第1节 天体运动
1.地心说的代表人物是托勒密，认为地球是宇宙的中心，是静止不动的。
2．日心说的代表人物是哥白尼，认为太阳是宇宙的中心，是静止不动的。
3．开普勒第一定律指明行星绕太阳运动的轨道为椭圆轨道，而非圆轨道。开普勒第二定律称为面积定律，可导出近日点速率大于远日点速率。开普勒第三定律指明了行星公转周期与半长轴间的定量关系。
4．近似处理时，可将行星绕太阳运动或卫星绕地球运动看作是匀速圆周运动，且对同一中心天体的行星或卫星，＝k中的k值均相同。
一、地心说和日心说
1．地心说
托勒密认为，地球位于宇宙的中心，是静止不动的，其他天体围绕地球转动。
2．日心说
波兰天文学家哥白尼在其著作《天球运行论》中提出了日心说，他认为，地球和别的行星一样，围绕太阳运动，太阳固定在这个体系的中心。
二、开普勒行星运动定律
定律
内容
公式或图示
开普勒第一定律
所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积
续开普勒第三定律
行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量
公式：＝k，k是一个与行星无关的常量
1．自主思考——判一判
(1)行星绕太阳运动一周的时间内，它离太阳的距离是变化的。(√)
(2)地球绕太阳运动的速率是不变的。(×)
(3)开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动。(×)
(4)行星轨道的半长轴越长，行星的周期越长。(√)
(5)公式＝k，只适用于轨道是椭圆的运动。(×)
2．合作探究——议一议
(1)地心说和日心说是两种截然不同的观点，现在看来这两种观点哪一种是正确的？
提示：两种观点受人们意识的限制，是人类发展到不同历史时期的产物。两种观点都具有历史局限性，现在看来都是不完全正确的。
(2)太阳每天都是东升西落，这一现象是否说明太阳是绕着地球转的，为什么？
提示：太阳是太阳系的中心，地球绕太阳公转，由于地球同时还在自转，所以造成了太阳东升西落的现象。
(3)如图3-1-1是火星冲日年份示意图，观察图中地球、火星的位置，思考地球和火星谁的公转周期更长。
图3-1-1
提示：由题图可知，地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，根据开普勒第三定律可得：火星的公转周期更长一些。
对开普勒定律的理解
1．开普勒第一定律
行星的轨道都是椭圆，不同行星轨道的半长轴不同，即各行星的椭圆轨道大小不同，但所有轨道都有一个共同的焦点，太阳在此焦点上，开普勒第一定律又叫椭圆定律，如图3-1-2所示。
图3-1-2
2．开普勒第二定律
(1)如图3-1-3所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大，因此开普勒第二定律又叫面积定律。
图3-1-3
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，所以同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。
3．开普勒第三定律
(1)它揭示了周期与轨道半长轴之间的关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越大；反之，其公转周期越小，因此又叫周期定律。
(2)该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体。例如，绕某一行星运动的不同卫星。而天体的运动可近似看成匀速圆周运动，开普勒第三定律既适用于做匀速圆周运动的天体，也适用于做椭圆运动的天体。
(3)表达式＝k中的常数k，只与中心天体的质量有关，如研究行星绕太阳运动时，常数k只与太阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，常数k只与地球的质量有关。
1．关于开普勒对行星运动规律的认识，下列说法正确的是( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C．所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同
D．所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比
解析：选A 由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项A正确，B错误；由开普勒第三定律知所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，选项C、D错误。
2.开普勒第二定律告诉我们：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，如图3-1-4所示，某行星绕太阳运动轨道为椭圆，该行星在近日点A时的速度大小为vA，在远日点B时的速度大小为vB，则vA、vB的大小关系为( )
图3-1-4
A．vA>vB B．vA＝vB
C．vA解析：选A 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。结合扇形面积的公式可知，距离太阳近的点的线速度大，即vA>vB，故A正确，B、C、D错误。
3．已知两颗行星的质量m1＝2m2，公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：选C 由＝k知，＝，则＝，与行星质量无关，故选C。
开普勒第三定律的应用
[典例] 自1999年以来，“神舟号”系列飞船陆续发射成功。如图3-1-5所示，设某飞船沿半径为R的圆周绕地球运行，其周期为T，地球半径为R0。如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处将速率降到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆与地球表面的B点相切(如图所示)。求飞船由A点运动到B点所需的时间。
图3-1-5
[思路点拨] 飞船沿圆轨道和椭圆轨道运动时满足开普勒第三定律，利用半径和半长轴的关系，可确定两个轨道的周期关系。
[解析] 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动时，可认为其半长轴a＝R
飞船返回地面时，沿以地心为焦点的椭圆轨道运行，飞船由A点运动到B点的时间为其沿椭圆轨道运动周期T′的一半。
椭圆轨道的半长轴a′＝(R＋R0)
由开普勒第三定律可得＝
所以t＝T′＝T。
[答案] T
应用开普勒第三定律的步骤
(1)判断两个行星的中心天体是否相同，只有对同一个中心天体开普勒第三定律才成立。
(2)明确题中给出的周期关系或半径关系。
(3)根据开普勒第三定律＝＝k列式求解。
1．长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天。2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于( )
A．15天 B．25天
C．35天 D．45天
解析：选B 冥王星的卫星都绕其做匀速圆周运动，圆轨道可以看成是椭圆的一个特例，半长轴即为各自的运动半径。根据开普勒第三定律有＝，代入数据计算可得T2≈25天，B正确。
2．地球到太阳的距离为水星到太阳距离的2.6倍，那么地球和水星绕太阳运转的线速度之比为多少？
解析：设地球绕太阳的运行周期为T1，水星绕太阳的运行周期为T2，
根据开普勒第三定律有＝ ①
因地球和水星绕太阳做匀速圆周运动，故有
T1＝ ②
T2＝ ③
由①②③式联立求解得
＝ ＝ ＝＝＝。
答案：
1．下面关于丹麦科学家第谷通过对行星的位置观察所记录的数据，说法正确的是( )
A．这些数据在测量记录时误差相当大
B．这些数据说明太阳绕地球运动
C．这些数据与以行星绕太阳做匀速圆周运动为模型得到的结果相吻合
D．这些数据与以行星绕太阳做椭圆运动为模型得到的结果相吻合
解析：选D 德国天文学家研究了第谷的行星观测记录，发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符。只有假设行星绕太阳运动的轨道是椭圆，才能解释这种差别，D正确。
2．(多选)关于太阳系中各行星的运动，下列说法正确的是( )
A．太阳系中的各行星有一个共同的轨道焦点
B．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
C．行星在近日点的速率大于远日点的速率
D．离太阳“最远”的行星，绕太阳运动的公转周期最长
解析：选ACD 由开普勒第一定律可知，太阳处于椭圆的一个焦点上，故A正确；所有行星分别沿不同大小的椭圆轨道绕太阳运动，运动方向为轨迹上某一点切线方向，不一定与它和太阳的连线垂直，故B错误；由开普勒第二定律可知行星在近日点运动快，在远日点运动慢，故C正确；根据开普勒第三定律，所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，故离太阳越远的行星绕太阳运转的周期越长，故D正确。
3.某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图1所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的小，则太阳位于( )
图1
A．A B．B
C．F1 D．F2
解析：选C 根据开普勒第二定律，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。行星在远日点速率小，在近日点速率大，则A点为远日点，B点为近日点，所以太阳位于F1，故C正确，A、B、D错误。
4．理论和实践证明，开普勒行星运动定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体(包括卫星绕行星的运动)都适用。下面对于开普勒第三定律的公式＝k，下列说法正确的是( )
A．公式只适用于轨道是椭圆的运动
B．式中的k值，对于所有行星(或卫星)都相等
C．式中的k值，只与中心天体有关，与绕中心天体旋转的行星(或卫星)无关
D．若已知月球与地球之间的距离，根据公式可求出地球与太阳之间的距离
解析：选C 开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动。所以也适用于轨道是圆的运动，故A错误；式中的k是与中心星体的质量有关，与绕中心天体旋转的行星(或卫星)无关，故B错误，C正确；式中的k是与中心星体的质量有关，已知月球与地球之间的距离，无法求出地球与太阳之间的距离，故D错误。
5.某行星绕太阳运动的椭圆轨道如图2所示，则下列说法中正确的是( )
图2
A．该行星速度的最大点在b点
B．该行星速度的最小点在c点
C．该行星从a点运动到b点，做减速运动
D．该行星从b点运动到a点，做减速运动
解析：选C 根据开普勒第二定律可知，行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。由于近日点a到太阳的距离最小，远日点b到太阳的距离最大，则行星在近日点a运动的速度最大，在远日点b运动的速度最小，选项A、B错误。行星从a点运动到b点的过程中，行星与太阳的连线变长，其速度减小，故选项C正确，D错误。
6．两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，它们的周期之比TA∶TB＝1∶8，则轨道半径之比和运动速度之比分别为( )
