤可编上序号G、H……)
A．拉住纸带，将小车移至靠近打点计时器处放开纸带，再接通电源
B．将打点计时器固定在平板上，并接好电路
C．把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下面吊着适当重的钩码
D．取下纸带
E．将平板一端抬高，轻推小车，使小车能在平板上做匀速运动
F．将纸带固定在小车尾部，并穿过打点计时器的限位孔
(1)所列步骤中有错误的是___________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
(2)遗漏的步骤：_______________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
(3)将以上步骤完善后写出合理的步骤顺序：_______________________________
________________________________________________________________________。
[解析] (1)步骤A中应先通电，再放开纸带，顺序不能颠倒；D中取下纸带前应先断开电源。
(2)遗漏的步骤G：换上新纸带，重复实验三次。
(3)步骤完善后，合理的实验步骤顺序为BFECADG。
[答案] (1)A中应先通电，再放开纸带；D中取下纸带前应先断开电源
(2)G：换上新纸带，重复实验三次
(3)BFECADG
[例2] 在做“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中：
(1)实验提供了以下器材：打点计时器、一端附有滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源、复写纸、弹簧测力计。其中在本实验中不需要的器材是________。
(2)如图1 9 3甲所示是某同学由打点计时器得到的表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点间还有四个点没有画出，打点计时器打点的时间间隔T＝0.02 s，则相邻两个计数点间的时间间隔为________ s。其中x1＝7.05 cm、x2＝7.68 cm、x3＝8.33 cm、x4＝8.95 cm、x5＝9.61 cm、x6＝10.26 cm。
如下表列出了打点计时器打下B、C、E、F时小车的瞬时速度，请在表中填入打点计时器打下D点时小车的瞬时速度。
位置 B C D E F
速度/(m·s－1) 0.737 0.801 0.928 0.994
(3)以A点为计时起点，在图乙所示坐标系中画出小车的速度—时间关系图线。
(4)计算出的小车的加速度a＝________ m/s2。
图1 9 3
[解析] (1)本实验中不需要测量力的大小，因此不需要的器材是弹簧测力计。
(2)根据某点的瞬时速度可用该点前后一段时间内的平均速度来代替知：
vD＝＝ m/s＝0.864 m/s。
(3)小车的速度—时间关系图线如图所示。
(4)在v t图像中，图线的斜率表示加速度的大小，
则a＝＝0.64(±0.01)m/s2。
[答案] (1)弹簧测力计 (2)0.10 0.864
(3)见解析图 (4)0.64(±0.01)
1．(多选)关于用打点计时器“测定匀变速直线运动的加速度”的实验，下列说法中正确的是( )
A．打点计时器应固定在长木板上，且靠近滑轮一端
B．开始实验时小车应靠近打点计时器一端
C．应先接通电源，待打点稳定后再释放小车
D．牵引小车的钩码个数越多越好
解析：选BC 打点计时器应固定在长木板上没有滑轮的一端，选项A错误；小车开始时靠近打点计时器是为了使小车的运动距离较大，选项B正确；若先释放小车后接通电源只能在纸带的后面部分打点，选项C正确；钩码个数太少，打点密集，钩码个数太多，打点太少，都会带来实验误差，选项D错误。
2. (多选)图1 9 4为同一打点计时器打出的两条纸带，由纸带可知( )
图1 9 4
A．在打下计数点“0”至“5”的过程中，纸带甲的平均速度比乙的大
B．在打下计数点“0”至“5”的过程中，纸带甲的平均速度比乙的小
C．纸带甲的加速度比乙的大
D．纸带甲的加速度比乙的小
解析：选BD 在打下计数点“0”至“5”的过程中，两纸带所用时间相同，但甲纸带位移小于乙纸带位移，故甲<乙，A错误，B正确；相邻计数点间所用时间相等，而甲的速度不变，乙的速度变大，故a甲3．如图1 9 5所示为“研究物体做匀变速直线运动”实验中获得的一条纸带，a、b、c、d为计数点，相邻计数点时间间隔为0.1 s，其中b点反映的瞬时速度为( )
图1 9 5
A．0.520 m/s B．6.47 m/s
