1.3 线段的垂直平分线同步练习

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1.3线段的垂直平分线同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1.掌握和应用线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
2.了解线段垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3.能进行基本作图
基础知识和能力拓展训练
一 、选择题
如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则∠EBC的度数是（　 ） 21·cn·jy·com
A．30° B．40° C．70° D．80°
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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是斜边AB的垂直平分线交AC于D．若AC=8，BC=6，则△DBC的周长为（　　）2·1·c·n·j·y
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A．12 B．14 C．16 D．无法计算
如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AC=4cm，△ADC的周长为12cm，则BC的长是（　　）www-2-1-cnjy-com
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A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于 ( http: / / www.21cnjy.com / )EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（　　）
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A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF
如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　）
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A．20° B．40° C．50° D．60°
如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（　　）21*cnjy*com
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A．13 B．14 C．15 D．12
△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（　　）21*cnjy*com
A．50° B．60° C．150° D．50°或130°
如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B的度数是（　　）
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A．45° B．50° C．55° D．60°
如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
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二 、填空题
如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为　　　　．
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如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交 ( http: / / www.21cnjy.com )AC于点M，交AB于点D．若CM=3cm，BC=4cm，AM=5cm，则△MBC的周长=　　　　cm．
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如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AC=8cm，△ABE的周长为14cm，则AB的长为　　　　　cm．
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如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com / )中，边 ( http: / / www.21cnjy.com / )的垂直平分线分别交 ( http: / / www.21cnjy.com / )、 ( http: / / www.21cnjy.com / )于点 ( http: / / www.21cnjy.com / )，若 ( http: / / www.21cnjy.com / )为4㎝， ( http: / / www.21cnjy.com / )的周长为26㎝，则△ ( http: / / www.21cnjy.com / )的周长为______㎝。
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如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步 ( http: / / www.21cnjy.com )骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD的周长为　　　　　　．【出处：21教育名师】
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如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线MN交AC于D，CD=1cm，连接BD，则AC的长为　　　　　　cm．
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三 、解答题
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．
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如图，已知AB=AC，∠A=36 ，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，求证：
（1）BD平分∠ABC
（2）△BCD为等腰三角形
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如图，在△ABC中，∠BAC=110°， ( http: / / www.21cnjy.com )点E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB交BC于D，FG⊥AC交BC于F，连接AD、AF．试求∠DAF的度数．
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尺规作图，在l上找一点P，使它到线段AB两端的距离相等，保留作图痕迹．
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如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是斜边AB的中点，DE⊥AB，且∠CAD：∠BAD=5：2，求∠BAC的度数．
如图，在△ABC中，∠ACB=105°，AC边上的垂直平分线交AB边于点D，交AC边于点E，连结CD．
（1）若AB=10，BC=6，求△BCD的周长；
（2）若AD=BC，试求∠A的度数．
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中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见的几何图形！
（1）如图1，若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°，连接AD、EF，当BC=5 ( http: / / www.21cnjy.com / )，FC=2时，求EF的长度；
（2）如图2，若点D为等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；M为EF的中点，连接CM，当DF∥AB时，证明：3ED=2MC；
（3）如图3，若点D为等边三角形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；当BE=6，CF=0.8时，直接写出EF的长度．
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答案解析
一 、选择题
【分析】由AB的垂直平分线DE交 ( http: / / www.21cnjy.com )AC于点E，可得AE=BE，继而求得∠ABE=∠A=40°，然后由AB=AC，求得∠ABC的度数，继而求得答案.【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠EBC=∠ABC－∠ABE=30°．
故选A．
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DA=DB，根据三角形周长公式求出周长.
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴△DBC的周长为CB+CD+DB=CB+CD+DA=BC+CA=6+8=14，
故选：B
【分析】先根据题意画出图形，再根据线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求出∠BAC＞90°即可.
