第一章 直角三角形单元检测基础卷

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第一章直角三角形单元检测基础卷
姓名：__________班级：__________学号：__________
一．选择题（共12小题）
1．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（　　）
A．图中有三个直角三角形 B．∠1=∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2=∠A
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB等于（　　）
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
3．如图，OC⊥AB，OE为∠COB的角平分线，∠AOE的度数为（　　）
A．130° B．125° C．135° D．145°
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果∠A=50°，则∠DCB=（　　）
A．50° B．45° C．40° D．25°
6．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
7．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF=2，则AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为（　　）
A．15° B．25° C．35° D．45°
9．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（　　）
A．40° B．50° C．60° D．75°
10．下列说法错误的是（　　）
A．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等
B．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等
D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等
11．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
12．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　）
A．不变 B．变小 C．变大 D．无法判断　
二．填空题（共6小题）
13．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有　 　（填序号）
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=4，则AD=　 　．
15．如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于　 　．
16．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD=EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“　 　”．
17．如图，已知△ABC的周长是24，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是　 　．
18．如图，在△ABC中，AB=AC=7，BC=6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB的中点，则△DEF的周长是　 　．
　
三．解答题（共8小题）
19．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．
求证：CD⊥AB．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的长．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥BC于过点D，作AB的平行线交AC于E．求证：DE=EC=AE．
22．如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
23．如图AB=AC，BD=CD，DE⊥BA，点E为垂足，DF⊥AC，点F为垂足，求证：DE=DF．
24．如图△ABC中，已知AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm．求：
（1）∠DAC的度数．
（2）BC的长．
25．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
（1）MD=MB；
（2）MN⊥BD．
26．如图，∠ABC=60°，点D在AC上，BD=16，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，求：
（1）∠CBD的度数；
（2）DF的长度．
　
答案与试题解析
　
一．选择题
1．【分析】在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等，就可以证明各个选项．
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，
∴△ACD∽△CBD∽△ABC．
A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；
B、应为∠1=∠B、∠2=∠A；故本选项错误；
C、∵∠1=∠B、∠2=∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；
D、∵∠2=∠A；故本选项正确．
故选B．
　
2．【分析】根据含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
解：设BC=x，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2x，
∵AB+BC=12cm，
∴2x+x=12，
∴x=4
∴AB=8cm
故选C
　
3．【分析】由于OC⊥AB，OE为∠COB的平分线，可知∠AOC=∠BOC=90°，∠BOE=∠COE=∠BOC=×90°=45°，从而易求∠AOE．
解：∵OC⊥AB，
∴∠COB=∠AOC=90°，
∵OE为∠COB的角平分线，
∴∠COE=45°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+45°=135°；
故选C．
　
4．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=AB DE=×10 DE=15，
解得DE=3．
故选A．
　
5．【分析】根据直角三角形的性质得出∠B=40°，再利用CD是AB边上的高和直角三角形的性质解答即可．
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠B=40°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠DCB=50°，
故选A．
　
6．【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2=4cm．
故选B．
　
7．【分析】连结AF．由AB=AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC=2EF=4．
解：如图，连结AF．
∵AB=AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD．
∵在Rt△ACF中，∠AFC=90°，E是AC的中点，EF=2，
∴AC=2EF=4．
故选B．
　
8．【分析】先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出CD=BD，进而得到∠B=∠DCB=55°，再根据∠ACB=90°，即可得出∠ACD的度数．
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，
∴CD=BD=AB，
∴∠B=∠DCB=55°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°﹣55°=35°，
故选：C．
　
9．【分析】本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2=∠ACB=90°﹣∠1的值．
解：∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2=∠ACB=90°﹣∠1=50°．
故选B．
　
10． 【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判定直角三角形全等时，也可以运用其它的方法．
解：A、根据AAS可得，斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等，故A选项正确；
B、根据SAS可得，两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故B选项正确；
