21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
第六章《实数》
第5讲 实数概念与运算
一 、 知识储备
1、平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。一个正数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。2·1·c·n·j·y
2、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。21·世纪*教育网
3、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫a的立方根。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。www-2-1-cnjy-com
4、实数分类：按定义分实数按符号分实数
5、 四个重要性质
①，②具有双重非负性即
③ ④
6、实数的运算：实数范围内混合运算顺序是先乘方、开方，然后乘除，最后加减。同级运算从左到右依次进行，有括号的先算括号里面的。2-1-c-n-j-y
7、实数a,b互为倒数ab＝1，a,b互为相反数a+b＝0，
8、
二、方法技巧
抓住实数概念，注意运算顺序，注意三个非负数运用。
三、习题精练
范例1：计算：＋()－1－20170+|﹣2|+（4﹣π）0﹣+（﹣1）﹣2017．
【解答】解：原式＝2＋2017－1+2+1﹣2－1=2018
范例2：已知：2＋=x＋y，其中是整数，求的相反数的整数部分与小数部分.
【解答】解：∵2＋=x＋y，而4<5<9, ∴2<<3, ∴4<2＋<5, x+y的整数部分是4, ∴整数x=4，∴y=2＋-x=-2，∴x-y=4-(-2)=6-,∴－4<－6<－3∴x-y的相反数的整数部分即为－6的整数部分，由于实数中纯小数的整数部分不大于其本身，其小数部分是一个正数∴－6的整数部分为－4，其小数部分为－6－（－4）＝－2
四：跟进演练（时限40分钟，满分120分）
一、选择题（共10题，每题4分计40分）
1. 下列各数是互为相反数的是( )
A B C D
【解答】解：B．
2．（2016·南充）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．
3. （2017·荆门）在实数－、、π、中，是无理数的是（ ）
A．－ B． C．π D．
【解答】解：C．
4. （2016·毕节）的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．
【解答】解：C．
5. （2015 凉山州）我州今年参加中考的学生人数大约为5.08×104人，对于这个用科学记数法表示的近似数，下列说法正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．精确到百分位，有3个有效数字 B．精确到百分位，有5个有效数字
C．精确到百位，有3个有效数字 D．精确到百位，有5个有效数字
【解答】解：C．
6. 实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A 2c-2b B -2a C 2a D -2b21*cnjy*com
【解答】解：C．
7. (2017·北京)实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b| D．b+c＞0
【解答】解：C．
8. ( 2017·岳阳)据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为( )
A．3.9×1010 B．3.9×109 C．0.39×1011 D．39×109
【解答】解：A．
9(2017·南京)若方程(x－5)2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ）
A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根
C．a－5是19的算术平方根 D．b＋5是19的平方根
【解答】解：C．
10（2017·凉山）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．8
【解答】解：A．
二、填空题（共5题，每题4分计20分）
11. 已知，且a<0，，则a+b= ．
【解答】解：3或－19
12 已知如图，是一个小正方体侧面展开图，若每个对面上所表示的值互为相反数，则代数式的值为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：－2018．
13. （2017·荆门）已知实数m、n满足|n－2|＋＝0，则m＋2n的值为 ．
【解答】解：3
14已知a+b-5的平方根是±3,a-b+4的立方根是2，则3a-b+1996的值是 ．
【解答】解：2018
15（2016·湖北黄石·3分）观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an= ；
（2）a1+a2+a3+…+an= ．
【解答】解：（1） 第n个等式：an==﹣；
（2）a1+a2+a3+…+an=﹣1．
三、解答题（共6题，每题10分计60分）
16计算
①（2017·荆州）化简(π－3.14)0＋|1－2|－＋()－1
②－(－1)－＋(π－3.14)0．
③－|－3|＋(－4)×2－1+
④（2017·无锡）|－6|＋（－2）3＋（）0；
【解答】解：①原式＝1＋2－1－2＋2＝2
②原式＝1－2+1+＝
③原式＝4－3－4×＝4－3－2+＝－1+＝－
④原式＝6－8＋1＝－1
17 （2017·河北）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．
【解答】解：（1）若以B为原点，则C表示1，A表示－2，
∴p=1＋0－2=－1；
若以C为原点，则A表示－3，B表示－1，∴p=－3－1＋0=－4；
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，则C表示－28，B表示－29，A表示－31，∴p=－31－29－28=－88．21cnjy.com
18 按要求解答下列各题
① 已知x、y互为倒数，c、d互为相反数，a的绝对值为5，z的算术平方根是5.
求：4×(c+d)+xy+的值.
②已知:,求 的平方根.