A．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝1∶2
B．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝2∶1
C．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝1∶2
D．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝2∶1
解析：选D 已知两卫星的周期关系，由开普勒第三定律得＝，故＝＝，由v＝可得＝＝，D正确。
7．(多选)关于开普勒第二定律，正确的理解是( )
A．行星绕太阳运动时，一定是匀速曲线运动
B．行星绕太阳运动时，一定是变速曲线运动
C．行星绕太阳运动时，由于角速度相等，故在近日点处的线速度小于它在远日点处的线速度
D．行星绕太阳运动时，由于它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故它在近日点的线速度大于它在远日点的线速度
解析：选BD 行星的运动轨迹是椭圆形的，故做变速曲线运动，A错，B对；又在相等时间内扫过的面积相等，所以在近日点时线速度大，C错，D对。
8．(多选)把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得( )
A．火星和地球的质量之比
B．火星和太阳的质量之比
C．火星和地球到太阳的距离之比
D．火星和地球绕太阳运行速度的大小之比
解析：选CD 由于火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，由开普勒第三定律，＝k，k为常量，又v＝，则可知火星和地球到太阳的距离之比和运行速度大小之比，所以C、D选项正确。
9．太阳系八大行星绕太阳运行的轨迹可粗略地视为圆，下表是各星球的半径和轨道半径。
行星名称
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
星球半径/×106 m
2.44
6.05
6.37
3.39
69.8
58.2
23.7
22.4
轨道半径/×1011m
0.579
1.08
1.50
2.28
7.78
14.3
28.7
45.0
从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近( )
A．80年 B．120年
C．165年 D．200年
解析：选C 设海王星绕太阳运行的平均轨道半径为r1，周期为T1，地球绕太阳公转的轨道半径为r2，周期为T2(T2＝1年)，由开普勒第三定律有＝，故T1＝·T2≈164年，故选C。
10．某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率vb为( )
A．vb＝va B．vb＝va
C．vb＝va D．vb＝va
解析：选D 取极短时间Δt，根据开普勒第二定律得行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，
a·va·Δt＝b·vb·Δt
得到：vb＝va，D正确。
11．天文学家观察到哈雷彗星的转动周期是75年，离太阳最近的距离是8.9×1010 m，离太阳最远的距离不能被测出。试根据开普勒定律估算这个最远距离。(太阳系的开普勒常数k＝3.354×1018 m3/s2)
解析：哈雷彗星运行的半长轴r＝，由开普勒第三定律＝k，联立得l2＝2r－l1＝2－l1，代入数值解得，l2＝5.226×1012 m。
答案：5.226×1012 m
12．卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用卫星电话通话，试估算从你发出信号至对方接收到信号所需要的最短时间。(可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105 km，运行周期约为27天，地球半径约为6 400 km，无线电信号传播速度为3×108 m/s)
解析：月球、地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律有＝解得r2＝r1·，代入数据求得r2＝4.2×107 m。发出信号至对方接收到信号所需最短时间为t＝，代入数据求得t＝0.24 s。
答案：0.24 s
第2节 万有引力定律
1．牛顿认为所有物体之间存在万有引力，太阳与行星间的引力使得行星绕太阳运动。
2．任何两个物体间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比。
3．万有引力定律公式F＝G，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/ kg2。r指两个质点之间的距离；对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距离。
4．在不考虑地球自转的情况下，在地球表面上的物体所受的重力近似等于地球对物体的万有引力，mg＝G。即：GM＝gR2。
一、与引力有关现象的思考
1．牛顿的思考
苹果由于受到地球的吸引力落向地面；月球不沿直线运动而是绕地球做圆周运动，表明月球受到方向指向地心的向心力作用。
2．思考的结论
(1)月球必定受到地球对它的引力作用。
(2)苹果落地中苹果与月球在运动中受到的都是地球对它们的引力。
(3)行星围绕太阳运动的向心力由太阳对行星的引力提供。
二、太阳与行星间引力的推导
1．模型简化：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
2．推导过程：
(1)太阳对行星的引力
?F∝
(2)行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F′∝。
(3)太阳与行星间的引力
由于F∝、F′∝，且F＝F′，则有F∝，写成等式F＝G，式中G为比例系数。
三、万有引力定律
1．内容
任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比。
2．公式
F＝G。
3．引力常量
(1)数值：英国物理学家卡文迪许较准确地得出了G的数值，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，是一个与物质种类无关的普适常量。
(2)物理意义：引力常量在数值上等于两个质量为1 kg的质点相距1 m时的吸引力。
1．自主思考——判一判
(1)月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡。(×)
(2)行星绕太阳的运动不需要力的作用。(×)
(3)匀速圆周运动的规律同样适用于行星运动。(√)
(4)太阳与行星间作用力的公式F＝G也适用于行星与它的卫星之间。(√)
(5)万有引力定律适用于两个质点间的相互作用力的计算。(√)
(6)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间。(√)
2．合作探究——议一议
(1)苹果由于受地球的吸引力落向地面，月球受地球的引力作用，为何不落向地面？
提示：月球受地球的引力作用，而这种作用恰好提供月球绕地球做圆周运动的向心力，故月球能维持这种运动而不落向地面。
(2)把行星的运动看作是匀速圆周运动，是否违背客观事实？
提示：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，为了降低分析问题的难度，可以把行星的运动理想化为匀速的圆周运动。
(3)万有引力定律告诉我们，任何两个物体都是相互吸引的，但为什么通常的两个物体间感受不到万有引力？两个质量都为100 kg的大胖子相距1 m时，它们间万有引力多大？
提示：万有引力太小；F＝G＝6.67×10－11× N＝6.67×10－7 N。
对万有引力定律的理解
1．公式的适用条件：严格说F＝G只适用于计算两个质点间的万有引力，但对于下述几种情况，也可用该公式计算。
(1)两质量分布均匀的球体间的万有引力，可用公式计算，此时r是两个球体球心的距离。
(2)一个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，r为球心到质点间的距离。
(3)两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也适用。
2．万有引力的特性
特点
内容
普遍性
万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体(大到天体小到微观粒子)间的相互吸引力，它是自然界中物体间的基本相互作用之一
相互性
两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律
宏观性
通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计
特殊性
两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量、它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关
[典例] 一个质量为M的均质实心球，半径为R。如果通过球心挖去一个直径为R的小实心球，然后置于相距为d的地方，如图3-2-1所示，试计算空心球与小实心球之间的万有引力。
图3-2-1
[思路点拨]
(1)万有引力定律只适用于计算质点间的引力大小。
(2)球体剩余部分对小实心球的万有引力等于原球对小实心球的万有引力减去挖去的球体对小实心球的万有引力。
[解析] 假设把挖去的小实心球填补上，则大、小实心球之间的万有引力F＝G ①，小实心球的质量m＝ρ·π3＝ρ·πR3＝M ②，由①②得F＝。填入的小实心球与挖去的小实心球之间的万有引力F1＝G＝·。因此，空心球与小实心球之间的万有引力F2＝F－F1＝－。
[答案] －
若在球心处挖去，重心还在球心，可以通过万有引力定律公式直接求解，若不在球心处挖去，不能运用公式直接去计算剩余部分的引力，因为那是一个质量分布不均匀的球体。
1．(多选)对于万有引力定律的表达式F＝G，下列说法中正确的是( )
A．公式中G为引力常量，与两个物体的质量无关
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D．m1与m2受到的引力大小总是相等的，而与m1、m2是否相等无关
解析：选AD 公式中的G为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，A对；当两物体表面距离r越来越小，直至趋近于零时，物体不能再看作质点，表达式F＝G已不再适用于计算它们之间的万有引力，B错；m1与m2受到彼此的引力为作用力与反作用力，此二力总是大小相等、方向相反，与m1、m2是否相等无关，C错，D对。
2．某物体在地球表面，受到地球的万有引力为F。若此物体受到的引力减小为，则其距离地面的高度应为(R为地球半径)( )
A．R B．2R
C．4R D．8R
解析：选A 根据万有引力定律表达式得：F＝，其中r为物体到地球中心的距离。某物体在地球表面，受到地球的万有引力为F，此时r＝R，若此物体受到的引力减小为，根据F＝得出此时物体到地球中心的距离r′＝2R，所以物体距离地面的高度应为R，A正确。
3.如图3-2-2所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为( )
