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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
12.5 复 数（答案）
知识回顾
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
例题精讲
考点一 复数的概念
【变式训练1】（1）在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数 =（ ）
A. 1+2i B. 1﹣2i C. 2+i D. 2﹣i
【答案】A
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由复数z对应的点是Z（1，﹣2）， 得z=1﹣2i．
则复数z的共轭复数 =1+2i．
故选：A．
【分析】由复数z对应的点是Z（1，﹣2），得z=1﹣2i，则复数z的共轭复数可求．
（2）设i为虚数中单位，若复数z= +i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a=（ ）
A. ﹣ B. ﹣ C. ﹣1 D. ﹣5
【答案】A
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：z= +i= ， ∵复数z= +i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，
∴ ，解得a= ．
故选：A．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合已知列式求得a值．
（3）复数 的实部与虚部之和为（ ）
A. 5 B. 3 C. ﹣3 D. ﹣5
【答案】D
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】解： ，其实部与虚部之和为﹣5．
故答案为：D．
【分析】进行复数的运算，得到虚部和实部之和.21世纪教育网版权所有
48.
考点二 复数的几何意义
【变式训练2】设z=1﹣i（i为虚数单位），若复数 ﹣z2在复平面内对应的向量为 ，则向量 的模是（ ） 21*cnjy*com
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数求模
【解析】【解答】解：∵z=1﹣i，∴ ﹣z2= ， ∴复数 ﹣z2在复平面内对应的点的坐标为（1，3），向量为 =（1，3），
则| |= ．
故选：D．
【分析】把z=1﹣i代入 ﹣z2 ， 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数 ﹣z2在复平面内对应的点的坐标，的 的坐标，再由向量模的公式求解．
考点三 复数代数形式的四则运算
【变式训练3】已知a为实数，若复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则 的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. 1+i D. 1﹣i
【答案】D
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，可得a=1， = = =1﹣i．
故选：D．
【分析】利用复数是纯虚数求出a，然后利用复数的幂运算以及复数的除法运算法则化简求解即可．
真题精析
一、单选题
1.（2017 山东）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+ i，z =4，则a=（ ）
A. 1或﹣1 B. 或﹣ C. ﹣ D.
【答案】A
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由z=a+ i，则z的共轭复数 =a﹣ i，
由z =（a+ i）（a﹣ i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，
∴a的值为1或﹣1，
故选A．
【分析】求得z的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a的值．
2.（2017 新课标Ⅲ）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【考点】复数求模
【解析】【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．
则|z|= ．
故选：C．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
3.（2017 新课标Ⅲ）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．
故选：C．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
4.（2017·山东）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（ ）
A. ﹣2i B. 2i C. ﹣2 D. 2
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵复数z满足zi=1+i，
∴z= =1﹣i，
∴z2=﹣2i，
故选：A．
【分析】根据已知，求出z值，进而可得答案．
5.（2017 北京卷）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A. （﹣∞，1） B. （﹣∞，﹣1） C. （1，+∞） D. （﹣1，+∞）
【答案】B
【考点】虚数单位i及其性质，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，
∴ ，解得a＜﹣1．
则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：B．
【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得 ，解得a范围．
6.（2017 新课标Ⅱ）（1+i）（2+i）=（ ）
A. 1﹣i B. 1+3i C. 3+i D. 3+3i
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i．
故选：B．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
7.（2017 新课标Ⅰ卷）设有下面四个命题
p1：若复数z满足 ∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1 ， z2满足z1z2∈R，则z1= ；
p4：若复数z∈R，则 ∈R．
其中的真命题为（ ）
A. p1 ， p3 B. p1 ， p4 C. p2 ， p3 D. p2 ， p4
【答案】B
【考点】命题的真假判断与应用，复数的基本概念
【解析】【解答】解：若复数z满足 ∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；
p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z R，故命题p2为假命题；
p3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠ ，故命题p3为假命题；
p4：若复数z∈R，则 =z∈R，故命题p4为真命题．
故选：B．
【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．
8.（2017 新课标Ⅰ卷）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A. i（1+i）2 B. i2（1﹣i） C. （1+i）2 D. i（1+i）
【答案】C
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：A．i（1+i）2=i 2i=﹣2，是实数．
B．i2（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数．
C．（1+i）2=2i为纯虚数．
D．i（1+i）=i﹣1不是纯虚数．
故选：C．
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．
9.（2017 新课标Ⅱ） =（ ）
A. 1+2i B. 1﹣2i C. 2+i D. 2﹣i
【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： = = =2﹣i，
故选 D．
【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．
10.（2014 浙江）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点】充要条件，复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，
