1.1 等腰三角形(3)同步练习

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1.1等腰三角形（三）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1. 等边三角形的性质定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
2. 等边三角形是判定定理：
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形.
基础知识和能力拓展训练
一 、选择题
等边三角形的边长是10，它的高的平方等于（ ）
A．50 B.75 C.125 D.200
已知等边三角形的高为3，则边长为（ ）
A．1.5 B．2 ( http: / / www.21cnjy.com / ) C．6 D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（ ）
A． 等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A．4 ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C．2 ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．3
一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40 ( http: / / www.21cnjy.com )°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A．C两地相距（　　）
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A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
下面选项对于等边三角形不成立的是（ ）
A．三边相等 B.三角相等 C.是等腰三角形 D.有一条对称轴?
若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )cm2 B．2cm2 C．3cm2 D.4cm2
等边三角形角平分线、中线和高的条数共为（ ）
A．3 B.5 C．7 D.9
在△ABC中，∠A=∠B=∠C，过点B作BD⊥AC于D，已知△ABC的周长为m，则AD=（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为（　　）2·1·c·n·j·y
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A．（ ( http: / / www.21cnjy.com / )，1） B．（ ( http: / / www.21cnjy.com / )，﹣1） C．（1，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )） D．（2，﹣1）
如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）21·世纪*教育网
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A．7.5 B.5 C．4 D.不能确定
二 、填空题
等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为________．
如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE=AD，则∠EDC=________．
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等边三角形的边长为4，则它的面积是________．
如图，在等边△ABC中，AB=4，P、M、N分别是BC、CA．AB边上动点，则PM+MN的最小值是________． 21*cnjy*com
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如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C ( http: / / www.21cnjy.com )1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周长和为　 　．（n≥2，且n为整数）【来源：21cnj*y.co*m】
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三 、解答题
如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC ．
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如图，C为线段AE上一动点(不与点A．E ( http: / / www.21cnjy.com )重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ.求证：△PCQ为等边三角形．
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如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．【出处：21教育名师】
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（1）如图①，在△ABC中，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，猜想CD与BE有什么样的数量关系，直接写出结论，不需证明；【版权所有：21教育】
（2）如图②，在（1）的条 ( http: / / www.21cnjy.com )件下，若△ABC中，AB=AC，连结DE分别交AB、AC于点M、N，猜想DM与EN有什么样的数量关系，证明你的结论；21教育名师原创作品
（3）如图③，在（1）的条件下，若△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，连结DE分别交AB、AC于点M、N，则有DM=EM，请证明．www.21-cn-jy.com
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答案解析
一 、选择题
【分析】根据题意作出图形，利用勾股定理直接求得即可．
解：如图，
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由题意得：AB=BC=AC=10，
∵△ABC为等边三角形，
∴BD= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC=5，
∴AD2=AB2﹣BD2=102﹣52=75，
故选B．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求解．
解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC．
在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得
AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
所以AB=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选B
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【分析】 根据轴对称的性质可知：OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，即可判断△P1OP2是等边三角形．
解：根据轴对称的性质可知，
OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，
∴△P1OP2是等边三角形．
故选：D．
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【分析】根据等腰三角形的性质易得这个三角形的三边都相等，然后根据等边三角形的判定方法可得这个三角形必为等边三角形．
解：∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，
即三角形任意一边上的高与中线重合，
∴这个三角形的三边都相等，
∴这个三角形必为等边三角形．
故选D．
【分析】根据等边三角形三线合一的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．www-2-1-cnjy-com
解：∵等边三角形高线即中点，AB=2， ∴BD=CD=1，
在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
∴AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com / ) BC AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )×2× ( http: / / www.21cnjy.com / ) = ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故选B．
【分析】由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．
解：由题意得∠ABC=60°，AB=BC
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=40海里．
故选B．
【分析】根据等边三角形各边长相等、各内角相等的性质即可解题．
解：等边三角形各边长相等、各内角为60°，故A．B选项错误；
∵等边三角形各边长均相等，故等边三角形是特殊的等腰三角形，故C选项错误，
等边三角形的三边的垂直平分线均为对称轴，故对称轴有3条，故D选项正确，
故选 D．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质，根据勾股定理即可求AD的值，根据AD、BC即可计算△ABC的面积． 21世纪教育网版权所有
解：∵等边三角形三线合一， ∴D为BC的中点，
∴BD=DC=1cm，AB=2cm，
在Rt△ABD中，AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )cm，
∴△ABC的面积为 ( http: / / www.21cnjy.com / )BC AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )×2× ( http: / / www.21cnjy.com / )cm2= ( http: / / www.21cnjy.com / )cm2 ，
故选：A．
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【分析】根据等边三角形三线合一的性质，可以求得等边三角形每个内角的角平分线和其对应边的中线、高线重合，即可解题．
解：等边三角形为特殊的等腰三角形， 故每个内角的角平分线和其对应边的中线、高线均符合三线合一的性质，
故等边三角形角平分线、中线和高的条数共3条．
故选A．
【分析】 根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，再根据等腰三角形三线合一可得AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，进而得到AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
