1.2 直角三角形的性质和判定（3）同步练习

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1.2直角三角形的性质和判定（三）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1. 直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方,即 a２＋b２＝c２
2. 能简单的应用勾股定理
基础知识和能力拓展训练
一 、选择题
如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（　　）
A．1，2，3 B．1，1， ( http: / / www.21cnjy.com / ) C．1，1， ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．1，2， ( http: / / www.21cnjy.com / )
若直角三角形的两条直角边长分别为3cm、4cm，则斜边上的高为（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )cm B． ( http: / / www.21cnjy.com / )cm C．5cm D． ( http: / / www.21cnjy.com / )cm
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为（ ）
A．－1 B．+1 C．－1 D．+1
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如图，正方形ABCD的面积是（　　）
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A．5 B．25 C．7 D．10
如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（　　）
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A．5 B．6 C．8 D．10
如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过 ( http: / / www.21cnjy.com )点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
若Rt△ABC中，∠C=90°且c=13，a=12，则b=（　　）
A．11 B．8 C．5 D．3
如图，若∠ABC=∠ACD=90°，AB=4，BC=3，CD=12，则AD=（　　）
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A．5 B．13 C．17 D．18
如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）
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A．﹣1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / ) C．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．﹣1+ ( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，在 Rt△ABC中，∠A=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )BD平分∠ABC，交AC于点D，AB=4，BD=5，若点P是BC边上的动点，则线段DP的最小值为（　　）www.21-cn-jy.com
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A．2.4 B．3 C．4 D．5
二 、填空题
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，CD=　　　　　　．
如图，AB=AD，∠BAD=90°，AC⊥BC于点C，DE⊥AC于点E，且AB=10，BC=6，则CE= .
如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于　　　　　．
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如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为　　　　　　．
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图形中字母A所表示的正方形的面积是100，字母B所表示的正方形的面积是36，则字母M所表示的正方形的边长为　　．2-1-c-n-j-y
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如图，正△ABC的边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn=　　　　　．（用含n的式子表示）
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三 、解答题
在数轴上画出表示 ( http: / / www.21cnjy.com / )的点． （要画出作图痕迹）
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已知：如图，在Rt△ABC中，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C=90°，AC=6，BC=10，过点A作DE∥BC，交∠ABC的平分线于E，交∠ACB的平分线于D．求：【来源：21cnj*y.co*m】
（1）AB的长；
（2）DE的长．
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如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
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已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．
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如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．21教育名师原创作品
（Ⅰ）AE的长等于　　　　　　；
（Ⅱ）若点P在线段AC上，点Q在线 ( http: / / www.21cnjy.com )段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　　．
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一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图，已知在Rt△ABC中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．
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（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：
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根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．
（2）特殊位置，证明结论
若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．
（3）知识迁移，探索新知
若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时 ( http: / / www.21cnjy.com )，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）
△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，O为AC的中点，将等边△OEF的顶点放在点O处，OE、OF分别交AB、BC于点M、N．
(1)如图1，当BM=BN时，求证：OM=ON
(2)如图2，若△OEF的边长为6，M为OE的中点，点G在边EF上，点何在边OF上，将△FGH沿着GH折叠，使点F落在△OEF内部一点F'处，F'H所在直线垂直EO于Q，F'Q=QO，QH=QO，求MQ的长．
(3)将图1中的△OEF绕O点顺时针旋转至图3所示的位置，写出线段BM，BN与AB之间的数量关系，并进行证明．
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答案解析
一 、选择题
【分析】根据构成三角形的条件和“智慧三角形”的定义进行判定
解：A．∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12=（ ( http: / / www.21cnjy.com / )）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：D．
【分析】 先根据勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形的面积列式进行计算即可求解．
解：根据勾股定理，斜边= ( http: / / www.21cnjy.com / )=5，
设斜边上的高为h，
则S△= ( http: / / www.21cnjy.com / )×3×4= ( http: / / www.21cnjy.com / )×5 h，
整理得5h=12，
解得h= ( http: / / www.21cnjy.com / )cm．
故选B．
【分析】利用勾股定理求解
解：在△ADC中，∠C=90°，AC=2，
∴CD=,
∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠B=∠BAD,所以BD=AD=,
∴BC=+1，
故选D.
