1.2 直角三角形的性质和判定(4)同步练习

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1.2直角三角形的性质和判定(四)同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1.勾股定理的实际应用
2.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．在直角三角形中,若已知直角三角形任意两边长,我们就可以根据勾股定理,求出 第三边的长．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是（　　）
A．13m B．17m C．18m D．25m
一架长2.5m的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角0.7m，则梯子顶端距墙角的距离是（　　）
A．0.7m B．0.9m C．2.4m D．2.5m
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（　　）
A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．cm C．cm D．cm
二 、填空题
如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍　　　　　　放入（填“能”或“不能”）．
如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧．若则BE=______．
如图所示，直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，且两个顶点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，以斜边为半径的弧交数轴于点A，点C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，则点B表示的数为______．
如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为　　　　　　米（结果精确到0.1米，参考数据： =1.41， =1.73）．
一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为　　．
已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 　．
点A．B、C在格点图中的位置如图5所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是　 　．
一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口1小时后相距　　km．
如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是　　　　　　米．
如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为　 　．
三、解答题
图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；
（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．
如图，李伯伯承包了一块四边形的土地ABCD，他让小亮帮他测量一下这块地的面积．先量得AC的长为120米，BC的长为60米，BD的长为240米．当要测量AD的长度时，小亮说：“不用量了，我已经测得BA恰好平分∠CAB，公路AC和BC是互相垂直的，有了这些条件，就能求出这块土地的面积了．”小亮说得对吗？你会计算这块土地的面积吗？
如图，Rt△OAB的斜边AO在x轴的正半轴上，直角顶点B在第四象限内，S△OAB=20，OB：AB=1：2，求A．B两点的坐标．
如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米，≈1.732）
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A．C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．
（1）求∠ADE；（直接写出结果）
（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．
请阅读下列材料：
问题：如图（1），圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：
路线1：高线AB+底面直径BC，如图（1）所示．
路线2：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示．
设路线1的长度为l1，则l1=AB+BC=2+8=10；
设路线2的长度为l2，则l2===；
∵=102﹣（4+16π2）=96﹣16π2=16（6﹣π2）＜0
∴即l1＜l2
所以选择路线1较短．
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）
①此时，路线1：l1=．路线2：l2=．
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
（2）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2cm，高为hcm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．
数学活动课上，老师提出这样一个问题：如果AB=BC，∠ABC=60°，∠APC=30°，连接PB，那么PA．PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流：
小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想：PA2+PC2=PB2．
小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB后得到△P′CB，并且可推出△PBP′，△PCP′分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法．
这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：
（1）如图2，点P在∠ABC的内部，
①PA=4，PC=，PB=　　　　　　．
②用等式表示PA．PB、PC之间的数量关系，并证明．
（2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明．
答案解析
一 、选择题
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度==12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17米．
故选B．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出h的值．
解：在Rt△ABC中，AB2=AC2﹣BC2，
∵AC=2.5m，BC=0.7m，
∴AB==2.4m，即梯子顶端离地面距离h为2.4m．
故选C．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25，
∵BD＞0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．
故选C．
【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．
解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP==30（海里）
故选：D．
.【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B=
=
=13（Cm）．
故选：A．
二 、填空题
【分析】在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较．
解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，
根据题意，得x2=502+402+302=5000，
702=4900，
因为4900＜5000，所以能放进去．
故答案是：能．
【分析】由等腰直角三角形ABC中，AB=，由勾股定理可知AC=AB=1，再证△ADC≌△BDE，从而推出BE=AC=1．
解 ：∵等腰直角三角形ABC中，AB=，
∴AC=AB=1，
∵等边△ABD和等边△DCE，
∴AD=BD，CD=ED，∠ADB=∠CDE，
∴∠ADC=∠BDE，