C．3.92 m/s D．5.20 m/s
解析：选A 相邻计数点时间间隔为0.1 s。根据匀变速直线运动中时间中点的速度等于该过程中的平均速度，可以求出打纸带上b点时小车的瞬时速度大小。vb＝＝ m/s＝0.520 m/s，故选A。
4．打点计时器使用交流电源的频率为50 Hz，在“测定匀变速直线运动的加速度”的实验中，若交流电的频率变小了而未被发现，则测得小车的速度值与真实值比较将( )
A．偏大 B．偏小
C．无影响 D．无法判断
解析：选A 打点计时器打点的频率是由电源的频率决定的，且打点的频率等于电源的频率。当交流电的频率为50 Hz时，打点计时器每隔0.02 s打一个点；当交流电频率低于50 Hz时，打点计时器打点的时间间隔将大于0.02 s，计算速度时如果仍按0.02 s，由v＝可知，将导致测量出的速度值大于其真实值。
5．现用频闪照相方法来研究物块的变速运动。在一小物块沿斜面向下运动的过程中，用频闪相机拍摄的不同时刻物块的位置如1 9 6所示。拍摄时频闪频率是10 Hz；通过斜面上固定的刻度尺读取的5个连续影像间的距离依次为x1、x2、x3、x4。已知斜面顶端的高度h和斜面的长度s。数据如下表所示。重力加速度大小g＝9.80 m/s2。
图1 9 6
单位：cm
x1 x2 x3 x4 h s
10.76 15.05 19.34 23.65 48.00 80.00
根据表中数据，完成下列填空：
物块的加速度a＝________m/s2(保留3位有效数字)。
解析：频闪照相中相邻影像点的时间间隔相等，利用逐差法求物块的加速度a＝＝4.30 m/s2。
答案：4.30
6．一小球在桌面上从静止开始做加速运动，现用高速摄影机在同一底片多次曝光，记录下小球每次曝光的位置，并将小球的位置编号。如图1 9 7甲所示，1位置恰为小球刚开始运动的瞬间，作为零时刻。摄影机连续两次曝光的时间间隔均为0.5 s，小球从1位置到6位置的运动过程中经过各位置的速度分别为v1＝0，v2＝0.06 m/s，v3＝________m/s，v4＝0.18 m/s，v5＝________m/s。在图乙中作出小球的速度—时间图像(保留描点痕迹)。
甲
乙
图1 9 7
解析：如题图所示，x2＋x3＝0.12 m，则v3＝＝ m/s＝0.12 m/s，又x4＋x5＝0.24 m，则v5＝＝ m/s＝0.24 m/s。其v t图像如图所示。
答案：0.12 0.24 v t图像见解析
7．实验小组在用打点计时器测定匀变速直线运动加速度的实验中，得到一条纸带如图1 9 8所示，A、B、C、D、E、F、G为计数点，相邻计数点间时间间隔为0.10 s，利用刻度尺已经测量得到x1＝1.20 cm，x2＝1.60 cm，x3＝1.98 cm，x4＝2.38 cm，x5＝2.79 cm，x6＝3.18 cm。
图1 9 8
(1)根据给出的实验数据，判断该实验小组使用的刻度尺的最小刻度是什么？
(2)计算运动物体在B、C、D、E、F各点的瞬时速度；
(3)在图1 9 9中作出v t图像，并由图像求物体的加速度。
图1 9 9
解析：(1)因为给出的测量长度的数据都是以厘米为单位，小数点后保留两位有效数字，即精确到了毫米，最后的一位是估读出来的，所以刻度尺的最小刻度是毫米。
(2)某一点的瞬时速度等于相邻两点间的平均速度，根据平均速度的定义可以求得：vB＝14 cm/s，vC＝17.9 cm/s，vD＝21.8 cm/s，vE＝25.85 cm/s，vF＝29.85 cm/s。
(3)根据上一问计算出来的速度，在坐标系中可确定5个不同时刻的对应速度，描出5个点，用平滑曲线连接各点，作出图像如图所示。v t图像的斜率表示物体运动的加速度，在图上取相距较远的两个点的坐标代入加速度公式进行计算，可得a＝39.6 cm/s2。
答案：见解析
直线运动的概念、规律及应用
1．(多选)下列情况中可以将物体看成质点的是( )
A．地面上放一只木箱，在上面的箱角处用水平力推它，当研究它是先滑动还是先翻转的时候
B．上述木箱，在外力作用下在水平面上沿直线运动时
C．汽车的后轮，在研究车牵引力的来源时
D．人造地球卫星，在研究其绕地球运动时
解析：选BD 木箱在水平力的作用下是否翻转与力的作用点的位置有关，在这种情况下木箱是不能看成质点的。当研究木箱在水平方向上的平动时，木箱各点的运动情况是一致的，这时可以把木箱看成质点。汽车牵引力的来源与后轮的转动有关，在研究牵引力的来源时，不能把后轮看成质点。卫星绕地球转动时，自身的形状和大小可以忽略不计，因此可以把它看成质点，故正确答案为B、D。
2．(多选)我们描述某个物体的运动时，总是相对一定的参考系而言的，下列说法正确的是( )
A．我们说“太阳东升西落”，是以地球为参考系的
