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第五章《相交线与平行线》
第4讲 用平移妙解答
1、 知识储备
1在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移
2平移不改变图形的形状和大小.图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段平行且相等
3 平移距离：图形平移后，一对对应点的连线段的长度叫平移距离
4数轴上点对应的数平移规律可以简记为右加左减，由此，可以推广到平面直角坐标系中，点对应的坐标平移规律：平移时，横坐标右加左减，纵坐标上加下减
5 两点之间线段最短及垂线段最短
二、方法技巧
平移既是核心知识点，也是解答依据和一种思路，根据条件和图形结构特征，熟练运用平移转化，利用转化思想解决与平行线相关的角、线段、面积等之间的位置与数量关系
三、习题精练
范例1：设l1和l2为一河流的两平行岸，m1和m2为另一河流的两平行岸，A，B为两河流外侧之两地，问两河上垂直岸边的桥架在何处，A到B的路程最短？【版权所有：21教育】
【解答】解：分两种情况：
情形1：如图1.设l1和l2，m1和m2分别相距d1和d2，把A点沿着河岸的垂直方向平移距离d1+d2至C，连CB交l2于F.；自F作EF⊥l2交l1于E，自E作HE∥ CB交m2于H，自H作GH⊥m2交m1于G，连AG，则EF和GH为两河流上架桥 的位置.
情形2，如图2，设l1和l2，m1和m2分别相距d1和d2，，把A点沿着与m1和m2垂直方向平移d2至C再把C点沿着与l1和l2垂直方向平移d1至D，连DB交l2于F.
自F作EF⊥ l2交l1于E，自E作HE ∥DB交m2于H ，自H作GH⊥ m2交m1于G连AG.
则EF和GH为两河流上架桥的位置.
范例2：（2011·黄石）某班有54名学生，该班教室的座位排列成9行6列，用（m,n）表示第m行第n列的座位，班主任昭君老师新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为（m,n），如果调整后的座位为（i,j），则称该生作了平移（a,b）＝（m－i,n－j），并称a＋b为该生的位置数.若某生的位置数为10，则m＋n取最小值时，求mn的最大值.
【解答】解：解法1：平移法：由＋=10,容易得到m－i＋n－j=10,进而得到m＋n=10＋i＋j,而i和j的最小值都是1,即调整后的座位号为(1,1)时(m＋n)的值最小,所以,m＋n的最小值为12,根据m和n的和的最小值为12,再依据此时m和n的取值范围1≤m≤9和1≤n≤6可知：m和n的值只能是以下四种情况即,当m=9时,n=3,此时mn=27；当m=8时,n=4,此时mn=32；当m=7时,n=5,此时mn=35；当m=6时,n=6,此时mn=36.所以m＋n取最小值时，mn的最大值也为36.www-2-1-cnjy-com
解法2：函数法：由题意得，a+b=m-i+n-j=10，m+n=10+（i+j），∵m、n、i、j表示行数与列式，∴当i=j=1时，m+n取最小值，此时，n=12-m，
m n=m（12-m）=-（m-6）2+36，∴当m=6时，m n有最大值36．
范例3： 17 已知△ABC的三条中线的长为3cm、4cm、5cm，求△ABC的面积.
【解答】解：如图，把CG平移到FH,连HB，HA．由平移性质得HGFC，GCEF, 则HGCF是平行四边形；∵F是AC的中点，∴HGAF，HAGF.而GFBE，∴HABE，则HBAE.
从而HB=AE=3cm，BF=4cm，HF=GC=5cm，则△BFH为Rt△．∴S△BFH=×BF×HB=×4×3=6(cm2)．△BIF是△ABC与△BFH的公共部分．21世纪教育网版权所有
∵GHAF是平行四边形，∴S△IAF= S△IGH，连EF，又S△EFC= S△BGH，而S△FBE=S△FBC=S△ABC，故S△BIF+S△IAF+S△EFC+S△FBE=（S△BIF+ S△IGH+ S△BGH）+S△ABC，即S△ABC=S△BFH+S△ABC，S△EFH=S△ABC，而S△BFH=6，∴S△ABC=×6=8（cm2）21*cnjy*com
四：跟进演练（时限40分钟，满分120分）
一、选择题（共10题，每题4分计40分）
1.如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是( ).