解：如图，O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，
则AO=OB，AO=OC，
所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，
∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA，
∴∠BAC＞∠ABC+∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC＞90°，
即△ABC是钝角三角形，
故选C
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【分析】 先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，故AD+CD=BC，再由△ADC的周长为12cm，AC=4cm即可得出结论．
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BC．
∵△ADC的周长为12cm，AC=4cm，、
∴AD+CD=12﹣4=8，即BC=8cm．
故选B．
【分析】直接根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．
解：由题意可得，GH垂直平分线段EF．
故选C．
【分析】 由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，进而可得∠PAQ的大小．21cnjy.com
解：∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=70°，
又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，
∴∠BAP+∠CAQ=70°，
∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=110°﹣70°=40°
故选：B．
【分析】 先根据等腰△ABC的周长为21，底边BC=5得出其腰长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
解：∵等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，
∴AB=AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )=8．
∵AB的垂直平分线DE交AB于点E，
∴AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，
∴△BDC的周长=BC+（AD+CD）=BC+AC=5+5=13．
故选A．
【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答.
解：（1）当AB的中垂线MN与AC相交时
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易得∠A=90°－40°=50°，
（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，
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易得∠DAB=90°－40°=50°，
∴∠A=130°，
故选D.
【分析】 首先连接AC，由AE的 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直平分线MN交BE于点C，可得AC=EC，又由AB+BC=BE，易证得AB=AC，然后由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°，继而求得答案．21教育网
解：连接AC，
∵MN是AE的垂直平分线，
∴AC=EC，
∴∠CAE=∠E，
∵AB+BC=BE，BC+EC=BE，
∴AB=EC=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，
∴∠B=2∠E，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣4∠E，
∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°，
解得：∠E=25°，
∴∠B=2∠E=50°．
故选B．
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【分析】由已知条件，利用线段垂直平分线的性质得AE+CE=BE+CE，再利用给出的周长即可求出AC的长．21·世纪*教育网
∵AB的垂直平分线交AB于点D
∴AE=BE ( http: / / www.21cnjy.com )
∴AE+CE=BE+CE
∵△BCE的周长等于18cm，BC=8cm
∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm，
故选c.2-1-c-n-j-y
二 、填空题
【分析】 根据线段垂直平分线性质知，EA=EC．△EBC的周长=BC+BE+EC=BC+BE+AE=BC+AB．
解：∵DE垂直平分AC，
∴EA=EC．
△EBC的周长=BC+BE+EC，
=BC+BE+AE，
=BC+AB，
=8+10，
=18（cm）．
故答案为：18cm．
【分析】由题意可知AM=MB=5，即可推出△MBC的周长．
解：∵MD是AB的垂直平分线，AM=5，
∴AM=BM=5，
∵CM=3cm，BC=4cm，
∴△MBC的周长为BM+MC+BC=12cm．
故答案为：12．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，根据△ABE的周长为14cm列式计算即可得到答案．【来源：21·世纪·教育·网】
解：∵DE是BC的垂直平分线．∴EA=EC，
∵AB+EB+AE=14，
∴AB+EC+AE=14，
∴AB+AC=14，又AC=8，
∴AB=6，
故答案为：6．
【分析】利用垂直平分线是性质得到AE=BE,等量代换即可求出
解：∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴BD=AD=4cm，AB=8cm，
∵△ABC的周长为26cm，
∴AC+BC=18cm，
△BCE的周长=BC+CE+AE=BC+CE+AE=18cm．
【分析】根据题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，推出DC=DB，可以证明△ADC的周长=AC+AB，由此即可解决问题．21世纪教育网版权所有
解：由题意直线MN是线段BC的垂直平分线，
∵点D在直线MN上，
∴DC=DB，
∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，
∵AB=6，AC=4，
∴△ACD的周长为10．
故答案为10．
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【分析】 根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，可得到∠CBD=30°，在Rt△CBD中可求得BD=2CD，可求得AD，可得到AC．21教育名师原创作品
解：
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠A=30°，
∴∠CDB=60°，
又∠C=90°，
∴∠CBD=30°，
∴AD=BD=2CD=2cm，
∴AC=AD+CD=2cm+1cm=3cm，
故答案为：3．
三 、解答题
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再由直角三角形的性质即可得出结论．
证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∠ADE=90°，
∴∠EAB=∠B．
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠B=90°．
在Rt△ADE中，
∵∠ADE=90°，
∴∠AED+∠EAB=90°，
