(共31张PPT)
28.2.1 解直角三角形
人教版 九年级下
导入新知
(2)两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
(3)边角之间的关系
(1)三边之间的关系
A
B
a
b
c
C
在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素.
图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素.
锐角三角函数
导入新知
A
B
a
b
c
C
什么是解直角三角形
解直角三角形：
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．
一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素(其中必须有一个元素是边)，则这样的直角三角形可解.
导入新知
1
知识点
已知两边解直角三角形
探究：
（1）在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
（2）知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？
知1－导
如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，
∠A， ∠B， ∠C所对的边分别为a，b，c，
那么除直角∠ C外的 五个元素之间有如下
关系：
A
导入新知
知1－导
（1）三边之间的关系a2+b2=c2 (勾股定理）；
（2）两锐角之间的关系∠A+ ∠B = 90°；
（3）边角之间的关系
上述（3）中的A都可以换成B，同时把a，b互换.
导入新知
知1－导
归 纳
利用这些关系，知道其中的两个元素（至少有一
个是边），就可以求出其余三个未知元素.
新知讲解
知1－讲
应用勾股定理求斜边，
应用角的正切值求出
一锐角，再利用直角
三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．
已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
已知两直角边：
已知斜边和直角边：
新知讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，BC= ，解这个直角三角形.
解：∵
∴∠A=60° ，
∠B=90°-∠A=90°- 60°=30°，
AB=2AC=2 .
知1－讲
新知讲解
总 结
知1－讲
已知直角三角形的两边解直角三角形的方法：
先由勾股定理求第三边，再由两边中一直角边所对
的角与这两边的关系，求出这个角，最后由两锐角
互余求出第三个角．
巩固提升
知1－练
1 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：c=30，b=20；
解：∵c＝30，b＝20，
∴
∵tan A＝
∴∠A≈48°.
∴∠B＝90°－∠A≈90°－48°＝42°.
巩固提升
知1－练
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2 ，AC＝ ，
则∠A的度数为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
2
D
巩固提升
3 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是( )
A．计算tan A的值求出
B．计算sin A的值求出
C．计算cos A的值求出
D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出
知1－练
C
巩固提升
知1－练
【中考·兰州】如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cos A＝( )
A.
B.
C.
D.
4
D
巩固提升
知1－练
如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tan B＝( )
A．
B．
C.
D.
5
B
新知讲解
2
知识点
已知一边及一锐角解直角三角形
知2－导
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °-
∠ A；②c=
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
②a=c·sin A ; ③b=c·cos A.
新知讲解
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B= 35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点最后一位）.
解：∠A=90°-∠B=90°- 35°=55°.
知2－讲
你还有其他方法求出c吗？
新知讲解
总 结
知2－讲
已知一锐角和一边解直角三角形的方法：
(1)在直角三角形中，若已知一个锐角和斜边，则可由两
锐角互余求出另一个锐角，然后利用三角函数(正弦、
余弦)求出两条直角边；
(2)若已知一个直角三角形的一个锐角和一条直角边，则
可由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用余弦或正
弦求出其斜边，利用正切求出其另一条直角边．
巩固提升
知2－练
1 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
（1） ∠B=72°，c=14；
（2） ∠B=30°，a= .
巩固提升
知1－练
(1)由∠B＝72°，c＝14，
得∠A＝90°－∠B＝90°－72°＝18°，
a＝c·sin A＝14×sin18°≈4.33，
b＝c·sin B＝14×sin72°≈13.31.
(2)∵∠B＝30°，a＝
∴∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°，
b＝
c＝
解：
巩固提升
知2－练
(2016·沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A. B．4
C．8 D．4
2
D
巩固提升
知2－练
3 在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，
则a等于( )
A.
B.
C．6
D.
B
巩固提升
知2－练
【2017·益阳】如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)( )
A.
B.
C.
D．h·cos α
4
B
巩固提升
知2－练
【2017·滨州】如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( )
A．2＋
B．2
C．3＋
D．3
5
A
新知讲解
知3－讲
3
知识点
已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形
例3 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝ ，sin B＝ ，
求BC的长．
导引：要求的BC边不在直角三角形中，已知条件中有
∠B的正弦值，作BC边上的高，将∠B置于直角
三角形中，利用解直角三角形就可解决问题．
新知讲解
知3－讲
如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝1，sin B＝
∴AD＝AB·sin B＝
∴BD＝
∴CD＝
∴BC＝CD＋BD＝
解：
新知讲解
总 结
知3－讲
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三
角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，
这种“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结
合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B点
作AC的垂线，则∠B的正弦值就无法利用．
巩固提升
1 (2016·兰州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，
BC＝6，则AB＝( )
A．4 B．6
C．8 D．10
知3－练
D
巩固提升
2 如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过点C作CD⊥AB于点D.已知cos∠ACD＝ ，BC＝4，则AC的长为( )
A．1
B.
C．3
D.
知3－练
D
课堂小结
在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系：
（1）三边之间关系：a2+b2=c2 (勾股定理）.
（2）锐角之间的关系：∠A+ ∠B = 90°.
（3）边角之间的关系：
1
知识小结
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28.2.1 解直角三角形
基础训练
1.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若c=6,a=6,则b= ,∠B= ,∠A= ;
(2)若a=4,b=4,则∠A= ,∠B= ,c= .
