1.4 角平分线同步练习

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
1.4角平分线同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1.掌握和应用角平分线的性质定理 ：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.了解定理 ：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
3.基本作图：作角的平分线
基础知识和能力拓展训练
一 、选择题
如图，点P使∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA 的距离是（ ）21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．4
如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．60° C．80° D．120°
如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；
②点P在∠CBE的平分线上；
③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．
其中正确的是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( ) 21cnjy.com
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是（　　）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． 15 B． 12 C． 9 D． 6
如图，已知在△ABC中，CD是AB边上 ( http: / / www.21cnjy.com )的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( ) 2·1·c·n·j·y
A． 10 B． 7 C． 5 D． 4
下列说法正确的是（　　）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角平分线就是角的对称轴
C．如果两个角相等，那么这两个角互为对顶角 D．有一条公共边的两个角互为补角
如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（ ） www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．4 C．5 D．6
如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．8 B．6 C．4 D．2
如图所示，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线交点，OE⊥AC于E，若OE=2，则AB与CD之间的距离是（　　）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．4 C．8 D．无法确定
二 、填空题
如图，OP平分∠AOB，PE⊥AO于点E，PF⊥BO于点F，且PE=6cm，则点P到OB的距离是_____cm．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，已知BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E点，AB=6cm，BC=4cm，S△ABC=10cm2，则DE=　　　　　　cm．21*cnjy*com
如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45cm2，AB=16cm，AC=14cm，则DE=　　．
( http: / / www.21cnjy.com / )
△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D；若DC=7，则D到AB的距离是________.
如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=　　　　　　．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三 、解答题
已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，AB⊥AC，BF是∠ABC的角平分线，若∠BFC=110°，求∠C的度数？
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，______
求证：______．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
( http: / / www.21cnjy.com / )
已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：
（1）到两村的距离相等；
（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？
( http: / / www.21cnjy.com / )
已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，AD=BD．
（1）试说明DC=DE；
（2）求∠B的度数．
感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC．
应用：如图3，四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，则AB﹣AC=　 　（用含a的代数式表示）21教育网
答案解析
一 、选择题
【分析】过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到PE=PD.从而得出答案.
解：过P作PE⊥OA于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OB，
∴PE=PD,
∵PD=2,
∴PE=2,
即点P到OA的距离是2cm.
故答案为B.
【分析】根据两直线平行， ( http: / / www.21cnjy.com )同位角相等可得∠EAD=∠B，再根据角平分线的定义求出∠EAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：∵AD∥BC，∠B=30°，
∴∠EAD=∠B=30°，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAC=2∠EAD=2×30°=60°，
∴∠C=∠EAC﹣∠B=60°﹣30°=30°．
故选：A．
【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上对各小题分析判断即可得解．
解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；
点P在∠CBE的平分线上，故②正确；
点P在∠BCD的平分线上，故③正确；
点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，
综上所述，正确的是①②③④．
故选A．
【分析】根据角平分线的性质得到ED=EC，计算即可．
解：∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴ED=EC，
∴AE+DE=AE+EC=AC=3cm，
故选B．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．
解：如图所示，加油站站的地址有四处．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选D．
【分析】 由△ABC中，∠C=90° ( http: / / www.21cnjy.com )，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，即可得DE=CD，继而可求得△BDE的周长是：BE+BC，则可求得答案．
解：∵△ABC中，∠C=90°，
∴AC⊥CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵BC=9，BE=3，
∴△BDE的周长是：BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12．
故选B．
【分析】过点E作EF⊥BC后利用角平分线的性质和三角形的面积公式求解
解：如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F,根据角平分线的性质可得DE=EF=2,所以△BCE的面积等于 ( http: / / www.21cnjy.com / ),21·cn·jy·com
故答案选C．
【考点】角平分线的性质；余角和补角；对顶角、邻补角．
【分析】A．根据角平分线的性质进行判断；
B．根据角的轴对称性质进行判断；
C．根据对顶角的定义进行判断；
D．根据补角的定义进行判断．
解：A．根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到这个角两边的距离相等，故A．正确；
B．根据角的轴对称性质可知，角平分线所在直线就是角的对称轴，故（B）错误；
C．根据对顶角的定义可知，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角互为对顶角，故（C）错误；
D．根据补角的定义可知，如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角，故（D）错误．
故选A．
【分析】已知条件给出了角平分线、PE⊥AC于点E等条件，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解．21*cnjy*com
解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点P到AB的距离是也是3．
故选：A．
