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28.1.2余弦、正切函数
基础训练
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,那么cos A的值等于( )
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A. B. C. D.
2.如图,点A为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cos α的值,错误的是( )21·世纪*教育网
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A. B. C. D.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,则cos B的值是( )
A. B. C. D.
4.如图,正方形ABCD边长为1,以AB ( http: / / www.21cnjy.com )为直径作半圆,点P是CD中点,BP与半圆交于点Q,连接DQ.给出如下结论:①DQ=1;②=;③S△PDQ=;④cos ∠ADQ=.其中正确结论是 .(填写序号) 21*cnjy*com
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5.已知方程x2-4x+3=0的两根为直角三角形的两直角边长,则其最小角的余弦值为 .
6.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若BD∶CD=3∶2,则tan B=( )
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A. B. C. D.
7.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D 为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan ∠DBC的值为( )21教育名师原创作品
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A. B.-1 C.2- D.
8.如图,经过原点O的☉P与两坐标轴分别交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点A(2,0)和点B(0,2),C是优弧上的任意一点(不与点O,B重合),则tan ∠BCO的值为( )
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A. B. C. D.
9.如图,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,交BD于点F,且点E是AB中点,则tan ∠BFE的值是( )
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A. B.2 C. D.
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则△ABC的面积为 .
11.如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边长,△ABC最小的角为∠A,那么tan A的值为 . 21世纪教育网版权所有
12.在△ABC中,∠C=90°,若把AB,BC都扩大为原来的m倍,则cos B的值是( )
A.mcos B B.cos B C. D.不变
13.已知x=cos α(α为锐角)满足方程2x2-5x+2=0,求cos α的值.
提升训练
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=3,求sin A,cos A,tan A的值.
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15.已知∠A为锐角,证明:(1)sin A=cos (90°-∠A);
(2)sin2 A+cos2 A=1;(3)tan A=.
16.如图,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan ∠AOB的值是( )
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A. B. C. D.
17.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则tan B的值为( )
A. B. C. D.
18.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,如果2AB=3BC,求∠B的三个三角函数值.
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19.如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,连接CD.若☉O的半径r=,AC=2,则cos B的值是( )
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A. B. C. D.
20.如图,E是矩形ABCD中CD边上一点,△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在AD上.
(1)求证:△ABF∽△DFE;
(2)若sin ∠DFE=,求tan ∠EBC的值.
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21.如图,已知锐角三角形ABC.
(1)过点A作BC边的垂线MN,交BC于点D(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,若BC=5,AD=4,tan ∠BAD=,求DC的长.
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22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB的中点,BE⊥CD,垂足为点E.已知AC=15,cos A=.【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求线段CD的长;
(2)求sin ∠DBE的值.
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23.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,连接BC,AC,作OD∥BC与过点A的切线交于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点E.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若=,求cos ∠ABC的值.
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24.已知线段OA⊥OB,C为OB的中点,D为AO上一点,连接AC,BD交于点P.
(1)如图①,当OA=OB,且D为AO的中点时,求的值;
(2)如图②,当OA=OB,=时,求tan ∠BPC的值.
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参考答案
基础训练
1.D 2.C 3.B 4.①②④
5.
解析：先求出方程x2-4x+3=0的两根, ( http: / / www.21cnjy.com )即可得到两直角边长,再根据勾股定理求得斜边长,最后根据余弦的定义即可求得结果.解方程x2-4x+3=0,得x1=1,x2=3,21教育网
则直角三角形的两直角边长分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为1,3,斜边长为=.故其最小角的余弦值为=.
6.D
解析：在Rt△ABC中,∵AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠CDA=90°,∴∠B+∠BAD=90°.
又∵∠BAD+∠DAC=90°,
∴∠B=∠DAC.∴△ABD∽△CAD,
∴=.∵BD∶CD=3∶2,∴设BD=3x(x>0),则CD=2x,
∴AD==x,则tan B===.故选D.
7.A 8.A 9.D 10.24
11.或
12.D
解析：∵cos B==,∴cos B的值不变.
常见错解:误认为∠B的邻边与斜边都扩大 ( http: / / www.21cnjy.com )为原来的m倍,则cos B也扩大为原来的m倍,而错选A,实际上cos B的值只与∠B的大小有关,与∠B的两边长短无关.