A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对
2如图，把正方形ABCD的对角线AC分成n段，以每段为对角线作正方形，正方形ABCD的边长为8，则n个小正方形周长和为（ ）www.21-cn-jy.com
A 32 B 32 C 32n D 32 n【来源：21cnj*y.co*m】
3．△ABC沿着BC方向平移，如图，B与C重合，D与C重合，A与E重合，若ABC面积为3,则三角形ABC扫过的面积为（ ）2-1-c-n-j-y
A 6 B 8 C 12 D 24
4 如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是( ).
A．右转80° B．左转80° C．右转100° D．左转100°
5 （2012·义乌）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为( )21教育网
A．6 B．8 C．10 D．12
6. （2012·南昌）如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线( )2·1·c·n·j·y
A． a户最长 B． b户最长 C． c户最长 D． 三户一样长
7. （2012甘肃白银3分）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是( )
A． B． C． D．
8（2016·长沙）若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，0）
9（2015 泉州）如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC=5．EC=3，那么平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
10. (2017·湖州)在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点经过一次跳马变换可以到达点，，，等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是( )
A．13 B．14 C.15 D．16
二、填空题（共5题，每题4分计20分）
11如图,在宽为20m、长为32m的矩形地面上修筑宽度都为2m的道路(图中阴影部分),余下部分作为草坪，求草坪部分的面积 ．
12如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元．
13 （2012·娄底）如图，A．B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b= ．
14（2012山东济南3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于 ．
15(2017·北京) 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.
（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
请根据上图完成这个推论的证明过程．
证明：，
（____________+____________）．
易知，，_____________=______________，______________=_____________．
可得．
二、填空题（共6题，每题10分计60分）
16.已知直线m∥ n，A，B是m，n两侧的定点，试在m，n间作一线段EF平行于定直线l，使AE+EF+FB为最短.21·世纪*教育网
17在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-a,-a）,a≠0,点B的坐标为（b,c），且a,a,a满足.【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求b和c(用含a的代数式表示)；
（2）点C为第二象限内一点，连接AB,OC,若AB∥OC,且AB=OC,求点C的坐标.
18（2012·湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．21cnjy.com
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．
19． 如图，“风车三角形”中，AA =BB =CC =2，∠AOB =∠BOC =∠COA = 60°，求证：面积不等式S△AOB ＋S△BOC ＋S△COA ＜ 21·cn·jy·com
20如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止．21*cnjy*com
（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状
由 形变化为 形；
（2）设当等腰直角三角形PMN移动x（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式；【出处：21教育名师】
（3）当①x=4（s），②x=8（s）时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积．
21（2016·南通期中）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A坐标是（a,-a）,点B坐标（c,b）,且21教育名师原创作品
（1）若a没有平方根，判断点A在第几象限并说明理由；
（2）若点A到x轴的距离是点B到x轴距离的3倍，求点B的坐标；
（3）点D的坐标为（4，-2），△OAB的面积是△DAB面积的2倍，求点B的坐标．
（4）在（3）的条件下，平面内若两个动点M(K-1,K),N(-2h+10,h),请你探究是否存在以两个动点M,N为端点的线段MN∥AB，且MN=AB，若存在，求出M,N的坐标，若不存在，请说明理由
32m
20m
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第五章《相交线与平行线》
第4讲 用平移妙解答
1、 知识储备
1在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移21*cnjy*com
2平移不改变图形的形状和大小.图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段平行且相等
3 平移距离：图形平移后，一对对应点的连线段的长度叫平移距离
4数轴上点对应的数平移规律可以简记为右加左减，由此，可以推广到平面直角坐标系中，点对应的坐标平移规律：平移时，横坐标右加左减，纵坐标上加下减
5 两点之间线段最短及垂线段最短
二、方法技巧
平移既是核心知识点，也是解答依据和一种思路，根据条件和图形结构特征，熟练运用平移转化，利用转化思想解决与平行线相关的角、线段、面积等之间的位置与数量关系
三、习题精练
范例1：设l1和l2为一河流的两平行岸，m1和m2为另一河流的两平行岸，A，B为两河流外侧之两地，问两河上垂直岸边的桥架在何处，A到B的路程最短？
【解答】解：分两种情况：
情形1：如图1.设l1和l2，m1和m2分别相距d1和d2，把A点沿着河岸的垂直方向平移距离d1+d2至C，连CB交l2于F.；自F作EF⊥l2交l1于E，自E作HE∥ CB交m2于H，自H作GH⊥m2交m1于G，连AG，则EF和GH为两河流上架桥 的位置.