【分析】在直角△ADE中利用勾股定理求出AD2，即为正方形ABCD的面积．
解：∵在△ADE中，∠E=90°，AE=3，DE=4，
∴AD2=AE2+DE2=32+42=25，
∴正方形ABCD的面积=AD2=25．
故选B．
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AB=5，AD=3，
∴BD= ( http: / / www.21cnjy.com / )=4，
∴BC=2BD=8，
故选C．
【分析】直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案．
解：如图所示：连接OC，
由题意可得：OB=2，BC=1，
则AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故点M对应的数是： ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选：B．
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【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理可得b= ( http: / / www.21cnjy.com / )，代入数据可得出b的长度．
解：∵三角形ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )，即b= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=5，
故选C．
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AD即可．
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，由勾股定理得：AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )=5，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=5，CD=12，由勾股定理得：AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )=13，
故选B．
【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角△BOC中，根据勾股定理求得圆O的半径OA=OB= ( http: / / www.21cnjy.com / )，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值．
解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．
∵在直角△BOC中，OC=2，BC=1，则根据勾股定理知OB= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴OA=OB= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴a=﹣1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选A．
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【分析】先根据勾股定理求出AD的长，再过点D作DE⊥BC于点E，由垂线段最短可知当P与E重合时DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论．
解：∵在△ABC中，∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )=3，
过点D作DE⊥BC于点E，由垂线段最短可知当P与E重合时DP最短，
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴DE=AD=3，即线段DP的最小值为3．
故选B．
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二 、填空题
【分析】先根据勾股定理求出直角边AC的长度，再利用三角形的面积即可求出CD的长．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )=4cm．
∵S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC CB= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB CD，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )×4×3= ( http: / / www.21cnjy.com / )×5×CD，
∴CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )cm．
故答案为 ( http: / / www.21cnjy.com / )cm．
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【分析】利用垂直得到∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB=∠AED=90°，则∠B+∠BAC=90°，再根据等角的余角相等得到∠B=∠DAE，然后根据全等三角形的判定方法得到△ABC≌△DAE，于是BC=AE=6，
再根据勾股定理可计算出AC=6，最后利用CE=AC-AE进行计算即可．
解：∵AC⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ACB=∠AED=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAE=90°，
∴∠B=∠DAE，
在△ABC和△DAE中
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴△ABC≌△DAE，
∴BC=AE，
而BC=6，
∴AE=6，
在Rt△ABC中，AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )=8，
∴CE=AC-AE=8-6=2．
故答案为2．21cnjy.com
【分析】因为CD⊥AB，所以△ACD是直角三角形，又 E是AC的中点，所以DE= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，求出AC,再利用勾股定理求出CD21·cn·jy·com
解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=8．
故答案是：8．
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【分析】先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出OC= ( http: / / www.21cnjy.com / )，然后利用画法可得到OM=OC= ( http: / / www.21cnjy.com / )，于是可确定点M对应的数．2·1·c·n·j·y
解：∵△ABC为等腰三角形，OA=OB=3，
∴OC⊥AB，
在Rt△OBC中，OC= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，
∴OM=OC= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴点M对应的数为 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案为 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
【分析】分别求出a2，b2，利用勾股定理可得出m2，继而可得出字母M所表示的正方形的边长．
解：由题意得，a2=100，b2=36，
从而可得m2=a2+b2=136，
即字母M所表示的正方形的边长为 ( http: / / www.21cnjy.com / )=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案为：2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
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【分析】由AB1为边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出S1，同理求出S2，依此类推，得到Sn．www-2-1-cnjy-com
解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，
∴BB1=1，AB=2，
根据勾股定理得：AB1= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴S1= ( http: / / www.21cnjy.com / )× ( http: / / www.21cnjy.com / )×（ ( http: / / www.21cnjy.com / )）2= ( http: / / www.21cnjy.com / )（ ( http: / / www.21cnjy.com / )）1；
∵等边三角形AB1C1的边长为 ( http: / / www.21cnjy.com / )，AB2⊥B1C1，
∴B1B2= ( http: / / www.21cnjy.com / )，AB1= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
根据勾股定理得：AB2= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴S2= ( http: / / www.21cnjy.com / )× ( http: / / www.21cnjy.com / )×（ ( http: / / www.21cnjy.com / )）2= ( http: / / www.21cnjy.com / )（ ( http: / / www.21cnjy.com / )）2；
依此类推，Sn= ( http: / / www.21cnjy.com / )（ ( http: / / www.21cnjy.com / )）n．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com / )（ ( http: / / www.21cnjy.com / )）n．