图3-2-2
A. B.
C. D.
解析：选C 利用填补法来分析此题，原来物体间的万有引力为F，挖去半径为的球的质量为原来球的质量的，其他条件不变，故剩余部分对质点P的引力为F－＝F，选项C正确。
万有引力与重力的关系
1．万有引力与重力的关系
如图3-2-3所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G。
图3-2-3
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况下mg2．重力与纬度的关系
(1)在赤道上满足mg＝G－mRω2(物体受万有引力和地面对物体的支持力N的作用，其合力充当向心力，N的大小等于物体的重力的大小，ω为地球自转角速度)。
(2)在地球两极处，由于F向＝0，即mg＝G。
(3)其他位置物体的重力大小介于以上两式之间，且随纬度的增加而增大。
3．重力、重力加速度与高度的关系
(1)在地球表面：mg＝G，g＝，g为常数。
(2)在距地面高h处：mg′＝G，g′＝，高度h越大，重力加速度g′越小。
[典例] 一物体在地面受到的重力为160 N，将它放置在航天飞机中，当航天飞机以a＝的加速度随火箭向上加速升空的过程中，某一时刻测得物体与航天飞机中的支持物的相互压力为90 N，求此时航天飞机距地面的高度。(地球半径取6.4×106 m，g表示重力加速度，取10 m/s2)
[审题指导] (1)题中g是地面处的重力加速度，航天飞机向上以的加速度做匀加速直线运动。
(2)运动过程中，航天飞机所处位置的重力加速度是变化的。
[解析] 设物体离地面的距离为h，这时受到地球的万有引力F＝G
在地球表面有G＝mg ①
在升至离地面h时，N－G＝ma ②
由①②式得＝
则h＝R地 ③
由mg＝160 N，得m＝16 kg，N＝90 N，a＝g＝5 m/s2，R地＝6.4×103 km，g＝10 m/s2代入③式得h＝1.92×104 km。
[答案] 1.92×104 km
万有引力定律可以与牛顿第二定律、匀变速运动规律、运动的合成与分解等结合起来考查地球或其他星球上物体的运动，在这类问题中，重力加速度往往是解题的关键点。
1．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B.
C. D.
解析：选B 飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G＝mg，得g＝，选项B正确。
2．火星和地球质量的比值为P，火星和地球的半径的比值为q，则火星表面处和地球表面处的重力加速度之比为( )
A. B．Pq2
C. D．Pq
解析：选A 星体表面的重力加速度g＝∝，所以火星表面和地球表面的重力加速度之比为＝·＝，A正确。
3．若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为( )
A.R B.R
C．2R D.R
解析：选C 平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即x＝v0t，在竖直方向上做自由落体运动，即h＝gt2，所以x＝v0 ，两种情况下，抛出的速度相同，高度相同，所以＝，根据公式G＝mg可得g＝，故＝＝，解得R行＝2R，故C正确。
1．发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是( )
A．牛顿、卡文迪许 B．伽利略、卡文迪许
C．开普勒、牛顿 D．第谷、伽利略
解析：选A 牛顿根据行星的运动规律推导出了万有引力定律，经过100多年后，由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置巧妙的测量出了两个铁球间的引力，从而第一次较为准确的得到万有引力常量，故A正确，B、C、D错误。
2．设想把质量为m的物体(可视为质点)放到地球的中心，地球质量为M、半径为R。则物体与地球间的万有引力是( )
A．零 B．无穷大
C. D．无法确定
解析：选A 把物体放到地球的中心时r＝0，此时万有引力定律不再适用。由于地球关于球心对称，所以吸引力相互抵消，整体而言，万有引力为零。
3．在某次测定引力常量的实验中，两金属球的质量分别为m1和m2，球心间的距离为r，若测得两金属球间的万有引力大小为F，则此次实验得到的引力常量为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由万有引力定律公式F＝G得G＝，所以B项正确。
4．假如地球自转速度增大，关于物体所受的重力，下列说法正确的是( )
A．放在赤道地面上物体的万有引力变大
B．放在两极地面上的物体的重力不变
C．放在赤道地面上物体的重力不变
D．放在两极地面上物体的重力增加
解析：选B 地球自转速度增大，物体受到的万有引力不变，选项A错误；在两极，物体受到的万有引力等于其重力，则其重力不变，选项B正确，D错误；而对于放在赤道地面上的物体，F万＝G重＋mω2R，由于ω增大，则G重减小，选项C错误。
5．要使可视为质点的两物体间万有引力减小到原来的，可采取的方法是( )
A．两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的
B．两物体间距离保持不变，仅一个物体质量减为原来的
C．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的
D．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍
解析：选B 根据F＝G知，两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的，则万有引力减小为原来的，故A错误；根据F＝G知，两物体间距离保持不变，仅一个物体质量减为原来的，则万有引力减小为原来的，故B正确；根据F＝G知，两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的，则万有引力变为原来的4倍，故C错误；根据F＝G知，两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍，则万有引力变为原来的，故D错误。
6．甲、乙两星球的平均密度相等，半径之比是R甲∶R乙＝4∶1，则同一物体在这两个星球表面受到的重力之比是( )
A．1∶1 B．4∶1
C．1∶16 D．1∶64
解析：选B 由G＝mg得g甲∶g乙＝M甲R乙2∶M乙R甲2，而M＝ρ·πR3。可以推得G甲∶G乙＝g甲∶g乙＝R甲∶R乙＝4∶1，故选B。
7.两个质量均为M的星体，其连线的垂直平分线为AB，O为两星体连线的中点，如图1所示，一质量为m的物体从O沿OA方向运动，设A离O足够远，则物体在运动过程中受到两个星球万有引力的合力大小变化情况是( )
图1
A．一直增大 B．一直减小
C．先减小后增大 D．先增大后减小
解析：选D 在O点两星球对物体m的万有引力大小相等、方向相反，合力为零；在离O很远的A点，由于距离太大，星球对物体的万有引力非常小，也可以近似认为等于零。由此可见，物体在运动过程中受到两个星球万有引力的合力先增大后减小，D正确。
8．(多选)如图2所示，P、Q为质量均为m的两个质点，分别置于地球表面上的不同纬度上，如果把地球看成一个均匀球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
图2
A．P、Q受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P受地球引力大于Q所受地球引力
解析：选AC 计算均匀球体与质点间的万有引力时，r为球心到质点的距离，因为P、Q到地球球心的距离相同，根据F＝G，P、Q受地球引力大小相等。P、Q随地球自转，角速度相同，但轨道半径不同，根据F＝mrω2，P、Q做圆周运动的向心力大小不同。综上所述，选项A、C正确。
9．两大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F。若两个半径为实心小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )
A．2F B．4F
C．8F D．16F
解析：选D 小铁球之间的引力F＝G＝G，大铁球半径是小铁球2倍，对小铁球有m＝ρV＝ρ，对大铁球有M＝ρV′＝ρ＝8ρ＝8m，两大铁球间的万有引力F′＝G＝G＝16G＝16F，故选D。
10．设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 物体在南极地面所受的支持力等于万有引力，F＝①，
在赤道处，F万－F′＝F向，得F′＝F万－F向，又F向＝mR，则F′＝－mR②，
由①、②式，可得，选项A正确。
11．火星半径是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的，那么地球表面质量为m的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量的人受到火星引力的多少倍？
解析：设火星半径为R，质量为M，则地球半径为2R，质量为9M。
在地球表面人受到的引力F＝G
在火星表面人受到的引力F′＝G；
所以＝，即同质量的人在地球表面受到的引力是在火星表面受到的引力的倍。
答案：倍
12．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′的大小；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为＝，求该星球的质量与地球质量之比。
解析：(1)在地球表面以一定的初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，根据运动学公式可有
t＝。同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间5t小球落回原处，则5t＝
根据以上两式，解得g′＝g＝2 m/s2。
(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即
mg＝，所以M＝
由此可得，＝·＝×＝。
答案：(1)2 m/s2 (2)1∶80
第3节 万有引力定律的应用
1.根据万有引力理论预言了哈雷彗星再次出现的时间，推算出未知天体的轨道。
2．利用地球表面物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝，可以计算出地球的质量。
3．利用万有引力提供向心力，可以计算中心天体的质量。利用M＝πR3ρ，可以计算中心天体的平均密度。
一、预言彗星回归
1．哈雷根据万有引力理论，对1682年出现的哈雷彗星的轨道运动进行了计算，指出了不同年份出现的情况，并预言了再次出现的时间。
2．1743年，克雷洛计算了遥远的木星和土星对哈雷彗星运动规律的影响，指出了运动经过近日点的时间。
3．总之，由万有引力理论可以预知哈雷彗星每次临近地球的时间，并且经过验证都是正确的。
二、预言未知星体
1．英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶，根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星轨道外面“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置发现了这颗行星——海王星。
2．1930年，汤姆博夫根据海王星自身运动不规则性的记载发现了冥王星。
三、计算天体质量
1．测量地球的质量
若不考虑地球的自转，地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力。即有mg＝G，所以地球质量为M＝。
2．计算太阳的质量
(1)基本思路：行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是它们间的万有引力提供的。测量出环绕周期T和环绕半径r。
(2)公式：G＝mr，由此可得太阳质量mS＝。
1．自主思考——判一判
(1)利用万有引力理论，可以预言哈雷彗星再次出现的时间。(√)
(2)天王星、海王星、冥王星都是先理论预言其存在，后观测发现的行星。(×)
(3)天王星是人们经过长期的太空观测而发现的。(√)
(4)牛顿发现了万有引力定律，同时测出了地球的质量。(×)
(5)只要测量出行星的公转周期及它和太阳间距离，就能计算出太阳的质量。(√)
2．合作探究——议一议
(1)如果知道自己的重力，你能求出地球的质量吗？如果能，还需要知道哪些物理量？
提示：能。若用G′表示重力，设自身质量为m，则重力加速度g＝＝，故M＝，所以还需知道地球半径R、引力常量G就可算出地球质量M。
(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？
图3-3-1
提示：能求出地球的质量。利用G＝m2r求出的质量M＝为中心天体的质量。做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量。
天体质量和密度的计算
1．天体质量的计算
(1)“自力更生法”：若已知天体(如地球)的半径R和表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体质量为M＝，因g、R是天体自身的参量，故称“自力更生法”。
(2)“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星，计算中心天体的质量，常见的情况：
G＝m?M＝
G＝mω2r?M＝
G＝m2r?M＝
2．天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝。
将M＝代入上式得：ρ＝。
特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。
[典例] 我国探月的“嫦娥”工程已启动，在不久的将来，我国宇航员就会登上月球。假设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的M点，并沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点N，斜面的倾角为θ，如图3-3-2所示。将月球视为密度均匀、半径为R的球体，引力常量为G，则月球的密度为( )
图3-3-2
A. B.
C. D.
[思路点拨] 利用平抛运动的规律可确定月球表面的重力加速度g，然后利用“自力更生法”求出月球的质量，从而得到月球的密度。
[解析] 根据平抛运动规律有MN·sin θ＝，MN·cos θ＝v0t，两式相比得月球表面的重力加速度g＝，月球对物体的万有引力等于物体的重力，有＝mg，月球的密度ρ＝，解得ρ＝，C正确。
[答案] C
(1)计算天体质量和密度的公式，既可以计算地球质量，也可以计算太阳等其他星体的质量，需明确计算的是中心天体的质量。
(2)要注意理解并区分公式中的R、r，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，只有在近“地”轨道运行时才有r＝R。
1.“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道。观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图3-3-3所示。已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )
