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28.1.4 一般锐角的三角函数值
基础训练
1.用科学计算器求sin 9°的值,以下按键顺序正确的是( )
A.sin9= B.9sin= C.sin9°'″ D.9sin°'″
2.四位学生用计算器求cos 27°40'的近似值的结果如下,正确的是( )
A.0.8857 B.0.8856 C.0.8852 D.0.8851
3.根据图中的信息,经过估算,下列数值与tan α的值最接近的是( )
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A.0.3640 B.0.8970 C.0.4590 D.2.1785
4.用计算器计算:sin 51°30'+cos 49°50'-tan 46°10'的值约是 .
5.已知β为锐角,且tan β=3.387,则β约等于( )
A.73°33' B.73°27' C.16°27' D.16°21'
6.在△ABC中,∠C=90°,BC=5,AB=13,用科学计算器求∠A约等于( )
A.24°38' B.65°22' C.67°23' D.22°37'
7.如图,将一张矩形纸片ABCD沿CE折 ( http: / / www.21cnjy.com )叠,B点恰好落在AD边上,设此点为F,展开后,若AB∶BC=4∶5,则∠CFD≈ .(精确到0.01°) 21世纪教育网版权所有
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8.(1)用计算器求图中∠A的正弦值、余弦值、正切值.
(2)已知sin A=0.328 6,tan B=10.08,利用计算器求锐角A,B.(结果精确到0.01°)
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9.用计算器比较tan 25°,sin 27°,cos 26°的大小关系是( )
A.tan 25°B.tan 25°C.sin 27°D.cos 26°10.在Rt△ABC中,∠C=90°,下列各式中正确的是( )
A.sin A=sin B B.tan A=tan B C.sin A=cos B D.cos A=cos B
11.如果∠A为锐角,cos A=,那么( )
A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45°
C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°
12.已知sin 33°18'≈0.549 0,则cos 56°42'≈ .
13.用计算器求sin 35°29'的值.(结果精确到0.001)
14.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A的值是方程2x2-5x+2=0的一个根,求sin A的值.
提升训练
15.已知β为锐角,cos β≤,则β的取值范围为( )
A.30°≤β<90° B.0°<β≤60°
C.60°≤β<90° D.30°≤β<60°
16.(1)如图①②,锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的变化而变化.试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值变化的规律.21教育网
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(2)根据你探索到的规律,试比较18°,34°,50°,62°,88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.21·cn·jy·com
(3)比较大小(在横线上填写“<”“>”或“=”):
若α=45°,则sin α cos α;
若α<45°,则sin α cos α;
若α>45°,则sin α cos α.
(4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系,试比较下列正弦值和余弦值的大小:sin 10°,cos 30°,sin 50°,cos 70°.21cnjy.com
17.若α为锐角,且tan (90°-α)=,则tan α= .
18.已知α为锐角,且sin (90°-α)=,
则cos α= .
19.计算:cos2 10°+cos2 20°+cos2 70°+cos2 80°.
20.如图,已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合,且点P到BA,BC的距离分别为PE,PF).2·1·c·n·j·y
(1)若∠EBP=40°,∠FBP=20°,试比较PE,PF的大小;
(2)若∠EBP=α,∠FBP=β,α,β都是锐角,且α>β,请判断PE,PF的大小,并给出证明.
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21.(方案设计题)某房地产集团筹建一小区 ( http: / / www.21cnjy.com ),小区内居民楼南北朝向,楼高统一为16 m(共五层).已知该城市冬至日正午时分太阳高度最低,太阳光线与水平线的夹角为32°,所设计的南北两楼之间的距离为20 m(如图所示).【来源：21·世纪·教育·网】
(1)试求出此时南楼的影子落在北楼上有多高;
(2)根据居住要求,每层居民在冬天都要有阳光,请你重新设计一下方案.(结果精确到0.1 m)
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参考答案
基础训练
1.A 2.A 3.C 4.0.386 0 5.A 6.D
7. 53.13°
解析：由折叠可知,CB=C ( http: / / www.21cnjy.com )F.在矩形ABCD中,AB=CD,sin ∠CFD===.再用计算器求∠CFD.
