1.3 直角三角形全等的判定同步练习

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1.3直角三角形全等的判定同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
直角三角形全等的判定除了可以运用以前学过的 SAS、 ASA 、 AAS 、SSS 方法外,还有自己特殊的方法,即 斜边、直角边定理,其内容是：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等 ,也可简写成 HL ．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
如图，已知AB=AD，∠BAD=∠CAE，则增加以下哪个条件仍不能判断△BAC △DAE的是（ ）
A． AC=AE B. BC=DE C. ∠B=∠D D. ∠C=∠E
下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一锐角对应相等 B.两锐角对应相等
C.一条边对应相等 D.两条直角边对应相等
要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（ ）
①有两条直角边对应相等；
②有两个锐角对应相等；
③有斜边和一条直角边对应相等；
④有一条直角边和一个锐角相等；
⑤有斜边和一个锐角对应相等；
⑥有两条边相等．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
下列说法不正确的是（ ）
A.有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等
B.有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D.有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
下列说法中，正确的是（ ）
A.直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B.三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2﹣b2=c2
C.以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形
D.△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形
能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．斜边相等 B．两直角边对应相等
C．两锐角对应相等 D．一锐角对应相等
已知下列语句：
①有两个锐角相等的直角三角形全等；
②一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；
③三个角对应相等的两个三角形全等；
④两个直角三角形全等．
其中正确语句的个数为（ ）
A．0 B.1 C．2 D.3
如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（ ）
A．SSS B．ASA C．SSA D.HL
如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
二、填空题
如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“________”．
如图∠C=∠D=900 ， 要使△ABC≌△BAD需要添加的一个条件是________.
①有两边和一角对应相等的两个三角形全等；②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；③有三角对应相等的两个直角三角形全等；④有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
上述判断正确的是________．
如图所示，∠C=∠D=90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是________
如图，已知四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，那么Rt△ABC≌Rt△ADC，根据是________．

如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A．D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB= ________
如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为9，则BE= ________

三、解答题
如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2.求证：AD平分∠BDC。
如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论．

已知：AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，问：△ABC≌△ADC吗？说明理由．
如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
如图，∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD．你认为正确吗？为什么？