在△ADC和△BDE中， AD＝BD ∠ADC＝∠BDE CD＝ED
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴BE=AC=1．
【分析】先根据勾股定理计算出斜边的长，进而得到A的坐标，再根据A点表示的数，可得B点表示的数．
解：∵直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，
∴斜边的长==，
∴A点表示的数为﹣1，
∵C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，
∴点B表示的数为5﹣，
故答案为：5﹣．
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4m，再根据勾股定理可得MC2+MB2=（2MC）2，代入数可得答案．
解：由题意可得：∵AM=4米，∠MAD=45°，
∴DM=4m，
∵AM=4米，AB=8米，
∴MB=12米，
∵∠MBC=30°，
∴BC=2MC，
∴MC2+MB2=（2MC）2，
MC2+122=（2MC）2，
∴MC=4，
则DC=4﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
【分析】根据题意画出图形，首先利用勾股定理计算出BC的长，再利用勾股定理计算出AB的长即可．
解：∵侧面对角线BC2=32+42=25，
∴CB==5，
∵AC=12，
∴AB===13，
∴空木箱能放的最大长度为13．
故答案为：13．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理不难求得底边上的高．
解：根据等腰三角形的三线合一，知：等腰三角形底边上的高也是底边上的中线．即底边的一半是3，再根据勾股定理得：底边上的高为4．
故答案为：4
【分析】连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，利用勾股定理求出AB的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，
∵S△ABC=3×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×3﹣1=9﹣1﹣1﹣﹣1=，AB==，
∴×h=，
∴h=．
故答案为：．
【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的1小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．
解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC=16×1km=16km，
BC=12×1km=12km．
则AB=20km
故答案为 20．
【分析】 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2=22+[（0.2+0.3）×3]2=2.52，
解得x=2.5．
【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．
解：如图1，当∠AMB=90°时，
∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OB=4，
又∵∠AOC=∠BOM=60°，
∴△BOM是等边三角形，
∴BM=BO=4，
∴Rt△ABM中，AM==4；
如图2，当∠AMB=90°时，
∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OA=4，
又∵∠AOC=60°，
∴△AOM是等边三角形，
∴AM=AO=4；
如图3，当∠ABM=90°时，
∵∠BOM=∠AOC=60°，
∴∠BMO=30°，
∴MO=2BO=2×4=8，
∴Rt△BOM中，BM==4，
∴Rt△ABM中，AM==4，
综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4．
故答案为：4或4或4．
三 、解答题
【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；
（2）直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案．
解：（1）如图1所示：四边形AQCP即为所求，它的周长为：4×=4；
（2）如图2所示：四边形ABCD即为所求．
【考点】勾股定理的应用；勾股定理的逆定理．
【分析】过点A作AE⊥BD于E，根据角平分线的性质可得AE=AC=120米，从而分别求出△ACB和△ABD的面积，两者相加即可得出这块土地的面积．
解：过点A作AE⊥BD于E，
∵AB正好平分∠CBD，
∴AE=AC=120米，
故可得S△ACB=AC×BC=3600米2，S△ABD=BD×AE=14400米2，
∴可得这块地的面积=S△ACB+S△ABD=18000米2．
【分析】根据题意可得∠BAC=90°，分别求出2小时两辆海舰走过的路程AB和AC，然后利用勾股定理求得两艘海舰的距离BC．
解：由题意得，∠BAC=90°，
AB=160×2=320（海里），
AC=120×2=240（海里），
在Rt△ABC中，
BC===400（海里）．
答：两艘海舰相距400海里．
【分析】因为∠CAD=30°，则AC=2CD，再利用勾股定理求得CD的长，再加上DE的长就求出了树的高度．
解：在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AD=3，
设CD=x，则AC=2x，由AD2+CD2=AC2，
得，32+x2=4x2，x==1.732，
所以大树高1.732+1.68≈3.4（米）．
【分析】（1）根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线，由此可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
解：（1）∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠ADE=90°；
（2）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC==4，
∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7．
【分析】（1）①l1的长度等于AB的长度与BC的长度的和；l2的长度的平方等于AB的长度的平方与底面周长的一半的平方的和，据此求出l2的长度即可；
②比较出、的大小关系，进而比较出l1、l2的大小关系，判断出选择哪条路线较短即可；
（2）当圆柱的底面半径为2cm，高为hcm时，l1=4+h，l2=，据此求出的值是多少，然后分类讨论，根据h的值判断出l1、l2的大小关系，进而判断出选择哪条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短即可．
解：（1）①l1=4+2×2=8，
l2==；
②∵=82﹣（16+4π2）=48﹣4π2=4（12﹣π2）＞0，
∴，即l1＞l2，
所以选择路线2较短．
（2）当圆柱的底面半径为2cm，高为hcm时，
路线1：l1=4+h，路线2：l2=，
∵=（4+h）2﹣（h2+4π2）
=16+8h+h2﹣h2﹣4π2
=16+8h﹣4π2
=4（2h+4﹣π2）
∴当2h+4﹣π2=0时，即h=时，l1=l2，两条路线一样长，选择哪条路线都可以；
当2h+4﹣π2＞0时，即h＞时，l1＞l2，选择路线2较短；
当2h+4﹣π2＜0时，即h＜时，l1＜l2，选择路线1较短．
故答案为：8、．
【分析】（1）根据结论代入即可填写；
（2）根据△ABP≌△CBP′得出PA=P′C，∠A=∠BCP′，即可得出PA．PB、PC之间的数量关系；
（3）当点P在CB的延长线上时，得出PA2+PB2=PC2．
解：（1）①PB==．
故答案为：；
②PA2+PC2=PB2，
证明：作∠PBP′=∠ABC=60°，且使BP′=BP，连接P′C、P′P，如图1：
∴∠1=∠2，
∵AB=CB，
在△ABP与△CBP′中，
，
∴△ABP≌△CBP′，
∴PA=P′C，∠A=∠BCP′，
在四边形ABCP中，
∵∠ABC=60°，∠APC=30°，
∴∠A+∠BCP=270°，
∴∠BCP′+∠BCP=270°，
∴∠PCP′=360°﹣（∠BCP′+∠BCP）=90°，
∵△PBP′是等边三角形，
∴PP′=PB，
在Rt△PCP′中，P'C2+PC2=P'P2，
∴PA2+PC2=PB2；
（2）点P在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例：
如图2，当点P在CB的延长线上时，
结论为PA2+PB2=PC2．
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