2017—2018学年数学华师版七年级下册第9章多边形 教案

第9章　多边形
9．1　三角形
9．1.1　认识三角形
第1课时　三角形的概念
1．了解三角形的基本元素与主要线段．
2．能区分不同形状的三角形，按角、按边分类的两种方法．
3．理解等腰三角形、等边三角形的概念．
重点
三角形内角、外角，等腰三角形、等边三角形等概念．
难点
三角形的外角．
一、创设情境，问题引入
在我们生活中几乎随时可以看见由各种形状的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面，在这些地面或墙面上，相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙．
这些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙呢？换一些其他形状的行不行？
为了解决这些问题，我们有必要研究多边形的有关性质．三角形是最简单的多边形，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题．让我们从三角形开始，探究其中的道理．
二、探索问题，引入新知
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边．
如图三角形的顶点采用大写字母A、B、C……等表示，整个三角形表示为△ABC.
如图，在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠ACB；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角．
思考：(1)一个三角形(如△ABC)有多少个内角？多少个外角？
答：三个内角，表示为∠ABC，∠ACB，∠BAC六个外角(三对)．
(2)与内角相邻的外角有几个？它们是什么关系？
答：两个，是一对对顶角．
试一试：如图，三个三角形的内角各有什么特点？
(1)中：三个内角均为锐角；
(2)中：有一个内角是直角；
(3)中：有一个内角是钝角．
那么三角形按角来分，应如何分类？
结论：三角形按角可以分为：
所有内角都是锐角——锐角三角形；
有一个内角是直角——直角三角形；
有一个内角是钝角——钝角三角形．
试一试：如图，三个三角形的边各有什么特点？
(1)中：三角形的三边互不相等；
(2)中：三角形有两条边相等；
(3)中：三角形的三边都相等．
结论：我们把两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)．
【例1】 如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．
分析：分别找出图中的三角形即可．
解：图中共有7个，△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE，以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF.
【例2】 如图，过A，B，C，D，E五个点中的任意三点画三角形．
(1)以AB为边画三角形，能画几个？写出各三角形的名称；
(2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．
分析：(1)利用以AB为边画三角形，结合E，D，C的位置得出符合题意三角形；(2)利用网格中线段长得出等腰三角形和钝角三角形．
解：
(1)如图所示：以AB为边的三角形能画3个有：△EAB，△DAB，△CAB；(2)△ABD是等腰三角形，△EAB，△CAB是钝角三角形．
三、巩固练习
　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列说法正确的有(　　)
①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①② B．①③④
C．③④ D．①②④
2．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有________对．
3．如图，以BC为边的三角形有几个？以A为顶点的三角形有几个？分别写出这些三角形．
4．如图，直线a上有5个点，A1，A2，…，A5，图中共有多少个三角形？
5．如图，BD是长方形ABCD的一条对角线，CE⊥BD于点E.
(1)写出图中所有的直角三角形；
(2)写出图中的锐角三角形和钝角三角形．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．
作业
1．教材第82页“习题9.1”中第1题．
2．完成练习册中本课时练习．
教师在练习设计上主要采用了层层深入的原则，先是基础知识的练习；然后用三角形的知识解决实际问题；最后增加难度，让优等生在这个知识点上的学习更进一步．而每一道题都运用了本节课的知识，每一道题目的呈现方式又都不同．这样既能让后进生跟得上，又能让优等生吃得饱，从而让全班同学共同进步．从练习反馈中发现学生易错点，犯错的原因主要是学生未能认真审题．所以在以后审题教学中重视学抓关键词、培养审题习惯，提高解题效率．
第2课时　三角形的高、角平分线和中线
1．掌握三角形的角平分线、中线和高的概念，并会用数学式子表示．
2．掌握三角形的角平分线、中线和高的画法．
重点
认识三角形的中线、角平分线、高．
难点
三角形的中线、角平分线、高的应用．
一、创设情境，问题引入
如图，有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．
(1)当汽车运动到点D点时，刚好BD＝CD，连结线段AD，则AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
(2)汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE＝∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？
(3)汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB＝∠AFC＝90°，则AF这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？
二、探索问题，引入新知
分析上述问题并给出结论：
(1)AD是△ABC中BC边上的中线，三角形中有三条中线．此时△ABD与△ADC的面积相等．
(2)AE是△ABC中∠BAC的角平分线，三角形中角平分线有三条．
(3)AF是△ABC中BC边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形中有三条高线．
下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高．
(1)把锐角三角形换成直角三角形后，再试一试．
(2)把锐角三角形换成钝角三角形后，再试一试．
结论：
1．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，并且都相交于三角形内一点；
2．锐角三角形的三条高相交于三角形内一点，直角三角形的三条高相交于直角顶点，钝角三角形的两条高位于三角形的外部且三条高所在的直线相交于三角形外一点．
例1.画出△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是(　　)
分析：作哪一条边上的高，即从哪条边所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可．
解：过点C作AB边的垂线，正确的是C.