故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；
当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，
故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；
综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；
故选A
【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1” “（a+bi）2=2i”与“a=b=1” “（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．
11.（2014 天津）i是虚数单位，复数 =（ ）
A. 1﹣i B. ﹣1+i C. + I D. ﹣ + iwww-2-1-cnjy-com
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数 = = ，
故选A．
【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．
12.（2014 新课标II）设复数z1 ， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（ ）
A. ﹣5 B. 5 C. ﹣4+i D. ﹣4﹣i
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），
∵复数z1 ， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），
则对应的复数，z2=﹣2+i，
则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，
故选：A
【分析】根据复数的几何意义求出z2 ， 即可得到结论．
13.设z= ，则z的共轭复数为（ ）
A. ﹣1+3i B. ﹣1﹣3i C. 1+3i D. 1﹣3i
【答案】D
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵z= = ，
∴ ．
故选：D．
【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．
14.（2013 辽宁）复数 的模长为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【考点】复数求模
【解析】【解答】解：复数 ，
所以 = = = ．
故选B．
【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．【出处：21教育名师】
15.（2013 山东）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数 为（ ）
A. 2+i B. 2﹣i C. 5+i D. 5﹣i
【答案】D
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，
∴z﹣3= =2+i
∴z=5+i，
∴ =5﹣i．
故选D．
【分析】利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数 ．
16.（2013 新课标Ⅱ）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（ ）
A. ﹣1+i B. ﹣1﹣i C. 1+i D. 1﹣i2-1-c-n-
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，
∴z= =﹣1+i
故选A．
【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．
17.（2013 新课标Ⅰ）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（ ）
A. ﹣4 B. C. 4 D.
【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z= = = = + i，
故z的虚部等于 ，
故选：D．
【分析】由题意可得 z= = ，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 + i，由此可得z的虚部．
18.（2014 湖南）满足 =i（i为虚数单位）的复数z=（ ）
A. + i B. ﹣ i C. ﹣ + i D. ﹣ ﹣ i
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵ =i，
∴z+i=zi，
即z= = = ﹣ i，
故选：B．
【分析】根据复数的基本运算即可得到结论．
二、填空题
19.（2017 上海）已知复数z满足z+ =0，则|z|=________．
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由z+ =0， 得z2=﹣3，
设z=a+bi（a，b∈R），
由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，
即 ，解得： ．
∴ ．
则|z|= ．
故答案为： ．
【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案．
20.（2017 天津）已知a∈R，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为________．
【答案】-2
【考点】复数的基本概念，复数相等的充要条件，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：a∈R，i为虚数单位，
= = = ﹣ i
由 为实数，
可得﹣ =0，
解得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简 ，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．
21.（2017 浙江）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=________，ab=________．
【答案】5；2
【考点】复数相等的充要条件，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），
∴3+4i=a2﹣b2+2abi，
∴3=a2﹣b2 ， 2ab=4，
解得ab=2， ， ．
则a2+b2=5，
故答案为：5，2．
【分析】a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），可得3+4i=a2﹣b2+2abi，可得3=a2﹣b2 ， 2ab=4，解出即可得出．
22.（2017 江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是________．
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，
∴|z|= = ．
故答案为： ．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
23.（2014 四川）复数 =________．
【答案】﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数 = = =﹣2i，
故答案为：﹣2i．
【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．
24.（2014 上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+ ） =________．
【答案】6
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，
则（z+ ） =
=（1+2i）（1﹣2i）+1
=1﹣4i2+1
=2+4
=6．
故答案为：6
【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．
模拟题精练
一、单选题
1.设复数z满足z i=2﹣i，i为虚数单位，
p1：|z|= ，
p2：复数z在复平面内对应的点在第四象限；
p3：z的共轭复数为﹣1+2i，
p4：z的虚部为2i．
其中的真命题为（ ） www.21-cn-jy.com
A. p1 ， p3 B. p2 ， p3 C. p1 ， p2 D. p1 ， p421*cnjy*com
【答案】A
【考点】命题的真假判断与应用，复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：复数z满足z i=2﹣i，i为虚数单位，
可得z= = =﹣1﹣2i．