图3-3-3
A. B.
C. D.
解析：选A 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r＝，根据转过的角度和时间，可得ω＝，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得G＝mω2r，由以上三式可得M＝，A正确。
2．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G。
(1)则该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？
解析：(1)由万有引力提供卫星的向心力有G＝m2R，
根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝＝。
(2)卫星距天体表面距离为h时，忽略自转有
G＝m(R＋h)，
M＝，
ρ＝＝＝。
答案：(1) (2)
天体运动的分析与计算
1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
2．常用关系
(1)G＝ma＝m＝mω2r＝mr。
(2)忽略自转时，mg＝G(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”。
3．四个重要结论
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由G＝m得v＝ ，r越大，v越小。
(2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小。
(3)由G＝m2r得T＝2π，r越大，T越大。
(4)由G＝ma向得a向＝，r越大，a向越小。
[典例] 据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”。该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的( )
A．轨道半径之比约为
B．轨道半径之比约为
C．向心加速度之比约为
D．向心加速度之比约为
[思路点拨]
(1)“超级地球”绕母星的运动规则与地球绕太阳的运动规则相同。
(2)绕行天体的向心加速度由中心天体对它的万有引力产生。
[解析] 由公式G＝m2r，可得通式r＝，设“55 Cancri e”的轨道半径为r1，地球轨道半径为r2，则＝＝，从而判断A错，B对；再由G＝ma得通式a＝G，则＝·＝＝ ，所以C、D皆错。
[答案] B
(1)分析该类问题的关键是抓住“万有引力提供向心力”这一主线。
(2)定量计算时，除抓住以上主线外，有时要借助于“黄金代换式”才能顺利解决问题。
1.研究火星是人类探索向火星移民的一个重要步骤。设火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道在地球轨道外侧，如图3-3-4所示，与地球相比较，则下列说法中正确的是( )
图3-3-4
A．火星运行速度较大
B．火星运行角速度较大
C．火星运行周期较大
D．火星运行的向心加速度较大
解析：选C 根据万有引力提供向心力G＝m＝mω2r＝mr＝ma，得v＝，ω＝，T＝2π ，a＝，由此可知，轨道半径越大，周期越大，但速度、角速度、加速度越小，因火星的轨道半径比地球的轨道半径大，故火星的周期大，但火星的速度、角速度、加速度都较小，故C正确，A、B、D错误。
2．已知地球半径R＝6.4×106 m，地面附近重力加速度g＝9.8 m/s2，计算在距离地面高为h＝2.0×106 m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T。
解析：根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即
G＝m。
知v＝。①
由地球表面附近的物体受到的万有引力近似等于重力，
即G＝m′g，得GM＝gR2。②
由①②两式可得
v＝ ＝6.4×106× m/s
＝6.9×103 m/s。
运动周期T＝
＝ s
＝7.6×103 s。
答案：6.9×103 m/s 7.6×103 s
宇宙双星问题
1．宇宙双星：相距较近仅在彼此的引力作用下围绕它们的连线上的某一固定点(圆心)做匀速圆周运动的两颗恒星。
2．双星特点
(1)两颗恒星的向心力大小相等，都是由相互作用的万有引力提供。
(2)两颗恒星的角速度、周期相同。
[典例] 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。设二者的质量分别为m1和m2，二者相距L。求：
(1)双星的轨道半径之比；
(2)双星的线速度之比；
(3)双星的运动周期。
[思路点拨] 处理双星问题的依据仍是万有引力充当向心力，但需充分利用双星模型的特点，并将其作为附加条件才能分析和求解相关问题。
[解析] 如图所示，两者轨迹圆的圆心为O，半径分别为R1和R2。由万有引力提供向心力，有G＝m1R1①
G＝m2R2②
(1)由①②两式相除，得＝。
(2)因为v＝，所以＝＝。③
(3)将①式消去“m1”，②式消去“m2”后相加得
＝(R1＋R2)④
又由几何关系知R1＋R2＝L⑤
所以由④⑤两式可得T＝2π 。
[答案] (1) (2) (3)2π
双星模型的两个重要结论
(1)双星模型中，星体运动的轨道半径和质量成反比，即r1∶r2＝m2∶m1，双星系统的转动中心离质量较大的星体近。
(2)双星系统的转动周期与双星的距离L、双星的总质量(m1＋m2)有关，即T＝2π 。
1.现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，事实上，冥王星也是和另一星体构成双星，如图3-3-5所示，这两颗行星m1、m2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终为L，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2，则( )
图3-3-5
A．它们的角速度大小之比为2∶3
B．它们的线速度大小之比为3∶2
C．它们的质量之比为3∶2
D．它们的周期之比为2∶3
解析：选B 双星的角速度和周期都相同，故A、D均错；由G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2，解得m1∶m2＝r2∶r1＝2∶3，C错误。由v＝ωr知，v1∶v2＝r1∶r2＝3∶2，B正确。
2．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的质量之和。
解析：设两星质量分别为M1、M2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O点的距离分别为l1、l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得：
对M1：G＝M12l1，
所以M2＝；
对M2：G＝M22l2，
所以M1＝；
而R＝l1＋l2，
所以，两星的质量之和：
M＝M1＋M2＝＋＝。
答案：
1．下列说法正确的是( )
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星
解析：选D 由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星。由此可知，A、B、C错误，D正确。
2．为了研究太阳演化的进程需知太阳的质量，已知地球的半径为R，地球的质量为m，日地中心的距离为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 地球绕太阳运动有G＝mr，对地球表面的物体有m′g＝G，联立解得M日＝，A正确。
3．地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝G，又地球质量M＝ρV＝πR3ρ。代入上式化简可得ρ＝，A正确。
4.如图1所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( )
图1
A.＝ B.＝
C.＝2 D.＝2
解析：选A 对人造卫星，根据万有引力提供向心力＝m，可得v＝ 。 所以对于a、b两颗人造卫星有＝，故选项A正确。
5．(多选)科学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t。若还已知万有引力常量G，月球绕地球旋转(可看成匀速圆周运动)的周期T，光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)。则由以上物理量可以求出( )
图2
A．月球到地球的距离 B．地球的质量
C．月球受地球的引力 D．月球的质量
解析：选AB 根据激光往返时间为t和激光的速度可求出月球到地球的距离，A正确；又因知道月球绕地球旋转的周期T，根据G＝m2r可求出地球的质量M＝，B正确；根据题中数据只能计算中心天体的质量，D不对；因不知月球的质量，无法计算月球受地球的引力，C也不对。
6．火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1与T2之比为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 火星探测器绕火星做圆周运动过程中，火星对探测器的万有引力提供向心力，即G＝mR12?T1＝ ，同理可知飞船绕地球的周期T2＝ ，所以＝ ＝ ，D项正确。