【例2】 如图，已知△ABC的周长为24 cm，AD是BC边上的中线，AD＝AB，AD＝5 cm，△ABD的周
长是18 cm，求AC的长．
分析：由AD＝AB，AD＝5 cm，可求出AB的长度，结合△ABD的周长是18 cm，可求出BD的长度，进而可求出BC的长度，再根据△ABC的周长为24 cm，即可求出AC的长．
解：∵AD＝AB，AD＝5 cm，∴AB＝8 cm.又∵△ABD的周长是18 cm，∴BD＝5 cm.又∵D是BC的中点，∴BC＝2BD＝10 cm.又∵△ABC的周长为24 cm，∴AC＝24－8－10＝6(cm)．
三、巩固练习
1．一定在三角形内部的线段是(　　)
A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
2．如图，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是(　　)
A．△ABC中，AD是BC边上的高
B．△GBC中，CF是BG边上的高
C．△ABC中，GC是BC边上的高
D．△GBC中，GC是BC边上的高
　　　,第3题图)
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有________个．
4．如图，已知△ABC的周长为27 cm，AC＝9 cm，BC边上中线AD＝6 cm，△ABD周长为19 cm，则AB＝________.
,第4题图)　　　,第5题图)
5．在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长差为3，AB＝8，则AC＝________.
四、小结与作业
小结
学生自主小结，交流在本课学习中的体会、收获，交流在学习过程中的体验与感受，以及可能存在的困惑，师生合作共同完成课堂小结．
作业
1．教材第76页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
让学生通过画、折等实践操作，理解三角形的中线、角平分线、高的概念和交点情况，并培养学生动手操作能力，自主探索、合作交流，发现三角形的三条角平分线交于一点的规律，体现了知识的获得不是教师传授的，而是学生自己探索得到的．
9．1.2　三角形的内角和与外角和
1．掌握三角形的内角和与外角和．
2．理解三角形的外角的两条性质．
3．会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算．
重点
掌握三角形内角和及其外角和．
难点
三角形角的有关计算．
一、创设情境，问题引入
在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下结论：三角形的内角和为180°.那么，你能用几何知识进行证明吗？
二、探索问题，引入新知
如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3来表示△ABC的三个内角，证明：∠1＋∠2＋∠3＝180°.
解：延长BC至点E，以C为顶点，在BE的上侧作∠DCE＝∠2，则CD∥BA.∵CD∥BA，∴∠1＝∠ACD，∵∠3＋∠ACD＋∠DCE＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.
由三角形的内角和等于180°，可以得出：
结论：直角三角形的两个锐角互余．
如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角．
三角形的外角与内角有什么关系呢？
显然有：∠CBD(外角)＋∠ABC(相邻内角)＝180°
那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
∵∠CBD＋∠ABC＝180°，∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，∴∠CBD＝∠ACB＋∠BAC.
结论：三角形的外角有两条性质：
1．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角．从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和．
问：你能用“三角形的内角和等于180°”来说明图中∠1＋∠2＋∠3＝360°吗？
∵∠1＋∠ACB＝∠2＋∠BAC＝∠3＋∠ABC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°×3，又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°×3－180°＝360°.
结论：三角形的外角和等于360°.
【例1】 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，求∠C的度数．
分析：由AD是BC边上的高，∠B＝42°，可得∠BAD＝48°，再由∠DAE＝18°，可得∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝30°，然后根据AE是∠BAC的角平分线，可得∠BAC＝2∠BAE＝60°，最后根据三角形内角和定理即可推出∠C的度数．
解：∵AD是BC边上的高，∠B＝42°，∴∠BAD＝48°，∵∠DAE＝18°，∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝30°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAC＝2∠BAE＝60°，∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝78°.