B．我们说“地球围绕太阳转”，是以地球为参考系的
C．我们说“同步卫星在高空静止不动”，是以太阳为参考系的
D．坐在火车上的乘客看到前方铁路旁的树木、电线杆向他飞奔而来，乘客是以火车或他自己为参考系的
解析：选AD “太阳东升西落”是相对于我们居住的地球而言，是以地球为参考系的，所以A正确；“地球围绕太阳转”是以太阳为参考系的，所以B错误；“同步卫星在高空静止不动”是相对于地球而言的，是以地球为参考系的，所以C错误；火车上的乘客看到前方铁路旁的树木、电线杆向他飞奔而来，是以火车或他自己为参考系的，所以D正确。
3．某物体在水平面上向正南方向运动了20 m，然后又向正北方向运动了30 m，对于这一过程，下列说法正确的是( )
A．物体的位移大小是50 m，方向由南向北
B．物体的路程是10 m
C．物体的位移大小是10 m，方向向北
D．物体的位移大小是10 m，方向向南
解析：选C 位移的大小等于首末位置的距离，路程等于运动轨迹的长度。物体在水平面上向正南方向运动了20 m，然后又向正北方向运动了30 m，位移的大小x＝30 m－20 m＝10 m，方向由南向北，C正确。
4．在旅游旺季，为了保障旅行安全，交通管理部门采取了如下的限速措施：客车进入某一路段时，发一张卡，卡上记下车辆进入的时间，车辆驶出该路段时，驾驶员交出卡，管理人员计算车辆通过这一路段的时间，如果小于规定的时间就说明车辆超速。这种限速方法是限制车辆的( )
A．瞬时速度 B．瞬时速率
C．平均速率 D．加速度
解析：选C 由题意可知，交通部门采取的措施是指，通过这一路段的时间不能低于某个值，即说明在这一段路程内，汽车的平均速率不能超过某个值；该方法无法限制瞬时速度，故选C。
5．(多选)如图1甲所示，火箭发射时，速度能在10 s内由0增加到100 m/s；如图乙所示，汽车以108 km/h的速度行驶，急刹车时能在2.5 s内停下来，下列说法中正确的是( )
图1
A．10 s内火箭的速度改变量为10 m/s
B．2.5 s内汽车的速度改变量为－30 m/s
C．火箭的速度变化比汽车的快
D．火箭的加速度比汽车的加速度小
解析：选BD 因火箭发射时，速度在10 s内由0增加到100 m/s，故10 s内火箭的速度改变量为100 m/s，选项A错误；汽车以108 km/h＝30 m/s的速度行驶，急刹车时能在2.5 s内停下来，则2.5 s内汽车的速度改变量为0－30 m/s＝－30 m/s，选项B正确；火箭的速度变化率即加速度为：a1＝＝ m/s2＝10 m/s2；汽车的速度变化率即加速度为：a2＝＝ m/s2＝12 m/s2，故火箭的速度变化比汽车的慢，火箭的加速度比汽车的加速度小，选项D正确，A错误；故选B、D。
6.如图2所示，质量不同的两个小球从同一高度同时做自由落体运动，则( )
图2
A．质量大的下落得快
B．质量小的下落得快
C．两球下落的时间相同
D．两球下落的加速度不同
解析：选C 物体做自由落体运动，v＝gt，故速度相同，故A、B错误；根据自由落体运动的公式h＝gt2，t＝，知落地时间与质量无关，所以两个物体同时落地，故C正确；做自由落体运动，只受重力，加速度都为g，故D错误。
7．一汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速运动历时t，接着做匀减速运动历时2t，开到乙地刚好停止，那么在匀加速运动和匀减速运动两段时间内( )
A．加速度大小之比为3∶1
B．加速度大小之比为2∶1
C．平均速度大小之比为2∶1
D．平均速度大小之比为1∶2
解析：选B 匀加速运动的加速度大小a1＝，匀减速运动的加速度大小a2＝，所以加速阶段和减速阶段的加速度大小之比为2∶1。故B正确，A错误。匀加速运动的平均速度v1＝，匀减速运动的平均速度v2＝，所以平均速度大小之比为1∶1。故C、D错误。
8．质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋t2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点( )
A．第1 s内的位移是5 m
B．前2 s内的平均速度是6 m/s
C．任意相邻1 s内的位移差都是1 m
D．任意1 s内的速度增量都是2 m/s
解析：选D 因为x＝vt＋at2，可以得到v＝5 m/s，a＝2 m/s2。把t＝1 s代入方程，x＝6 m，所以A错误；t＝2 s时，x＝14 m，由平均速度v＝得到，v＝7 m/s，所以B错误；由Δx＝aT2得到Δx＝2 m，所以C错误；由Δv＝aΔt可以得到Δv＝2 m/s，所以D正确。
9．一列做匀加速直线运动的火车，从某时刻开始计时，第1 min内火车前进了240 m，第6 min内火车前进了1 140 m，则该火车的加速度为( )
