2017—2018学年数学华师版七年级下册第6章 一元一次方程 教案

第6章　一元一次方程
6．1　从实际问题到方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．掌握如何设未知数．
2．掌握如何找等式来列方程．
3．了解尝试法、代入法寻找方程的解．
重点
1．确定所有的已知量和确定“谁”是未知数x.
2．列方程．
难点
找出问题中的相等关系．
一、创设情境，问题引入
在现实生活中，有很多问题都跟数学有关，例如下面的问题：
问题1：某校初一年级有328名师生乘车外出春游，已有2辆校车乘坐了64人，还需租用44座的客车多少辆？
这个问题用数学中的什么方法来解决呢？
二、探索问题，引入新知
1．在小学里，我们学过方程，你还能记得什么样的式子是方程吗？
含有未知数的等式叫方程．
2．讲解导入中的问题：
根据小学所学的列方程，按照问题问“什么”就设这个“什么”为未知数x的方法来解决这个问题．
分析：设需租用客车x辆，则客车可以乘坐44x人，加上2辆校车上的64人，就是328人．列方程为44x＋64＝328.
解：设还需租用44座的客车x辆，则共可乘坐44x人．根据题意列方程得：44x＋64＝328.
设问：你们谁会解这个方程？请大家自己试一试．
问题2：张老师发现同学们的年龄大多是13岁，就问同学：“我今年45岁，几年后你们的年龄是我年龄的三分之一？”
方法一：我们可以按年龄的增长依次去试．
1年后，老师的年龄是46岁，同学的年龄是14岁，不是老师年龄的三分之一；
2年后，老师的年龄是47岁，同学的年龄是15岁，也不是老师年龄的三分之一；
3年后，老师的年龄是48岁，同学的年龄是16岁，恰好是老师年龄的三分之一．
方法二：也可以用列方程的办法来解．
解：设x年后同学的年龄是老师年龄的三分之一，x年后同学的年龄是(13＋x)岁，老师年龄是(45＋x)岁．根据题意，列出方程得13＋x＝(45＋x)．
这个方程不太好解，大家可以用尝试、检验的方法找出它的解，即只要将x＝1，2，3，4，…代入方程的左右两边，看哪个数能使左右两边的值相等，这样得到方程的解为 x＝3.
结论：使方程左右两边的值相等的未知数的值，就是方程的解．
要检验一个数是否为方程的解，只要把这个数代入方程的左右两边，看能否使左右两边的值相等．如果左右两边的值相等，那么这个数就是方程的解．
3．由上面的两个问题，你能总结出列方程解决实际问题的步骤吗？
结论：设未知数x；找出相等关系；根据相等关系列方程．
【例】 某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？(列方程不必求解)
分析：设这批书共有3x本，根据每包书的数目相等，即可得出关于x的方程，解之即可得出结论．
解：设这批书共有3x本，根据题意列方程得：＝.
点评：本题考查了方程的应用，根据每包书的数目相等，列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
三、巩固练习
1．下列各式中，是方程的是(　　)
A．3＋5 B．x＋1＝0
C．4＋7＝11 D．x＋3＞0
2．下列方程中，解为x＝－3的是(　　)
A.x＋1＝0 B．2x－1＝8－x
C．－3x＝1 D．x＋＝0
3．下列四个数中，方程x＋2＝0的解为(　　)
A．2 B．－2 C．4 D．－4
4．已知甲数比乙数的2倍大1，如果设甲数为x，那么乙数可表示为________；如果设乙数为y，那么甲数可表示为________．
5．一根细铁丝用去后还剩2 m，若设铁丝的原长为x m，可列方程为________________．
6．检验下列各数是不是方程＝x－2的解．
(1)x＝2; (2)x＝－1.