p1：|z|= = ，正确．
p2：复数z在复平面内对应的点（﹣2，﹣2）在第三象限；所以原命题不正确．
p3：z的共轭复数为﹣1+2i，正确．
p4：z的虚部为2i．不正确．
故选：A．
【分析】利用已知条件化简复数z，然后判断四个命题的真假即可．
2.复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】.故选C
3.的值是（ ）
A. 0 B. i C. －i D. 1【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】A
【考点】复数的基本概念
【解析】【分析】
故选择A
4.复数z满足 ，则|z|=（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由 ， 得 = ．
则|z|=1．
故选：A．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．
5.已知复数z满足的复数z的对应点的轨迹是（ ）
A. 1个圆 B. 线段 C. 2个点 D. 2个圆
【答案】A
【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】解得，|z|=3，|z|=-1（舍去)，故复数满足的复数的对应点的轨迹是1个圆，选A。
【点评】基础题，理解概念，通过确定|z|作出判断。
6.复数的共轭复数是（ ）
A. 1+i B. ﹣1+i C. 1﹣i D. ﹣1﹣i21cnjy.com
【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求其共轭得答案．
7.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】先进行复数的乘方运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．
【解答】∵复数(1-i)2=1-2i+（i)2=-2-2i，
∴复数对应的点的坐标是（-2，-2)
∴复数对应的点在复平面内对应的点位于第三象限，
故选C．
8.复数是纯虚数，则等于（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】A
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】， 因为是纯虚数，所以
【分析】复数是每年高考必考的内容，一般考查复数的概念或复数的运算，难度不大.
9.定义运算 ，若 （i为虚数单位），则复数 在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解： =i4﹣2i=1﹣2i，则复数 在复平面上对应的点（1，﹣2）位于第四象限． 故选：D．
【分析】利用运算 化简、几何意义即可得出．
10.已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z对应的点在复平面的（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：由足zi=2+i，得z= =1﹣2i， ∴复数z在复平面内所对应的点的坐标是（1，﹣2），
∴z对应的点在复平面的第四象限．
故选：D．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
11.i是虚数单位，复数=（ ）
A. 2+i B. 2-i C. -2+i D. -2-i
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
【分析】复数运算中， 分式形式的复数化简首先分子分母同乘以分母的共轭复数
12.复数z＝的共轭复数是（ ）
A. 2＋i B. 2－i C. －1＋i D. －1－i21教育网
【答案】D
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题意，化简， 则其共轭复数为.
13.已知复数z= ，则z =（ ）
A. 2 B. 2i C. 4 D. 4i
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数z= = =i+1，则z =（1+i）（1﹣i）=2． 故选：A．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．2·1·c·n·j·y
14.已知复数z满足 z=3+4i，则z的共轭复数为（ ）
A. 4+3i B. ﹣4+3i C. ﹣4﹣3i D. 4﹣3i
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： z=3+4i， ∴z= = = =4﹣3i，
∴ =4+3i，
故选：A
【分析】把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
15.设i为虚数单位，若=b﹣i（a，b∈R），则a+b=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【考点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】∵=b﹣i（a，b∈R），
∴a+2i=bi+1，
∴a=1，2=b，
则a+b=3．
故选：C．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【版权所有：21教育】
16.已知复数z=a+i（a∈R）．若 ，则z+i2在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：复数z=a+i（a∈R）．若 ，则 ，解得﹣1＜a＜1． z+i2=a﹣1+i在复平面内对应的点（a﹣1，1）位于第二象限．
故选：B．
【分析】复数z=a+i（a∈R）．由 ，可得 ，解得﹣1＜a＜1．即可得出．
17.复数 （其中i是虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：复数 = = ，在复平面内对应的点 所在的象限为第三象限． 故选：C．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
18.在复平面内，两共轭复数所对应的点（ ）
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：设z=a=bi，则 ， ∴两共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，
则在复平面内，两共轭复数所对应的点关于x轴对称．
故选：A．
【分析】直接利用两共轭复数的实部和虚部的关系得答案．
19.在复平面内，复数z与 对应的点关于实轴对称，则z等于（ ）
A. 2+i B. 2﹣i C. ﹣2+i D. ﹣2﹣i21教育名师原创作品
【答案】B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解： = =2+i．∵在复平面内，复数z与 对应的点关于实轴对称，
∴z=2﹣i，
故选：B．
【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．21·世纪*教育网
二、填空题
20.已知复数z= （i是虚数单位），则|z|=________．
【答案】
【考点】复数求模
【解析】【解答】解：|z|= = = ．
故答案为： ．
【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．
21.若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位）， 是z的共轭复数，则 =________．
【答案】﹣1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵z（1﹣i）=2i， ∴ ，
∴ ．
故答案为：﹣1﹣i．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求得 ．
22.已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数，则z=________．
【答案】﹣2i
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：设z=ai，a∈R， ∴（z+2）2﹣8i=（ai+2）2﹣8i=4+4ai﹣a2﹣8i=（4﹣a2）+（4a﹣8）i，
∵它是纯虚数，∴a=﹣2
故答案为：﹣2i．
【分析】两个复数都是纯虚数，可设z，化简（z+2）2﹣8i，可求出z．
23.若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数，则|z|=________
【答案】2
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】z是纯虚数
所以解得a=1
所以z=2i
所以|z|=2
故答案为2.