7．(多选)据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是行星的连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度的大小和该层至行星中心的距离R，以下判断中正确的是( )
A．若v与R成正比，则环是连续物
B．若v与R成反比，则环是连续物
C．若v2与R成反比，则环是卫星群
D．若v2与R成正比，则环是卫星群
解析：选AC 若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转的角速度相同，故v与R成正比，A对，B错。若环是行星的卫星群，则由G＝m可得v2＝G，即v2与R成反比，C对，D错。
8．假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋m2R＝G，以上两式联立解得地球的密度ρ＝。故选项B正确，选项A、C、D错误。
9．(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是( )
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的运行周期和轨道半径
解析：选AD 根据线速度和角速度可以求出半径r＝，根据万有引力提供向心力，则有＝m，整理可得M＝，故选项A正确；由于卫星的质量m可约掉，故选项B、C错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，则＝m2r，整理得M＝，故选项D正确。
10．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )
A.T B.T
C.T D.T
解析：选B 设m1的轨道半径为R1，m2的轨道半径为R2，两星之间的距离为L。
由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同。由向心力公式可得：
对m1：G＝m1R1…①
对m2：G＝m2R2…②
又因为R1＋R2＝L，m1＋m2＝M
由①②式可得：T＝2π
所以当两星总质量变为kM，两星之间的距离变为原来的n倍，圆周运动的周期为T′＝2π＝T，故A、C、D错误，B正确。
11．经过近7年时间，在太空中穿行35亿千米后，美航天局和欧航天局合作研究出的“卡西尼”号土星探测器抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族，这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测。若“卡西尼”号土星探测器进入环绕土星上空的圆轨道飞行，已知土星半径为R，探测器离土星表面高度为h，环绕n周的飞行时间为t。求土星的质量M和平均密度ρ(球体体积公式V＝)。
解析：土星对探测器的引力提供探测器运行的向心力：
G＝m(R＋h)，
探测器运行的周期：T＝，
联立以上二式解得土星的质量为M＝，
由M＝Vρ和V＝联立解得土星的平均密度ρ为
ρ＝。
答案：
12．假想科学家在宇宙中观测到一个星球以角速度ω自转，如果阻止它离心“瓦解”的力是万有引力，这个星球的密度应该有一个最小值，写出这个最小值的表达式。蟹状星云中心天体的自转周期为0.33 s，则其是否可能是一种白矮星？(白矮星的密度是109～1011 kg/m3)
解析：设该星球的质量为M，半径为R，取该星球表面赤道处的一小物体作为研究对象，设其质量为m。万有引力提供向心力，为确保小物体m不飘离该星球，则有G≥mω2R①
即M ≥
所以星球的最小密度ρmin＝＝②
蟹状星云中心天体的自转周期T＝0.33 s
角速度ω＝③
将③代入②得蟹状星云中心天体的最小密度
ρmin≈1.3×1012 kg/m3
由于以上密度值不在白矮星的密度范围内，所以不是白矮星。
答案：ρmin＝ 否
第4节 人造卫星__宇宙速度
1．第一宇宙速度为7.9 km/s，其意义为最小发射速度或最大环绕速度。
2．第二宇宙速度为11.2 km/s，其意义表示物体脱离地球的束缚所需要的最小发射速度。
3．第三宇宙速度为16.7 km/s，其意义为物体脱离太阳引力的束缚所需的最小发射速度。
4．同步卫星的线速度、角速度、周期、轨道、向心加速度均是一定的。
一、人造卫星
1．卫星：一些自然的或人工的在太空绕行星运动的物体。
2．原理：一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，向心力由地球对它的万有引力提供，即G＝m，则卫星在轨道上运行的线速度v＝。
二、宇宙速度
1．第一宇宙速度
使卫星能环绕地球运行所需的最小发射速度，其大小为v1＝7.9_km/s，又称环绕速度。
2．第二宇宙速度
使人造卫星脱离地球的引力束缚，不再绕地球运行，从地球表面发射所需的最小速度，其大小为v2＝11.2_km/s，又称脱离速度。
3．第三宇宙速度
使物体脱离太阳的束缚而飞离太阳系，从地球表面发射所需的最小速度，其大小为v3＝16.7_km/s，也叫逃逸速度。
1．自主思考——判一判
(1)在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9 km/s。(√)
(2)绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的速度可以是10 km/s。(×)
(3)无论从哪个星球上发射卫星，发射速度都要大于7.9 km/s。(×)
(4)当发射速度v>7.9 km/s时，卫星将脱离地球的吸引，不再绕地球运动。(×)
(5)如果在地面发射卫星的速度大于11.2 km/s，卫星会永远离开地球。(√)
(6)要发射一颗人造月球卫星，在地面的发射速度应大于16.7 km/s。(×)
2．合作探究——议一议
(1)人造卫星能够绕地球转动而不落回地面，是否是由于卫星不再受到地球引力的作用？
图3-4-1
提示：不是，卫星仍然受到地球引力的作用，但地球引力全部用来提供向心力。
(2)通常情况下，人造卫星总是向东发射的，为什么？
提示：由于地球的自转由西向东，如果我们顺着地球自转的方向，即向东发射卫星，就可以充分利用地球自转的惯性，节省发射所需要的能量。
(3)“天宫一号”目标飞行器在距地面355 km的轨道上做圆周运动，它的线速度比7.9 km/s大还是小？
提示：第一宇宙速度7.9 km/s是卫星(包括飞船)在地面上空做圆周运动飞行时的最大速度，是卫星紧贴地球表面飞行时的速度。“天宫一号”飞行器距离地面355 km，轨道半径大于地球半径，运行速度小于7.9 km/s。
人造卫星的运动规律
1．人造卫星的轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球对它的万有引力充当向心力。因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合，而这样的轨道有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过两极点上空的极地轨道。当然也存在着与赤道平面呈某一角度的圆轨道。如图3-4-2所示。
图3-4-2
2．人造卫星的运行规律：人造卫星的运行规律类似行星运行规律。
(1)常用关系式
①G＝ma＝m＝mω2r＝mr。
②mg＝G。
(2)常用结论：卫星离地面高度越高，其线速度越小，角速度越小，周期越大，向心加速度越小。可以概括为“越远越慢”。
3．同步卫星
地球同步卫星是指在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运动的卫星，同步卫星又叫通讯卫星。同步卫星有以下几个特点：
特点
理解
周期一定
同步卫星在赤道上空相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，即T＝24 h
轨道一定
由于与地球的自转同步，同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重合。由G＝mr得r＝，所有同步卫星的轨道半径相同，离地高度也就相同
环绕速度
大小一定
由v＝知所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的(3.08 km/s)
角速度
一定
同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度
向心加速度
大小一定
由G＝ma得a＝，所有同步卫星运动的向心加速度大小都相同
[典例] (多选)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图3-4-3所示，则( )
图3-4-3
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．在相同时间内b转过的弧长最长
C．c在2小时内转过的圆心角是
D．d的运动周期有可能是20小时
[思路点拨] 同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，角速度相同，根据a＝ω2r比较a与c的向心加速度大小，再比较c的向心加速度与g的大小。根据万有引力提供向心力，列出等式得出角速度与半径的关系，分析弧长关系。根据开普勒第三定律判断d与c的周期关系。
[解析] 同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大，由G＝mg，得g＝，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；由G＝m，得v＝，卫星的半径越大，线速度越小，所以b的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B正确；c是地球同步卫星，周期是24 h，则c在2 h内转过的圆心角是，故C正确；由开普勒第三定律＝k知，卫星的半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期24 h，故D错误。