∴∠CAB=∠AED．
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理、许多垂直平分线的性质进行判断
证明：∵AB=AC，∠A=36
∴∠ABC=∠C=72
∵MN为AB的中垂线
∴AD=BD
则∠A=∠1=36
∴∠2=36 ，∠BDC=180 -36 -72 =72 ，因此，BD平分∠ABC
△BCD为等腰三角形
【分析】 根据三角形内角 ( http: / / www.21cnjy.com )和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线求出AD=BD，AF=CF，推出∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，即可求出答案．
解：在△ABC中，∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，
∵E、G分别是AB、AC的中点，
又∵DE⊥AB，FG⊥AC，
∴AD=BD，AF=CF，
∴∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，
∴∠DAF=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAF）
=∠BAC﹣（∠B+∠C）=110°﹣70°=40°．
【分析】首先作出AB的垂直平分线EF，EF与l的交点就是P的位置．
解：如图所示：点P即为所求．
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【分析】先根据题意得出 ( http: / / www.21cnjy.com )ED是AB的垂直平分线，故可得出∠BAD=∠B．根据∠CAD：∠BAD=5：2可设∠CAD=5x，则∠BAD=∠B=2x，再由三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论．
解：∵点E是AB的中点且ED⊥AB，
∴ED是AB的垂直平分线，
∴∠BAD=∠B．
∵∠CAD：∠BAD=5：2，
∴设∠CAD=5x，则∠BAD=∠B=2x，
∴5x+2x+2x=90°，
∴x=10°，
∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=5x+2x=7x=70°．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得CD的长，根据三角形的周长公式，可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质，可得C ( http: / / www.21cnjy.com )D的长，根据等腰三角形的性质，可得∠B与∠CDB的关系，根据三角形外角的性质，可得∠CDB与∠A的关系，根据三角形内角和定理，可得答案．
解：（1）∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD．
∵C△BCD=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB，
又∵AB=10，BC=6，
∴C△BCD=16；
（2）∵AD=CD
∴∠A=∠ACD，设∠A=x，
∵AD=CB，
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD．
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=2x，
∵∠A．∠B、∠ACB是三角形的内角，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴x+2x+105°=180°，
解得x=25°
∴∠A=25°．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，证得△ADE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等，求得AE=CF=2，最后在在Rt△AEF中根据勾股定理求得EF的长；
（2）先设等边三角形边长为2，在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，在Rt△MND中求得MN的长，最后根据CM与DE的长度之比求得3ED=2MC；【版权所有：21教育】
（3）先延长FD至G，使得FD=FG，连 ( http: / / www.21cnjy.com )接EG，BG，过E作EH⊥BG于点H，根据△BDG≌△CDF得到BG=CF=0.8，进而在Rt△BEH中求得HE，在Rt△EHG中求得EG，最后根据ED垂直平分FG，即可得出EF的长度．
解：（1）如图1∵点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点
∴AD⊥BC，AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC=CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )，∠DAE=∠C=45°
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )CD=5
又∵∠EDF=90°，FC=2
∴∠ADE=∠CDF，AF=5﹣2=3
在△ADE和△CDF中
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∴△ADE≌△CDF（ASA）
∴AE=CF=2
∴在Rt△AEF中，EF= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）设等边三角形边长为2，则BD=CD=1
∵等边三角形ABC中，DF∥AB
∴∠FDC=∠B=60°
∵∠EDF=90°
∴∠BDE=30°
∴DE⊥BE
∴BE= ( http: / / www.21cnjy.com / )，DE= ( http: / / www.21cnjy.com / )
如图2，连接DM，则Rt△DEF中，DM= ( http: / / www.21cnjy.com / )EF=FM
∵∠FDC=∠FCD=60°
∴△CDF是等边三角形
∴CD=CF=1
∴CM垂直平分DF
∴∠DCN=30°
∴Rt△CDN中，DN= ( http: / / www.21cnjy.com / )，CN= ( http: / / www.21cnjy.com / )，DF=1
∴在Rt△DEF中，EF= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵M为EF的中点
∴FM=DM= ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴Rt△MND中，MN= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴CM= ( http: / / www.21cnjy.com / )+ ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴3ED=2MC
（3）如图3，延长FD至G，使得FD=DG，连接EG，BG，则ED垂直平分FG，故EF=EG
∴由BD=CD，∠BDG=∠CDF，DF=DG可得：△BDG≌△CDF
∴∠GBD=∠C=60°，BG=CF=0.8
∴∠EBG=60°+60°=120°
∴∠EBH=60°
过E作EH⊥BG于点H，则BH= ( http: / / www.21cnjy.com / )BE=3
∴Rt△BEH中，HE= ( http: / / www.21cnjy.com / )=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴Rt△EHG中，EG= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴EF的长度为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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