7．小明今年12岁，他爸爸今年36岁，几年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍？(列方程并估计问题的解)
四、小结与作业
小结
这节课主要讲了下面两个问题：
1．复习了用列方程的方法来解应用题；
2．检验一个数是否为方程的解的方法．
作业
1．教材第4页“习题6.1”中第1，3题．
2．完成练习册中本课时练习．
现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本课从探究到应用都有意识地营造一个较为自由的空间，让学生能积极地动手、动口、动脑，使学生在学知识的同时形成方法．整个教学过程突出了三个注重： ①注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单问题的乐趣. ②注重师生间、同学间的互动协作、共同提高．③注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活应用．
6．2　解一元一次方程
6．2.1　等式的性质与方程的简单变形
第1课时　等式的性质
1．借助天平的操作活动，发现并理解等式的性质．
2．应用等式的性质进行等式的变换．
3．经历观察、比较、抽象、归纳等思维活动，发展学生的数学思维能力．
重点
等式的性质和运用．
难点
引导学生发现并概括出等式的性质．
一、创设情境，问题引入
同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事．
小时候的曹冲是多么地聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的重量．
最常见的方法是用天平测量一个物体的质量．
我们来做这样一个实验，测一个物体的质量(设它的质量为x)．首先把这个物体放在天平的左盘内，然后在右盘内放上砝码，并使天平处于平衡状态，此时两边的质量相等，那么砝码的质量就是所要称的物体的质量．
二、探索问题，引入新知
请同学来做这样一个实验：如下图，天平处于平衡状态，它表示左右两个盘内物体的质量a，b是相等的．
得到：a＝b.
1．若在平衡天平两边的盘内都添上(或都拿去)质量相等的物体，则天平仍然平衡．
得到：a＋c＝b＋c　　a－c＝b－c
2．若把平衡天平两边盘内物体的质量都扩大(或缩小)相同的倍数，则天平仍然平衡．
得到：ac＝bc(c≠0)　　＝(c≠0)
观察上面的实验操作过程，回答下列问题：
(1)从这个变形过程，你发现了什么一般规律？
(2)这几个等式两边分别进行了什么变化？等式有何变化？
(3)通过上面的操作活动，你能说一说等式有什么性质吗？
结论：等式的基本性质：
性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，等式仍然成立．如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a－c＝b－c.
性质2：等式两边都乘或除以同一个数(除数不为0)，等式仍然成立．如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0)．
【例1】 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质，以及怎样变形的：
(1)如果2x＋7＝10，那么2x＝10－________________________________________；
(2)如果＝2，那么a＝________________________________________；
(3)如果2a＝1.5，那么6a＝________________________________________；
(4)如果－5x＝5y，那么x＝________________________________________．
分析：根据等式的基本性质进行填空．
解：(1)根据等式的性质1，若2x＋7＝10，则2x＝10－7(等式的两边同时减去7，等式仍成立)；故填：7(等式的两边同时减去7，等式仍成立)；
(2)根据等式性质2，若＝2，则a＝8(等式的两边同时乘以4，等式仍成立)；故填：8(等式的两边同时乘以4，等式仍成立)；
(3)根据等式性质2，若2a＝1.5，则6a＝4.5(等式的两边同时乘以3，等式仍成立)；故填：4.5(等式的两边同时乘以3，等式仍成立)；
(4)根据等式性质2，若－5x＝5y，则x＝－y(等式的两边同时除以－5，等式仍成立)；故填：－y(等式的两边同时除以－5，等式仍成立)．
点评：等式性质：1.等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，等式仍成立；2.等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或整式，等式仍成立．
三、巩固练习
1．下列说法正确的是(　　)
A．等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式
B．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式
C．等式两边都除以同一个数，所得结果仍是等式
D．一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式
2．对于数x，y，c，下列结论正确的是(　　)
A．若x＝y，则x＋c＝y－c
B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则＝
D．若＝，则2x＝3y
3．在方程的两边都加上4，可得方程x＋4＝5，那么原方程是________．
4．在方程x－6＝－2的两边都加上________，可得x＝________.
5．方程5＋x＝－2的两边都减5得x＝______.
6．如果－7x＝6，那么x＝________.