A．0.01 m/s2 B．0.03 m/s2
C．0.05 m/s2 D．0.1 m/s2
解析：选C 对于匀变速直线运动有Δx＝aT2。此题中T＝60 s，x1＝240 m，x6＝1 140 m，所以a＝＝0.05 m/s2。故C正确。
10．如图3所示是央视春晚《儿童节目》——“机器人总动员”的情景。机器人(Robot)是自动执行工作的机器装置。它既可以接受人类指挥，又可以运行预先编排的程序，也可以根据人工智能技术制定的原则纲领行动。它的任务是协助或取代人类的工作，例如：生产业、建筑业或是危险的工作。图甲是某公司制作的一个机器人，现要执行一项任务，给它设定了如下动作程序：机器人在平面内，由点(0,0)出发，沿直线运动到点(3,1)，然后又由点(3,1)沿直线运动到点(1,4)，然后又由点(1,4)沿直线运动到点(5,5)，然后又由点(5,5)沿直线运动到点(2,2)。
图3
(1)试在图乙中完成坐标系的建立并画出机器人的运动轨迹。
(2)计算整个过程中机器人的位移大小。
解析：(1)根据动作程序画出运动轨迹，如图所示：
(2)由题意知机器人初位置坐标为(0,0)，末位置坐标为(2,2)，故位移为：x＝ m＝2 m。
答案：(1)见解析 (2)2 m
11.如图4所示，有若干相同的小球，从斜面上的某一位置每隔0.1 s无初速度地释放一颗，在连续释放若干钢球后，对准斜面上正在滚动的若干小球拍摄到如图所示的照片，测得AB＝15 cm，BC＝20 cm。求：
图4
(1)小球的加速度大小；
(2)拍摄照片时B球的速度大小；
(3)A球上面还有几颗正在滚动的钢球？
解析：(1)由Δx＝aT2得：
小球下滑的加速度
a＝＝ m/s2＝5 m/s2。
(2)B球的速度vB等于AC段上的平均速度，即有
vB＝AC＝＝ m/s＝1.75 m/s。
(3)由vB＝vA＋aT得，vA＝vB－aT＝1.75 m/s－0.5 m/s＝1.25 m/s
则A球运动的时间为tA＝＝0.25 s
由于T＝0.1 s，则A球上面滚动的小球还有2颗。
答案：(1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)2颗
12．甲、乙两个质点都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两个质点的加速度大小不变，乙的加速度大小是甲的3倍；在接下来的相同时间间隔内，甲的加速度大小增加为原来的3倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的。求甲、乙两质点各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。
解析：在第一段时间间隔内，设甲的加速度为a，则乙的加速度为3a，此过程中甲的位移：x甲1＝at2
乙的位移：x乙1＝·3at2；
在第二段时间间隔内，甲的加速度为3a，则乙的加速度为a，
则此过程中甲的位移：x甲2＝at·t＋·3at2＝at2；
乙的位移：x乙2＝3at·t＋·at2＝at2
甲、乙两质点各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比：＝＝＝。
答案：
运动图像 追及相遇问题
1. (多选)如图1所示为甲、乙两物体运动的x t图像，则下列关于甲、乙两物体运动的说法，正确的是( )
图1
A．甲、乙两个物体同时出发
B．甲、乙两个物体都做匀速直线运动
C．甲的速度比乙的速度小
D．t2时刻两个物体速度相同
解析：选BC 由图可知甲物体从0时刻开始出发，而乙物体从t1时刻开始运动，故A错误。根据位移图像的斜率等于物体运动的速度，可知，甲、乙两个物体都做匀速直线运动，故B正确。位移图像的斜率等于物体运动的速度，由图可知甲的斜率小于乙的斜率，故甲的速度比乙的速度小，故C正确D错误。
2.如图2所示，A、B两物体在同一直线上运动，当它们相距x＝7 m时，A正以4 m/s的速度向右做匀速运动，而此时物体B的速度为10 m/s，向右做匀减速运动，加速度大小为2 m/s2，则A追上B所用的时间为( )
图2
A．6 s B．7 s
C．8 s D．9 s
解析：选B 据题意可得10t－×2t2＝4t－7，解得t＝7 s或t＝－1 s(舍去)。故选B。
3. (多选)A、B、C三个物体从同一点出发，沿着一条直线运动的位移－时间(x t)图像如图3所示，下列说法中正确的是( )
图3
A．C物体做加速直线运动
B．A物体做曲线运动
C．三个物体在0～t0时间内的平均速度vA＞vC＞vB
D．三个物体在0～t0时间内的平均速度vA＝vB＝vC