三 、解答题
【分析】因为10=9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是 ( http: / / www.21cnjy.com / )．再以原点为圆心，以 ( http: / / www.21cnjy.com / )为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可．
解：因为10=9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
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【分析】（1）由勾股定理即可求出AB，
（2）根据平行线性质推出∠D=∠DCB ( http: / / www.21cnjy.com )，∠E=∠EBC，推出∠D=∠ACD，∠E=∠ABE，求出AD=AC=6，AE=AB=8，即可求出答案．21*cnjy*com
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，BC=10，
∴AB=8，
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
又∵DE∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=8，
同理，∵DC平分∠ACB，DE∥BC，
∴AD=AC=6
∴DE=14
【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．
解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=10，
∴△ADB的面积为S△ADB= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB DE= ( http: / / www.21cnjy.com / )×10×3=15．
【分析】过点A作AD⊥BC交CB的延 ( http: / / www.21cnjy.com )长线于D，利用△ABC的面积求出AD，再求出∠ABD=45°，然后利用等腰直角三角形的性质求出AB、BD，再求出CD，利用勾股定理列式求解即可得到AC．21教育网
解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，
在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2，
∴AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=3，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=180°﹣135°=45°，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com / )AD=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
BD=AD=3，
在Rt△ADC中，CD=2+3=5，
由勾股定理得，AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
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【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可得到结论；
（Ⅱ）取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
解：（Ⅰ）AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )；
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com / )；
（Ⅱ）如图，AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．21世纪教育网版权所有
故答案为：AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．【出处：21教育名师】
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【分析】（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根据AAS证△BPO≌△PDE即可；
（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；
（3）设OP=CP=x，求出AP=3x，CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )x，即可得出答案．
（1）证明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBC﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
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∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中
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∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．
（3）解：CD′与AP′的数量关系是CD′= ( http: / / www.21cnjy.com / )AP′．
理由是：设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，
则AP=2x+x=3x，
由△OBP≌△EPD，得BO=PE，
PE=2x，CE=2x﹣x=x，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=x，由勾股定理得：CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )x，
即AP=3x，CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )x，
∴CD′与AP′的数量关系是CD′= ( http: / / www.21cnjy.com / )AP′
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【分析】（1）根据题意，可求得∠A=∠C，AO=CO，BM=BN，根据全等三角形的判定，即可证明△AOM≌△CON，则结论得证；21·世纪*教育网
（2）根据Rt△OHQ中，∠EOF=60°，可用含OQ的式子表示出OH，即可表示出FH，根据 ( http: / / www.21cnjy.com / )，F′Q=OQ，用含OQ的式子表示出F′H，根据题意，可知FH=F′H，列出方程，即可求得OQ，则可求得MQ；【版权所有：21教育】
（3）取AB得中点G，连接OG，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据直角三角形的中线定理，及30°的直角三角形的性质，证得OQ=OB，根据∠GOB=∠MON=60°，证得∠GOM=∠NOB，根据全等三角形的判定，即可证明GM=BN，即可证得BM、BN、AB的关系．21*cnjy*com
（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，O是中点，
∴∠A=∠C，AO=CO，AB=BC，
又∵BM=BN，
∴AB﹣BM=BC﹣BN，
即AM=CN，
在△AOM和△CON中，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△AOM≌△CON，
∴OM=ON；
（2）解：∵△FGH沿着GH折叠得到△F′GH，
∴F′H=FH，
∵HQ⊥OM，
∴∠HQO=90°，
∵△OEF是等边三角形，
∴∠EOF=60°，
在Rt△OQH中，∠EOF=60°，
∴OH= ( http: / / www.21cnjy.com / )=2OQ，
∵OH= ( http: / / www.21cnjy.com / )OQ，F′Q=OQ，
∴F′H= ( http: / / www.21cnjy.com / )OQ﹣OQ=（ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣1）OQ，
∵OF=6，FH=6﹣2OQ，
∴（ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣1）OQ=6﹣2OQ，
解得：OQ=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣3，
∵OE=6，M是OE的中点，
∴OM=3，
∴MQ=MO﹣OQ=3﹣（3 ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣3）=6﹣3 ( http: / / www.21cnjy.com / )；
（3）BM+BN= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB；
证明如下：如右图，取AB的中点G，连接OG，则OG=AG=BG，
∵△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，O是AC的中点，
∴∠A=30°，∠ABO= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠ABC=60°，
在△AOB中，∠A=30°，
∴OB=AG=BG，
∴OG=OB，∠GOB=60°，即∠1+∠2=60°，
由等边△EOF，得：∠EOF=60°，即∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠3，
在△OGM和△OBN中
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△OGM≌△OBN（ASA），
∴GM=BN，
∴BM+BN=BM+GM= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB．
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
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