7．只列方程，不求解．
某制衣厂接受一批服装订货任务，按计划天数进行生产，如果每天平均生产20套服装，就比订货任务少100套，如果每天平均生产32套服装，就可以超过订货任务20套，问原计划几天完成？
四、小结与作业
小结
通过及时的练习对所学新知进行巩固和深化，在练习中，要求学生说出计算的依据，帮助学生巩固等式性质的同时，也提升了说理能力．
作业
1．教材第5页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课教学中，充分利用原有的知识，探索、验证，从而获得新知，给每个学生提供思考、表现、创造的机会，使他成为知识的发现者、创造者，培养学生自我探究和实践能力．通过两次实践活动，学生亲自参与了等式的性质发现的过程，真正做到“知其然，知其所以然”，而且思维能力、空间感受能力、动手操作能力都得到锻炼和提高．
第2课时　方程的简单变形
1．理解并掌握方程的两个变形规则；
2．使学生了解移项法则，即移项后变号，并且能熟练运用移项法则解方程；
3．运用方程的两个变形规则解简单的方程．
重点
运用方程的两个变形规则解简单的方程．
难点
运用方程的两个变形规则解简单的方程．
一、创设情境、复习引入
1．等式有哪些性质？
2．在4x－2＝1＋2x两边都减去________，得2x－2＝1，两边再同时加上________，得2x＝3，变形依据是________．
3．在x－1＝2中两边乘以________，得x－4＝8，两边再同时加上4，得x＝12，变形依据分别是________．
二、探索问题、引入新知
1．方程是不是等式？
2．你能根据等式的性质类比出方程的变形依据吗？
结论：方程的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，方程的解不变．方程两边都乘以(或都除以)同一个不为零的数，方程的解不变．
3．你能根据这些规则，对方程进行适当的变形吗？
【例1】 解下列方程：
(1)x－5＝7；　　　　　(2)4x＝3x－4.
分析：(1)利用方程的变形规律，在方程x－5＝7的两边同时加上5，即x－5＋5＝7＋5，可求得方程的解．
(2)利用方程的变形规律，在方程4x＝3x－4的两边同时减去3x，即4x－3x＝3x－3x－4，可求得方程的解．
像上面，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项．
点评：(1)上面两小题方程变形中，均把含未知数x的项，移到方程的左边，而把常数项移到了方程的右边．
(2)移项需变号．
【例2】 解下列方程：
(1)－5x＝2；　　　　　(2)x＝；
分析：(1)利用方程的变形规律，在方程－5x＝2的两边同除以－5，即－5x÷(－5)＝2÷(－5)(或＝，也就是x＝) 可求得方程的解．
(2)利用方程的变形规律，在方程x＝的两边同除以或同乘以，即x÷＝÷(或x×＝×)，可求得方程的解．
解： (1)方程两边都除以－5，得x＝－.
(2)①方程两边都除以，得x＝÷＝×，即x＝.②方程两边同乘以，得x＝×＝，即x＝.
结论：(1)上面两题的变形通常称作“将未知数的系数化为1”．(2)上面两个解方程的过程，都是对方程进行适当的变形，得到x＝a的形式．根据上面的例题，你能总结出解一元一次方程的一般步骤吗？
点评：解方程的一般步骤是：(1)移项；(2)合并同类项；(3)系数化为1.
三、巩固练习
1．下面是方程x＋3＝8的三种解法，请指出对与错，并说明为什么？
(1)x＋3＝8＝x＝8－3＝5；
(2)x＋3＝8，移项得x＝8＋3，所以x＝11；
(3)x＋3＝8，移项得x＝8－3，所以x＝5.
2．下列方程的变形是否正确？为什么？
(1)由3＋x＝5，得x＝5＋3.
(2)由7x＝－4，得x＝－.
(3)由y＝0，得y＝2.
(4)由3＝x－2，得x＝－2－3.
3．解下列方程．
(1)4x－3＝2x－2；
(2)1.3x＋1.2－2x＝1.2－2.7x；
(3)3y－2＝y＋1＋6y.
4．方程 2x＋1＝3和方程2x－a＝0 的解相同，求a的值．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想然后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．
作业
1．教材第9页“习题6.2.1”中第1 、2 、3题．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课是在等式基本性质的基础上总结出方程的变形规则，再根据方程的变形规则，通过移项、系数化为1来解简单的方程．学生掌握的较好．
6．2.2　解一元一次方程
　　　　　　　　　　　　　　
第1课时　一元一次方程的解法(1)
1．一元一次方程的定义．
2．了解如何去括号解方程．
3．了解去分母解方程的方法．
重点
1．一元一次方程的定义；
2．解一元一次方程的步骤．
难点
灵活使用变形解方程．
一、创设情境、复习引入
上两堂课讨论了一些方程的解法，那么那些方程究竟是什么类型的方程呢？先看下面几个方程：每一行的方程各有什么特征？(主要从方程中所含未知数的个数和次数两方面分析)
4＋x＝7；3x＋5＝7－2x；y－＝＋1；
x＋y＝10；x＋y＋z＝6；x2－2x－3＝0；
x3－1＝0.