点评：本题主要考查了角平分线上的一点到角的两边的距离相等的性质．做题时从已知开始思考，想到角平分线的性质可以顺利地解答本题．
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．
解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】过点O作MN，MN⊥AB ( http: / / www.21cnjy.com )于M，求出MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度是多少，再把它们求和即可．
解：如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，
∴OM=OE=2，
∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON=OE=2，
∴MN=OM+ON=4，
即AB与CD之间的距离是4．
故选B
( http: / / www.21cnjy.com / )
二 、填空题
【分析】根据角平分线的性质，可得答案．
解：由OP平分∠AOB，PE⊥AO于点E，PF⊥BO于点F，且PE=6cm，则点P到OB的距离是6cm，【来源：21·世纪·教育·网】
故答案为：6．
【分析】过D作DF⊥BC于F，根据角平分线性质求出DE=DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出方程的解即可．21教育名师原创作品
解：过D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF=DE，
∵S△ABC=10cm2，AB=6cm，BC=4cm，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )×BC×DF+ ( http: / / www.21cnjy.com / )×AB×DE=10，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )×4×DE+ ( http: / / www.21cnjy.com / )×6×DE=10，
∴DE=2，
故答案为：2．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用△ABC的面积列方程求解即可．
解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵△ABC面积是45cm2，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )×16 DE+ ( http: / / www.21cnjy.com / )×14 DF=45，
解得DE=3cm．
故答案为：3．
【分析】考查角平分线的性质
解：因为AD平分∠BAC，所以角平分线上的点到角两边的距离相等，
故答案是7
【分析】作PE⊥OA于E，根据角 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．2-1-c-n-j-y
解：作PE⊥OA于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE= ( http: / / www.21cnjy.com / )PC= ( http: / / www.21cnjy.com / )×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD=PE=2，
故答案是：2．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三 、解答题
【分析】 连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．
证明：连接AD，
在△ACD和△ABD中，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】注意本题中用到了角平分线的定义及三角形的内角和
解：因为∠BFC=110°，根据三角形的外角 ( http: / / www.21cnjy.com )等于不相邻的两个内角之和，可以得到∠ABF+∠A=110° 所以∠ABF=110°—90°=20°，因为BF是∠ABC的角平分线，所以可以得到∠ABC=2∠ABF=40°，即在三角形ABC中∠C=180°—90°—40°=50°
【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．
解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=10，
∴△ADB的面积为S△ADB= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB DE= ( http: / / www.21cnjy.com / )×10×3=15．
【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△PDO≌△PEO，由全等三角形的性质可得结论．
解：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；求证：PD=PE．
故答案为：PD=PE．
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在△PDO和△PEO中，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD=PE．
【分析】先作出两条公路相交的角平分线OC，再连接ED，作出ED的垂直平分线FG，则OC与FG的交点H即为工厂的位置．
解：①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交直线a、b于点A．B；
②分别以A．B为圆心，以大于 ( http: / / www.21cnjy.com / )AB为半径画圆，两圆相交于点C，连接OC；
③连接ED，分别以E、D为圆心，以大于 ( http: / / www.21cnjy.com / )ED为半径画圆，两圆相交于F、G两点，连接FG；
④FG与OC相交于点H，则H即为工厂的位置．
故点H即为工厂的位置．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】（1）由OB=O ( http: / / www.21cnjy.com )C，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形；
（2）首先连接AO并延长交BC于F，通过证△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF=∠CAF，即点O在∠BAC的角平分线上．
（1）证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°，
∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE=180°﹣∠CDB﹣∠CBD，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．
理由：连接AO并延长交BC于F，
在△AOB和△AOC中，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴△AOB≌△AOC（SSS）．
∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；
（2）根据等边对等角可得∠B=∠BAD，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
解：（1）∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DC=DE；
（2）∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠BAD+∠CAD=90°，
解得∠B=30°．
【分析】探究：欲证明DB=DC，只要证明△DFC≌△DEB即可．
应用：先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合BD== HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" SHAPE \* MERGEFORMAT EB即可解决问题．
探究：
证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
SHAPE \* MERGEFORMAT ，
∴△DFC≌△DEB，
∴DC=DB．
应用：解；如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
SHAPE \* MERGEFORMAT ，
∴△DFC≌△DEB，
∴DF=DE，CF=BE，
在RT△ADF和RT△ADE中，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" SHAPE \* MERGEFORMAT ，
∴△ADF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴AB﹣AC=（AE+BE）﹣（AF﹣CF）=2BE，
在RT△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=45°，BD=a，
∴BE== HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" SHAPE \* MERGEFORMAT a，
∴AB﹣AC== HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" SHAPE \* MERGEFORMAT a．
故答案为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" SHAPE \* MERGEFORMAT a．
SHAPE \* MERGEFORMAT
( http: / / www.21cnjy.com / )
版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)