解析：选AD 由斜率看出，C的速度逐渐增大，做的是加速直线运动，故A正确；A、C的位移图线是曲线，但并不表示做曲线运动，由斜率看出，A的速度先正后负，说明A先沿正方向运动，后沿负方向运动，做的是直线运动，故B错误；由图看出，三个物体的初位置与末位置都相同，位移x相同，运动时间都是t0，而平均速度等于位移除以时间，所以平均速度相等，故C错误，D正确。
4. (多选)如图4所示为一物体做直线运动的v t图像，根据图像做出的以下判断中，正确的是( )
图4
A．物体始终沿正方向运动
B．物体先沿负方向运动，在t＝2 s后开始沿正方向运动
C．在t＝2 s前物体位于出发点负方向上，在t＝2 s后位于出发点正方向上
D．在t＝2 s时，物体距出发点最远
解析：选BD 速度是矢量，速度的正负表示物体运动的方向，由于0～2 s内物体的速度v＜0，故物体沿负方向运动，而2～4 s内物体的速度v＞0，表示物体沿正方向运动。故A错误，B正确。速度图像与坐标轴围成的“面积”大小等于物体通过的位移，在前2 s内物体沿负方向运动，后2 s内物体沿正方向运动，则t＝2 s时，物体位于出发点负方向上距离出发点的位移为x＝ m＝－20 m。t＝2 s后物体沿正方向运动，在t＝4 s时物体的位移x＝0，即物体回到出发点，所以在t＝2 s时，物体距出发点最远。故C错误，D正确。
5．甲车以加速度3 m/s2由静止开始做匀加速直线运动，乙车落后2 s在同一地点由静止出发，以加速度4 m/s2做加速直线运动，两车速度方向一致。在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是( )
A．18 m B．24 m
C．22 m D．28 m
解析：选B 乙车从静止开始做匀加速运动，落后甲2 s，则开始阶段甲车在前。当乙车速度小于甲车的速度时，两者距离增大；当乙车速度大于甲车的速度时，两者距离减小，则当两者速度相等距离最大。即：a甲(t乙＋2)＝a乙t乙，得：t乙＝6 s；两车距离的最大值为Δx＝x甲－x乙＝a甲(t乙＋2)2－a乙t乙2＝24 m，故选B。
6．a、b两车在两条平行的直车道上同方向行驶，它们的v t图像如图5所示，在t＝0时刻，两车间距离为d；t＝5 s时刻它们第一次相遇，关于两车之间的关系，下列说法正确的是( )
图5
A．t＝15 s时刻两车第二次相遇
B．t＝20 s时刻两车第二次相遇
C．在5～15 s的时间内，先是a车在前，而后是b车在前
D．在10～15 s的时间内，两车间距离逐渐变大
解析：选A 由图可知，a做匀减速运动，而b做匀加速运动；由题意5 s时两车相遇，说明开始时a在后面，5 s时两车的位置相同；5～10 s内a车速度仍大于b车，故a在前；10～15 s时间内，b的速度大于a的速度，但由于开始时落在了a的后面，故还将在a的后面，t＝15 s时b追上了a，故15 s时两车再次相遇，故A正确，B、C错误；t＝5 s时刻两车第一次相遇，在10～15 s的时间内，b的速度大于a的速度，两车间距逐渐变小，故D错误。
7．(多选)有四个运动的物体A、B、C、D，物体A、B运动的x t图像如图6中甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v t图像如图中乙所示。根据图像做出的以下判断，其中正确的是( )
图6
A．物体A和B均做匀速直线运动且A的速度比B更大
B．在0～3 s的时间内，物体B运动的位移为15 m
C．t＝3 s时，物体C追上物体D
D．t＝3 s时，物体C与物体D之间有最大间距
解析：选AD 由甲图看出：物体A和B位移图像都是倾斜的直线，斜率都不变，速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，A图线的斜率大于B图线的斜率，A的速度比B更大，故A正确。由甲图看出：在0～3 s的时间内，物体B运动的位移为Δx＝10 m，故B错误。由乙图看出：t＝3 s时，D图线所围“面积”大于C图线所围“面积”，说明D的位移大于C的位移，而两物体从同一地点开始运动的，所以物体C还没有追上物体D，故C错误。由乙图看出：前3 s内，D的速度较大，DC间距离增大，3 s后C的速度较大，两者距离减小，t＝3 s时，物体C与物体D之间有最大间距，故D正确。
8．(多选)在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t＝0时同时经过某一个路标，它们位移x(m)随时间t(s)变化规律为：汽车为x＝10t－t2(m)，自行车为x＝6t(m)，则下列说法正确的是( )
A．汽车做减速直线运动，自行车做匀速直线运动
B．不能确定汽车和自行车各做什么运动