情形2，如图2，设l1和l2，m1和m2分别相距d1和d2，，把A点沿着与m1和m2垂直方向平移d2至C再把C点沿着与l1和l2垂直方向平移d1至D，连DB交l2于F.
自F作EF⊥ l2交l1于E，自E作HE ∥DB交m2于H ，自H作GH⊥ m2交m1于G连AG.
则EF和GH为两河流上架桥的位置.
范例2：（2011·黄石）某班有54名学生，该班教室的座位排列成9行6列，用（m,n）表示第m行第n列的座位，班主任昭君老师新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为（m,n），如果调整后的座位为（i,j），则称该生作了平移（a,b）＝（m－i,n－j），并称a＋b为该生的位置数.若某生的位置数为10，则m＋n取最小值时，求mn的最大值.
【解答】解：解法1：平移法：由＋=10,容易得到m－i＋n－j=10,进而得到m＋n=10＋i＋j,而i和j的最小值都是1,即调整后的座位号为(1,1)时(m＋n)的值最小,所以,m＋n的最小值为12,根据m和n的和的最小值为12,再依据此时m和n的取值范围1≤m≤9和1≤n≤6可知：m和n的值只能是以下四种情况即,当m=9时,n=3,此时mn=27；当m=8时,n=4,此时mn=32；当m=7时,n=5,此时mn=35；当m=6时,n=6,此时mn=36.所以m＋n取最小值时，mn的最大值也为36.
解法2：函数法：由题意得，a+b=m-i+n-j=10，m+n=10+（i+j），∵m、n、i、j表示行数与列式，∴当i=j=1时，m+n取最小值，此时，n=12-m，
m n=m（12-m）=-（m-6）2+36，∴当m=6时，m n有最大值36．
范例3： 17 已知△ABC的三条中线的长为3cm、4cm、5cm，求△ABC的面积.
【解答】解：如图，把CG平移到FH,连HB，HA．由平移性质得HGFC，GCEF, 则HGCF是平行四边形；∵F是AC的中点，∴HGAF，HAGF.而GFBE，∴HABE，则HBAE.
从而HB=AE=3cm，BF=4cm，HF=GC=5cm，则△BFH为Rt△．∴S△BFH=×BF×HB=×4×3=6(cm2)．△BIF是△ABC与△BFH的公共部分．21教育名师原创作品
∵GHAF是平行四边形，∴S△IAF= S△IGH，连EF，又S△EFC= S△BGH，而S△FBE=S△FBC=S△ABC，故S△BIF+S△IAF+S△EFC+S△FBE=（S△BIF+ S△IGH+ S△BGH）+S△ABC，即S△ABC=S△BFH+S△ABC，S△EFH=S△ABC，而S△BFH=6，∴S△ABC=×6=8（cm2）
四：跟进演练（时限40分钟，满分120分）
一、选择题（共10题，每题4分计40分）
1.如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是( ).
A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对
【解答】解：C
2如图，把正方形ABCD的对角线AC分成n段，以每段为对角线作正方形，正方形ABCD的边长为8，则n个小正方形周长和为（ ）21世纪教育网版权所有
A 32 B 32 C 32n D 32 n2·1·c·n·j·y
【解答】解：A
3．△ABC沿着BC方向平移，如图，B与C重合，D与C重合，A与E重合，若ABC面积为3,则三角形ABC扫过的面积为（ ）【版权所有：21教育】
A 6 B 8 C 12 D 24
【解答】解：A
4 如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是( ).