二、探索问题、引入新知
1．比较一下，第一行的方程(即前3个方程)与其余方程有什么区别？(学生答)
可以看出，前一行方程的特点是：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是一次的．“元”是指未知数的个数，“次”是指方程中含有未知数的项的最高次数，根据这一命名方法，上面各方程是什么方程呢？(学生答)
结论：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程．
2．上两堂课我们探讨的方程都是一元一次方程，并且得出了解一元一次方程的一些步骤．下面我们继续通过解一元一次方程来探究方程中含有括号的一元一次方程的解法．
【例1】 解方程：3(x－2)＋1＝x－(2x－1)．
分析：方程中有括号，先去括号，转化成上节课所讲方程的特点，然后再解方程．
解：去括号3x－6＋1＝x－2x＋1，合并同类项 3x－5＝－x＋1，移项 3x＋x＝1＋5，合并同类项4x＝6，系数化为1，x＝1.5.
【例2】 解方程：－＝1.
分析：只要把分母去掉，就可将方程化为上节课的类型.和－的分母为2和3，最小公倍数是6，方程两边都乘以6，则可去分母．
解：去分母3(x－3)－2(2x＋1)＝6，去括号3x－9－4x－2＝6，合并同类项－x－11＝6，移项－x＝17，系数化为1，x＝－17.
回顾上面的解题过程，总结一下：解一元一次方程通常有哪些步骤？
结论：解一元一次方程通常的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
三、巩固练习
1．下列方程为一元一次方程的是(　　)
A．y＋3＝0 B．x＋2y＝3
C．x2＝2x D.＋y＝2
2．若代数式x＋2的值为1，则x等于________．
3．解下列一元一次方程．
(1)2－3x＝6－5x；
(2)2(x－2)－3(1－2x)＝0；
(3)(a－1)－2－a＝2；
(4)－＝1.
3．y取何值时，2(3y＋4)的值比5(2y－7)的值大3?
4．当x为何值时，代数式与x－1互为相反数？
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第11页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
从学生的作业中反馈出：对去分母的第一步还存在较大的问题，是不是说明过程的叙述不太清楚，部分学生模棱两可，自己做的时候就会暴露出不懂的，这也提醒我今后的教学中在关键的知识点上要下“功夫”，切不可轻易的解决问题(想当然)．备课时应该多多思考学生的具体情况，然后再修改初备的教案，尽量完善，尽量完美．
第2课时　一元一次方程的解法(2)
1．掌握分母中含有小数的一元一次方程的解法，灵活运用解方程的步骤解方程．
2．通过练习使学生灵活的解一元一次方程．
重点
使学生灵活的解一元一次方程．
难点
使学生灵活的解一元一次方程．
一、创设情境、复习引入
通过前面的学习，得出了解一元一次方程的一般步骤，任何一个一元一次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤转化成x＝a的形式．因此当一个方程中的分母含有小数时，应首先考虑化去分母中的小数，然后再求解这个方程．
二、探索问题，引入新知
【例1】 解方程：
－－＝1
分析：此方程的分母中含有小数，通常将分母中的小数化为整数，然后再按解方程的一般步骤求解．
解：－－＝1
利用分数的基本性质，将方程化为：
－－＝1
去分母，得6(9x＋2)－14(3＋2x)－21(3x＋14)＝42，去括号，得54x＋12－42－28x－63x－294＝42，移项，得54x－28x－63x＝42－12＋42＋294，合并同类项，得－37x＝366，系数化为1，得x＝－.
点评：解此方程时一定要注意区别：将分母中的小数化为整数根据的是分数的基本性质，分数的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数，分数的值不变，所以等号右边的1不变．去分母是方程的两边都乘以各分母的最小公倍数42，所以等号右边的1也要乘以42，才能保证所得结果仍成立．
【例2】 解下列方程：
(1)3(2x－1)＋4＝1－(2x－1)；
(2)＋＋＝1.