C．开始经过路标后较短时间内自行车在前，汽车在后
D．当自行车追上汽车时，它们距路标96 m
解析：选AD 根据两者位移x随时间t变化规律表达式可知，汽车做初速度为v0＝10 m/s，加速度大小为a＝0.5 m/s2的匀减速直线运动，自行车做速度为v＝6 m/s的匀速直线运动，故A正确，B错误；由于v0＞v，所以开始经过路标后较短时间内汽车在前，自行车在后，故C错误；设汽车速度减小至零，所需时间为t0，由t＝，得t0＝20 s，当自行车追上汽车时，设经过的时间为t，则有：10t－t2＝6t，解得：t＝16 s＜t0，符合情境，此时两者的位移为x＝96 m，故D正确。
9．(多选)下列给出的四组图像中，能够反映同一直线运动的是( )
解析：选BC 选项A中速度时间图像中0到3 s做匀速直线运动，位移在增加，而位移时间图像中位移不变，则A错；选项D中，3 s到5 s时间内，位移时间图像为一条倾斜直线，做匀速直线运动，加速度为零，知D错。
10．A、B两物体(视为质点)在同一直线上同时出发向同一方向运动，物体A从静止开始做匀加速直线运动，加速度a＝2 m/s2，物体B在A的后面相距L＝32 m处，以v＝12 m/s的速度做匀速运动，两物体追逐时，互从近旁通过，不会相碰，求：
(1)A物体经过多长时间后与B的速度相等？
(2)经过多长时间A、B两物体相遇？
(3)A、B两物体两次相遇之间相距最远的距离是多少？
解析：(1)由题知A物体做初速度为零的匀加速直线运动。由公式v＝at得：t＝6 s。
(2)设经过t1，B物体追上A物体
则有：L＋at12＝vt1
解得：t1＝4 s或t1′＝8 s。
(3)经分析当vA＝vB时，此时A、B在两次相遇之间相距最远，此时经过时间t＝6 s，这段过程中，A的位移xA＝at2＝36 m
B的位移为xB＝vt＝72 m
相距最远的距离是s＝xB－xA－L＝4 m。
答案：(1)6 s (2)4 s或8 s (3)4 m
11.汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60 s内汽车的加速度随时间变化的图线如图7所示。
图7
(1)画出汽车在0～60 s内的v t图；
(2)求在这60 s内汽车行驶的路程。
解析：(1)设t＝10 s,40 s,60 s时刻的速度分别为v1，v2，v3
由图知0～10 s内汽车以加速度2 m/s2匀加速行驶，由运动学公式得v1＝2×10 m/s＝20 m/s
由图知10～40 s内汽车匀速行驶，因此v2＝20 m/s
由图知40～60 s内汽车以加速度1 m/s2匀减速行驶，由运动学公式得v3＝(20－1×20) m/s＝0
汽车在0～60 s内的v t图线，如图所示。
(2)由v t图线可知，在这60 s内汽车行驶的路程为s＝×20 m＝900 m。
答案：(1)见解析 (2)900 m
12．Jerry惹恼了Tom，这次Tom发誓一定要在Jerry逃进鼠洞前捉住它。起初Tom、Jerry和鼠洞在同一直线上，Tom距Jerry 3.7 m，Jerry距鼠洞10.4 m，如图8所示，已知Tom的最大加速度和最大速度分别为4 m/s2、6 m/s，Jerry的最大加速度和最大速度分别为5 m/s2、4 m/s，设它们同时由静止启动并尽力奔跑，问：
图8
(1)Tom与Jerry各自到达最大速度所需的时间分别是多少？
(2)假设Jerry能逃回鼠洞，则它从启动到逃回鼠洞共需多少时间？
(3)计算Tom需多长时间追到鼠洞，并判断Tom能否在Jerry逃进鼠洞前捉住它。
解析：(1)Tom达到最大速度经历的时间t1＝＝ s＝1.5 s，Jerry达到最大速度经历的时间t2＝＝ s＝0.8 s。
(2)Jerry达到最大速度经历的位移
x1＝＝ m＝1.6 m，
则匀速运动的位移x2＝10.4 m－1.6 m＝8.8 m，
匀速运动的时间t2′＝＝ s＝2.2 s，
从启动到逃回鼠洞共需的时间
t＝t2＋t2′＝0.8 s＋2.2 s＝3 s。
(3)Tom达到最大速度的位移x1′＝＝ m＝4.5 m，则匀速运动的位移x2′＝10.4 m＋3.7 m－4.5 m＝9.6 m，匀速运动的时间t1′＝＝ s＝1.6 s，
则Tom跑到洞口的时间t′＝t1＋t1′＝1.5 s＋1.6 s＝3.1 s。因为t′＞t，可知Tom不能在Jerry逃进鼠洞前捉住它。
答案：(1)1.5 s 0.8 s (2)3 s (3)3.1 s 不能捉住
第一章 运动的描述
(时间：50分钟 满分：100分)
一、选择题(本题共8小题，每小题6分，共48分。第1～5小题只有一个选项正确，第6～8小题有多个选项正确，全选对得6分，选不全得3分，错选不得分)