[答案] BC
(1)人造卫星的a、v、ω、T由地球的质量M和卫星的轨道半径r决定，当r确定后，卫星的a、v、ω、T便确定了，与卫星的质量、形状等因素无关，当人造卫星的轨道半径r发生变化时，其a、v、ω、T都会随之改变。
(2)在处理人造卫星的a、v、ω、T与半径r的关系问题时，常用公式“gR2＝GM”来替换出地球的质量M，会使问题解决起来更方便。
1.国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
图3-4-4
A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3
解析：选D 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G＝m1a1，即a1＝，对于东方红二号，有G＝m2a2，即a2＝，由于h2＞h1，故a1＞a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a＝ω2r，故a2＞a3，所以a1＞a2＞a3，选项D正确，选项A、B、C错误。
2．(多选)我国“中星11号”商业通信卫星是一颗同步卫星，它定点于东经98.2度的赤道上空，关于这颗卫星的说法正确的是( )
A．运行速度大于7.9 km/s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
解析：选BC “中星11号”是地球同步卫星，距地面有一定的高度，运行速度要小于7.9 km/s，A错。其位置在赤道上空，高度一定，且相对地面静止，B正确。其运行周期为24小时，小于月球的绕行周期27天，由ω＝知，其运行角速度比月球大，C正确。同步卫星与静止在赤道上的物体具有相同的角速度，但半径不同，由a＝rω2知，同步卫星的向心加速度大，D错。
3．(多选)在圆轨道上质量为m的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球的半径R，地球表面的重力加速度为g，则( )
A．卫星运动的线速度为
B．卫星运动的周期为4π
C．卫星的向心加速度为g
D．卫星的角速度为
解析：选BD 对卫星，万有引力提供向心力，有G＝m。在地球的表面又有g＝。v＝ ＝，A错误。卫星的周期T＝＝＝4π ，B正确。卫星的向心加速度a＝＝＝，C错误。卫星的角速度ω＝＝ ，D正确。
对宇宙速度的理解
1．第一宇宙速度
(1)推导
对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R＝6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，取g＝9.8 m/s2，则
(2)决定因素
由第一宇宙速度的计算式v＝ 可以看出，第一宇宙速度的值由中心天体决定，第一宇宙速度的大小取决于中心天体的质量M和半径R，与卫星无关。
(3)理解
①“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
②“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由G＝m可得v＝ ，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，近地卫星的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度。
2．发射速度与运行速度的对比
(1)三种宇宙速度都是指卫星的发射速度，而不是在轨道上的运行速度。
(2)人造地球卫星的发射速度与运行速度的大小关系：v运行≤7.9 km/s≤v发射<11.2 km/s。
[典例] 已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A．3.5 km/s B．5.0 km/s
C．17.7 km/s D．35.2 km/s
[思路点拨] 航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动时由万有引力提供向心力。计算速率时可以借助于近地卫星采用比值法。而近地卫星的速度就是第一宇宙速度(7.9 km/s)。
[解析] 根据题设条件可知：M地＝10 M火，R地＝2R火，由万有引力提供向心力＝m，可得v＝，即＝＝，因为地球的第一宇宙速度为v地＝7.9 km/s，所以航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率v火≈3.5 km/s，选项A正确。
[答案] A
第一宇宙速度v＝＝，也可应用于其他星体，只不过公式中的M、R、g应为相应天体的质量、半径和表面重力加速度。
1．一探月卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
解析：选B 对于环绕地球或月球的人造卫星，其所受万有引力即为它们做圆周运动所需向心力，即G＝m，所以v＝。第一宇宙速度指的是最小发射速度，同时也是近地卫星的环绕速度。对于地球的近地卫星来说，其轨道半径近似等于地球半径，探月卫星绕月飞行的轨道半径约等于月球半径，所以＝＝＝，所以v月＝v地＝×7.9 km/s≈1.8 km/s。故正确答案为B。
2．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落点之间的距离为L。已知两落点在同一水平面上，该星球的质量为M，引力常量为G。求该星球的第一宇宙速度。
解析：设第一次抛出速度为v、高度为h，根据题意可得(如图所示)：
L2＝h2＋(vt)2
依图可得：(L)2＝h2＋(2vt)2
又h＝gt2，
解方程组得g＝。
根据万有引力等于重力得，mg＝G
解得R＝ ＝ 。
根据mg＝m
解得第一宇宙速度v＝＝。
答案：
卫星变轨问题
1．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，满足G＝m。
2．当卫星由于某种原因速度改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行。
(1)当卫星的速度突然增加时，G(2)当卫星的速度突然减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，卫星的发射和回收就是利用这一原理。
3．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同。
4．飞船对接问题：两飞船实现对接前应处于高低不同的两轨道上，目标船处于较高轨道，在较低轨道上运动的对接船通过合理地加速，做离心运动而追上目标船与其完成对接。
1.我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
图3-4-5
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
解析：选C 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；同理，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误。
2.如图3-4-6所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
图3-4-6
A．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同
B．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同
C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同速度
解析：选B 在P点，沿轨道1运行时，地球对人造卫星的引力大于人造卫星做圆周运动需要的向心力，即F引＞，沿轨道2运行时，地球对人造卫星的引力刚好能提供人造卫星做圆周运动的向心力，即F引＝，故v1＜v2，选项A错误；在P点，人造卫星在轨道1和轨道2运行时，地球对人造卫星的引力相同，由牛顿第二定律可知，人造卫星在P点的加速度相同，选项B正确；在轨道1的不同位置，地球对人造卫星引力大小不同，故加速度也不同，选项C错误；在轨道2上不同位置速度方向不同，选项D错误。
1. (多选)如图1中的圆a、b、c，其圆心均位于地球的自转轴线上，对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言，以下说法正确的是( )
图1
A．卫星的轨道可能为a
B．卫星的轨道可能为b
C．卫星的轨道可能为c
D．同步卫星的轨道只可能为b
解析：选BCD 由于物体做匀速圆周运动时，合力一定是指向圆心的，所以地球卫星的圆心应与地球球心重合，A错误，B、C正确。同步卫星的轨道必须在赤道上方，选项D正确。
2.如图2所示，在1687年出版的《自然哲学的数学原理》一书中，牛顿曾设想在高山上水平抛出物体，若速度一次比一次大，落点就一次比一次远。当速度足够大时，物体就不会落回地面而成为人造卫星了，这个足够大的速度至少为(不计空气阻力)( )
图2
A．340 m/s B．7.9 km/s
C．11.2 km/s D．3.0×108 m/s
解析：选B 当物体的速度大到向心力恰好等于地球的万有引力时，物体就能成为地球的卫星而不落到地球上，这个足够大的速度是地球的第一宇宙速度，大小是7.9 km/s，B正确。