C、两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，故C选项错误；
D、根据HL和SAS可得，一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等，故D选项正确．
故选：C．
　
11．【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=AOB=30°，再根据直角三角形的性质求得PD=OP=4，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．
解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，
∴∠AOP=AOB=30°，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，
∴OP=2DM=8，
∴PD=OP=4，
∵点C是OB上一个动点，
∴PC的最小值为P到OB距离，
∴PC的最小值=PD=4．
故选C．
　
12． 【分析】连接OP，易知OP就是斜边AB上的中线，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么OP=AB，由于AB不变，那么OP也就不变．
解：不变．连接OP，
在Rt△AOB中，OP是斜边AB上的中线，
那么OP=AB，
由于木棍的长度不变，所以不管木棍如何滑动，OP都是一个定值．
故选A．
　
二．填空题
13．【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形进行分析判断．
解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∠C=90°，则该三角形是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，则该三角形是直角三角形；
③∠A=90°﹣∠B，则∠A+∠B=90°，∠C=90°．则该三角形是直角三角形；
④∠A=∠B=∠C，则该三角形是等边三角形．
故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．
　
14．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，从而得解．
解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°﹣60°=30°，
∴BD=2BC=2×4=8，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°﹣15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=75°﹣60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=8．
故答案为：8．
　
15．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD=AD，得到△ADC是等边三角形，求出∠A的度数，根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数．
解：∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，又CD=AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠B=90°﹣∠A=30°．
故答案为：30°．
　
16．【分析】需证△BCD和△CBE是直角三角形，可证△BCD≌△CBE的依据是HL．
解：∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD=EC，BC=CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：HL．
　
17．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解．
解：如图，连接OA，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，
∵△ABC的周长是24，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC=×24×3=36，
故答案为：36．
　
18．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF=AB，EF=BC，然后代入数据计算即可得解．
解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE=DF=AB=×7=3.5，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，
∵BE⊥AC，
∴EF=BC=×6=3，
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=3.5+3.5+3=10．
故答案为：10．
　
三．解答题
19．【分析】根据∠ACB=90°，得出∠A+∠B=90°，根据∠ACD=∠B，得出∠A+∠ACD=90°，再根据两锐角互余的三角形是直角三角形即可得出答案．
证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB．
　
20．【分析】易证∠BCD=∠A=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可求得AB的长，即可解题．
解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，
∴∠BCD=∠A=30°，
∵BD=1，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AD=AB﹣BD=3．
　
21．【分析】由AB=AC，根据等边对等角得出∠B=∠C．由等腰三角形三线合一的性质得出∠BAD=∠CAD．由DE∥AB，得到∠EDC=∠B，∠ADE=∠BAD，等量代换有∠EDC=∠C，∠ADE=∠CAD，根据等角对等边得出DE=EC，AE=DE，即DE=EC=AE．
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD．
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B，∠ADE=∠BAD，
∴∠EDC=∠C，∠ADE=∠CAD，
∴DE=EC，AE=DE，
∴DE=EC=AE．
　
22．【分析】在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB=CB，AE=CF，利用HL可证Rt△ABE≌Rt△CBF．
证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
　
23．【分析】利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可得证．
证明：在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥BA，DF⊥AC，
∴DE=DF．
　
24．【分析】（1）由AB=AC，∠C=30°，可得∠B的度数，利用三角形内角和可求得∠BAC的度数，由AB⊥AD，即可求出∠DAC的度数；
（2）由含30度角的直角三角形及等腰三角形的性质可求得BD与DC的长度，利用BC=BD+DC即可求解．
解：（1）∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，
∵AB⊥AD，
∴∠DAC=120°﹣90°=30°，
（2）∵AD=4cm，∠B=30°，∠BAD=90°
∴BD=8cm，
∵∠DAC=30°=∠C，
∴DC=AD=4cm，
∴BC=BD+DC=12cm．
　
25．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边对等角的性质即可证明；
（2）根据等腰三角形的三线合一证明．
证明：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=AC，DM=AC，
∴DM=BM；
（2）由（1）可知DM=BM，
∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
　
26．【分析】（1）根据DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，即可得出点D在∠ABC的角平分线上，由∠ABC=60°，即可得出∠DBC=30°；
（2）根据在直角三角形中，含30°角的直角边等于斜边的一半，即可得出DF的长．
解：（1）∵DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，
∴BD平分∠ABC，
∵∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°；
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°；
∵BD=16，
∴DF=BD=×16=8．
　
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