13.解:∵方程2x2-5x+2=0的解是x1=2,x2=,
又∵0常见错解:∵方程2x2-5x+2=0的解是x1=2,x2=,
此时忽略了cos α(α为锐角)的取值范围是0提升训练
14.解:∵△ABC是直角三角形,
∴根据勾股定理,得BC===.
∴sin A==,
cos A==,
tan A==.
方法解析：在直角三角形中,只要已知 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形的任意两边,根据勾股定理,可求出第三边,然后根据锐角三角函数的定义,可求出该直角三角形中任意一个锐角的正弦、余弦及正切值.
15.证明:作Rt△ABC,使∠C=90°,如图,
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则sin A=,cos A=,
tan A=.
(1)∵cos B=,sin A=,
∴sin A=cos B.
又∵∠A+∠B=90°,∴∠B=90°-∠A,
∴sin A=cos (90°-∠A).
(2)∵sin A=,cos A=,且a2+b2=c2,
∴sin2A+cos2A=+===1.www.21-cn-jy.com
(3)∵sin A=,cos A=,
∴==.
又∵tan A=,∴tan A=.
16.B
解析：在OB上距点O 2格的位置上取一点,并 ( http: / / www.21cnjy.com )过该点作OB的垂线,得到一个直角三角形.在该直角三角形中,∠AOB的对边长为3,邻边长为2,所以tan ∠AOB=.故选B.
17.D
解析：如图,sin A==, 可设BC=5k,AB=13k,用勾股定理可求AC==12k.
∴tan B===.
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18.解:过点A作AD⊥BC于点D,如图所示.
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∵AB=AC,
∴BD=CD.
又∵2AB=3BC,∴=.
设AB=AC=3k,则BC=2k.
∴BD=CD=k,
∴AD====2k.【来源：21·世纪·教育·网】
∴sin B===,cos B===,www-2-1-cnjy-com
tan B===2.
19.B
解析：欲求cos B的值,必须将∠B放在直角三角形中去求,由题图可知,∠B与∠D是同弧所对的圆周角,2-1-c-n-j-y
∴∠B=∠D.∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°,通过等角转化即求cos D的值.
在Rt△ACD中,AC=2,AD=2r=3,由勾股定理可求得CD=,∴cos B=cos D==.
20.(1)证明:由题意可得∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°,
∴∠ABF=90°-∠AFB,
∠DFE=180°-∠BFE-∠AFB=90°-∠AFB=∠ABF,
∴△ABF∽△DFE.
(2)解:由折叠可得FB=BC,EF=EC,∵sin ∠DFE=,
∴=,即EF=3DE.
∴AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE,DF==DE×=2DE.21cnjy.com
∵△ABF∽△DFE,∴=,即FB===3DE.又【出处：21教育名师】
∵FB=BC,EF=EC,∴tan ∠EBC====.21*cnjy*com
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21.解:(1)如图,MN为所作.
(2)在Rt△ABD中,tan ∠BAD==,
∴
∴BD=3.
∴DC=BC-BD=5-3=2.
22.解:(1)∵AC=15,cos A=,
∴cos A===,
∴AB=25.
∵△ACB为直角三角形,点D是斜边AB的中点,
∴CD=AB=.
(2)∵BC2=AB2-AC2=252-152=400,AD=BD=CD=,
∴设DE=x,EB=y,
则解得x=.【版权所有：21教育】
∴sin ∠DBE===.
23.(1)证明:连接OC.
∵AD是过点A的切线,AB是☉O的直径,
∴AD⊥AB,∴∠DAB=90°.
∵OD∥BC,
∴∠DOC=∠OCB,∠AOD=∠ABC.
∵OC=OB,∴∠OCB=∠ABC,
∴∠DOC=∠AOD.
在△COD和△AOD中,
∴△COD≌△AOD.
∴∠OCD=∠DAB=90°.
∵OC⊥DE于点C,OC是☉O的半径,
∴DE是☉O的切线.
(2)解:由=,可设CE=2k,则DE=3k,
又∵AD,CD都是☉O的切线,
∴AD=DC=k.
在Rt△DAE中,AE==2k.
∵OD∥BC,=,
∴BE=2OB.
