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湘教版数学九年级第四章第三课时用频率估计概率教学设计
课题 用频率估计概率 单元 四单元 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1. 能够说出频率估计概率相关问题的解决步骤；能够说出频率与概率的区别与联系；能够说出什么情况下才使用频率估计概率的方法。2. 通过小组讨论，动手实验掌握本节课知识点。3. 让学生通过动手等课堂活动，让学生团结友爱，明白团队力量是强大的。
重点 频率与概率的区别与联系；频率估计概率的具体应用
难点 频率估计概率的具体应用
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：请同学们回忆一下用列举法求概率我们需要的条件是什么呢？（出示课件2）回答：可能出现的结果只有有限个；各种结果出现的可能性相等。师：用列举法求概率有哪些方法呢？它们各自的用途是什么呢？回答：有列表法和树状图法，列表法适合两个因素，树状图法适合两个以上的因素。师：当实验的所有结果不是有限个；或各种可能结果发生的可能性不相等时。又该如何求事件发生的概率呢 今天，我们一起来解决一下这个问题。 复习用用列举法求概率的知识点，思考并回答问题 通过复习用列举法求概率的知识点，过渡到今天的内容，在不满足列举法求概率的条件时，该如何解决。从而引出用频率估计概率的方法。
讲授新课 一、用频率估计概率【频数、频率、概率的概念】师：请同学们观看课本，然后回答频数、频率、概率的概念是什么呢？（出示课件4）回答：频数：在实验中,每个对象出现的次数称为频数。频率：所考察对象出现的次数与实验的总次数的比叫做频率。概率：事件发生的可能性,也称为事件发生的概率。师：知道了频数、频率个概率的概念后，现在我们来看一个问题。（出示课件5）投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率是多少呢？回答：师：针对这个问题，现在我们一起来做一个试验，实际投掷硬币时，结果是怎么样的呢？会出现什么情况呢？我们一起来试试吧。试验规则：1. 以四人为一小组，抛掷一枚均匀硬币400次，每个人抛掷100次，每隔50次，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，汇总数据后，完成下表（保留两位小数）：（出示课件6）师：我们通过试验，得到下面的数据。（出示课件6）2. 根据上表的数据，在下图中画折线统计图表示“正面朝上”的频率。（出示课件7）师：根据你所画的图形，你发现了什么规律呢？师：现在试验数据还比较少，我们一起来看看当试验数据增多时，会出现什么效果。 下表是历史上一些数学家所做的投掷硬币的试验数据，这些数据支持你发现的规律吗？（出示课件8）师：根据上表，我们画出了曲线图，根据我们所画的图形，你能得到什么结论呢？（出示课件9）回答：当重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5左右摆动。随着抛掷次数的增加，一般地频率呈现出一定的稳定性：在0.5左右摆动的幅度会越来越小。我们称“正面向上”的概率是0.5.总结：通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率。对于一般的随机事件，当试验所有的可能结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，可以用频率估计该随机事件的概率。师：通过这个试验，我们可以得到下面的一些结论。（出示课件11）1. 频率的特性对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，显示出一定的稳定性。2. 频率与概率的关系在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数a，那么，该事件发生的概率P（A）=a。3. 频率的范围 对于一个随机事件A，用频率估计概率不可能小于0，也不可能大于1。4. 要点用频率估计概率，不受“等可能事件”的限制，都可以通过大量重复试验估计出随机事件的概率。师：根据试验，可以知道，投掷一枚硬币的“正面朝上”的频率大概为0.5，能否理解为：“投掷2次，1次正面向上”；“投掷100次，50次正面向上”；“投掷n次， 次正面向上”……回答：不能。解析：频率和概率都是随机事件可能性大小的定量的刻画，但频率与试验次数及具体的试验有关，因此，频率具有随机性。而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性。师：现在我们一起来看看一个例题。从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：（出示课件15）根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为0.8。（精确到0.1）。解析：∵种子粒数5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.801。