③当a=﹣1时，求代数式的值．
【解答】解：①∵已知x、y互为倒数，c、d互为相反数，a的绝对值为3，z的算术平方根是5.∴xy=1,c+d=0,a=5或－5，z=25,∴有以下两种情形：21教育网
情形1：当a=5时，4×(c+d)+xy+＝4×0+1+＝2
情形2：当a=－5时，4×(c+d)+xy+＝4×0+1+＝0
综上所述，原代数式的值为2或0
②∵，∴只有当2x-4=0时才成立，∴x=2,y=8, ∴，∴的平方根为
③∵a=﹣1，
∴a+b=+1+﹣1=2，a﹣b=+1﹣+1=2，
∴=．
19（2014 邵阳）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动多少次后该点到原点的距离不小于41．21·cn·jy·com
【解答】解：由题意可得：
移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1；
移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2，到原点的距离为2；
移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4，到原点的距离为4；
移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5，到原点的距离为5；
移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7，到原点的距离为7；
移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8，到原点的距离为8；
…
∴移动（2n﹣1）次后该点到原点的距离为3n﹣2；移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1．
①当3n﹣2≥41时，解得：n≥∵n是正整数，∴n最小值为15，此时移动了29次．
②当3n﹣1≥41时，解得：n≥14．∵n是正整数，∴n最小值为14，此时移动了28次．
纵上所述：至少移动28次后该点到原点的距离不小于41．
20已知点A,B,C在数轴上对应的数分别为a,b，且，点P位于此数轴上
（1）求出a,b的值，并求A,B两点的距离
（2）设点C与点A的距离为33个单位，且，若PB=3PC，求点P在数轴上对应的实数
（3）若点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度……依此类推，则点P能移动到与点A或点B重合的位置吗？若能，请探究需要移动多少次重合，若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）依题意，b+7=0,a-8=0,∴a=8,b=-7, ∴AB=8-(-7)=15
(2)设C点表示的数为x,∵点C与点A的距离为33个单位，∴，x=41或x=-25∵,∴A,C表示的数异号，∴C点表示数为－25；设P点表示的数为y,又PB=3PC，∴,∴或，即P点表示的数为或
（3）记向右移动为正，则向左移动为负，第一次点P对应的数为－1，第二次对应的数为2，第三次对应的数为-3,第四次对应的数为4……则第n次对应的数为，∵点A在数轴上对应的数为8，点B在数轴上对应的数为－7，∴=8，∴n=8，∴点P移动8次到达点A，∵点B在数轴上对应的数为－7，∴∴=－7∴n=7，∴点P移动7次到达点B
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
第六章《实数》
第5讲 实数概念与运算
一 、 知识储备
1、平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。一个正数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。21cnjy.com
2、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2·1·c·n·j·y
3、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫a的立方根。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。21·世纪*教育网
4、实数分类：按定义分实数按符号分实数
5 、四个重要性质
①，②具有双重非负性即
③ ④
6、实数的运算：实数范围内混合运算顺序是先乘方、开方，然后乘除，最后加减。同级运算从左到右依次进行，有括号的先算括号里面的。21·cn·jy·com
7、实数a,b互为倒数ab＝1，a,b互为相反数a+b＝0，
8、
二、方法技巧
抓住实数概念，注意运算顺序，注意三个非负数运用。
三、习题精练
范例1：计算：＋()－1－20170+|﹣2|+（4﹣π）0﹣+（﹣1）﹣2017．
【解答】解：原式＝2＋2017－1+2+1﹣2－1=2018
范例2：已知：2＋=x＋y，其中是整数，求的相反数的整数部分与小数部分.
【解答】解：∵2＋=x＋y，而4<5<9, ∴2<<3, ∴4<2＋<5, x+y的整数部分是4, ∴整数x=4，∴y=2＋-x=-2，∴x-y=4-(-2)=6-,∴－4<－6<－3∴x-y的相反数的整数部分即为－6的整数部分，由于实数中纯小数的整数部分不大于其本身，其小数部分是一个正数∴－6的整数部分为－4，其小数部分为－6－（－4）＝－2
四：跟进演练（时限40分钟，满分120分）
一、选择题（共10题，每题4分计40分）
1. 下列各数是互为相反数的是( )
A． B． C． D．
2．（2016·南充）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3. （2017·荆门）在实数－、、π、中，是无理数的是（ ）
A．－ B． C．π D．
4. （2016·毕节）的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．
5. （2015 凉山州）我州今年参加中考的学生人数大约为5.08×104人，对于这个用科学记数法表示的近似数，下列说法正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．精确到百分位，有3个有效数字 B．精确到百分位，有5个有效数字
C．精确到百位，有3个有效数字 D．精确到百位，有5个有效数字
6. 实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A 2c-2b B -2a C 2a D -2b21教育网
7. (2017·北京)实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b| D．b+c＞0
8. ( 2017·岳阳)据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为( )
A．3.9×1010 B．3.9×109 C．0.39×1011 D．39×109
9(2017·南京)若方程(x－5)2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ）
A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根
C．a－5是19的算术平方根 D．b＋5是19的平方根
10（2017·凉山）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．8
二、填空题（共5题，每题4分计20分）
11. 已知，且a<0，，则a+b= ．
12 已知如图，是一个小正方体侧面展开图，若每个对面上所表示的值互为相反数，则代数式的值为 ．www-2-1-cnjy-com
13. （2017·荆门）已知实数m、n满足|n－2|＋＝0，则m＋2n的值为 ．
14已知a+b-5的平方根是±3,a-b+4的立方根是2，则3a-b+1996的值是 ．
15（2016·湖北黄石·3分）观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an= ；
（2）a1+a2+a3+…+an= ．
三、解答题（共6题，每题10分计60分）
16计算
①（2017·荆州）化简(π－3.14)0＋|1－2|－＋()－1
②－(－1)－＋(π－3.14)0．
③－|－3|＋(－4)×2－1+
④（2017·无锡）|－6|＋（－2）3＋（）0；
17 （2017·河北）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．
18 按要求解答下列各题
① 已知x、y互为倒数，c、d互为相反数，a的绝对值为5，z的算术平方根是5.
求：4×(c+d)+xy+的值.
②已知:,求 的平方根.
③当a=﹣1时，求代数式的值．
19（2014 邵阳）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动多少次后该点到原点的距离不小于41．www.21-cn-jy.com
20已知点A,B,C在数轴上对应的数分别为a,b，且，点P位于此数轴上
（1）求出a,b的值，并求A,B两点的距离
（2）设点C与点A的距离为33个单位，且，若PB=3PC，求点P在数轴上对应的实数
（3）若点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度……依此类推，则点P能移动到与点A或点B重合的位置吗？若能，请探究需要移动多少次重合，若不能，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)
