1.1 直角三角形的性质和判定(1)同步练习

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
1.1 直角三角形的性质和判定(一)同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１．直角三角形的两个锐角互余．
２．有两个角互余的三角形是直角三角形．
３．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
４．如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,则这个三角形是直角三角形．
基础知识和能力拓展训练
一 、选择题
直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．65° B．50° C．55° D．60°
如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．50° B．45° C．35° D．30°
如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．40° B．50° C．60° D．140°
如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．17° B．34° C．56° D．124°
将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
( http: / / www.21cnjy.com / )
若直角三角形斜边上的高和中线分别是6cm和8cm，则它的面积是（ ）
A．24cm2 B.48cm2 C.96cm2 D.无法确定
如图，如果CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，∠A=50°，那么∠CDB等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )21世纪教育网版权所有
A．100° B.110° C.120° D.130°
如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )21教育网
A．0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km
如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，点D为斜边AB上的中点，DE⊥CD交AC于点E，则∠AED的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )21cnjy.com
A．105° B.110° C.115° D.125°
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，若AB=8,则CD的长为（ ）
A．6 B.5 C.4 D.3
木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿 ( http: / / www.21cnjy.com )墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（　　）www.21-cn-jy.com
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．20 B．12 C．14 D．13
二 、填空题
在直角三角形中，一个锐角为57°，则另一个锐角为　 　．
在直角三角形中一个锐角是30°，则斜边上的中线把直角分别两部分，它的度数分别是________，________． www-2-1-cnjy-com
如果一个三角形的一边中线等于这边的一半，这个三角形为________三角形．
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，AC=10,则BD=________。
( http: / / www.21cnjy.com / )
将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=　　　　　　度．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是 ________
( http: / / www.21cnjy.com / ) 【出处：21教育名师】
三 、解答题
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=6cm，求EF的长． 2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，△ABC和△ABD中，∠C=∠D=Rt∠，E是BC边上的中线．请你说明CE=DE的理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，已知△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高，D是BC的中点，求证：DE=DF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（经典题）如图所示，锐角△ABC中，BE，CF是高，点M，N分别为BC，EF中点．
求证：MN⊥EF．
( http: / / www.21cnjy.com / )21*cnjy*com
如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
答案解析
一 、选择题
【分析】先根据直角为90°，即可得到∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．
解：∵Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，∠1=35°，
∴∠3=90°﹣35°=55°，
又∵a∥b，
∴∠2=∠3=55°，
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】根据平行线的性质，可得∠3与∠1的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是90°，根据角的和差，可得答案．
解：如图，
∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=60°．
∵AC⊥AB，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣60°=30°，
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据直角三角形的性质即可得出∠2的度数．
解：∵AB∥CD，∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°，
∵DB⊥BC，
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣40°=50°．
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】由平行线的性质得出∠DCE=∠A，再由直角三角形的性质求解
解：∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠A=34°，
∵∠DEC=90°，
∴∠D=90°﹣∠DCE=90°﹣34°=56°．
故选C．
【分析】利用直角三角形的性质求解
解：∵∠AOD=20°，∴∠COA=90°﹣20°=70°，∴∠BOC=90°+70°=160°．
故选B
【分析】根据直角三角形的斜边上中线性质求出斜边的长，再根据三角形的面积公式求出即可．
解：∵CD是Rt△ACB斜边AB上的中线，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴AB=2CD=2×8cm=16cm，
∴Rt△ACB的面积S= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB×CE= ( http: / / www.21cnjy.com / )×6×16=48（cm2）．
故选B．2·1·c·n·j·y
【分析】首先依据在直角三角形中，斜边上 ( http: / / www.21cnjy.com )的中线等于斜边的一半得到DC=DA，接下来，再依据等边对等角的性质得到∠DCA=∠A=50°，最后，依据三角形的外角的性质进行计算即可.【来源：21·世纪·教育·网】
解：∵CD是Rt△ABC的中线，∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠CDB=∠DCA+∠A=100°，
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可解决问题．
解：在Rt△ACB中， ∵∠ACB=90°，AM=BM，
∴CM= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB=AM，
∵AM=1.2km，
∴CM=1.2km，
故选D．
【分析】∠AED是△C ( http: / / www.21cnjy.com )ED的外角，而∠CDE=90°，只要求∠ACD的度数；由直角三角形斜边长定理可得AD=CD，则∠ACD=∠A=25°，从而解得。
解：∵∠A=25°，∠ACB=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴∠B=65°，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD=CD，
∴AD=CD，∠ACD=∠A=45度，
∴∠AED=∠ACD+∠CDE=25°+90°=115°，
故选C。
【分析】根据定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，进行计算即可.