1．火车上的乘客往往会发现这样的现象：对面的火车缓缓启动了，过了一会儿发现，原来是自己乘坐的火车离开了站台，对面的火车并没有动。乘客认为“对面火车启动”和“自己乘坐的火车离开站台”所选取的参考系分别为( )
A．站台、对面火车
B．对面火车、自己乘坐的火车
C．站台、站台
D．自己乘坐的火车、站台
解析：选D 此类现象在我们的日常生活中随处可见，关键是参考系的选取不同造成的，乘客出站时，看到对方火车运动，实际上是以自身为参考系造成的，当等到站台出现，发现自己乘坐的火车开动了，这是由于乘客以站台为参考系造成的，故A、B、C错误，D正确。
2．第31届奥运会于2016年在巴西里约热内卢召开，下列有关运动项目的说法正确的是( )
A．篮球比赛中的篮球不能看做质点
B．羽毛球比赛中的羽毛球一定能看做质点
C．乒乓球运动员在打出弧圈球时乒乓球不能看做质点
D．铅球比赛中的铅球一定不能看做质点
解析：选C 在研究篮球比赛中的远距离投篮时，由于篮球直径比投篮距离小得多，可把篮球看做质点，选项A错误；当研究羽毛球比赛中的羽毛球时，若羽毛球在球网的两侧飞行，则可以把羽毛球看做质点，若研究羽毛球的自身旋转问题，则不能把羽毛球看做质点，选项B错误；研究旋转多变的乒乓球的弧圈运动时，乒乓球的大小不能忽略，乒乓球不能看做质点，选项C正确；当研究铅球被掷出后在空中的飞行时间时，铅球能看做质点，当研究铅球脱手时的旋转情况时，铅球不能看做质点，选项D错误。
3．如图1所示是正在飞行的无人机，一无人机在某次测试中往返飞行了850 km，用时72 min，这两个数据分别指( )
图1
A．位移值、时间 B．路程、时间
C．位移值、时刻 D．路程、时刻
解析：选B 无人机在某次测试中往返飞行了850 km，位移是0,850 km是指路程；用时72 min，是指从开始到回来所用的时间。故选B。
4．星级快车出站时能在150 s内匀加速到180 km/h，然后正常行驶。某次因意外列车以加速时的加速度大小将车速减至108 km/h。以初速度方向为正方向，则下列说法错误的是( )
A．列车加速时的加速度大小为 m/s2
B．列车减速时，若运用v＝v0＋at计算瞬时速度，其中a＝－ m/s2
C．若用v t图像描述列车的运动，减速时的图线在时间轴t轴的下方
D．列车由静止加速，1 min内速度可达20 m/s
解析：选C 列车的加速度大小a＝＝ m/s2＝ m/s2，减速时，加速度方向与速度方向相反，a′＝－ m/s2，故A、B两项都正确。列车减速时，v t图像中图线依然在时间轴t轴的上方，C项错。由v＝at可得v＝×60 m/s＝20 m/s，D项对。
5.测速仪安装有超声波发射和接收装置，如图2所示，B为测速仪，A为汽车，两者相距335 m，某时刻B发出超声波，同时A由静止开始作匀加速直线运动。当B接收到反射回来的超声波信号时，AB相距355 m，已知声速为340 m/s，则汽车的加速度大小为( )
图2
A．20 m/s2 B．10 m/s2
C．5 m/s2 D．无法确定
解析：选B 设汽车的加速度为a，运动的时间为t，有at2＝355 m－335 m＝20 m，超声波来回的时间为t，则单程的时间为，因为初速度为零的匀加速直线运动，在相等时间内的位移之比为1∶3，在t时间内的位移为20 m，则时间内的位移为x′＝5 m，知超声波追上汽车的位移x＝5 m＋335 m＝340 m，所以＝＝1 s，t＝2 s，所以汽车的加速度大小为10 m/s2。故B正确，A、C、D错误。
6．关于自由落体运动，下列说法中正确的是( )
A．它是方向竖直向下、v0＝0、a＝g的匀加速直线运动
B．在开始连续的三个1 s内通过的位移之比是1∶3∶5
C．在开始连续的三个1 s末的速度大小之比是1∶2∶3
D．从开始运动起下落4.9 m、9.8 m、14.7 m所经历的时间之比为1∶2∶3
解析：选ABC 自由落体运动是初速度为零、a＝g的匀加速直线运动，所以满足初速度为零的匀加速直线运动规律，则A、B、C正确。当h1＝4.9 m，h2＝9.8 m，h3＝14.7 m时，h1∶h2∶h3＝1∶2∶3，因为t＝，所以t1∶t2∶t3＝∶∶＝1∶∶，D错误。
7.在军事演习中，某空降兵从飞机上跳下，先做自由落体运动，在t1时刻，速度达到最大值v1时打开降落伞，做减速运动，在t2时刻以较小速度v2着地。他的速度图像如图3所示。下列关于该空降兵在0～t1或t1～t2时间内的平均速度 的结论正确的是( )
图3
A．0～t1，＝ B．t1～t2，＝
C．t1～t2，＞ D．t1～t2，＜
解析：选AD 0～t1时间内，空降兵做匀加速直线运动，＝＝，A正确；t1～t2时间内，空降兵做加速度逐渐变小的减速运动。由＝和v t图线与t轴所围面积等于t时间内的位移x可知，＜，B、C错误，D正确。