∴估计种子发芽的概率为0.801，精确到0.1，即为0.8。师：看完第一个试验后，同学们对频率和概率有没有一个理解了呢？为了让大家更好的理解频率与概率的关系，现在，我们一起来看看第二个试验。在一块平整地板上抛掷一个矿泉水瓶盖，瓶盖落地后有两种可能情况：“开口朝上”和“开口不朝上”。由于瓶盖头重脚轻，上下不对称，“开口朝上”和“开口不朝上”的可能性一样吗？如果不一样，出现哪种情况的可能性大一些？【分析】我们可以通过大量重复的试验，用频率来估计概率，从而解决这个问题。试验规则：1. 全班同学分成6组，每组同学依次抛掷瓶盖80次，观察瓶盖着地时的情况，并根据全班试验结果填写下表：（出示课件18）师：我们可以通过“开口朝上”的频数比上累计抛掷次数，即为“开口朝上”的频率。2. 根据上表数据，在下图画折线统计图表示“开口朝上”的频率。（出示课件19）师：现在同学们已经根据数据画出了折线图，从图中可以看出，随着抛掷次数的增加，“开口朝上”的频率是如何变化的？回答：随着抛掷次数的增加，频率趋于稳定，稳定在0.75附近。该试验中，是“开口朝上”的可能性大，还是“开口不朝上”的可能性大？回答：从图中可以看出，是“开口朝上”的可能性大。师：抛瓶盖的试验和抛硬币的试验不一样，虽然抛瓶盖，试验结果只有两种可能，可是这两种可能的可能性大小并不一样。师：通过这次试验，你可以得到什么结论？回答：1. 研究随机现象与随机事件的基本方法就是重复地对现象进行观察。2. 如果某个随机事件发生了m次，则在这n才观察中这个事件发生的频率为 。3. 如果随机事件发生的概率（可能性）大，则它在多次的重复观察中出现的次数就越多，因而其频率就大。4. 频率在一定程度上反映了随机事件可能性的大小。师：如果该试验中，“开口朝上”的频率随着抛掷次数的增加，稳定在某个常数p附近，那么我们“开口朝上”的概率大概是多少呢？【分析】p是“开口朝上”发生的可能性，即事件“开口朝上的概率”。【结论】在大量重复试验中，如果事件A发生的频率为 ，那么可以作为事件A发生的概率。二、用频率估计概率易错点师：我们现在一起来看看几个例题，看看在具体的应用中，我们应该注意什么？均匀的正四面体的各面依次标有1,2,3,4四个数字，小明做了60次投掷试验，结果统计如下：（出示课件22）（1）计算上述试验中“4朝下”的频率是 。（2）“根据试验结果，投掷一次正四面体，出现2朝下的概率是”的说法是 错误的。（填“正确”或“错误”）。解析：1. 概率是指某事件发生的可能性的大小，是在试验次数非常多的情况下趋近稳定的数值，而不是有限次地试验后必然就发生的事情。2. 频率是波动的，而概率是一个定值，当试验的次数不多时，事件发生的频率或概率甚至差异很大。3. 只有通过大量的试验，当试验频率区趋于稳定，才能用事件发生的频率来估计概率。师：我们一起来看看第二个问题。下面的表中给出了一些模拟实验的方法，你觉得这些方法合理吗？若不合理请说明理由。（出示课件24）回答：不可以，用不同的替代物混在一起，大大地改变了实验条件，所以结果是不准确的。注意：实验必须在相同的条件下进行，才能得到预期的结果；替代物的选择必须是合理、简单的。三、用频率估计概率的应用师：再学习完用频率估计概率后，那么用频率估计概率的步骤是什么呢？请同学们相互讨论一下，回答问题。准确计算出部分事件出现的频率；确定合理的估计方法，得到事件的概率；由概率的意义求解。师：现在，我们来看看一个具体的实例。瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次品或废品，究竟发生那种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象。而烧制的结果是“合格品”是一个随机事件，这个事件的概率称为“合格品率”。由于烧制结果不是等可能的，我们常用“合格品”的频率作为“合格品率”的估计。某瓷砖厂对最近出炉的一大批某型号瓷砖进行质量抽检，结果如下：（出示课件28）（1）计算上表中合格品的各频率（精确到0.001）；解析：通过用合格品数比上抽取瓷砖数，计算合格品频率。（出示课件29）（2）估计这种瓷砖的合格品率（精确到0.01）；解析：观察上表，可以发现，当抽取瓷砖数n≥400时，合格品率 稳定在0.962附近，所以我们可取p=0.962作为该型号瓷砖的合格品率的估计。（3）若该工厂本月生产该型号瓷砖500000块，试估计合格品数。解析：500000×96%=480000（块）可以估计该型号合格品数为480000块。 观看课本，思考并回答问题思考并回答问题分小组进行抛掷硬币的试验根据试验数据画折线图观看数据，思考并回答问题观看课件思考并回答问题完成例题完成试验二完成表格画折线图思考并回答问题总结知识思考并回答问题完成例题思考并回答问题完成例题 通过提问，让学生知道频数，频率、概率的概念。通过抛掷硬币的试验，让学生在具体的试验过程中探究频率与概率的关系通过展示历史上其他人做的试验，得出的数据，并与学生做试验得出的数据进行比较，让学生探究频率与概率的关系完成试验后，总结知识，让学生进一步巩固所学知识通过提问，考察学生对频率与概率的理解水平通过例题讲解，让学生巩固知识点：用频率估计概率通过试验二，让学生在具体的动手试验中，进一步理解用频率估计概率的方法让学生通过具体的图形，直观的发现规律通过提问，让学生总结试验的结论，考察学生的自我归纳能力通过几个例子，让学生在具体的应用中，知道频率与概率的区别与联系让学生知道用频率估计概率的试验需要在相同的条件下进行通过讲解一个具体的例子，让学生知道如何做用频率估计概率这一类型的题
