第一章 直角三角形单元检测提高卷

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第一章直角三角形单元检测提高卷
姓名：__________班级：__________学号：__________
一．选择题（共12小题）
1．在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，则AB的长度是（　　）
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A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（　　）21·世纪*教育网
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A．2a B．2 ( http: / / www.21cnjy.com / )a C．3a D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．如图，直线l1∥l2，等腰Rt△ABC的直角顶点C在l1上，顶点A在l2上，若∠β=14°，则∠α=（　　）
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A．31° B．45° C．30° D．59°
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，AD平分∠BAC，则下列结论不正确的是（　　）
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A．∠B的度数等于30° B．AC=AE=BE=AD
C．∠ADB的度数等于120° D．Rt△ADE≌Rt△BDE≌Rt△ADC
5．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是（　　）
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A．SAS B．AAA C．SSS D．HL
6．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=40°，则∠D的度数为（　　）
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A．40° B．50° C．60° D．70°
7．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（　　）
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A．10 B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C．5 D．2.5
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=8，则CP的长为（　　）21cnjy.com
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A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
9．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（　　）
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A．1 B．2 C．5 D．无法确定
10．如图，△ABC的三边AB、BC、A ( http: / / www.21cnjy.com )C的长分别12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC=（　　）21教育名师原创作品
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A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 ( http: / / www.21cnjy.com / )MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）
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A．15 B．30 C．45 D．60
12．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（　　）
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A．1 B．2 C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．4　
二．填空题（共6小题）
13．如图，已知∠AON=40°，OA=6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A=　 　°．
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14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=10，AC=6，D是BC上一点，BD=5，DE⊥AB，垂足为E，则线段DE的长为　 　．
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15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为　 　度．
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16．如图，在Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=　 　cm．
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17．如图，已知点P到AE、AD、BC ( http: / / www.21cnjy.com )的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，其中正确的是　 　．（填序号）
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18．如图，在直角△ABC中，AD平分∠BAC，且BD：DC=2：1，则∠B=　 　度．
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三．解答题（共8小题）
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E．
求证：∠AED=∠DCB．
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20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．
求证：AD=BE．
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21．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
求证：AB=AC．
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22．已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，DE⊥AC．
（1）求证：AE=EC；
（2）若DE=2，求BC的长．
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23．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1．
（1）求点D到AB的距离；
（2）求BD的长度．
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24．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，
（1）若EF=5，BC=16，求△EFM的周长；
（2）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠MFE度数．
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25．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．21世纪教育网版权所有
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．
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26．如图，△ABC中，∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
（1）求证：AE=CD；
（2）若AC=12cm，求BD的长．
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答案与试题解析
　
一．选择题（共12小题）
1．在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，则AB的长度是（　　）
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A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先根据∠ACB为直角，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )=30°，求出∠B的度数，再根据CD⊥AB于D，求出∠DCB=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案．
解：∵∠ACB为直角，∠A=30°，
∴∠B=90°﹣∠A=60°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠DCB=90°﹣∠B=30°
∴AB=2BC，BC=2BD，
∴AB=4BD=4．
故选A．
　
2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（　　）www.21-cn-jy.com
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A．2a B．2 ( http: / / www.21cnjy.com / )a C．3a D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】根据勾股定理得到CE= ( http: / / www.21cnjy.com / )a，根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，
∴CE= ( http: / / www.21cnjy.com / )a，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，
∴AB=2CE=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )a，
故选B．
　
3．如图，直线l1∥l2，等腰Rt△ABC的直角顶点C在l1上，顶点A在l2上，若∠β=14°，则∠α=（　　）
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A．31° B．45° C．30° D．59°
【分析】首先过点B作BE∥l1，可得BE∥l1∥l2，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案．21*cnjy*com