3．2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课。在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小( )
A．等于7.9 km/s
B．介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
C．小于7.9 km/s
D．介于7.9 km/s和16.7 km/s之间
解析：选C 卫星在圆形轨道上运动的速度v＝ 。由于r＞R，所以v＜ ＝7.9 km/s，C正确。
4．(多选)假如做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍后，仍做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．根据公式v＝ωr可知卫星运动的线速度增大到原来的2倍
B．根据公式F＝可知卫星所需的向心力将减小到原来的
C．根据公式F＝G可知地球提供的向心力减小到原来的
D．根据上述B和C中给出的公式可知，卫星运行的线速度减小到原来的
解析：选CD 卫星绕地球做匀速圆周运动时，所需向心力由万有引力提供，故F向＝G＝＝mω2r，得F＝G，v＝，ω＝，故v减小到原来的，ω减小到原来的，F减小到原来的，C、D正确。
5．使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1。已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的。不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设某星球的质量为M，半径为r，绕其飞行的卫星质量m，由万有引力提供向心力得：＝
解得：v1＝ ①
又因它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的。
得：＝m②
v2＝v1③
由①②③解得：v2＝，故选B。
6．已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是( )
A．卫星距离地面的高度为
B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C．卫星运行时受到的向心力大小为G
D．卫星运行的向心加速度大于地球表面的重力加速度
解析：选B 根据万有引力提供向心力，＝，r＝R＋h，解得h＝－R，故A错误；第一宇宙速度为v1＝ ，故B正确；卫星运行时受到的向心力大小是，故C错误；地表重力加速度为g＝，卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。
7. (多选)2013年12月2日，肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面100 km的P点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100 km的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，在经过P点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球15公里的椭圆轨道Ⅲ，然后择机在近月点下降进行软着陆，如图3所示，则下列说法正确的是( )
图3
A．“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的周期最长
B．“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上运动的周期最长
C．“嫦娥三号”经过P点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大
D．“嫦娥三号”经过P点时，在三个轨道上的加速度相等
解析：选AD 由于“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的半长轴大于在轨道Ⅱ上运动的半径，也大于轨道Ⅲ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为TⅠ>TⅡ>TⅢ，故A正确，B错误。“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在P点进行“刹车制动”，所以经过P点时，在三个轨道上的线速度关系为vⅠ>vⅡ>vⅢ，所以C错误；由于“嫦娥三号”在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故D正确。
8．(多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是( )
A.＝ B.＝2
C.＝ D.＝
解析：选AD 设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，近地卫星的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系有：
a1＝ω12r，a2＝ω22R，ω1＝ω2
故＝，可知选项A正确，B错误。
由万有引力定律得：对同步卫星：G＝m1
对近地卫星：G＝m2
由以上两式解得：＝，可知选项D正确，C错误。
9．(多选)据英国《卫报》网站2015年1月6日报道，在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星，绕恒星橙矮星运行，命名为“开普勒438b”。假设该行星与地球绕恒星均做匀速圆周运动，其运行的周期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳的q倍。则该行星与地球的( )
A．轨道半径之比为 B．轨道半径之比为
C．线速度之比为 D．线速度之比为
解析：选AC 行星公转的向心力由万有引力提供，根据牛顿第二定律，有：＝mR，解得：R＝，该行星与地球绕恒星均做匀速圆周运动，其运行的周期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳的q倍，故：＝＝，故A正确，B错误；根据v＝，有：＝·＝·＝，故C正确，D错误。
10．(多选)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动。图4中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同。则( )
图4
A．P1的平均密度比P2的大
B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小
C．s1的向心加速度比s2的大
D．s1的公转周期比s2的大
解析：选AC 由图像左端点横坐标相同可知，P1、P2两行星的半径R相等，对于两行星的近地卫星：G＝ma，得行星的质量M＝，由a-r2图像可知P1的近地卫星的向心加速度大，所以P1的质量大，平均密度大，选项A正确；根据G＝得，行星的第一宇宙速度v＝ ，由于P1的质量大，所以P1的第一宇宙速度大，选项B错误；s1、s2的轨道半径相等，由a-r2图像可知s1的向心加速度大，选项C正确；根据G＝m2r得，卫星的公转周期T＝2π ，由于P1的质量大，故s1的公转周期小，选项D错误。
11．已知地球的半径是6.4×106 m，地球的自转周期是24 h，地球的质量是5.98×1024kg，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，若要发射一颗地球同步卫星，试求：
(1)地球同步卫星的轨道半径r；
(2)地球同步卫星的环绕速度v。
解析：(1)根据万有引力提供向心力得＝mω2r，ω＝，则r＝
＝ m≈4.2×107 m。
(2)根据＝m得：
v＝＝ m/s≈3.1×103 m/s＝3.1 km/s。
答案：(1)4.2×107 m (2)3.1×103 m/s
12．取地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，地球表面的重力加速度为g＝10 m/s2，某行星的质量是地球的8倍，半径是地球的2倍，则此行星的第一宇宙速度大小为多少？一个质量60 kg的人在该行星表面上的重力大小是多少？
解析：设卫星的质量为m，中心天体的质量为M，半径为R，天体的第一宇宙速度即为卫星绕天体表面做圆周运动的运行速度，设为v。
即F向＝F引，
所以＝，
解得v＝ 。①
由题意可得M行＝8M地，R行＝2R地，②
由①②得v行＝2v地＝15.8 km/s。
设人的质量为m′，当人在一个中心天体表面上时有
m′g＝F引，
所以m′g＝，
解得g＝。③
由②③得：g行＝2g地＝20 m/s2。
所以在该行星表面上，一个质量60 kg的人的重力大小为m′g行＝1 200 N。
答案：15.8 km/s 1 200 N
万有引力定律的应用
1.如图1所示，某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运转周期大约是( )
图1
A.天 B.天
C．1天 D．9天
解析：选C 由于r卫＝r月，T月＝27天，由开普勒第三定律＝，可得T卫＝1天，故选项C正确。
2．卫星电话在抢险救灾中能发挥重要作用。第一代、第二代海事卫星只使用静止轨道卫星，不能覆盖地球上的高纬度地区。而第三代海事卫星采用同步和中轨道卫星结合的方案，解决了覆盖全球的问题。它由4颗同步卫星与12颗中轨道卫星构成。中轨道卫星高度约为地球半径的2倍，分布在几个轨道平面上(与赤道平面有一定的夹角)。地球表面处的重力加速度为g，则中轨道卫星处的重力加速度约为( )