【分析】利用纯虚数的定义：实部为0，虚部不为0列出不等式组，求出a；利用复数模的公式求出复数的模。
24.若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为________
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵|4+3i|=．
由（3﹣4i）z=|4+3i|，得（3﹣4i）z=5，
即z=．
∴z的虚部为．
故答案为：．
【分析】首先求出|4+3i|，代入后直接利用复数的除法运算求解．21·cn·jy·com
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
12.5 复 数
考纲剖析
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示法及其几何意义．
4．会进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
知识回顾
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若 ，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di (a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 (a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ .21*cnjy*com
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点 (a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
④除法：＝＝ ＝ (c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ ，(z1＋z2)＋z3＝ ．【版权所有：21教育】
精讲方法
两点提醒
一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现；
二是两个虚数不能比较大小。
两条性质
(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)．21教育名师原创作品
(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
复数的概念
处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．
复数的几何意义
要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征．【出处：21教育名师】
复数代数形式的四则运算
在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．
小结
1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．21·世纪*教育网
3．要记住一些常用的结果，如i，－＋i的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度．
例题精讲
考点一 复数的概念
【例题1】若复数m（m﹣2）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A. 0或2 B. 2 C. 0 D. 1或2
【答案】C
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：因为m（m﹣2）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数， 则 ，解得m=0．
故选C．
【分析】由给出的复数的实部等于0虚部不等于0列式求解m的值．
【变式训练1】（1）在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数 =（ ）
A. 1+2i B. 1﹣2i C. 2+i D. 2﹣i
（2）设i为虚数中单位，若复数z= +i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a=（ ）
A. ﹣ B. ﹣ C. ﹣1 D. ﹣5
（3）复数 的实部与虚部之和为（ ）
A. 5 B. 3 C. ﹣3 D. ﹣5
考点二 复数的几何意义
【例题2】已知i是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：∵ = =﹣1． ∴复数 = = + i
在复平面内对应的点（ ， ）在第一象限．
故选：A．
【分析】 = =﹣1．代入利用周期性即可得出．
【变式训练2】设z=1﹣i（i为虚数单位），若复数 ﹣z2在复平面内对应的向量为 ，则向量 的模是（ ）
A. B. 2 C. D.
考点三 复数代数形式的四则运算
【例题3】已知复数z= ﹣ ，则z=（ ）
A. i B. C. ﹣ D. ﹣ i
【答案】C
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ = = ， = = = ．∴z= ﹣ = ﹣ =﹣ ．
故选：C．
【分析】计算 = ，可得 = = ．即可得出．21世纪教育网版权所有
【变式训练3】已知a为实数，若复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则 的值为（ ） 2-1-c-n-j-y