解：如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，AB=8，
∴CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB= ( http: / / www.21cnjy.com / )8=4.
故答案为：C.
【分析】先连接OP，易知OP是Rt△AOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP就是一个定值，那么P点就在以O为圆心的圆弧上．
解：如右图，
连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，
所以OP= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
故选：C．
二 、填空题
【分析】利用直角三角形的两锐角互余可求得答案．
解：∵直角三角形的两锐角互余，
∴另一锐角=90°﹣57°=33°，
故答案为：33°．
【分析】作出图形，根据直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD，再根据等边对等角求出∠ACD=∠A，然后求出∠BCD即可．21*cnjy*com
解：如图，∵CD是Rt△ABC斜边上的中线， ∴CD=AD=BD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠BCD=90°﹣30°=60°．
故答案为：30°，60°．
( http: / / www.21cnjy.com / )21教育名师原创作品
【分析】根据直角三角形斜边上的中线定理即可得到答案．
解：答案为：直角．
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵D为AC的中点，AC=10
∴BD=5；故答案为5.
【分析】如图，连接两交点，根据两直线平行，同旁内角互补和直角三角形两锐角互余的性质
解：如图，连接两交点，
根据矩形两边平行，得
∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
又矩形的角等于90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°．
故答案为：90．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】根据角平分线的性质，和全等三角形的判定，可证Rt△ASP≌Rt△ARP，得AS=AR；∠PAR=∠PAQ，可证PQ∥AR．【版权所有：21教育】
解：连接AP，
在Rt△ASP和Rt△ARP中，
PR=PS，PA=PA，
所以Rt△ASP≌Rt△ARP，
所以①AS=AR正确；
因为AQ=PQ，
所以∠QAP=∠QPA，
又因为Rt△ASP≌Rt△ARP，
所以∠PAR=∠PAQ，
于是∠RAP=∠QPA，
所以②PQ∥AR正确；
③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．
故答案为：①②．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三 、解答题
【分析】由直角三角形的性质可求得AB的长，再由三角形中位线定理可求得EF的长．
解： ∵∠ABC=90°，AD=BD，且CD=6cm，
∴AB=2CD=12cm，
∵FA=FC，CE=BE，
∴EF= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB=6cm．
【分析】CE和DE是直角△ABC和直角△ABD斜边上的中线，根据直角三角形的性质即可证得．
证明：∵直角△ABC中，E是BC的中点，即CE是中线， ∴CE= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB，
同理，DE= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB，
∴CE=DE．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FD= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC，ED= ( http: / / www.21cnjy.com / )CB，进而可得ED=DF．
证明：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高， ∴∠CFB=90°，∠CEB=90°，
在Rt△BFC中，
∵D是BC的中点，
∴FD= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC，
在Rt△BEC中，
∵D是BC的中点，
∴ED= ( http: / / www.21cnjy.com / )CB，
∴DE=DF．
【分析】找到图中直角三角形和斜边上的中线，得到等腰三角形FME，即可解答．
证明：连接ME，MF． 则有ME= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC，MF= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
∴ME=MF．
又∵N为EF中点，
∴MN⊥EF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
证明：如图，连接BM、DM，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=DM= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，
∵点N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】（1）先根据点E是CD的中点得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根据AAS定理可得出△ADE≌△FCE；
（2）根据直角三角形的性质可得出AD=CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性质可得出∠DAC=∠ACD= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠BDC=30°，进而可得出结论．21·cn·jy·com
（1）证明：∵点E是CD的中点，
∴DE=CE．
∵AB∥CF，
∴∠BAF=∠AFC．
在△ADE与△FCE中，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）解：由（1）得，CD=2DE，
∵DE=2，
∴CD=4．
∵点D为AB的中点，∠ACB=90°，
∴AB=2CD=8，AD=CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB．
∵AB∥CF，
∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，
∴∠DAC=∠ACD= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠BDC= ( http: / / www.21cnjy.com / )×60°=30°，
∴BC= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB= ( http: / / www.21cnjy.com / )×8=4．
( http: / / www.21cnjy.com / )
版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)