分析：我们已经学习了解方程的一般步骤，具体解题时，要观察题目的结构特征，灵活应用步骤．
第(1)小题中可以把(2x－1)看成一个整体，先求出(2x－1)的值，再求x的值；
第(2)小题，应注意到分子都是4x＋3，且＋＋＝1，所以如果把4x＋3看成一个整体，则无需去分母．
解：(1)3(2x－1)＋4＝1－(2x－1) ，
3(2x－1)＋(2x－1)＝1－4，
4(2x－1)＝－3，
2x－1＝－，
2x＝，
x＝
(2)＋＋＝1，
(＋＋)(4x＋3)＝1，
4x＋3＝1，
4x＝－2，
x＝－
点评：解方程时，要注意观察分析题目的结构，根据具体情况合理安排解题的步骤，注意简化运算，这样可以提高解题速度，培养观察能力和决策能力．
三、巩固练习
1．解方程
(1)5x＋3＝－7x＋9；
(2)5(x－1)－2(3x－1)＝4x－1；
(3)＝；
(4)－＝1＋；
(5)－＝0.75.
2．m为何值时，代数式2m－的值与代数式的值的和等于5?
3．如下是某同学解方程的过程，请你仔细阅读，然后回答问题．
解：－1＝2＋
－1×4＝2＋×4　①
2x＋2－4＝8＋2－x　②
2x＋x＝8＋2＋2＋4　③
3x＝16　④
x＝　⑤
(1)该同学有哪几步出现错误？
(2)请你解题中的方程．
4．马虎同学在解方程－m＝时，不小心把等式左边m前面的“－”当做“＋”进行求解，得到的结果为x＝1，求代数式m2－2m＋1的值．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第14页“习题6.2.2”中第1，2 题．
2．完成练习册中本课时练习．
这几堂课我们都在探讨一元一次方程的解法，具体解题时要仔细审题，根据方程的结构特征，灵活选择解法，以简化解题步骤，提高解题速度．对于利用方程的意义解决的有关数学题，仔细领会题目中的信息，应把它转化为方程来求解．
第3课时　一元一次方程的实际应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．使学生掌握用一元一次方程解决实际问题的一般步骤；初步了解用列方程解实际问题(代数方法)比用算术方法解的优越性．
2．通过分析找出实际问题中已知量和未知量之间的等量关系，并根据等量关系列出方程．
重点
掌握用一元一次方程解决实际问题的一般步骤．
难点
通过分析找出实际问题中已知量和未知量之间的等量关系，并根据等量关系列出方程．
一、创设情境、复习引入
在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否用一元一次方程来解决，若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较它有什么优越性？
某数的3倍减2等于它与4的和，求某数．(用算术方法解由学生回答)
解：(4＋2)÷(3－1)＝3
答：某数为3.
如果设某数为x，根据题意，其数学表达式为3x－2＝x＋4，
此式恰是关于x的一元一次方程．解之得x＝3.
上述两种解法，很明显算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解一元一次方程求得应用题的解有化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．
我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等的关系．对于任何一个应用题中所提供的条件应首先找出一个相等的关系，然后再将这个相等的关系表示成方程．
下面我们通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．
二、探索问题，引入新知
【例1】 如图，天平的两个盘内分别盛有51 g，45 g盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内，才能使两者所盛盐的质量相等？
分析：设应从盘A内拿出盐x g，可列出下表．
盘A
盘B
原有盐(g)
51
45
现有盐(g)
(51－x)
(45＋x)
　　等量关系：盘A中现有的盐＝盘B中现有的盐．
解：设应从盘A内拿出盐x g，放到盘B内，则根据题意，得51－x＝45＋x，
解这个方程，得x＝3.
经检验，符合题意．
答：应从盘A内拿出盐3 g放到盘B内．
【例2】 学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖．女同学每人搬6块，男同学每人搬8块，每人各搬4次，总共搬了1800块．问有多少名男同学？
分析：设男同学有x人，可列出下表．(完成下表)
男同学
女同学
总数
参加人数(名)
x
65
每人搬砖数(块)
6×4
共搬砖数(块)
1800
　　解：设男同学有x人，根据题意，得32x＋24(65－x)＝1800，
解这个方程得x＝30.