A. 1 B. 0 C. 1+i D. 1﹣i
真题精析
一、单选题
1.（2017 山东）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+ i，z =4，则a=（ ）
A. 1或﹣1 B. 或﹣ C. ﹣ D.
2.（2017 新课标Ⅲ）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ）
A. B. C. D. 2
3.（2017 新课标Ⅲ）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.（2017·山东）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（ ）
A. ﹣2i B. 2i C. ﹣2 D. 2
5.（2017 北京卷）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A. （﹣∞，1） B. （﹣∞，﹣1） C. （1，+∞） D. （﹣1，+∞）
6.（2017 新课标Ⅱ）（1+i）（2+i）=（ ）
A. 1﹣i B. 1+3i C. 3+i D. 3+3i
7.（2017 新课标Ⅰ卷）设有下面四个命题
p1：若复数z满足 ∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1 ， z2满足z1z2∈R，则z1= ；
p4：若复数z∈R，则 ∈R．
其中的真命题为（ ） 2·1·c·n·j·y
A. p1 ， p3 B. p1 ， p4 C. p2 ， p3 D. p2 ， p4
8.（2017 新课标Ⅰ卷）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A. i（1+i）2 B. i2（1﹣i） C. （1+i）2 D. i（1+i）
9.（2017 新课标Ⅱ） =（ ）
A. 1+2i B. 1﹣2i C. 2+i D. 2﹣i
10.（2014 浙江）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
11.（2014 天津）i是虚数单位，复数 =（ ）
A. 1﹣i B. ﹣1+i C. + I D. ﹣ + i
12.（2014 新课标II）设复数z1 ， z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（ ）
A. ﹣5 B. 5 C. ﹣4+i D. ﹣4﹣i
13.设z= ，则z的共轭复数为（ ）
A. ﹣1+3i B. ﹣1﹣3i C. 1+3i D. 1﹣3i
14.（2013 辽宁）复数 的模长为（ ）
A. B. C. D. 2
15.（2013 山东）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数 为（ ）
A. 2+i B. 2﹣i C. 5+i D. 5﹣i
16.（2013 新课标Ⅱ）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（ ）
A. ﹣1+i B. ﹣1﹣i C. 1+i D. 1﹣i
17.（2013 新课标Ⅰ）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（ ）
A. ﹣4 B. C. 4 D.
18.（2014 湖南）满足 =i（i为虚数单位）的复数z=（ ）
A. + i B. ﹣ i C. ﹣ + i D. ﹣ ﹣ i
二、填空题
19.（2017 上海）已知复数z满足z+ =0，则|z|=________．
20.（2017 天津）已知a∈R，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为________．
21.（2017 浙江）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=________，ab=________．
22.（2017 江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是________．
23.（2014 四川）复数 =________．
24.（2014 上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+ ） =________．
模拟题精练
一、单选题
1.设复数z满足z i=2﹣i，i为虚数单位，
p1：|z|= ，
p2：复数z在复平面内对应的点在第四象限；
p3：z的共轭复数为﹣1+2i，
p4：z的虚部为2i．
其中的真命题为（ ） 21教育网
A. p1 ， p3 B. p2 ， p3 C. p1 ， p2 D. p1 ， p4www-2-1-cnjy-com
2.复数（ ）
A. B. C. D.
3.的值是（ ） A. 0 B. i C. －i D. 121·cn·jy·com
4.复数z满足 ，则|z|=（ ）
A. 1 B. C. 2 D. www.21-cn-jy.com
5.已知复数z满足的复数z的对应点的轨迹是（ ）
A. 1个圆 B. 线段 C. 2个点 D. 2个圆
6.复数的共轭复数是（ ）
A. 1+i B. ﹣1+i C. 1﹣i D. ﹣1﹣i
7.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【来源：21cnj*y.co*m】
8.复数是纯虚数，则等于（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
9.定义运算 ，若 （i为虚数单位），则复数 在复平面上对应的点位于（ ） 21cnjy.com
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限21*cnjy*com
10.已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z对应的点在复平面的（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11.i是虚数单位，复数=（ ）
A. 2+i B. 2-i C. -2+i D. -2-i
12.复数z＝的共轭复数是（ ）
A. 2＋i B. 2－i C. －1＋i D. －1－i
13.已知复数z= ，则z =（ ）
A. 2 B. 2i C. 4 D. 4i
14.已知复数z满足 z=3+4i，则z的共轭复数为（ ）
A. 4+3i B. ﹣4+3i C. ﹣4﹣3i D. 4﹣3i
15.设i为虚数单位，若=b﹣i（a，b∈R），则a+b=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
16.已知复数z=a+i（a∈R）．若 ，则z+i2在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
17.复数 （其中i是虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
18.在复平面内，两共轭复数所对应的点（ ）
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称
19.在复平面内，复数z与 对应的点关于实轴对称，则z等于（ ）
A. 2+i B. 2﹣i C. ﹣2+i D. ﹣2﹣i【来源：21·世纪·教育·网】
二、填空题
20.已知复数z= （i是虚数单位），则|z|=________．
21.若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位）， 是z的共轭复数，则 =________．
22.已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数，则z=________．
23.若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数，则|z|=________
24.若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为________
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