∴OA=AE=k.
∴在Rt△AOD中,OD==k=k,
∴cos ∠ABC=cos ∠AOD==.
24.解:(1)过点C作CE∥OA 交BD于点E,∴△BCE∽△BOD.∵C为OB中点,
D为AO中点,∴CE=OD=AD.
∵CE∥AD,∴△ECP∽△DAP,∴==2.
(2)过点C作CE∥OA交BD于点E.设AD=x, ∵OA=OB,=,则AO=OB=4x,OD=3x.
∵CE∥OD, ∴△BCE∽△BOD, ∴CE=OD=x. ∵CE∥AD, ∴△ECP∽△DAP,
∴==. 由勾股定理可知BD=5x,则DE=BD=x.21·cn·jy·com
∴===,解得PD=x,
∴PD=AD.
∴∠BPC=∠DPA=∠A.∵OA=OB,C是OB中点,
∴CO=OB=AO,∴tan ∠BPC=tan A==.2·1·c·n·j·y
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28.1.2余弦、正切函数
人教版 九年级下
导入新知
复习回顾
在Rt△ABC中，∠C＝90°
锐角正弦的定义
A
B
C
∠A的对边
┌
斜边
导入新知
1
知识点
余弦函数
当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比，∠A
的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？这就是
我们这家可要共同学习的内容.
知1－导
A
B
C
∠A的对边
┌
斜边
∠A的邻边
导入新知
知1－导
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余
弦，记作cosA，即
A
B
C
∠A的对边
┌
斜边
∠A的邻边
新知讲解
例1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB=5，BC=3，
则∠A的余弦值是( )
A. B. C. D.
知1－讲
解析:在Rt△ABC中,
∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴cos A=
C
新知讲解
总 结
知1－讲
特别提醒求出所需要的边的值，紧扣
余弦概念，一定要认清是角的邻边与斜边
的比，否则会和正弦混淆．
巩固提升
【2017·湖州】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝5，BC＝3，则cos B的值是( )
A.
B.
C.
D.
知1－练
1
A
巩固提升
【2016·广东】如图，在平面直角坐标系中，点A
的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( )
A.
B.
C.
D.
知1－练
2
D
巩固提升
【2016·绍兴】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝
30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分
别以点A，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，
连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
知1－练
3
B
新知讲解
2
知识点
正切函数
知2－导
.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的正切，
记作tanA，即
A
B
C
∠A的对边
┌
斜边
∠A的邻边
新知讲解
例2 如图,在 Rt△ABC 中，∠C =
90°,AB=10,BC=6,求sin A,
cos A,tan A的值.
知2－讲
解: 由勾股定理得
因此
新知讲解
总 结
知2－讲
已知直角三角形的任意两边长求某个锐角
的三角函数值时，运用数形结合思想，首先画
出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理
求出未知边长，最后结合锐角三角函数的定义
求三角函数值．
巩固提升
分别求出下列直角三角形中两个
锐角的正弦值、余弦值和正切值.
知2－练
解: 由勾股定理得
因此
巩固提升
知2－练
解：
所以
巩固提升
【2017·金华】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝
5，BC＝3，则tan A的值是( )
A. B.
C. D.
知2－练
2
A
巩固提升
【中考·包头】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜
边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是( )
A. B. 3
C. D.
知2－练
3
D
巩固提升
【中考·荆门】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D 为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan ∠DBC的值为( )
A.
B.
C.
D.
知2－练
4
A
巩固提升
【2017·宜昌】△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是( )
A．sin α＝cos α
B．tan C＝2
C．sin β＝cos β
D．tan α＝1
知2－练
5
C
巩固提升
如图，点A，B，O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是AmB上的一点，则tan∠APB的值是( )
A. 1
B.
C.
D.
知2－练
6
︵
A
巩固提升
如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，如果∠DPB＝α，那么 等于( )
A．sin α
B．cos α
C．tan α
D.
知2－练
7
B
巩固提升
如果方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边长，△ABC最小的角为∠A，那么tan A
的值为______________．
知2－练
8
课堂小结
(1)∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，
即cos A＝
(2)∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，
即tan A＝
A
B
C
∠A的对边a
┌
斜边c
∠A的邻边b
1
知识小结
谢谢
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