巩固练习 1. 做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为0.56。解析：当大量重复试验时，可以用某一事件的频率来估计概率。由于“凸面向上”的频率约为0.44，则“凹面向上”的频率约为0.56，因此，“凹面向上”的概率约为0.56.2. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球 28个。解析： 共摸球400次，其中88次摸到黑球，则有312次摸到白球，那么摸到黑球：白球=88:312；已知有8个黑球，那么按照比例，白球有：3. 研究“掷一个图钉，针尖朝上”的概率，两个小组用同一个图钉做试验进行比较，他们的统计数据如下：（1）请你估计第一小组和第二小组所得的概率分别是多少？根据题意，∵次数越多，就越精确。∴选取试验次数最多的进行计算可得：第一小组所得的概率是 ；第二小组所得的概率是 。（2）你认为哪一个小组的结果更准确？为什么？不知道哪一个更准确，因为试验数据可能有误差，不能准确说明偏向。 完成练习题 通过做练习题，让学生巩固本节课所学知识
课堂小结 用频率估计概率关系：当试验次数很多或试验时样本容量足够大时，一件事件发生的频率与相应的概率会非常接近。此时，我们可以用一件事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。区别：频率是波动的，而概率是一个定值，当试验的次数不多时，事件发生的频率或概率甚至差异很大。 只有通过大量的试验，当试验频率区趋于稳定，才能用事件发生的频率来估计概率。 自己总结知识点 让学生回忆本节课所学知识。进一步巩固知识。
板书 用频率估计概率1. 频数、频率、概率的概念；2. 用频率求概率的方法；3. 频率与概率的区别与联系；4. 用频率求概率的注意事项 观看板书 提示学生本节课我们应该要掌握哪些知识点。
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用频率估计概率
数学湘教版 九年级下
复习旧知
用列举法求概率
条件
方法
列表法：适合两个因素
树状图法：适合两个以上因素
可能出现的结果只有有限个；
各种结果出现的可能性相等。
复习旧知
当实验的所有结果不是有限个；或各种可能结果发生的可能性不相等时。又该如何求事件发生的概率呢
新知讲解
1
用频率估计概率
频数：在实验中,每个对象出现的次数称为频数。
频率：所考察对象出现的次数与实验的总次数的比叫做频率。
频数、频率、概率的概念：
频率=
频数
总数
概率：事件发生的可能性,也称为事件发生的概率。
A的概率=
A发生的可能情况
可能发生的总情况
新知讲解
投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率是多少呢？
问题：实际投掷硬币时，结果是怎么样的呢？会出现什么情况呢？我们一起来试试吧。
试验一
新知讲解
1. 以四人为一小组，抛掷一枚均匀硬币400次，每个人抛掷100次，每隔50次，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，汇总数据后，完成下表（保留两位小数）：
试验规则
累计抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400
“正面朝上”的频数
“正面朝上”的频率
23
152
56
70
97
128
174
201
0.46
0.51
0.56
0.47
0.49
0.51
0.50
0.50
新知讲解
2. 根据上表的数据，在下图中画折线统计图表示“正面朝上”的频率。
试验规则
抛掷次数
“正面朝上”的频率
0
50
300
100
150
200
250
350
400
0.9
0.7
0.8
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
根据你所画的图形，你发现了什么规律呢？
新知讲解
3. 下表是历史上一些数学家所做的投掷硬币的试验数据，这些数据支持你发现的规律吗？
试验规则
试验者 投硬币次数 正面朝上的次数 频率
隶莫弗 2048 1061 0.5180
蒲丰 4040 2048 0.5069
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
新知讲解
根据上表，我们画出了曲线图，根据我们所画的图形，你能得到什么结论呢？
当重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5左右摆动。随着抛掷次数的增加，一般地频率呈现出一定的稳定性：在0.5左右摆动的幅度会越来越小。我们称“正面向上”的概率是0.5.