如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF=AE，BC=DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
如图，点C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB=BE，BC=DE，AC交BD于F．
（1）求证：△ABC≌△BED；
（2）求∠BFC的度数．
答案解析
一 、选择题
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】从得到的∠BAD=∠CAE，则∠BAC=∠DAE，从而在△BAC和△DAE中，有∠BAC=∠DAE，和AB=AD，所以只要根据“SAS”“ASA”“AAS”的判定定理判断即可.
解：已知∠BAD=∠CAE，则∠BAC=∠DAE，又AB=AD，
当根据“SAS”时，可添加“AC=AE”，故A能判定，故B不能判定；
当根据“ASA”时，可添加“∠B=∠D”，故C能判定；
当根据“AAS”时，可添加“∠C=∠E”，故D能判定；
故选B.
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】判定两个直角三角形全等的方法有：SAS、SSS、AAS、ASA．HL五种，然后结合题目所给的条件进行判断即可.
解：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A．C；
而B构成了AAA，不能判定全等；
D构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等．
故答案为：D．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可．
解：①有两条直角边对应相等，可以利用SAS证明全等，正确； ②有两个锐角对应相等，不能利用AAA证明全等，错误；
③有斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明全等，正确；
④有一条直角边和一个锐角相等，可以利用AAS证明全等，正确；
⑤有斜边和一个锐角对应相等，可以利用AAS证明全等，正确；
⑥有两条边相等，可以利用HL或SAS证明全等，正确；
故选B
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】根据三角形全等的判定定理进行分析即可．
解：A．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等，说法正确；
B．有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，说法正确；
C、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，说法错误；
D、有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确；
故选：C
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
解：A．应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故错误；
B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为a，b，斜边为c则满足a2﹣b2=c2”，故错误；
C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52 ， 能构成直角三角形，故错误；
D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故正确．
故选D．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】要判断能使两个直角三角形全等的条件首先要看现在有的条件：一对直角对应相等，还需要两个条件，而AAA是不能判定三角形全等的，所以正确的答案只有选项B了．
解：A选项，无法证明两条直角边对应相等，因此A错误．
C、D选项，在全等三角形的判定过程中，必须有边的参与，因此C、D选项错误．
B选项的根据是全等三角形判定中的SAS判定．
故选：B．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】根据全等三角形的判定定理HL、SAS、AAS、ASA分别进行分析即可．
解：①有两个锐角相等的直角三角形全等，说法错误；②一条斜边对应相等的两个直角三角形全等，说法错误；③三个角对应相等的两个三角形全等，说法错误； ④两个直角三角形全等，说法错误．故选：A．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】先证AO为角平分线，再根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．
解：∵OD=OP，OD⊥AB且OP⊥AC，
∴AO为角平分线，
∴△ADO和△OPO是直角三角形，
又∵OD=OP且AO=AO
∴△AOD≌△AOP．
故选D．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．
利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵AC=AB，
∵∠CAE=∠BAD，
∴△AEC≌△ADB；
∴CE=BD，
∵AC=AB，
∴∠CBE=∠BCD，
∵∠BEC=∠CDB=90°，
∴△BCE≌△CBD；
∴BE=CD，
∴AD=AE，
∵AO=AO，
∴△AOD≌△AOE；
∵∠DOC=∠EOB，
∴△COD≌△BOE；
∴OB=OC，
∵AB=AC，
∴CF=BF，AF⊥BC，
∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF．
共6对，故选D．
二 、填空题
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】首先根据三角形的高可得两个高所在的三角形是直角三角形，再根据由已知一组直角边和一组斜边相等，利用直角三角形的判断方法，可得两个直角三角形全等．
解： 因为BE，CD是△ABC的高，所以∠CDB=∠BEC=90°, △CDB和△BEC是直角三角形；且BD＝EC，BC=CB所以△BCD≌△CBE；
【考点】直角三角形全等的判定
解：∵∠C=∠D=90°，AB=BA，
∴可以添加AC=BD或BC=AD利用HL判定△ABC≌△BAD；
添加∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA利用AAS判定△ABC≌△BAD.
故应填：AC=BD或BC=AD或∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA，
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】根据全等三角形的判定定理，针对每一个选项进行分析，可得答案．
解：①有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，错误； ②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；
③有三角对应相等的两个直角三角形不一定全等，错误；
④有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，正确；
故答案为：②④
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BC=BD．
解：条件是AC=AD，∵∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC=AD．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】因为∠ABC=∠ADC=90°，所以△ABC和△ADC为直角三角形，又因为CB=CD，CA=CA，故可根据HL判定Rt△ABC≌Rt△ADC．
解：∵∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD，CA=CA
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
故填HL．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE=BC，则AB=AD+BC．
解：∵MN∥PQ， AB⊥PQ，
∴AB⊥MN，
∴∠DAE=∠EBC=90°，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，
∴△ADE≌△BEC（HL），
∴AE=BC，
∵AD+BC=7，
∴AB=AE+BE=AD+BC=7．
故答案为7．
【考点】直角三角形全等的判定，正方形的判定
【分析】作BF⊥CD交CD的延长线于点F，据条件可证得∠ABE=∠CBF，且由已知∠AEB=∠CFB=90°，AB=BC，所以△ABE≌△CBF，可得BE=BF；四边形ABCD的面积等于新正方形FBED的面积（需证明是正方形），即可得BE=3．
解：过B作BF垂直DC的延长线交于点F，∵∠ABC=∠CDA=90°，BF⊥CD，
∴∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC，∴∠ABE=∠CBF；
又∵BE⊥AD，BF⊥DF，且AB=BC，
∴△ABE≌△CBF，即BE=BF；
∵BE⊥AD，∠CDA=90°，BE=BF，
∴四边形BEDF为正方形；
由以上得四边形ABCD的面积等于正方形BEDF的面积，即等于9，
∴BE2=9，即BE=3．
三 、解答题
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】由∠1=∠2，根据等角对等边，可得BD=CD；在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD是公共边，根据HL定理可判定Rt△ABD≌Rt△ACD，进而得到∠ADB=∠ADC即AD平分∠BDC.
解：∵∠1=∠2∴BD=CD
∵AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD
∴∠ADB=∠ADC
即AD平分∠BDC
【考点】直角三角形的性质，直角三角形全等的判定
【分析】先利用HL判定△CAE≌△EBD，从而得出全等三角形的对应角相等，再利用角与角之间的关系，可以得到线段CE与DE的大小与位置关系为相等且垂直．
解：CE=DE，CE⊥DE，理由如下：
∵AC⊥AB，DB⊥AB，
AC=BE，AE=BD，
∴△CAE≌△EBD．
∴∠CEA=∠D．
∵∠D+∠DEB=90°，
∴∠CEA+∠DEB=90°．
即线段CE与DE的大小与位置关系为相等且垂直．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】根据全等三角形的判定定理AAS进行证明．
解：△ABC≌△ADC．理由如下： ∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90°．
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】先由BF=EC得到BC=EF，再根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF．
证明：∵BF=EC，
∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等进行分析即可．
解：不正确，
因为AC不是△ABC和△ACD的对应边，故不能判定△ABC≌△ACD．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】根据已知条件BE=CF，由线段的和差，得到BF=CE，根据HL得到Rt△ABF≌Rt△DCE.
证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
BC=CE，AB=CD，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】根据全等三角形的判定定理HL证得Rt△ADC≌Rt△CBA，在该全等三角形的对应边相等：DC=BA，然后再由HL来证得Rt△ABE≌Rt△CDF．
解：如图，
在Rt△ADC与Rt△CBA中，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），
∴DC=BA．
又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】（1）在两个直角三角形中，已知的条件有：AB=BE、BC=DE、∠ABC=∠E=90°，即可由SAS判定两个三角形全等．
（2）根据（1）题证得的全等三角形，可得到∠DBE=∠A，由于∠A．∠BCF互余，所以∠FBC、∠BCF互余，即∠BFC是直角．
（1）证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠ABC=∠BED=90°，
在△ABC和△BED中，

∴△ABC≌△BED（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△BED，
∴∠DBE=∠CAB，
∵∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠ACB=90°．
∴∠DBE+∠ACB=90°．
∴在△BFC中，∠BFC=90°．
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