1.4 角平分线的性质同步练习

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1.4 角平分线的性质同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1.角平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.能应用角平分线的性质．
基础知识和能力拓展训练
一 、选择题
如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（　　）
A．4cm B．6cm C．10cm D．不能确定
三角形中∠B的角平分线和外角的角平分线的夹角是（ ）．
A．60° B．90° C．45° D．135°
三角形中到三边距离相等的点是（　　）
A.三条边的中垂线交点 B.三条高交点毛
C.三条中线交点 D.三条角平分线的交点
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（ ）
A． mn B．mn C．2mn D．mn
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA．OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
如图，点P使∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA 的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
如图所示，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线交点，OE⊥AC于E，若OE=2，则AB与CD之间的距离是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．无法确定
如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为（　　）
A．2m2﹣18 B．2m2+12m+18 C．m2+9 D．m2+6m+9
如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
二 、填空题
到一个角的两边距离相等的点都在_______________________________．
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．
如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45cm2，AB=16cm，AC=14cm，则DE=　　．
在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为　　　　　　　．
如图，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则ΔPDE的周长是___________ cm．
(
A
P
B
D
E
C
)
如图，已知射线OC上的任意一点到∠AOB的两边的距离都相等，点D、E、F分别为边OC、OA．OB上，如果要想证得OE=OF，只需要添加以下四个条件中的某一个即可，请写出所有可能的条件的序号__________________．
①∠ODE=∠ODF；②∠OED=∠OFD；③ED=FD；④EF⊥OC．
如图，在Rt△ABC中，AM平分∠BAC，CM=20cm，那么点M到直线AB的距离是______．
三 、解答题
已知：AC=AD,AB是∠CAD的角平分线，求证：BC=BD
如图，AB⊥AC，BF是∠ABC的角平分线，若∠BFC=110°，求∠C的度数？
如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
已知：如图△ABC中，AB=AC，CD、BE是△ABC的角平分线；求证：AD=AE．
已知，如图，∠XOY=90°，点A．B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A．B移动发生变化，请求出变化范围．
已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
答案解析
一 、选择题
解：根据角平分线的性质可以得到DE=DC，根据三角形的全等可以得到AC=AE，所以△DEB的周长可以转化为AB的长度，
故答案是B选项
解：因为内角和相邻的外角互补，所以内角的角平分线和外角的角平分线的夹角是180°的一半，即90°；
答案是B
解：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以三角形中到三边距离相等的点是三条角平分线的交点；
故答案选D
解：因为BD是∠ABC的平分线，所以在△ABD中AB边上的高h=CD=n，所以△ABD的面积是AB·h=mn，
故答案是B
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积=AB DE=×15×4=30．
故选B．
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，
MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选B．
【分析】过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到PE=PD.从而得出答案.
解：过P作PE⊥OA于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OB，
∴PE=PD,
∵PD=2,
∴PE=2,
即点P到OA的距离是2cm.
故答案为B.
【分析】过点O作MN，MN⊥AB于M，求出MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度是多少，再把它们求和即可．
解：如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，
∴OM=OE=2，
∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON=OE=2，
∴MN=OM+ON=4，
即AB与CD之间的距离是4．
故答案为：4．
【分析】过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式的乘法运算法则进行计算即可得解．
解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，
∴DE=DF，
∴△BCD的面积=BC DF=（2m+6）（m+3），
=m2+6m+9．
故选D．
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=AOB=30°，再根据直角三角形的性质求得PD=OP=4，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．
解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，
∴∠AOP=AOB=30°，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，
∴OP=2OM=8，
∴PD=OP=4，
∵点C是OB上一个动点，
∴PC的最小值为P到OB距离，
∴PC的最小值=PD=4．
故选C．
二 、填空题
【分析】考查角平分线的判定
解：角平分线的判定是，到角两边距离相等的点都在角平分线上
答案：角平分线上
【分析】考查角平分线的性质
解：三角形的三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等
答案：三边的距离
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用△ABC的面积列方程求解即可．
解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵△ABC面积是45cm2，
∴×16 DE+×14 DF=45，
解得DE=3cm．
故答案为：3．
解：因为BD=32×=18，因为∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，所以D到AB的距离等于BD的长，即18
答案：18
解：因为BP是∠ABC的角平分线，PD∥AB，所以可以到三角形BDP是等腰三角形，同理可以得到三角形CPE是等腰三角形，即ΔPDE的周长可以转化为BC的长即5 cm
答案：5
【分析】由射线OC上的任意一点到∠AOB的两边的距离都相等，根据角平分线的判定定理可知OC平分∠AOB．要得到OE=OF，就要让△ODE≌△ODF，①②④都行，只有③ED=FD不行，因为证明三角形全等没有边边角定理．
解：∵射线OC上的任意一点到∠AOB的两边的距离都相等，
∴OC平分∠AOB．
①若①∠ODE=∠ODF，根据ASA定理可求出△ODE≌△ODF，由三角形全等的性质可知OE=OF．正确；
②若∠OED=∠OFD，根据AAS定理可得△ODE≌△ODF，由三角形全等的性质可知OE=OF．正确；
③若ED=FD条件不能得出．错误；
④若EF⊥OC，根据ASA定理可求出△OGE≌△OGF，由三角形全等的性质可知OE=OF．正确．
故答案为①②④．
【分析】过点M作MN⊥AB于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得MN=CM，从而得解．
解：如图，过点M作MN⊥AB于N，
∵∠C=90°，AM平分∠BAC，
∴MN=CM，
∵CM=20cm，
∴MN=20cm，即M到AB的距离是20cm．
故答案为：20cm．
三 、解答题
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件
证明：∵AB是∠CAD的角平分线，
∴∠BAC=∠BAD，
在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD（SAS），
∴BC=BD．
【分析】注意本题中用到了角平分线的定义及三角形的内角和
解：因为∠BFC=110°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，可以得到∠ABF+∠A=110° 所以∠ABF=110°—90°=20°，因为BF是∠ABC的角平分线，所以可以得到∠ABC=2∠ABF=40°，即在三角形ABC中∠C=180°—90°—40°=50°
【分析】根据角平分线的性质作出BQ即可．先根据垂直的定义得出∠ADB=90°，故∠BPD+∠PBD=90°．再根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，据此可得出结论．
解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BPD+∠PBD=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠AQP+∠ABQ=90°．
∵∠ABQ=∠PBD，
∴∠BPD=∠AQP．
∵∠BPD=∠APQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ．
【分析】主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；要掌握等腰三角形的性质：两个底角相等，三角形内角和为180度
证明：∵AB=AC（已知），
∴∠ABC=∠ACB．
∵CD、BE是△ABC的角平分线（已知），
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
∴∠1=∠2．
又∵∠A=∠A（已知），
∴△ADC≌△AEB．
∴AD=AE．
【分析】 根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．
解：∠C的大小保持不变．理由：
∵∠ABY=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，
∴∠ABE=∠ABY=（90°+∠OAB）=45°+∠OAB，
即∠ABE=45°+∠CAB，
又∵∠ABE=∠C+∠CAB，
∴∠C=45°，
故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．
点评： 本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：
①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；
②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
【分析】（1）首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．
（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．
（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．
解答： （1）证明：作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M为BC中点，
∴MB=MC，
又∵ME=MC，
∴ME=MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．
（2）解：DM⊥AM，
理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，
即DM⊥AM．
（3）解：CD+AB=AD，
理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C=∠DEM=90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理AE=AB，
∵AE+DE=AD，
∴CD+AB=AD．
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