A. B.
C．4g D．9g
解析：选B 由题意可知中轨道卫星的轨道半径是地球半径的3倍，设地球半径为R，则中轨道卫星的轨道半径为3R，在地球表面有：G＝mg
对中轨道卫星有：G＝ma
解得：a＝，故选B。
3．人造卫星在太空绕地球运行中，若天线偶然折断，天线将( )
A．继续和卫星一起沿轨道运行
B．做平抛运动，落向地球
C．由于惯性，沿轨道切线方向做匀速直线运动，远离地球
D．做自由落体运动，落向地球
解析：选A 当地球对卫星的万有引力提供向心力时，人造卫星绕地球做匀速圆周运动，由：G＝m得，v＝ 。卫星的天线偶然折断了，天线的线速度不变，其受到的万有引力恰好为天线提供绕地球做圆周运动的向心力。所以天线继续和卫星一起沿轨道做匀速圆周运动。故A正确，B、C、D错误。
4. (多选)某行星绕太阳沿椭圆轨道运行，如图2所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点，若行星运动周期为T，则该行星( )
图2
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab<
D．c到d的时间tcd>
解析：选CD 根据开普勒第二定律知行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。行星由a到b运动时的平均速度大于由c到d运动时的平均速度，而弧长ab等于弧长cd，故A错误；同理可知B错误；在整个椭圆轨道上tab＝tda<，tcd＝tbc>，故C、D正确。
5．恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星。中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人。若某中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为
A．7.9 km/s B．16.7 km/s
C．2.9×104 km/s D．5.8×104 km/s
解析：选D 中子星上的第一宇宙速度即为它表面处的飞行器的环绕速度。飞行器的轨道半径近似认为是该中子星的半径，且中子星对飞行器的万有引力充当向心力，由G＝m，得v＝ ，又M＝ρV＝ρ，得v＝r＝1×104× m/s＝5.8×107 m/s＝5.8×104 km/s。
6.三个人造地球卫星A、B、C，在地球的大气层外沿如图3所示的方向做匀速圆周运动，已知mA＝mB＜mC，则下列关于三个卫星的说法中错误的是( )
图3
A．线速度大小的关系是vA＞vB＝vC
B．周期关系是TA＜TB＝TC
C．向心力大小的关系是FA＝FB＜FC
D．轨道半径和周期的关系是＝＝
解析：选C 卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，由F＝，mA＝mB＜mC，rA＜rB＝rC，知FA＞FB，FB＜FC；由＝mr＝知，v＝ ，vA＞vB＝vC；由于＝，所以TA＜TB＝TC，＝＝，综上所述此题应选C。
7．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A. B．1
C．5 D．10
解析：选B 行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝m r，则＝3·2＝3×2≈1，选项B正确。
8．登上火星是人类的梦想。“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表，火星和地球相比( )
行星
半径/m
质量/kg
轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
A.火星的公转周期较小
B．火星做圆周运动的加速度较小
C．火星表面的重力加速度较大
D．火星的第一宇宙速度较大
解析：选B 火星和地球都绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，由＝mr＝ma知，因r火＞r地，而＝，故T火＞T地，选项A错误；向心加速度a＝，则a火＜a地，故选项B正确；地球表面的重力加速度g地＝，火星表面的重力加速度g火＝，代入数据比较知g火＜g地，故选项C错误；地球和火星上的第一宇宙速度：v地＝ ，v火＝ ，v地＞v火，故选项D错误。
9．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A．1－ B．1＋
C.2 D.2
解析：选A 令地球的密度为ρ，则在地球表面，物体的重力和地球对物体的万有引力大小相等，有：g＝G，由于地球的质量为：M＝ρπR3，所以重力加速度的表达式可写成：
g＝＝G＝GρπR。
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，在深度为d的井底，物体受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g′＝Gρπ(R－d)，所以有＝＝＝1－，故选A。
10．中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T＝ s。
问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？计算时星体可视为均匀球体。(引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)
解析：考虑中子星赤道处一小块物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，自转角速度为ω，位于赤道处的小块物体质量为m，则有＝mω2R，ω＝，M＝πR3ρ，由以上各式得ρ＝，代入数据解得ρ≈1.27×1014 kg/m3。
答案：1.27×1014 kg/m3
11．甲、乙两颗人造地球卫星在同一轨道平面上的不同高度处同向运行，甲距地面高度为地球半径的0.5倍，乙距地面高度为地球半径的5倍，两卫星在某一时刻正好位于地球表面某处的正上空，试求：
(1)两卫星运行的速度之比；
(2)乙卫星至少经过多少周期时，两卫星间的距离达到最大？
解析：(1)卫星的向心力由万有引力提供，＝，
得：v＝
所以：＝＝ ＝。
(2)卫星的向心力由万有引力提供：＝m
得：T＝
所以：＝＝
又因为卫星间的距离第一次最大时，它们转过的角度差为π，可得：t－t＝π
解得：t＝。
答案：(1)2∶1 (2)
12．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m。
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少？
解析：(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，受力分析如图甲所示，根据牛顿第二定律和万有引力定律有
F1＝，F2＝
F1＋F2＝ ①
运动星体的线速度v＝ ②
设周期为T，则有T＝ ③
T＝4π 。 ④
(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为
R′＝ ⑤
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，受力分析如图乙所示，由力的合成和牛顿运动定律有
F合＝2cos 30° ⑥
F合＝mR′ ⑦
由④⑤⑥⑦式得r＝R。
答案：(1) 4π (2)R