解：过点B作BE∥l1，
∵l1∥l2，
∴BE∥l1∥l2，
∴∠CBE=∠α，∠EBA=∠β=14°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠α=∠CBE=∠ABC﹣∠EBA=31°．
故选：A．
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4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，AD平分∠BAC，则下列结论不正确的是（　　）
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A．∠B的度数等于30° B．AC=AE=BE=AD
C．∠ADB的度数等于120° D．Rt△ADE≌Rt△BDE≌Rt△ADC
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点 ( http: / / www.21cnjy.com )的距离相等可得AE=BE，根据等边对等角可得∠BAE=∠B，然后利用直角三角形两锐角互余列式求出∠CAE=∠BAE=∠B=30°，根据全等三角形的性质可对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，AD=BD，
∴∠BAE=∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠C=90°，
∴∠CAE=∠BAE=∠B=30°，∠ADE=∠BDE=60°，
∴∠ADB=120°，
故A，C正确；
易得Rt△ADE≌Rt△BDE≌Rt△ADC，故D正确；
由全等三角形的性质易得AC=AE=BE，但不等于AD，故B错误，符合题意，
故选B．
　
5．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是（　　）
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A．SAS B．AAA C．SSS D．HL
【分析】根据题中的条件可得△ADP和△AEP是直角三角形，再根据条件DP=EP，AP=AP可根据HL定理判定△APD≌△APE．
解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠ADP=∠AEP=90°，
在Rt△ADP和△AEP中 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴Rt△ADP≌△AEP（HL），
故选：D．
　
6．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=40°，则∠D的度数为（　　）
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A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据直角三角形的性质求出∠AEB的度数，根据对顶角相等求出∠DEC，根据直角三角形的两个锐角互余计算即可．2·1·c·n·j·y
解：∵AB⊥BD，∠A=40°，
∴∠AEB=50°，
∴∠DEC=50°，又AC⊥CD，
∴∠D=40°，
故选：A．
　
7．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（　　）
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A．10 B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C．5 D．2.5
【分析】根据平行线的性质可 ( http: / / www.21cnjy.com )得∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°，过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，则△OCP≌△OEP，可得PE=PC=10，在Rt△PED中，求出∠PEA的度数，根据勾股定理解答．2-1-c-n-j-y
解：∵PC∥OA，
∴∠CPO=∠POA，
∵∠AOP=∠BOP=15°，
∴∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°，
过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，则△OCP≌△OEP，
∴PE=PC=10，
∵∠PEA=∠OPE+∠POE=30°，
∴PD=10× ( http: / / www.21cnjy.com / )=5．
故选：C．
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8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=8，则CP的长为（　　）
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A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【分析】由题意推出BD=AD，然后在Rt△BCD中，CP= ( http: / / www.21cnjy.com / )BD，即可推出CP的长度．
解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠DBA=30°，
∴BD=AD，
∵AD=6，
∴BD=6，
∵P点是BD的中点，
∴CP= ( http: / / www.21cnjy.com / )BD=4，
故选C．
　
9．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（　　）
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A．1 B．2 C．5 D．无法确定
【分析】因为知道AD的长 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．
解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，
∵∠EDF+∠FDC=90°，
∠GDC+∠FDC=90°，
∴∠EDF=∠GDC，
于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，
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∴△DEF≌△DCG，
∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1，
所以，S△ADE=（AD×EF）÷2=（2×1）÷2=1．
故选A．
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10．如图，△ABC的三边AB、BC、 ( http: / / www.21cnjy.com )AC的长分别12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC=（　　）21教育网
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A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【分析】直接根据角平分线的性质即可得出结论．
解：∵O是△ABC三条角平分线的交点，AB、BC、AC的长分别12，18，24，
∴S△OAB：S△OBC：S△OAC=AB：OB：AC=12：18：24=2：3：4．
故选C．
　
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 ( http: / / www.21cnjy.com / )MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）21*cnjy*com
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A．15 B．30 C．45 D．60
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线， ( http: / / www.21cnjy.com )过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB DE= ( http: / / www.21cnjy.com / )×15×4=30．
故选B．
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12．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（　　）【出处：21教育名师】
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A．1 B．2 C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．4
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．
解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD=2，
故选：B．
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二．填空题（共6小题）
13．如图，已知∠AON=40°，OA=6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A=　50或90　°．
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【分析】分别从若AP⊥ON与若PA⊥OA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得答案．
解：当AP⊥ON时，∠APO=90°，则∠A=50°，
当PA⊥OA时，∠A=90°，
即当△AOP为直角三角形时，∠A=50或90°．
故答案为：50或90．
　
14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，D是BC上一点，BD=5，DE⊥AB，垂足为E，则线段DE的长为　3　．
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【分析】由垂直的定义得到∠DEB=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠C=∠DEB，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
即 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴DE=3，
故答案为：3．
　
15．如图，在四边形ABCD中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为　32　度．
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【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠DEB=116°，根据直角三角形的性质得到DE=BE= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∵∠BAD=58°，
∴∠DEB=116°，
∵DE=BE= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，
∴∠EBD=∠EDB=32°，