【例2】 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．
分析：在△ABD中，由三角形的外角的性质知∠3＝2∠2，因此∠4＝2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．
解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x.因为∠BAC＝63°，所以∠2＋∠4＝117°，即x＋2x＝117°，所以x＝39°；所以∠3＝∠4＝78°，∠DAC＝180°－∠3－∠4＝24°.
三、巩固练习
　　　　　　　　　　　　　　　　
1．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的大小为(　　)
A．54° B．62° C．64° D．74°
,第1题图)　　　,第2题图)
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，则∠BAD＝(　　)
A．145° B．150° C．155° D．160°
3．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于________．
,第3题图)　　　,第4题图)
4．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于________．
5．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
6．如图，AE，OB，OC分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，OD⊥BC，求证：∠1＝∠2.
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．
作业
1．教材第79页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
实践出真知，因此，在教学中尽量去引导学生从不同的角度去发现问题、思考问题，启发、诱导学生通过动手、动脑，与同学交流合作，大胆探索、猜想，并用自己所学的知识来解决问题，真正做到老师“导”学生“学”．教师一定要相信学生的能力，大胆放手，也许会有意想不到的收获．归纳、对比对于知识的掌握有着不可忽视的作用，教学中要及时引导学生总结，找出好的学习方法和解题捷径，并熟练应用．本节课中有的学生尽管知道了三角形外角的性质，却仍习惯性地用三角形内角和定理来求外角，费时费力，不利于知识的掌握，因此教师要注意让学生多运用三角形外角性质．
9．1.3　三角形的三边关系
1．掌握和理解三角形三边的关系．
2．认识三角形的稳定性，并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题．
重点
三角形任何两边之和大于第三边的应用．
难点
已知三角形的两边求第三边的范围．
　　　　　　　　　　　　　　
一、创设情境、复习引入
1．三角形的三个内角和是多少？三角形的外角有什么性质？
2．在连结两点的所有线中最短的是哪一种？
二、探索问题，引入新知
做一做： 画一个三角形，使它的三条边分别为：4 cm，3 cm，2.5 cm.
画法步骤如下：
(1)先画线段AB＝4 cm；
(2)以点A为圆心，3 cm的长为半径画圆弧；
(3)再以B为圆心，2.5 cm的长为半径画圆弧，两弧相交于点C；
(4)连结AC，BC.
△ABC就是所要画的三角形．
这是根据圆上任意一点到圆心的距离相等．
试一试： 现有长2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，6 cm的五条线段，你任意选三条线段画三角形，使它的三边长分别是你所选择的三条线段的长．你在画的过程中可能会遇到什么情况？这是为什么？
在画三角形的过程中，你会发现有多种情况，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形．
结论：三角形的任意两边的和大于第三边．
你能用其它的依据说明“三角形的任意两边的和大于第三边”吗？
做一做： 用3根木条钉一个三角形，拉三角形的顶点，这个三角形的形状会发生改变吗？三角形的大小会变吗？你知道这是为什么？
用四根木条钉一个四边形，拉四边形的顶点，这个四边形的形状会发生改变吗？四边形的大小会变吗？你知道这是为什么？
结论：如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．四边形具有不稳定性．
三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用．例如桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构．
　　
【例1】 已知三角形三条边分别为a＋4，a＋5，a＋6，求a的取值范围．
分析：根据三角形两边之和大于第三边可得a＋4＋a＋5＞a＋6再解即可．
解：由题意得：解得：a＞－3.
【例2】 若a，b，c分别为三角形的三边，化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a＋b|
分析：根据三角形的三边关系得出a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，再去绝对值符号，合并同类项即可．
解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，∴原式＝|a－(b＋c)|＋|b－(c＋a)|＋|(c＋b)－a|＝b＋c－a＋a＋c－b＋c＋b－a＝－a＋b＋3c.
三、巩固练习
1．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，则x的值可以是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．9
2．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是(　　)
A．2，3，4 B．5，7，7
C．5，6，12 D．6，8，10
3．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为________．
4．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8 m和5 m的木棒．如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？
5．如图，点O是△ABC内的一点，证明：OA＋OB＋OC＞(AB＋BC＋CA)．
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获与感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师作补充．
作业
1．教材第82页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
课堂上通过有趣的情境故事引出本节课的知识点，激发学生的学习兴趣，让学生在经过自己的思考后，教师启发诱导解决实际问题，让学生做学习的主人，并探讨多种不同问题，使探究过程活跃起来，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获．
9．2　多边形的内角和与外角和
1．理解多边形的概念和正多边形的概念．
2．了解多边形的内角、外角、对角线等概念．
3．在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理．
重点
多边形内角和定理的探索和应用．
难点
多边形的内角和，外角和定理的推导．
一、创设情境、复习引入
什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？
二、探索问题，引入新知
试一试：四边形和五边形是怎样表示呢？
如图(1)，三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：△ABC.
