21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
28.1.1 正弦函数
基础训练
1.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦值( )
A.不变 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的3倍 D.不能确定
2.在Rt△ABC,∠C=90°,AC=12,BC=5,则sin A的值为( )
A. B. C. D.
3.如图,P是∠α的边OA上一点,点P的坐标为(12,5),则∠α的正弦值为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
4.如图,已知△ABC的外接圆O的半径为3,AC=4,则sin B=( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
5.已知锐角A的正弦值sin A是一元二次方程2x2-7x+3=0的根,则sin A= .
6如图,在☉O中,过直径AB延长线上的点C作☉O的一条切线,切点为D,若AC=7,AB=4,则sin C的值为 . 21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
7.如图,∠α的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,另一边OA上有一点P(b,4),若sin α=,则b= . 21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,sin B=,则AB等于( )
A.15 B.12 C.9 D.6
9.(中考·杭州)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,sin A=,则斜边上的高等于( )
A. B. C. D.
10.在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,求sin A的值.
提升训练
11.已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,DE=3,BC=9.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求的值;
(2)若BD=10,求sin A的值.
12.如图,菱形ABCD的边长为10 cm,DE⊥AB于点E,sin A=,求DE的长和菱形ABCD的面积.www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
13.如图,在平面直角坐标系中,一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y=nx+2(n≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)在第一象限内的图象交于点A,与x轴交于点B,线段OA=5,C为x轴正半轴上一点,且sin ∠AOC=.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
( http: / / www.21cnjy.com / )
14.如图,矩形纸片ABCD,将△AMP和 ( http: / / www.21cnjy.com )△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM),点A和点B都与点E重合;再将△CQD沿DQ折叠,点C落在线段EQ上的点F处.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)判断△AMP,△BPQ,△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形;(不需说明理由)
(2)如果AM=1,sin ∠DMF=,求AB的长.
( http: / / www.21cnjy.com / )
15.如图,已知☉O的直径AB为3,线段AC=4,直线AC和PM分别与☉O相切于点A,M.
(1)求证:点P是线段AC的中点;
(2)求sin ∠PMC的值.
( http: / / www.21cnjy.com / )
参考答案
基础训练
1.A 2.D 3.A 4.D 5.
6.
解析：如图,连接OD,∵CD是☉O的切线,∴∠ODC=90°.
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AC=7,AB=4, ∴BC=3,OB=OD=OA=2,
∴OC=5. 在Rt△ODC中,sin C==.
7.3
8.A
9.B
10.解:此题分两种情况:①当AC,BC为 ( http: / / www.21cnjy.com )两直角边时,AB===5,所以sin A==;②当BC为直角边,AC为斜边时,sin A==.21教育网
提升训练
11.解:(1)∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=.
又∵DE=3,BC=9,∴==.
(2)根据(1)=,得:=.∵BD=10,DE=3,BC=9,21cnjy.com
∴=,解得AD=5,∴AB=15.
∴sin A===.
12.解:∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∴sin A==,
∴DE=sin A·AD=×10=6(cm).
∴S菱形ABCD=AB·DE=10×6=60(cm2).
13.解:(1)过点A作AD⊥x轴于点D.
∵sin ∠AOC==,OA=5,∴AD=4,则DO==3.2·1·c·n·j·y
∵点A在第一象限,∴点A坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标为(3,4).将A(3,4)代入y=,解得m=12,∴反比例函数解析式为y=.将A(3,4)代入y=nx+2,解得n=,∴一次函数解析式为y=x+2.21·世纪*教育网
(2)∵一次函数y=x+2的图象与x轴交于点B,∴0=x+2,解得x=-3,
∴B点坐标为(-3,0).
∴S△AOB=OB·AD=×3×4=6.
14.解:(1)△AMP∽△BPQ∽△CQD,共3对.
(2)∵AD∥BC,
∴∠DQC=∠MDQ,
根据折叠的性质可知:∠DQC=∠DQM,
∴∠MDQ=∠DQM,
∴MD=MQ.
∵AM=ME,BQ=EQ,
∴BQ=MQ-ME=MD-AM.
∵sin ∠DMF==,
∴设DF=3x,MD=5x,
∴BP=PE=PA=,BQ=5x-1.
∵△AMP∽△BPQ,
∴=,
∴=,
解得:x=或x=2.∵当x=时,AP=x=
∴x=应舍去.
∴AB=AP+BP=3x=6.
15.(1)证明:如图,连接AM.
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB是☉O的直径,
∴∠AMB=90°,
∴∠AMC=90°.
∴∠MAC+∠C=90°,∠PMC+∠PMA=90°.
∵AC和PM分别与☉O相切于点A,M,
∴PM=PA.
∴∠PMA=∠PAM.
∴∠C=∠PMC.
∴PC=PM.
∴PA=PC,即点P是线段AC的中点.
(2)解:∵AC切☉O于点A,
∴∠BAC=90°.
又∵AB=3,AC=4,∴BC=5.