经检验，符合题意．
答：这些团员中有30名男同学．
3．根据上面两道例题的解答过程，你能总结出用一元一次方程解实际问题的过程吗？
结论：用一元一次方程解答实际问题，关键在于抓住问题中有关数量的相等关系，列出方程．求得方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答．
这一过程也可以简单地表述为：
问题方程解答
其中分析和抽象的过程通常包括：
(1)弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数；
(2)找出能表示问题含义的一个主要的等量关系；
(3)对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系，得到方程．在设未知数和解答时，应注意量的单位要统一．
三、巩固练习
1．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是(　　)
A．22x＝16(27－x)
B．16x＝22(27－x)
C．2×16x＝22(27－x)
D．2×22x＝16(27－x)
2．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程(　　)
A．10%x＝330 B．(1－10%)x＝330
C．(1－10%)2x＝330 D．(1＋10%)x＝330
3．一台空调标价2000元，若按6折销售仍可获利20%，则这台空调的进价是________元．
4．某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为________元．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结，最后教师作以补充．
作业
1．教材第14页“习题6.2.2”中第4，5 题．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课我始终把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法．但学生在学习的过程中，却不能很好地掌握这一要领，经常会出现一些意想不到的错误．如，数量之间的相等关系找得不清楚；列方程忽视了解设的步骤等．在教学中我始终把分析题意与寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法．针对学生在学习过程中不重视分析等量关系的现象，在教学过程中我要求学生仔细审题，认真阅读例题的内容提要，弄清题意，找出能够表示应用题全部含义的相等关系．在课堂练习的安排上适当让学生通过模仿例题的思想方法，加强学生解应用题的能力，通过一元一次方程应用题的教学，学生能够比较正确的理解和掌握解应用题的方法，初步养成正确思考问题的良好习惯．
6．3　实践与探索
第1课时　体积和面积问题
1．使学生能够找出简单应用题中的已知量、未知量和相等关系，然后列出一元一次方程来解简单应用题，并会根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理．
2．能够利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题．
重点
利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题．
难点
找问题中的等量关系．
一、创设情境、复习引入
我们学过一些图形的相关公式，你能回忆一下，有哪些公式？
回忆一些图形的有关公式，为本节课学习用一元一次方程解决图形相关问题，找等量关系起到帮助作用．
二、探索问题，引入新知
问题：用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形：
(1)如果长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽；
(2)如果长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积；
(3)比较(1)，(2)所得两个长方形面积的大小．还能围出面积更大的长方形吗？
解：(1)设长方形的长为x厘米，则宽为x厘米．根据题意，得 2(x＋x)＝60，解这个方程， 得x＝18，所以长方形的长为18厘米，宽为12厘米．
(2)设长方形的长为x厘米，则宽为(x－4)厘米，根据题意，得2(x＋x－4)＝60，解这个方程， 得x＝17，所以S＝13×17＝221(平方厘米)．
(3)在(1)的情况下S＝12×18＝216(平方厘米)；在(2)的情况下S＝13×17＝221(平方厘米)．还能围出面积更大的长方形，当围出的长方形的长宽相等时，即为正方形，其面积最大，此时其边长为15厘米，面积为225平方厘米．
讨论：在第(2)小题中，能不能直接设面积为x平方厘米？如不能，怎么办？
如果直接设长方形的面积为x平方厘米，则如何才能找出相等关系列出方程呢？
诱导学生积极探索：不能直接设面积为未知数，则需要设谁为未知数呢？那么设未知数的原则又是什么呢？
结论：在周长一定的情况下，长方形的面积在长和宽相等的情况下最大；如果可以围成任何图形，则圆的面积最大．
【例】 将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高(精确到0.1毫米，π≈3.14)．
分析：根据水的体积不变可得长方体铁盒和圆柱水桶的体积相等，根据长方体和圆柱的体积公式即可列出关于水桶高的方程，求解即可．
解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得π·()2x＝300×300×80，解得：x≈229.3.
答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米．
点评：解题的关键在于记熟圆柱和长方体的体积公式．
三、巩固练习
1．已知一个长方形的周长为60 cm.
(1)若它的长比宽多6 cm，这个长方形的宽是多少？面积是多少？
(2)若它的长与宽的比是2∶1，这个长方形的长是多少？面积是多少？
2．药业集团生产的某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示．根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4 cm，求这种药品包装盒的体积．
3．将棱长为6 cm的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12 cm2，问量筒中水面升高了多少cm?
