1.1直角三角形的性质和判定（2）同步练习

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
1.1直角三角形的性质和判定（二）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１．在直角三角形中,如果一个锐角等于３０°,那么它所对的直角边等于 斜边的一半 ．
２．在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于 ３０ 度．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，则AB的长度是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB等于（　　）
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　）
A． m B．4 m C．4 m D．8 m
如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的直角边的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∠ACD=30°，那么下列结论正确的是（　　）
A．AD=CD B．AC=AB C．BD=BC D．CD=AB
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=60°．△ABE是等边三角形，D是AB的中点，连接CD并延长，交AE于点F．若CD=2，则EF的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（　　）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．6.5
如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，OP=10，则OM=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，AB=8，则BD=（　　）
A．2 B．4 C．6 D．无法确定
二、填空题
在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于点D，若AB=10，则BD=　 　．
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=4，则AD=　 　．
已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为 ．
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，则∠ADE是　 　度．
在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为　 　．
三 、解答题
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，
求证：BC=3AD．
如图，BE平分∠ABF，DF⊥AB交AB于点D，AC⊥BF交BF于点C，AC，FD相交于点E，若∠F=30°，DE=1，求AC的长．
如图，∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，P到OA．OB的距离PM、PN分别为2和11，求OP的长．
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1．
（1）求点D到AB的距离；
（2）求BD的长度．
已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，DE⊥AC．
（1）求证：AE=EC；
（2）若DE=2，求BC的长．
如图，下午2时一艘轮船从A处向正北方向航行，5时达到B处，继续航行到达D处时发现，灯塔C恰好在正西方向，从A处、B处望灯塔C的角度分别是∠A=30°，∠DBC=60°，已知轮船的航行速度为24海里/时，求AD的长度．
22.如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
（1）求证：∠ECD=∠EDC；
（2）若∠AOB=60°，OE=8，试求EF的长．
答案解析
一 、选择题
【分析】先根据∠ACB为直角，∠A=30°，求出∠B的度数，再根据CD⊥AB于D，求出∠DCB=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案．
解：∵∠ACB为直角，∠A=30°，
∴∠B=90°﹣∠A=60°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠DCB=90°﹣∠B=30°
∴AB=2BC，BC=2BD，
∴AB=4BD=4．
故选A．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
解：设BC=x，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2x，
∵AB+BC=12cm，
∴2x+x=12，
∴x=4
∴AB=8cm
故选（C）
【分析】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM=30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可．
解：
过C作CM⊥AB于M
则CM=h，∠CMB=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=30°，
∴h=CM=BC=4m，
故选B．
4.【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半即可得出结论．
解：过点C作CD⊥AD，CD=3cm，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6cm．
故选B．
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
解：∵∠ACB=90°，∠ACD=30°，
∴AD=AC，A错误；
∵∠ACD+∠A=90°，∠B+∠A=90°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∴ACAB，B正确；
CD=BC，C、D错误；
故选：B．
【分析】根据直角三角形的性质得到△CDB是等边三角形，得到DF∥BE，根据三角形中位线定理计算即可．
解：∵∠ACB=90°，∠CBA=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2CD=4，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=BD，又∠CBA=60°，
∴△CDB是等边三角形，
∵△ABE是等边三角形，
∴DF∥BE，
∴EF=AE=2，
故选：B．
【分析】根据含30度角的直角三角形性质求出AB的长度，即可得出AP的范围，再判断即可．
解：∵△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，
∴AB=2AC=6，
即AP的范围是3≤AP≤6，
∴6.5不在范围内；
故选D．
【分析】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．
解：作PH⊥MN于H，
∵PM=PN，
∴MH=NH=MN=1，
∵∠AOB=60°，
∴∠OPH=30°，
∴OH=OP=5，
∴OM=OH﹣MH=4，
故选：B．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，从而可得到∠BAD=60°，∠ADB=90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE=∠EAB=30°，从而可推出AD=DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．