故答案为：32．
　
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=　7　cm．
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【分析】用AAS证明△ABD≌△ACE，得AD=CE，BD=AE，所以DE=BD+CE=4+3=7cm．
解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°
∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠B=90°
∴∠EAC=∠B
∵AB=AC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD=CE，BD=AE
∴DE=AD+AE=CE+BD=7cm．
故填7．
　
17．如图，已知点P到AE、AD、B ( http: / / www.21cnjy.com )C的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，其中正确的是　①②③④　．（填序号）
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【分析】根据角平分线的判定定理判断即可．
解：∵点P到AE、AD的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；
∵点P到AE、BC的距离相等，
∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；
∵点P到AD、BC的距离相等，
∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；
∴点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，④正确，
故答案为：①②③④．
　
18．如图，在直角△ABC中，AD平分∠BAC，且BD：DC=2：1，则∠B=　30　度．
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【分析】先作辅助线，再根据角平分线的性质和已知即可求得．
解：过点D作DE⊥AB于E
则DE=DC
∵BD：DC=2：1
∴BD：DE=2：1
∴∠B=30°．
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三．解答题（共8小题）
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E．
求证：∠AED=∠DCB．
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【分析】首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB=DB，由等边对等角得到∠B=∠DCB．再根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AED=90°，∠A+∠B=90°，那么根据同角的余角相等得出∠B=∠AED，等量代换即可得出∠AED=∠DCB．
证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB=DB，
∴∠B=∠DCB．
∵DE⊥AB于点D，
∴∠A+∠AED=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠AED，
∴∠AED=∠DCB．
　
20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．
求证：AD=BE．
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【分析】此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．【来源：21·世纪·教育·网】
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∵CE⊥BD，
∴∠BEC=90°．
∵∠A=90°，
∴∠A=∠BEC．
∵BD=BC，
∴△ABD≌△BCE．
∴AD=BE．
　
21．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
求证：AB=AC．
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【分析】证明Rt△BOF≌Rt△COE ( http: / / www.21cnjy.com )，根据全等三角形的性质得到∠FBO=∠ECO，根据等腰三角形的性质得到∠CBO=∠BCO，得到∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
证明：在Rt△BOF和Rt△COE中，
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∴Rt△BOF≌Rt△COE，
∴∠FBO=∠ECO，
∵OB=OC，
∴∠CBO=∠BCO，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
　
22．已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，DE⊥AC．
（1）求证：AE=EC；
（2）若DE=2，求BC的长．
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【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明；
（2）根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
（1）证明：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=30°，∠BAC=120°，
∵AB⊥AD，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴DA=DC，
∵DE⊥AC，
∴AE=EC；
（2）∵∠C=30°，DE⊥AC，
∴DC=2DE=4，
∵AB⊥AD，∠B=30°，
∴BD=2DC=8，
∴BC=12．
　
23．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1．
（1）求点D到AB的距离；
（2）求BD的长度．
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【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC=60°，根据角平分线的定义求出∠DAB，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质计算即可．21·cn·jy·com
解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=1，
即：点D到AB的距离为1；
（2）∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°﹣30°=60°，
∵AD平分∠CAB，CD=1．
∴∠BAD=∠CAD=30°，
即：BD=AD=2CD=2，
∴BD的长度是2．
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24．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，
（1）若EF=5，BC=16，求△EFM的周长；
（2）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠MFE度数．
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【分析】（1）根据直角三角形的性质得到FM=EM= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC=8，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠FMB+∠EMC=140°，根据平角的定义和三角形的内角和得到结论．www-2-1-cnjy-com
解：（1）∵CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，
∴∠BFC=∠BEC=90°，
∵M为BC的中点，
∴FM=EM= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC=8，
∵EF=5，
∴△EFM的周长=16=5=21；
（2）∵BM=FM，CM=EM，
∴∠BFM=∠ABC=50°，∠EMEC=∠ACB=60°，
∴∠FMB+∠EMC=140°，
∴∠MFE+∠MEF=140°，
∴∠MFE=70°．
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25．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．
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【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；
（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．
（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∴EF=EB+CF．
（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC=3，BE=AF=10．
∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7．
　
26．如图，△ABC中，∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )B=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．【版权所有：21教育】
（1）求证：AE=CD；
（2）若AC=12cm，求BD的长．
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【分析】（1）证两条线段相等，通常用全 ( http: / / www.21cnjy.com )等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．
（2）由（1）得BD=EC= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，且AC=12，即可求出BD的长．
（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA，
在△DBC和△ECA中，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE=CD．
（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，
在Rt△CDB和Rt△AEC中
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴Rt△CDB≌Rt△AEC（HL），
∴BD=CE，
∵AE是BC边上的中线，
∴BD=EC= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，且AC=12cm．
∴BD=6cm．
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