如图(2)，四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：四边形ABCD.
如图(3)，五边形是由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：五边形ABCDE.
一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．
注意：(1)我们现在研究的是如图(2)(3)的多边形，也就是凸多边形，如图(4)也是多边形，但不是我们现在研究范围．
(2)与三角形类似，如图(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角．
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形．连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
如：正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等．
试一试：我们知道三角形的三个内角和是180度，那么四边形、五边形、六边形……的内角和是多少？
由下图可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于180度，这样我们就可以求出多边形的内角和．
根据我们的分析，完成下表：
多边形
的边数
3
4
5
6
…
n
分成的三
角形个数
1
2
3
4
…
n－2
多边形的
内角和
180°
360°
540°
720°
…
(n－2)·180°
　　由此，我们可以得出：
结论：n边形的内角和为(n－2)·180°.
与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和．
如图，四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角，求：∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．
因为∠1＋∠DAB＝∠2＋∠CBA＝∠3＋∠DCB＝∠4＋∠ADC＝180°，又因为∠DAB＋∠CBA＋∠DCB＋∠ADC＝360°(四边形内角和等于360°)，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°.所以四边形的外角和等于360°.根据n边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角，就可以求得n边形的外角和，填表：
多边形
的边数
3
4
5
…
n
多边形的
内角与外
角的总和
3×180°
＝540°
4×180°
＝720°
5×180°
＝900°
…
n×180°
多边形的
内角和
180°
360°
540°
…
(n－2)·
180°
多边形的
外角和
360°
360°
360°
…
360°
　　结论：任意多边形的外角和都为360°.
【例1】 如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，求每个内角的度数．
分析：根据多边形内角和定理求解．
解：∵五边形的内角和＝(5－2)·180°＝540°，又∵五边形的每个内角都相等，∴每个内角的度数＝540°÷5＝108°.
【例2】 一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是几边形？
分析：根据多边形内角和定理求解．
解：设多边形为n边形，由题意得(n－2)·180°＝900°，解得n＝7.
【例3】 一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形是几边形？
分析：根据任意多边形的外角和都为360°求解．
解：设多边形为n边形，由题意，得n·72°＝360°解得n＝5.
例4：如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30度，再沿直线前进10米，又向左转30度，……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了多少米？
分析：根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用360°除以30°求出边数，然后再乘以10米即可．
解：∵小亮每次都是沿直线前进10米后向左转30度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷30°＝12，∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×10＝120(米)．故他一共走了120米．
　　　　　　　　　　　　　　　　
三、巩固练习
1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是(　　)
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
2．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是(　　)
A．6 B．12 C．16 D．18
3．如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
4．七边形的内角和为________．
5一个n边形的内角和是720°，则n＝________.
6．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是________．
7．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于________度．
,第7题图)　　　,第8题图)
8．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝________.
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
作业
1．教材第88页“习题9.2”中第1，2，3题．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n－2)·180°.这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握．由于多边形的外角和等于360°，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理．通过练习情况来看学生本节课掌握的较好．
9．3　用正多边形铺设地面
1．通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式．
2．探索用多种正多边形拼地板的过程和原理．
重点
通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力．
难点
通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键．
一、创设情境、复习引入
回到开始提出的问题：某些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙？地砖或瓷砖的形状大多数是正多边形，是不是所有的正多边形都能铺满地面呢？
二、探索问题，引入新知
探究1：用相同的正多边形
使用给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不相互重叠？
通过学生动手拼图，使他们发现能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角相加恰好等于360°.