8.解:(1)sin A≈0.868 2,cos A≈0.496 1,tan A=1.75.
(2)∠A≈19.18°,∠B≈84.33°.
9.C 10.C 11.D 12.0.549 0
13.解:sin 35°29'≈0.580.
14.错解:解2x2-5x+2=0得:x1=,x2=2,所以sin A=或sin A=2.www.21-cn-jy.com
错解分析:因为∠A为锐角,所以0正解:解2x2-5x+2=0得:x1=,x2=2,因为∠A为锐角,所以0提升训练
15.C
16.解:(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大,余弦值随角度的增大而减小.
(2)sin 18°cos 88°(3)=;<;>
(4)sin 10°17.
18.
19.解:原式=cos210°+cos220°+sin220°+sin210°
=(sin210°+cos210°)+(sin220°+cos220°)
=1+1
=2.
20.解:(1)∵PE⊥AB,PF⊥B ( http: / / www.21cnjy.com )C,∴sin ∠EBP==sin 40°,sin ∠FBP==sin 20°.
又∵sin 40°>sin 20°,∴>,∴PE>PF.
(2)∵α,β都是锐角,且α>β,∴sin α>sin β.
又∵sin ∠EBP==sin α,sin ∠FBP==sin β,
∴>,∴PE>PF.
21.解:(1)过E作EF⊥AB于F,
则BF=DE,EF=DB,∠AEF=32°.
在Rt△AEF中,∠AEF=32°,EF=20 m.
∵tan ∠AEF=,
∴AF=EF·tan ∠AEF=20×tan 32°≈12.5(m).
∴DE=BF=AB-AF≈16-12.5=3.5(m).
故南楼的影子落在北楼有约3.5 m高.
(2)若使每层居民在冬天都能得到阳光,则DE=0 m,即F与B重合,
∵tan ∠AEF=, 即tan 32°=,
∴BD==≈25.6(m).
故重新设计时,两楼之间的距离至少应为25.6 m才能使每层居民在冬天都能得到阳光.
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28.1.4 一般锐角的三角函数值
人教版 九年级下
导入新知
要测量教学楼的高度，小英身高1．6m．她在距离教学楼30m处测得仰角为25°，你能借助计算器估算出教学楼的高度吗 (精确到0．1m)
新知讲解
1
知识点
用计算器求已知锐角的三角函数值
通过上面的学习，我们知道，当锐角A是 30°，45°或60°等特殊角时，可以求得这些
特殊角的 锐角三角函数值；如果锐角A不是这
些特殊角， 怎样得到它的锐角三角函数值呢？
知1－讲
新知讲解
知1－讲
我们可以借助计算器求锐角三角函数值.
例如求sin18°,利用计算器的 键,并输入角
度值18,得到结果sin18°=0.309 016 994.
又如求tan30°36′,利用 键,并输入角的度、
分值(可以使用 键),就可以得到结果
0.591 398 351.
因为30°36′=30.6°,所以也可以利用 键,并
输入角度值30.6,同样得到结果0.591 398 351.
sin
tan
°′ ″
tan
新知讲解
知1－讲
归 纳
利用计算器求锐角三角函数值：
1. 当锐角的大小以度为单位时，可先按 ， ，
键，然后输入角度值(可以是整数，也可以是
小数)，最后按 键，就可以在显示屏上显示出
结果；
2. 当锐角的大小以度、分、秒为单位时要借助
键计算，按键顺序是： (或 、 )、度数、
、分数、 、秒数、 、 .
sin
cos
tan
=
°′ ″
sin
cos
tan
°′ ″
°′ ″
°′ ″
=
新知讲解
例1 用计算器求sin 16°，cos 42°，tan 85°，
sin 72°38′25″的值．
知1－讲
解：如下表：
按键顺序 显示结果
sin 16° 0.275 637 355
cos 42° 0.743 144 825
tan 85° 11.430 052 3
sin 72°38′25″ 0.954 450 312
sin
tan
sin
1
6
4
cos
2
8
5
2
5
2
7
3
8
=
=
=
=
°′ ″
°′ ″
°′ ″
新知讲解
总 结
知1－讲
要注意不同型号的计算器的操
作步骤可能有所不同．
巩固提升
1 用计算器求下列锐角三角函数值：
(1)sin 20°，cos 70°; sin 35°, cos 55°；
sin15°32′，cos74°28′;
(2)tan 3° 8'，tan 80° 25′43".