新知讲解
总
结
通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率。
对于一般的随机事件，当试验所有的可能结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，可以用频率估计该随机事件的概率。
新知讲解
对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，显示出一定的稳定性。
1. 频率的特性
在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数a，那么，该事件发生的概率P（A）=a。
2. 频率与概率的关系
新知讲解
对于一个随机事件A，用频率估计概率不可能小于0，也不可能大于1。
3. 频率的范围
用频率估计概率，不受“等可能事件”的限制，都可以通过大量重复试验估计出随机事件的概率。
4. 要点
新知讲解
根据试验，可以知道，投掷一枚硬币的“正面朝上”的频率大概为0.5，能否理解为：
“投掷2次，1次正面向上”；
“投掷100次，50次正面向上”；
“投掷n次， 次正面向上”……
不能。
新知讲解
频率和概率都是随机事件可能性大小的定量的刻画，但频率与试验次数及具体的试验有关，因此，频率具有随机性。而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性。
新知讲解
从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000
发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005
发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 。（精确到0.1）。
0.8
新知讲解
种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000
发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005
发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801
解析：∵种子粒数5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.801。
∴估计种子发芽的概率为0.801，精确到0.1，即为0.8。
新知讲解
在一块平整地板上抛掷一个矿泉水瓶盖，瓶盖落地后有两种可能情况：“开口朝上”和“开口不朝上”。
由于瓶盖头重脚轻，上下不对称，“开口朝上”和“开口不朝上”的可能性一样吗？如果不一样，出现哪种情况的可能性大一些？
【分析】我们可以通过大量重复的试验，用频率来估计概率，从而解决这个问题。
试验二
新知讲解
1. 全班同学分成6组，每组同学依次抛掷瓶盖80次，观察瓶盖着地时的情况，并根据全班试验结果填写下表：
试验规则
累计抛掷次数 80 160 240 320 400 480
“开口朝上”的频数
“开口朝上”的频率
58
123
175
238
299
358
0.73
0.77
0.73
0.74
0.75
0.75
新知讲解
2. 根据上表数据，在下图画折线统计图表示“开口朝上”的频率。
试验规则
抛掷次数
“开口朝上”的频率
0
80
480
160
240
320
400
0.9
0.7
0.8
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
随着抛掷次数的增加，“开口朝上”的频率是如何变化的？
该试验中，是“开口朝上”的可能性大，还是“开口不朝上”的可能性大？
新知讲解
通过这次试验，你可以得到什么结论？
1. 研究随机现象与随机事件的基本方法就是重复地对现象进行观察。
2. 如果某个随机事件发生了m次，则在这n才观察中这个事件发生的频率为 。
3. 如果随机事件发生的概率（可能性）大，则它在多次的重复观察中出现的次数就越多，因而其频率就大。
4. 频率在一定程度上反映了随机事件可能性的大小。
新知讲解
如果该试验中，“开口朝上”的频率随着抛掷次数的增加，稳定在某个常数p附近，那么我们“开口朝上”的概率大概是多少呢？
【分析】p是“开口朝上”发生的可能性，即事件“开口朝上的概率”。
【结论】在大量重复试验中，如果事件A发生的频率为 ，那么可以作为事件A发生的概率。
新知讲解
均匀的正四面体的各面依次标有1,2,3,4四个数字，小明做了60次投掷试验，结果统计如下：
朝下数字 1 2 3 4
出现的次数 16 20 14 10
2
用频率估计概率易错点
（1）计算上述试验中“4朝下”的频率是 。
（2）“根据试验结果，投掷一次正四面体，出现2朝下的概率是 ”的说法是 的。（填“正确”或“错误”）。
错误
新知讲解
注
意