解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=60°，∠ADB=90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE=∠EAB=30°．
∵DF∥AB，
∴∠F=∠BAE=30°．
∴∠DAF=∠F=30°，
∴AD=DF．
∵AB=11，∠B=30°，
∴AD=5.5，
∴DF=5.5
故选C．
【分析】根据比例设∠A．∠B、∠C分别为k、2k、3k，利用三角形内角和定理求出k，从而得到∠A．∠B、∠C的度数，再求出∠BCD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴设∠A．∠B、∠C分别为k、2k、3k，
∴k+2k+3k=180°，
解得k=30°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，
∴BC=AB=×8=4，
DB=BC=×4=2．
故选A．
二 、填空题
【分析】先求出△ABC是∠A等于30°的直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解．
解：根据题意，设∠A．∠B、∠C为k、2k、3k，
则k+2k+3k=180°，
解得k=30°，
2k=60°，
3k=90°，
∵AB=10，
∴BC=AB=5，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=∠A=30°，
∴BD=BC=2.5．
故答案为：2.5．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，从而得解．
解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°﹣60°=30°，
∴BD=2BC=2×4=8，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°﹣15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=75°﹣60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=8．
故答案为：8．
【分析】根据三角形的内角和定理求出底角的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出与顶角相邻的外角的度数是30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解：如图，设三角形的底角为x，则顶角为10x，
则x+x+10x=180°，
解得x=15°，
即∠B=∠C=15°，
所以，∠CAD=∠B+∠C=15°+15°=30°，
∵腰长AC为10cm，
∴腰上的高CD=AC=×10=5cm．
故答案为：5cm．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠ADB=90°，根据三角形内角和定理计算．
解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB=90°，
∵BD=BE，
∴∠BDE=75°，
∴∠ADE=15°，
故答案为：15．
15.【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
三 、解答题
【分析】已知∠BAC=120°，AB=AC，∠B=∠C=30°，可得AD⊥AC，有CD=2AD，AD=BD．即可得证．
证明：在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
又∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠C=30°
∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°，
∴AD=DB，
∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD．
【分析】根据角平分线的性质得到ED=EC=1，根据直角三角形的性质求出AE，计算即可．
解：∵BE平分∠ABF，DF⊥AB，AC⊥BF，
∴ED=EC=1，
∵∠F=30°，∠ADE=∠FCE=90°，
∴∠A=30°，
∴AE=2DE=2，
∴AC=AE+EC=3．
【分析】延长NP交OM于C，解直角三角形求出NC，OM的长，再求OP．
解：延长NP交OM于C，
∵∠AOB=6O°，PN⊥ON，
∴∠OCN=30°
∵PM⊥OM，PM=2，
∴PC=4，AC=2，
∵PN=11，
∴NC=PN+PC=11+4=15，
∵∠OCN=30°，PN⊥ON，
∴OC=10，
∵MC=2，
∴OM=OC﹣MC=8，
∵PM=2，PM⊥OM，
∴OP=14．
【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC=60°，根据角平分线的定义求出∠DAB，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质计算即可．
解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=1，
即：点D到AB的距离为1；
（2）∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°﹣30°=60°，
∵AD平分∠CAB，CD=1．
∴∠BAD=∠CAD=30°，
即：BD=AD=2CD=2，
∴BD的长度是2．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明；
（2）根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
（1）证明：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=30°，∠BAC=120°，
∵AB⊥AD，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴DA=DC，
∵DE⊥AC，
∴AE=EC；
（2）∵∠C=30°，DE⊥AC，
∴DC=2DE=4，
∵AB⊥AD，∠B=30°，
∴BD=2DC=8，
∴BC=12．
【分析】首先根据C在D的正西方向，∠A=30°，∠DBC=60°，判断出BC=BA，∠BCD=30°，再根据含30度角的直角三角形的性质，判断出DB=CB；然后根据路程=速度×时间，求出AB的长度是多少，即可求出AD的长度是多少．
解：∵C在D的正西方向，
∴∠ADC=90°；
∵∠A=30°，∠DBC=60°，∠DBC=∠A+∠BCA
∴∠BCA=30°，
∴∠BCA=∠A，
∴BC=BA．
在Rt△CBD中，∠DBC=60°，
∴∠BCD=30°，
∴DB=CB，
∴AD=AB+DB=AB+CB=AB+AB=AB，
∵AB=24×（5﹣2）=72（海里），
∴AD=AB=×72=108（海里）．
答：AD的长度是108海里．
22. 【分析】（1）点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，根据角平分线的性质可知EC=ED，即可求证∠ECD=∠EDC；
（2）首先证明△DOC是等边三角形，进而得出∠EOC=30°，又因为EC⊥OA，所以∠ECO=90°，OE=8，根据直角三角形的性质可求得EF=OE．
解：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=ED．
∴△EDC为等腰三角形．
∴∠ECD=∠EDC．
（2）∵在Rt△DEO和Rt△CEO中，
∵EO=EO，DE=EC（已证），
∴Rt△DEO≌Rt△CEO（HL），
∴DO=CO，
∵∠AOB=60°，OE是∠AOB的平分线，
∴∠EOC=30°，△DOC是等边三角形，
∴∠OCD=60°，
∵EC⊥OA，
∴∠ECO=90°．
∴∠ECF=30°，
∴EC=OE=4，
∴EF=EC=×4=2．
版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)