A．右转80° B．左转80° C．右转100° D．左转100°
【解答】解：A
5 （2012·义乌）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：C
6. （2012·南昌）如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线( )
A． a户最长 B． b户最长 C． c户最长 D． 三户一样长
【解答】解：D
7. （2012甘肃白银3分）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是( )
A． B． C． D．
【解答】A
8（2016·长沙）若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，0）
【解答】解：C.
9（2015 泉州）如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC=5．EC=3，那么平移的距离为（ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D． 7
【解答】解：A．
10. (2017·湖州)在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点经过一次跳马变换可以到达点，，，等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是( )
A．13 B．14 C.15 D．16
【解答】解：B.
二、填空题（共5题，每题4分计20分）
11如图,在宽为20m、长为32m的矩形地面上修筑宽度都为2m的道路(图中阴影部分),余下部分作为草坪，求草坪部分的面积 ．21教育网
【解答】解：540m2
12如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元．
【解答】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米，∴地毯的长度为2.6+5.8=8.4米，地毯的面积为8.4×2=16.8平方米，∴买地毯至少需要16.8×30=504元．
故答案：504
13 （2012·娄底）如图，A．B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b= ．
【解答】解：∵A（1，0）转化为A1（2，a）横坐标增加了1，B（0，2）转化为B1（b，3）纵坐标增加了1，∴a=0+1=1，b=0+1=1。∴a+b=1+1=2
故答案：2
14（2012山东济南3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于 ．
【解答】解： ∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，平移距离为2，∴AD∥BE，AD=BE=2，
∴四边形ABED是平行四边形。∴四边形ABED的面积=BE×AC=2×4=8
故答案：8
15(2017·北京) 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.
（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
请根据上图完成这个推论的证明过程．
证明：，
（____________+____________）．
易知，，_____________=______________，______________=_____________．
可得．
【解答】解：由于矩形对角线把矩形分成面积相等的两部分可知，，（+）．
易知，，= ，＝．
可得．
二、填空题（共6题，每题10分计60分）
16.已知直线m∥ n，A，B是m，n两侧的定点，试在m，n间作一线段EF平行于定直线l，使AE+EF+FB为最短.www.21-cn-jy.com
【解答】解：如图设定直线l交于m，n的两点间的线段的长为t，把A点沿着l方向平移t至p，连PB交n于F，自F作EF ∥t交m于E，则EF为所求.【来源：21·世纪·教育·网】
17在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-a,-a）,a≠0,点B的坐标为（b,c），且a,a,a满足.21cnjy.com
（1）求b和c(用含a的代数式表示)；
（2）点C为第二象限内一点，连接AB,OC,若AB∥OC,且AB=OC,求点C的坐标.
【解答】解：（1）b=－a－4,c=a＋3
(2)由第(1)小题的结果可知点B的坐标为（－a－4,a＋3），∵A的坐标为（－a,a）（a≠0）∴由点的坐标平移规律可知，B点的坐标可以看作是A点的坐标先向左移动4个单位,再向上移动3个单位而得到的，如图1所示.∵点C为第二象限内一点，∴C在原点O的左边.，连接AB,OC， ∵AB∥OC,且AB=OC，∴线段OC可以看作是线段AB将点A移动到点O、点B移动到点C的平移后的线段，∴由平移规律可以得到C(－4，3).21*cnjy*com
18（2012·湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．
【解答】解：（1）AC⊥BD。证明如下：∵△DCE由△ABC平移而成，∴△DCE≌△ABC。
又∵△ABC是等边三角形，∴BC=CD=CE=DE，∠E=∠ACB=60°。∴∠DBC=∠BDC=30°。∴∠BDE=90°。∵BD⊥DE，∵∠E=∠ACB=60°，∴AC∥DE。∴BD⊥AC。
（2）在Rt△BED中，∵BE=6，DE=3，∠E=60°, ∠DBE=30°,由30°，60°，90°直角三角板所对三边之比依次为1：：2可得．2-1-c-n-j-y
19． 如图，“风车三角形”中，AA =BB =CC =2，∠AOB =∠BOC =∠COA = 60°，求证：面积不等式S△AOB ＋S△BOC ＋S△COA ＜ 【出处：21教育名师】
【解答】解： 将△A OC沿A A方向平移AA/长，得△AQR；将△BOC 沿BB 方向平移AB/长，得△B PR．由于OP=OQ=2，∠POQ=60°，故PQ =2，但QR＋RP=OC＋OC =2．故P，R，Q三点共线，在正△POQ中， S△AOB ＋S△BOC ＋S△COA =S△AOB ＋S△B PR＋S△AQR＜S△OPQ=.