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第16页“练习”；
2．完成练习册中本课时练习．
现实生活中，蕴含着大量的数学信息，数学在现实生活中有着广泛的应用．解答应用题的过程就是把实际问题抽象成数学问题并进行求解的过程，解方程往往并不困难，难的是如何列出方程，列方程最关键的是如何挖掘问题中的相等关系．等积类应用题的基本关系式是：变形前的体积＝变形后的体积．一般利用几何变形前后的体积相等的等量关系来列出方程．
第2课时　利润和储蓄问题
1．掌握商品利润等有关知识，会用方程解决实际问题．
2．通过分析商品利润等有关知识，经历运用方程解决实际问题的过程，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
重点
探索这些实际问题中的等量关系，由此等量关系列出方程．
难点
找出能表示整个题意的等量关系．
一、创设情境，问题引入
思考下面问题，小组讨论
问题1：新学年开始，某校三个年级为地震灾区捐款，经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款1946元，求其他两个年级的捐款数．
问题2：爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利率为4.00%).3年后能取5600元，他开始存入了多少元？
二、探索问题，引入新知
问题1分析：七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，七年级和八年级的捐款数都与全校捐款总数有关，如果设全校捐款总数，那么三个年级的捐款数就都知道了，这样就可以列出方程．
设全校捐款总数为x，则七年级的捐款数为x，八年级捐款数为x，根据题意，可列方程得x＋x＋1964＝x，解得 x＝7365，
所以，七年级捐款数为：×7365＝2946(元)
八年级捐款数为：×7365＝2455(元)
还有没有其它的设未知数的方法？比较一下，哪种设未知数的方法比较容易列出方程？说说你的道理．
问题2分析：5600元是什么量？要求的是什么量？相等的关系是什么？
等量关系：本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×年利率×期数
解：设他开始存入x元，根据题意，可列方程x(1＋4.00%×3)＝5600，解得x＝5000, 所以他开始存入5000元．
你还知道储蓄问题中有哪些计算公式？
利息的计算方法：利息＝本金×利率×期数
本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
【例1】 某校九年级社会实践小组去商店调查商品销售情况，了解到该商店以每条80元的价格购进了某品牌牛仔裤50条，并以每条120元的价格销售了40条．商店准备采取促销措施，将剩下的牛仔裤降价销售．请你帮商店计算一下，每条牛仔裤降价多少元时，销售完这批牛仔裤正好达到盈利45%的预期目标？
分析：设每条牛仔裤降价x元，根据销售总价＝成本×(1＋45%)，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设每条牛仔裤降价x元，根据题意得：120×40＋(120－x)×10＝80×50×(1＋45%)，解得x＝20.
答：每条牛仔裤降价20元时，销售完这批牛仔裤正好达到盈利45%的预期目标．
点评：利润问题中的等量关系式：商品利润＝商品售价－商品进价，商品售价＝商品标价×折扣数，×100%＝商品利润率，商品售价＝商品进价×(1＋利润率)
【例2】 某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万，每年需要付利息5万元．甲种贷款利率为12%，乙种贷款年利率为14%，该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少元．(列方程解答)
分析：设该厂甲种贷款的数额为x万元，则乙种贷款的数额为(40－x)万元，根据等量关系：每年需要付利息5万元，列方程求解．
解：设该厂甲种贷款的数额为x万元，则乙种贷款的数额为(40－x)万元，依题意有12%x＋14%(40－x)＝5，解得x＝30，40－x＝40－30＝10.