下面再通过计算，看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形．完成下表：
正多边形
的边数
3
4
5
6
7
…
n
正多边形
的内角和
180°
360°
540°
720°
900°
…
(n－2)180°
正多边形每
个内角度数
60°
90°
108°
120°
…
当[360°÷]为正整数时，即为正整数时，用这样的正多形就可以铺满地面．
结论：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以拼成一个平面图形．
探究2：用多种正多边形
用正三角形和正六边形能铺满地面吗？为什么？
由正六边形和正三角形组成也能铺满地面．
因为正六边形的内角为120°，正三角形的内角为60°，这样用2块正六边形和2块正三角形，它们内角之和为一个周角360°，所以能铺满地面．(即：2×120°＋2×60°＝360°)
能不能用其他两种或两种以上的正多边形铺地板呢？
如图①：是用正八边形和正方形拼成的．因为正八边形的内角为135°，正方形的内角为90°，那么用2个正八边形和1个正方形各一内角之和正好等于360°，所以可以铺满地板．(即：2×135°＋90°＝360°)
如图②：是用正六边形、正方形、正三角形拼成的．因为正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°，正三角形的内角为60°，那么用1个正六边形，2个正方形和1个正三角形各一个内角之和为360°，所以可以铺满地面．(即：120°＋2×90°＋60°＝360°)
结论：若几个正多边形的一个内角的和等于360°，那么这几个正多边形可铺满地面．
【例1】 正八边形地板砖，能铺满地面，既不留下一丝空白，又不相互重叠吗？请说明理由．
分析：先算出正八边形每个内角的度数，再看每个内角度数能否整除360°.
解：不能．∵正八边形每个内角是＝135°，不能整除360°，∴不能密铺．
点评：正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°.
【例2】 某校要用地砖镶嵌艺术教室的地面，可以选择的方案有许多种，请你为其设计．
(1)如果在以下形状的地砖中选取一种镶嵌地面，可以选择的有________．(填序号)
①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；⑤任意三角形；⑥任意四边形
(2)如果在正三角形、正方形、正八边形这三种形状的地砖中，任意选取其中的两种，有几种可行的方案？
(3)如果在正三角形、正六边形、正方形、正十二边形这四种形状的地砖中，任意选取其中三种，有几种可行的方案？
分析：(1)由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．
(2)分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件，分别计算即可求出答案．
(3)分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件，分别计算即可求出答案．
解：(1)①正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；②正五边形每个内角是180°－360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺；③正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；④正八边形的每个内角为：180°－360°÷8＝135°，不能整除360°，不能密铺．⑤任意三角形 ⑥任意四边形都可以镶嵌平面．
(2)正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°＋2×90°＝360°，能密铺．正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，∵2×135°＋90°＝360°，能密铺．故共有两种可行的方案；
(3)由题意可得出：正三角形、正四边形，正十二边形可以镶嵌地面； 正四边形，正六边形，正十二边形可以镶嵌地面；故有2种可行的方案．
点评：用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°，任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
三、巩固练习
1下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是(　　)
A．正六边形 B．正五边形
C．正方形 D．正三角形
2．下列三组正多边形的组合：①正八边形和正方形；②正五边形和正八边形；③正六边形和正方形，能够铺满地面的组合是________(填序号即可)．
3．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．
(1)则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？(两种图形都要用上)
(2)请画出你的镶嵌图．
4．小红家购买了一套新房，准备用一种地板砖镶嵌新居地面，要求地板砖都是正多边形，且每块地板砖的各边长都相等，各个角也都相等、某家装饰材料市场有如下五种型号的地砖，它们每个角的度数分别为60°，90°，108°，120°，135°，你认为这些地板砖哪些适用？请说明你的理由．
5．现有一批边长相等的正多边形瓷砖(如图所示)，设计能铺满地面的瓷砖图案．
(1)能用相同的正多边形铺满地面的有________．
(2)从中任取两种来组合，能铺满地面的正多边形组合是________．
(3)从中任取三种来组合，能铺满地面的正多边形组合是________．
(4)你能说出其中的数学道理吗？
四、小结与作业
小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．
作业
1．教材第91页“习题9.3”第1，2 题．
2．完成练习册中本课时练习．
本节课学习用正多边形铺设地面是在学习多边形的内角和与外角和的前提下来学习的，且是多边形在生活中应用的拓展．所以这节课，教师以生活中常见的地板瓷砖来创造问题情境，学生对此也 比较感兴趣，进而引导学生探索哪些正多边形能铺满地面．这一节课，内容比较简单，幻灯片的图片也比较形象、直观，所以学生比较感兴趣、课堂气氛也相对活跃，课堂效果比较成功．