20如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止．
（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状
由 形变化为 形；
（2）设当等腰直角三角形PMN移动x（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式；
（3）当①x=4（s），②x=8（s）时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积．
【解答】解：（1）等腰直角△PMN，∠DAB=45°，∴∠PNM=∠DAB=45°，∴∠AEN=180°-45°-45°=90°，∴△AEN是等腰直角三角形，如图②DC∥AB，∠DAB=∠PNM=45°，∴四边形DENA是等腰梯形，故答案为：等腰直角三角，等腰梯．
（2）可分为以下两种情况：
①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角三角形EAN（如图①），此时AN=x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，∴EH=AN=x，∴y=S△ANE=AN EH=x x=x2，
②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED（如图②），此时，AN=x（cm），可求得CE=BN=10-x，DE=4-（10-x）=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，则AF=BG，DF=AF=（10-4）=3，∴y=S梯形ANED=(DE+AN) DF=（x-6+x）×3=3x-9．
答：y与x之间的函数关系式是y=x2（0＜x≤6）或 y=3x-9（6＜x≤10）
（3）①当x=4（s）时，y=x2=4，
②当x=8（s）时，y=3x-9=3×8-9=15，
答：①当x=4（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2，②当x=8（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是15cm2．
21（2016·南通期中）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A坐标是（a,-a）,点B坐标（c,b）,且21·cn·jy·com
（1）若a没有平方根，判断点A在第几象限并说明理由；
（2）若点A到x轴的距离是点B到x轴距离的3倍，求点B的坐标；
（3）点D的坐标为（4，-2），△OAB的面积是△DAB面积的2倍，求点B的坐标．
（4）在（3）的条件下，平面内若两个动点M(K-1,K),N(-2h+10,h),请你探究是否存在以两个动点M,N为端点的线段MN∥AB，且MN=AB，若存在，求出M,N的坐标，若不存在，请说明理由
【解答】解：（1）∵a没有平方根，∴a＜0，∴-a＞0，∴点A在第二象限；
（2）解方程组
，∴b=a，c=4-a，∴B点坐标为（a，4-a），∵点A到x轴的距离是点B到x轴距离的3倍∴|-a|=3|4-a|，
当a=3（4-a），解得a=3，则c=4-3=1，此时B点坐标为（3，1）；
当a=-3（4-a），解得a=6，则c=4-6=-2，此时B点坐标为（6，-2）；
综上所述，B点坐标为（3，1）或（6，-2）；
（3）∵点A的坐标为（a，-a），点B坐标为（a，4-a），∴AB=4，AB与y轴平行，∵点D的坐标为（4，-2），△OAB的面积是△DAB面积的2倍，∴点A、点B在y轴的右侧，即a＞0，∴×4×a=2××4×|4-a|，解得a=或a=8，∴B点坐标为（，）或（8，-4）．
（4）若存在以两个动点M,N为端点的线段MN∥AB，且MN=AB，即A到M的平移规律和B到N（或A到N的平移规律和B到M）的平移规律是一致的，由（3）知，有两种情形，
情形1：A(,-)时，B（，），M(K-1,K),N(-2h+10,h)
或解得或
情形2: A(8,-8)时，B（8，-4）
∴或解得或
综上所述，存在以两个动点M,N为端点的线段使MN∥AB，且MN=AB，此时M(0,1),N(0,5)；或者M(， ),N（，）21·世纪*教育网
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