知1－练
(1)sin 20°≈0.342 0，cos 70°≈0.342 0；
sin 35°≈0.573 6，cos 55°≈0.573 6；
sin 15°32′≈0.267 8，cos 74°28′≈0.267 8.
(2)tan 3°8′≈0.054 7，tan 80°25′43″≈5.930 4.
解：
巩固提升
知1－练
(2016·烟台)如图，是我们数学课上采用的科学计
算器面板，利用该型号计算器计算 cos 55°，
按键顺序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
利用计算器求sin 30°时，依次按键
,则计算器上显示的结果是( )
A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1
sin
3
0
°′ ″
=
cos
2
5
5
×
=
cos
2
5
5
0
=
cos
2
5
5
=
cos
2
5
5
=
C
A
巩固提升
知1－练
用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是( )
A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66
用计算器验证，下列等式正确的是( )
A．sin 18°24′＋sin 35°36′＝sin 54°
B．sin 65°54′－sin 35°54′＝sin 30°
C．2sin 15°30′＝sin 31°
D．sin 72°18′－sin 12°18′＝sin 47°42′
4
B
5
D
新知讲解
2
知识点
用计算器求已知三角函数值的对应角
知2－讲
如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算
器求出相应锐角的度数.
例如，已知sin A=0. 501 8,用计算器求锐角A
可以按照下面方法操作：
依次按键 ，然后输入函数值
0.501 8,得到∠A=30.119 158 67° (这说明锐角A
精确到1°的结果为30°).
.
sin
2nd F
新知讲解
知2－讲
还可以利用 键，进一步得
到∠A=30 °07′08.97″(这说明锐角A精确到
1′的结果为30°7′，精确到 1"的结果为30°
7′9″).
.
2nd F
°′ ″
新知讲解
归 纳
知2－讲
已知锐角三角函数值求锐角的度数：
如果是特殊角(30°， 45°，60°)的三角函
数值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊
角的三角函数值，应利用计算器求角的度数．求角
的度数要先按 键，将 、 、 转化
成它们的第二功能键；当三角函数值为分数时，应
先化成小数．
2nd F
sin
cos
tan
新知讲解
知2－讲
例2 已知下列锐角三角函数值，用计算器求
其相应的锐角：
(1)sin A＝0.516 8(结果精确到0.01°)；
(2)cos A＝0.675 3(结果精确到1″)；
(3)tan A＝0.189(结果精确到1°)．
.
导引：已知锐角三角函数值，利用计算器求锐
角的度数时要注意先按 键．
2nd F
新知讲解
知2－讲
解：(1)依次按键：
显示结果为：31.117 845 56，即∠A≈31.12°.
(2)依次按键：
显示结果为：47°31′21.18″，
即 ∠A≈47°31′21″.
(3)依次按键：
显示结果为：10.702 657 49，即∠A≈11°.
.
sin
2nd F
0
5
1
6
8
=
,
2nd F
tan
0
9
1
8
=
,
2nd F
°′ ″
cos
0
3
7
6
5
=
2nd F
,
新知讲解
总 结
知2－讲
计算器直接计算出的角的单位是度，而不是
度、分、秒，因此若要得到用度、分、秒表示的
角度，可以借助 和 键.
2nd F
°′ ″
巩固提升
已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应
锐角的度数：
(1)sin A= 0. 627 5，sin B= 0.054 7;
(2)cos A= 0. 625 2, cos B= 0. 165 9；
(3)tan A= 4. 842 5，tan B= 0.881 6.
知2－练
(1)∠A≈38°51′57″，∠B≈3°8′8″；
(2)∠A≈51°18′11″，∠B≈80°27′2″；
(3)∠A≈78°19′56″，∠B≈41°23′58″.