8．汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动，当它路过某处的同时，汽车乙从此处开始做初速度为零的匀加速直线运动去追赶汽车甲，根据上述已知条件( )
A．可求出乙车追上甲车时，乙车的速度
B．不能求出乙车追上甲车时，乙车的速度
C．可求出乙车从开始运动到追上甲车时，乙车运动的时间
D．不能求出乙车从开始运动到追上甲车时，乙车运动的时间
解析：选AD 作出汽车甲、乙的速度－时间图线如图所示。当汽车乙车追上汽车甲车时，两车位移相等，从图像上可以看出，当甲、乙位移相等时，两图像与时间轴所围的“面积”相等，则得乙车追上甲车时，乙车的速度为2v0，但从图像上无法知道乙车追上甲车所用的时间，故A、D正确，B、C错误。
二、实验题(本题共2小题，共18分)
9．(8分)如图4所示，将打点计时器固定在铁架台上，使重物带动纸带从静止开始自由下落，利用此装置可以测量重力加速度。
图4
(1)所需器材有打点计时器(带导线)、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台和带夹子的重物，此外还需________(填字母代号)中的器材。
A．直流电源、天平及砝码 B．直流电源、毫米刻度尺
C．交流电源、天平及砝码 D．交流电源、毫米刻度尺
(2)通过作图像的方法可以剔除偶然误差较大的数据，提高实验的准确程度。为使图线的斜率等于重力加速度，除作v t图像外，还可作________图像，其纵轴表示的是________，横轴表示的是________。
解析：(1)本实验不需要测量重物的质量，直接通过处理纸带，利用匀变速直线运动的规律即可求得重力加速度。故缺少低压交流电源和刻度尺，因此还需要D中器材。(2)由匀变速直线运动的规律v2＝2gh，可得＝gh，若纵轴表示，横轴表示重物下落高度h，则图像的斜率即为重力加速度。
答案：(1)D (2)－h 速度平方的二分之一 重物下落高度
10．(10分)在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，如图5所示为记录小车运动情况的一条纸带，图中A、B、C、D、E为相邻的计数点，相邻计数点间的时间间隔T＝0.1 s。
图5
(1)计算D、C、B各点的瞬时速度，vD＝________ m/s，vC＝________ m/s，vB＝________ m/s。
(2)在如图6所示坐标系中作出小车的v t图像，并根据图像求出a＝________。
图6
解析：(1)若时间较小，平均速度可以代替某点的瞬时速度。
D点的瞬时速度vD＝＝ cm/s＝390 cm/s＝3.9 m/s
C点的瞬时速度vC＝＝ cm/s＝264 cm/s＝2.64 m/s
B点的瞬时速度vB＝＝ cm/s＝138 cm/s＝1.38 m/s。
(2)由(1)中数据作出小车的v t图像如图所示，由图线的斜率可求得它的平均加速度
a＝＝ m/s2＝12.6 m/s2。
答案：(1)3.9 2.64 1.38
(2)图见解析 12.6 m/s2
三、计算题(本题共2小题，共34分)
11．(16分)当交叉路口的绿灯亮时，一辆客车以a＝2 m/s2的加速度由静止启动，在同一时刻，一辆货车以10 m/s的恒定速度从客车旁边同向驶过(不计车长)，则：
(1)客车追上货车时离路口多远？
(2)在客车追上货车前，两车的最大距离是多少？
解析：(1)客车追上货车的过程中，两车所用时间相等，位移也相等，即v2t1＝at12，
代入数据解得t1＝10 s，
x＝at12＝×2×102 m＝100 m。
(2)两车距离最大时，两车应具有相等的速度，即v2＝at2，代入数据解得t2＝5 s。
Δx＝v2t2－at22＝10×5 m－×2×52 m＝25 m。
答案：(1)100 m (2)25 m
12．(18分)短跑运动员完成100 m赛跑的过程可简化为匀加速运动和匀速运动两个阶段。一次比赛中，某运动员用11.00 s跑完全程。已知运动员在加速阶段的第2 s内通过的距离为7.5 m，求该运动员的加速度及在加速阶段通过的距离。
解析：根据题意，在第1 s和第2 s内运动员都做匀加速直线运动，设运动员在匀加速阶段的加速度为a，在第1 s和第2 s内通过的位移分别为x1和x2，由运动学规律得x1＝at02
x1＋x2＝a(2t0)2
t0＝1 s
求得a＝5 m/s2
设运动员做匀加速运动的时间为t1，匀速运动的时间为t2，匀速运动的速度为v，跑完全程的时间为t，全程的距离为x，依题意及运动学规律，得t＝t1＋t2
v＝at1
x＝at12＋vt2
设加速阶段通过的距离为x′，则x′＝at12
求得x′＝10 m。
答案：5 m/s2 10 m