1. 概率是指某事件发生的可能性的大小，是在试验次数非常多的情况下趋近稳定的数值，而不是有限次地试验后必然就发生的事情。
2. 频率是波动的，而概率是一个定值，当试验的次数不多时，事件发生的频率或概率甚至差异很大。
3. 只有通过大量的试验，当试验频率区趋于稳定，才能用事件发生的频率来估计概率。
新知讲解
下面的表中给出了一些模拟实验的方法，你觉得这些方法合理吗？若不合理请说明理由。
需要研究的问题 用替代物模拟实验的方法
用什么实物 一枚硬币 一枚图钉
怎样实验 抛起后落地 抛起后落地
考虑哪一事件出现的机会 正面朝上的机会 钉尖朝上的机会
新知讲解
不可以，用不同的替代物混在一起，大大地改变了实验条件，所以结果是不准确的。
注意：实验必须在相同的条件下进行，才能得到预期的结果；替代物的选择必须是合理、简单的。
新知讲解
3
用频率估计概率的应用
准确计算出部分事件出现的频率；
确定合理的估计方法，得到事件的概率；
由概率的意义求解。
用频率估计概率的步骤
新知讲解
例题讲解
瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次品或废品，究竟发生那种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象。而烧制的结果是“合格品”是一个随机事件，这个事件的概率称为“合格品率”。
由于烧制结果不是等可能的，我们常用“合格品”的频率作为“合格品率”的估计。
新知讲解
某瓷砖厂对最近出炉的一大批某型号瓷砖进行质量抽检，结果如下：
抽取瓷砖数n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000
合格品数m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924
合格品频率
（1）计算上表中合格品的各频率（精确到0.001）；
（2）估计这种瓷砖的合格品率（精确到0.01）；
（3）若该工厂本月生产该型号瓷砖500000块，试估计合格品数。
新知讲解
抽取瓷砖数n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000
合格品数m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924
合格品频率
（1）计算上表中合格品的各频率（精确到0.001）；
0.950
0.962
0.960
0.957
0.963
0.962
0.963
0.961
0.962
（2）估计这种瓷砖的合格品率（精确到0.01）；
观察上表，可以发现，当抽取瓷砖数n≥400时，合格品率 稳定在0.962附近，所以我们可取p=0.962作为该型号瓷砖的合格品率的估计。
新知讲解
（3）若该工厂本月生产该型号瓷砖500000块，试估计合格品数。
500000×96%=480000（块）
可以估计该型号合格品数为480000块。
巩固提升
1. 做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为 。
解析：当大量重复试验时，可以用某一事件的频率来估计概率。由于“凸面向上”的频率约为0.44，则“凹面向上”的频率约为0.56，因此，“凹面向上”的概率约为0.56.
0.56
巩固提升
2. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球 个。
28
解析： 共摸球400次，其中88次摸到黑球，则有312次摸到白球，那么摸到黑球：白球=88:312；已知有8个黑球，那么按照比例，白球有：
巩固提升
3. 研究“掷一个图钉，针尖朝上”的概率，两个小组用同一个图钉做试验进行比较，他们的统计数据如下：
掷图钉的次数 50 100 200 300 400
针尖朝上的次数 第一小组 23 39 79 121 160
第二小组 24 41 81 124 164
（1）请你估计第一小组和第二小组所得的概率分别是多少？
（2）你认为哪一个小组的结果更准确？为什么？
巩固提升
（1）请你估计第一小组和第二小组所得的概率分别是多少？
根据题意，∵次数越多，就越精确。
∴选取试验次数最多的进行计算可得：
第一小组所得的概率是 ；
第二小组所得的概率是 。
（2）你认为哪一个小组的结果更准确？为什么？
不知道哪一个更准确，因为试验数据可能有误差，不能准确说明偏向。
课堂小结
用频率估计概率
关系：当试验次数很多或试验时样本容量足够大时，一件事件发生的频率与相应的概率会非常接近。此时，我们可以用一件事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
区别：频率是波动的，而概率是一个定值，当试验的次数不多时，事件发生的频率或概率甚至差异很大。
只有通过大量的试验，当试验频率区趋于稳定，才能用事件发生的频率来估计概率。
谢谢
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