解：
巩固提升
知2－练
【2017·威海】为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( )
A. 2ndF sin 0 · 2 5 ＝
B. sin 2ndF 0 · 2 5 ＝
C. sin 0 · 2 5 ＝
D. 2ndF cos 0 · 2 5 ＝
2
A
巩固提升
已知α为锐角，且tan α＝3.387，下列各值中与α最接近的是( )
A．73°33′ B．73°27′
C．16°27′ D．16°21′
在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科学计算器求∠A约等于( )
A．24°38′ B．65°22′
C．67°23′ D．22°37′
知2－练
3
4
A
D
新知讲解
3
知识点
用计算器探究三角函数的性质
知3－讲
1. 用计算器求下列各组锐角的三角函数值，从中你
能得出什么猜想？
（1）sin83°，cos7°；
（2）sin56°，cos34°；
（3） sin27°36′ ， cos62°24′.
新知讲解
知3－讲
2.用计算器求下列各组锐角的三角函数值，从中你能
得出什么猜想？
（1）sin13°, sin25°，sin36°，sin44° ， sin57°，
sin68°， sin79°17′ ， sin83°27′53″；
（2）cos17°34′，cos34°27′53″ ， cos53°18′ ，
cos69°57′ 3″， cos77°17′ ， cos88°17′25″；
（3）tan27°34′ ， tan43°57′28″ ， tan52°18′15″ ，
tan67°， tan78°17′ ， tan85°24′ .
.
新知讲解
知3－讲
1. 猜想：sin = cos(90°- ).
2. （1）猜想：对于锐角A，它的正弦函数 (sinA)的
函数值随自变量锐角A的增大而增大，且
sinA必满足 0 < sinA<1.
（2）猜想：对于锐角A，它的余弦函数(cosA)的
函数值随锐角A的增大而减小，且cosA必满
足0 < cosA < 1.
（3）猜想：对于锐角A，它的正切函数(tanA)
的函数值随锐角A的增大而增大 ， 且tanA
满足0 < tanA.
新知讲解
归 纳
知3－讲
（1）sin = cos(90°- ).
（2）对于锐角A，它的正弦函数 (sinA)的函数值随自变
量锐角A的增大而增大，且sinA必满足0 < sinA<1.
（3）对于锐角A，它的余弦函数(cosA)的函数值随锐
角A的增大而减小，且cosA必满足0 < cosA < 1.
（4）对于锐角A，它的正切函数(tanA)的函数值随锐
角A的增大而增大 ， 且tanA 满足0 < tanA.
新知讲解
知3－讲
.
例3 已知α＋β＝90°.探究：
(1)sin α与cos β的关系；
(2)tan α与tan β的关系．
导引：根据α和β互余，可以将α和β放入同一个直角
三角形中，利用锐角三角函数的定义去探究
互为余角的两角的三角函数关系．
新知讲解
知3－讲
.
解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，
∠B＝β.
令∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c.
(1)∵sin α＝ ， cos β＝ ，
∴sin α＝cos β.
(2)∵tan α＝ ， tan β＝ ，
∴tan α·tan β＝1.
新知讲解
总 结
知3－讲
互为余角的两角的三角函数间的关系：
(1)任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即
sin α＝cos (90°－α)或cos α＝sin (90°－α)；
(2)任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒
数，即tan α·tan (90°－α)＝1.
巩固提升
1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正确
的是( )
A．sin A＝sin B B．tan A＝tan B
C．sin A＝cos B D．cos A＝cos B
知3－练
C
巩固提升
用计算器比较tan 25°，sin 27°，cos 26°的大小关系是( )
A．tan 25°B．tan 25°C．sin 27°D．cos 26°知3－练
2
C
巩固提升
用计算器求sin 15°，sin 25°，sin 35°，sin 45°,
sin 55°，sin 65°，sin 75°，sin 85°的值，研究sin α的值随锐角α变化的规律，根据这个规律判断：若 A．30°<α<60° B．30°<α<90°
C．0°<α<60° D．60°<α<90°
知3－练
3
A
课堂小结
1．利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序为：
先按 键或 键或 键，再按角度值，
最后按 键就可求出相应的三角函数值．
2．已知锐角三角函数值也可求相应的锐角，按键顺
序为：先按 键，再按 键或 键或
键，然后输入三角函数值，最后按 键
就可求出相应角度．
sin
sin
cos
cos
tan
tan
2nd F
=
=
1
知识小结
谢谢
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