答：该厂甲种贷款的数额为30万元，乙种贷款的数额为10万元．
点评：解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
三、巩固练习
1．学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元．店方表示：如果多购可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．
2．某商场将M品牌服装每套按进价的2倍进行销售，恰逢“春节”来临，为了促销，他将售价提高了50元再标价，打出了“大酬宾，八折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的，该老板到底给顾客优惠了吗？说出你的理由．
3．为了准备小敏6年后上大学的学费5000元，她的父母现在就参加了教育储蓄.3年期的年利率为2.7%，6年期的年利率为2.88%，下面有两种储蓄方式：
(1)直接存一个6年期；
(2)先存一个3年期的，3年后将本息和自动转存一个3年期．
你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第18页“习题6.3.1”中第3题．
2．完成练习册中本课时练习．
数学源于生活、植根于生活．数学教学就是要从学生的生活经验出发，激发学生学习数学的兴趣，让学生深刻体会到数学是解决生活问题的钥匙．本节课就以实际生活问题为主线，使学生亲身经历将实际问题数学化的过程，充分体现学生的主体地位．经过本节课的教学，了解到学生对利润问题掌握的不够好，公式之间不能灵活的转换，这方面有待加强练习．
第3课时　行程和工程问题
1．使学生理解用一元一次方程解行程问题、工程问题的本质规律．
2．通过对“行程问题、工程问题”的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的能力．
重点
用一元一次方程解决行程问题、工程问题．
难点
如何找行程问题中的等量关系．
一、创设情境，问题引入
1．行程问题中路程、速度、时间三者间有什么关系？相遇问题中含有怎样的相等关系？追及问题中含有怎样的相等关系呢？
2．工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系？
二、探索问题，引入新知
【例1】 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1 h经过B地，A、B两地间的路程是多少？
分析：设A，B两地间的路程为x km，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为1小时即可列出方程，求出x的值．
解：设A，B两地间的路程为x km，根据题意得－＝1，解得x＝420.
答：A，B两地间的路程为420 km.
点评：解答本题的关键是根据两车所用时间之差为1小时列出方程．
【例2】 一队学生去校外进行军事野营训练．他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长．通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去．通讯员用多少时间可以追上学生队伍？
分析：(1)细审题意：学生队伍出发18分钟后，通讯员才开始出发，并且与学生队伍同向而行．通讯员追上队伍时，通讯员所走的距离和学生队伍所走的距离相等，但是在同一时间里(从通讯员出发到追上队伍)，他们所走的路程是不同的，通讯员比学生队伍多走了5×千米，设通讯员用x小时可以追上学生队伍．
(2)找等量关系：追上学生队伍时，通讯员走的路程＝学生队伍走的路程．
解：设通讯员用x小时可以追上学生队伍，根据题意，得14x＝5×＋5x.
解这个方程，得x＝(小时)＝10(分钟)．
答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍．
结论：1.行程问题中基本数量关系是：路程＝速度×时间；变形可得到：速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度．
2．常见题型是相遇问题、追及问题，不管哪个题型都有以下的相等关系：相遇：相遇时间×速度和＝路程和；追及：追及时间×速度差＝被追及距离．
【例3】 将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
分析：30分＝小时，可设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作，等量关系为：甲小时的工作量＋甲乙合作x小时的工作量＝1，把相关数值代入求解即可．
解：设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作．根据题意，得×＋(＋)x＝1，解这个方程，得x＝，小时＝2小时12分，答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作．
点评：用一元一次方程解决工程问题，得到工作量1的等量关系是解决本题的关键．
结论：工程问题中的三个量，根据工作量＝工作效率×工作时间，已知其中两个量，就可以表示第三个量．两人合作的工作效率＝每个人的工作效率的和．
三、巩固练习
1．甲、乙两人登一座山，甲每分钟登高10米，并且先出发30分钟，乙每分钟登高15米，两人同时登上山顶．甲用多少时间登山？这座山有多高？
2．一艘船由A地开往B地，顺水航行需5小时，逆水航行要比顺水航行多用50分钟．已知船在静水中每小时走12千米，求水流速度．
3．整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
四、小结与作业
小结
本节课你学习了哪些知识，掌握了哪些方法？请相互交流．
作业
1．教材第20页“习题6.3.2”中第3，4 题．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课的教学难点是行程问题，而行程问题又分几种类型，如：相遇、追及、同向、逆向、水流、环行问题等．环行问题的基本特征是路径呈环状或为环线的一部分．事实上，这类问题也有“相遇”与“追及”之分：
(1)若同地出发，反向而行，则每次相遇，两者的行程之和等于环形的周长．
(2)若同地出发，同向而行，则每次追及，两者的行程之差等于环行道的周长，或表示为快者的行程＝慢者的行程＋环形周长．
此外，若是同时出发，则相遇(或追及)时，两者行走的时间相等．在水流问题中：船的顺水速度＝船的静水速度＋水流速度，船的逆水速度＝船的静水速度－水流速度．