由(1)知∠C=∠PMC,
∴sin ∠PMC=sin C==.
( http: / / www.21cnjy.com / )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共30张PPT)
28.1.1 正弦函数
人教版 九年级下
导入新知
A
B
C
BC=5.2m
AB=54.5m
θ
根据已知条件，你能用
塔身中心线与垂直中心
线所成的角度来描述比
萨斜塔的倾斜程度吗？
导入新知
1
知识点
正弦函数的定义
问 题
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿
着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的
绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角 (∠A)为30°，为使出水
口的高度为35 m，需要准备多长的水管？
知1－导
导入新知
知1－导
这个问题可以归结为：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m， 求 AB(如图).
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于
斜边的一半”，即
可得AB = 2BC = 70(m).也就是说，需要准备70 m长
的水管.
导入新知
知1－导
思考:
在上面的问题中,如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
在上面求AB (所需水管的长度）的过程中，我
们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等
于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个
角的对边与斜边的比都等于
导入新知
知1－导
思考:
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A =
45°，计算∠A的对边与斜边的比 由此你能得出什么结论？
导入新知
知1－导
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，因为∠A= 45°，
所以Rt△ABC是等腰直角三角形.由勾股定理得
AB2=AC2+BC2 = 2BC2 ,
AB = BC.
因此
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这
个直角三角形大小如何， 这个角的对边与斜边的比都
等于
导入新知
知1－导
综上可知，在Rt△ABC中， ∠C = 90°，当
∠A = 30°时， ∠A的对边与斜 边的比都等于
是一个固定值；当∠A = 45°时， ∠A的对边与斜
边的比都等于 也是一个固定值.一般地，当∠A
是任意一个确定的锐角时，它的 对边与斜边的比是
否也是一个固定值呢？
导入新知
知1－导
探究:
任意画Rt△ABC和Rt△ （如图），使得 那么 与
有什么关系？你能解释一下吗？
导入新知
知1－导
在图中，由于
所以Rt△ABC∽Rt△ 因此
即
这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一
定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边
与斜边的比都是一个固定值.
导入新知
知1－导
归 纳
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角
A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作
sin A，即
例如，当∠A=30°时，我们有
sin A=sin 30°=
当∠A=45°时，我们有
sin A=sin 45°=
∠A的正弦sin A随着∠A的变化而变化.
新知讲解
例1 如图 ，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sin A
和 sin B 的值.
知1－讲
新知讲解
知1－讲
解:如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得
因此
如图(2),在Rt△ABC中,由勾股定理得
因此
新知讲解
总 结
知1－讲
求sin A就是要确定∠A的对边与斜边
的比；求sin B就是要确定∠B的对边与
斜边的比.
巩固提升
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
求sin A和sin B的值.
知1－练
解：由勾股定理得
所以
巩固提升
知1－练
解：由勾股定理得
∴
巩固提升
知1－练
【2017·日照】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝13，AC＝5，则sin A的值为( )
B.
C. D.
2
B
巩固提升
知1－练
把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，
则锐角∠A的正弦值( )
A．不变
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍
D．不能确定
A
巩固提升
知1－练
【中考·贵阳】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sin A的值为( )
A. B.
C. D.
4
D
巩固提升
知1－练
【2017·怀化】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sin α的值是( )
A.
B.
C.
D.
5
C
新知讲解
2
知识点
正弦函数的应用
知2－讲
例2 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,sin A= 则
边AC的长是( )
A. B.3 C. D.
解析:如图,
而BC=2,
A
新知讲解
总 结
知2－讲
由正弦值求边长，当已知角的对边或斜边长时，
通常先根据某个锐角的正弦的定义确定斜边或对边，
再根据勾股定理求另一边；当已知角的邻边时，根
据正弦函数的定义确定另外两边的比值，根据勾股
定理列方程求解即可．
巩固提升
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A=90°，求sin A的值.
知2－练
解：如图．
∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∴sin B＝sin30°＝
设AC＝a，则AB＝2a，
∴
巩固提升
知2－练
2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sin B＝ ，
则AB的长等于( )
A．15 B．12 C．9 D．6
3 (中考·杭州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝
4，sin A＝ ，则斜边上的高等于( )
A. B. C. D.
A
B
巩固提升
知1－练
【中考·厦门】已知sin 6°＝a，sin 36°＝b，则sin2 6°＝( )
A．a2 B．2a
C．b2 D．b
4
A
巩固提升
知1－练
【中考·鄂州】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC
＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝( )
A.
B.
C.
D.
5
D
巩固提升
知1－练
【2017·安顺】如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为( )
A.
B.
C.
D.
6
B
课堂小结
锐角三角函数定义：
A
B
C
∠A的对边
┌
斜边
sin30° =
sin45°=
1
知识小结
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)中小学教育资源网站
有大把优质资料？一线名师？一线教研员？
赶快加入21世纪教育网名师合作团队吧！！月薪过万不是梦！！
详情请看：http://www.21cnjy.com/zhaoshang/