解：∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵BD⊥AC于D，
∴AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，
∵△ABC周长为m，
∴AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故选B．
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【分析】 设A1B1与x轴相交于C，根据等边三角形的性质求出OC、A1C，然后写出点A1的坐标即可．
解：如图，设A1B1与x轴相交于C，
∵△ABO是等边三角形，旋转角为30°，
∴∠A1OC=60°﹣30°=30°，
∴A1B1⊥x轴，
∵等边△ABO的边长为2，
∴OC= ( http: / / www.21cnjy.com / )×2= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
A1C= ( http: / / www.21cnjy.com / )×2=1，
又∵A1在第四象限，
∴点A1的坐标为（ ( http: / / www.21cnjy.com / )，﹣1）．
故选：B．
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【考点】等边三角形的性质
【分析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE=AD=5，即BF+EF=5．21cnjy.com
解：过C作CE⊥AB于E，交AD于 ( http: / / www.21cnjy.com )F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
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∵等边△ABC中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，
即BF+EF=CF+EF=CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=5，
即BF+EF=5，
故选：B．
二 、填空题
【分析】如图，等边三角形ABC中，根据等边三角形的性质知，底边上的高与底边上的中线，顶角的平分线重合，所以∠1=∠2= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠ABC=30°，再根据三角形外角的性质即可得出结论．2-1-c-n-j-y
解：如图，
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∵等边三角形ABC，AD、BE分别是中线，
∴AD、BE分别是角平分线，
∴∠1=∠2= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠ABC=30°，
∴∠3=∠1+∠2=60°．
故答案为：60°．
【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．
解：∵AD是等边△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠BAC= ( http: / / www.21cnjy.com / )×60°=30°，
∴∠ADC=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED= ( http: / / www.21cnjy.com / )（180°﹣∠CAD）=75°，
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．
故答案为：15°．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可以求得高线AD的长度，根据BC和AD即可求得三角形的面积．
解：如图，
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∵等边三角形三线合一，
∴D为BC的中点，BD=DC=2，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=2，
∴AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴等边△ABC的面积为 ( http: / / www.21cnjy.com / )BC AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )×4×2 ( http: / / www.21cnjy.com / )=4 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案为：4 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
【分析】作点B关于直线A ( http: / / www.21cnjy.com )C的对称点K，连接AK、CK，作点N关于直线AC的对称点N′，作N′P′⊥BC于P′，交AC于M′，则线段N′P′的长即为PM+MN的最小值（垂线段最短）．21教育网
解：作点B关于直线AC的 ( http: / / www.21cnjy.com )对称点K，连接AK、CK，作点N关于直线AC的对称点N′，作N′P′⊥BC于P′，交AC于M′，则线段N′P′的长即为PM+MN的最小值（垂线段最短）．21·cn·jy·com
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∵△ABC是等边三角形，易知，四边形ABCK是菱形，N′P′是菱形的高= ( http: / / www.21cnjy.com / )×4=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴PM+MN的最小值为2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故答案为2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
【分析】根据等边三角形的性质分别求出△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周长即可解决问题．21*cnjy*com
解：∵等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，
∴A1D1=D1C2，
∴△A2C2C3的周长= ( http: / / www.21cnjy.com / )△A1C1C2的周长= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周长分别为1， ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )，…， ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周长和为1+ ( http: / / www.21cnjy.com / )+ ( http: / / www.21cnjy.com / )+…+ ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案为 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
三 、解答题
证：∵在等边△ABD中，有AD=AB，且∠DAB=600
在等边△AEC中，有AC=AE，且∠EAC=600
∴∠DAB=∠EAC
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，
∠BAE=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE
∴△DAC≌△BAE
∴CD=BE
证明：如图，
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∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°.
∴∠ACB＋∠3＝∠ECD＋∠3，
即∠ACD＝∠BCE.
又∵C在线段AE上，
∴∠3＝60°.
在△ACD和△BCE中，
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∴△ACD≌△BCE.∴∠1＝∠2.
在△APC和△BQC中，
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∴△APC≌△BQC.∴CP＝CQ.
∴△PCQ为等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据BM=CN可得CM=AN， ( http: / / www.21cnjy.com )易证△AMC≌△BNA，得∠BNA=∠AMC，根据内角和为180°即可求得∠BQM=∠ACB=60°，即可解题．
证明：∵BM=CN，BC=AC，∴CM=AN，
又∵AB=AC，∠BAN=∠ACM，
∴△AMC≌△BNA，则∠BNA=∠AMC，
∵∠MAN+∠ANB+∠AQN=180°
∠MAN+∠AMC+∠ACB=180°，
∴∠AQN=∠ACB，
∵∠BQM=∠AQN，
∴∠BQM=∠AQN=∠ACB=60°．
【分析】 （1）根据等边三角形性质得 ( http: / / www.21cnjy.com )出AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS推出△DAC≌△BAE即可；
（2）根据等边三角形的性质得出AD ( http: / / www.21cnjy.com )=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，求出AD=AE，AM=AN，根据SAS推出△ADM≌△AEN即可；
（3）过D作DG⊥AB于G，证△DGB≌ ( http: / / www.21cnjy.com )△ACB，推出DG=AC，求出AE=DG，∠EAM=∠DGA，根据AAS推出△DGM≌△EAM即可．
解：（1）CD=EB，
理由是：∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
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∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=EB；
（2）DM=EN，
证明：∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠AMN=∠ADE+∠EAB，∠ANM=∠AED+∠EAC，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
在△ADM和△AEN中，
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∴△ADM≌△AEN（SAS），
∵DM=EN；
（3）证明：过D作DG⊥AB于G，
则∠DGB=∠ACB=90°，
在△DGB和△ACB中，
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∴△DGB≌△ACB（AAS），
∴DG=AC，
∵AE=AC，
∴AE=DG，
∵∠EAM=60°+30°=90°=∠DGA，
在△DGM和△EAM中，
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∴△DGM≌△EAM（AAS），
∴DM=EM．
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