2.如图,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cos A=( )
A. B. C. D.
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3.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,CA是∠BCD的平分线,且AB⊥AC,AB=4,AD=6,则tan B=( )21cnjy.com
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A.2 B.2 C. D.
4.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若∠B=60°,BC=,则∠A= ,AC= ,AB= ;
(2)若∠A=45°,AB=2,则∠B= ,AC= ,BC= .
5.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC等于( )
A.3sin 40° B.3sin 50° C.3tan 40° D.3tan 50°
6.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,P是BC边上的动点,则AP长不可能是( )
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A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,∠DAC=30°,BD=2,AB=2,则AC的长是( )www.21-cn-jy.com
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A. B.2 C.3 D.
8.如图,菱形ABCD的边长为15,sin∠BAC=,则对角线AC的长为 .
( http: / / www.21cnjy.com / )
9.如图,△ABC中,AC=5,cos B=,sin C=,则△ABC的面积是( )2·1·c·n·j·y
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A. B.12 C.14 D.21
10.如图,已知菱形ABCD中,AE⊥BC于点E.若sin B=,AD=6,则菱形ABCD的面积为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.12 B.12 C.24 D.54
11.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD=CD,cos ∠DCA=,BC=10,则AB的值是( )www-2-1-cnjy-com
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A.3 B.6 C.8 D.9
12.在△ABC中,AB=2,AC=,∠B=30°.求∠BAC的度数.
提升训练
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=3,解这个直角三角形.
( http: / / www.21cnjy.com / )
14.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知b=10,∠B=60°,解这个直角三角形.
15.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求BC的长;
(2)求tan ∠DAE的值.
16.如图,在△ABC中,sin B=,∠A=105°,AB=2,求△ABC的面积.
( http: / / www.21cnjy.com / )
17.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD,过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H.21世纪教育网版权所有
(1)求BD·cos∠HBD的值;
(2)若∠CBD=∠A,求AB的长.
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参考答案
基础训练
1.(1)6;45°;45° (2)60°;30°;8
2.D 3.B
4.(1)30°;;2 (2)45°;;
5.D 6.D 7.A 8.24
9.A
解析：如图,过点A作AD⊥BC.因为co ( http: / / www.21cnjy.com )s B=,所以∠B=45°,所以AD=BD.因为sin C==,所以=,所以AD=BD=3,所以DC===4,所以BC=BD+DC=7,所以S△ABC=BC·AD=×7×3=.21教育网
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10.C
解析：∵四边形ABCD是菱形,AD=6,∴AB=BC=6.在Rt△ABE中,sin B=,∵sin B=,
∴=,解得AE=4.∴菱形ABCD的面积是6×4=24.故选C.
11.B
解析：∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.
∵AD=CD,
∴∠DAC=∠DCA.∴∠ACB=∠DCA.
∴cos∠ACB=cos∠DCA=,即==,
∴AC=8,∴AB==6.
12.解:(1)如图①,当∠BAC是钝角时,过点A作AD⊥BC,垂足为点D.在Rt△ABD中,∵∠B=30°,
∴∠BAD=60°,AD=AB·sin 30°=1.
在Rt△ACD中,CD===1,
∴△ACD是等腰直角三角形,则∠CAD=45°,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)如图②,当∠BAC是锐角时,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.
∵∠B=30°,∴AD=AB·sin 30°=1,∠BAD=60°.
∴CD===1,
∴∠DAC=45°,
∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=60°-45°=15°.
综上可知,∠BAC的度数为105°或15°.
提升训练
13.解:在Rt△ABC中,AB===6.21·cn·jy·com
∵tan A===1,∴∠A=45°.
∴∠B=90°-∠A=90°-45°=45°.
14.解:∵∠B=60°,∴∠A=90°-∠B=30°.
∵tan B=,
∴a====.
∵sin B=,
∴c====.
15.解:(1)在△ABC中,∵AD是BC ( http: / / www.21cnjy.com )边上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ADC中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1,∴DC=AD=1.在△ADB中,【来源：21·世纪·教育·网】
∵∠ADB=90°,sin B=,AD=1,∴AB==3,∴BD==2,21·世纪*教育网
∴BC=BD+DC=2+1.
(2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=BC=+,∴DE=CE-CD=-,2-1-c-n-j-y
∴tan ∠DAE==-.
16.解:过A作AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中,易得∠B=45°,又AB ( http: / / www.21cnjy.com )=2,∴∠DAB=∠B=45°,AD=BD=2×=,∴∠CAD=105°-45°=60°.21*cnjy*com
在Rt△CAD中,tan∠CAD=,
∴CD=AD·tan∠CAD=×tan 60°=.
∴BC=CD+BD=+.
∴S△ABC=·BC·AD=(+)×=+1.
17.解:(1)∵DH∥AB,∴∠BHD=∠ABC=90°,
∴△ABC∽△DHC,∴=.
∵AC=3CD,BC=3,∴CH=1.∴BH=BC+CH=4.
在Rt△BHD中,cos ∠HBD=.
∴BD·cos∠HBD=BH=4.
(2)方法一:
∵∠A=∠CBD,∠ABC=∠BHD,
∴△ABC∽△BHD,
∴=.
∵△ABC∽△DHC,
∴==,∴AB=3DH,
∴=,DH=2,∴AB=6.
方法二:
∵∠CBD=∠A,∠BDC=∠ADB,
∴△CDB∽△BDA,
∴=,BD2=CD·AD.∴BD2=CD·4CD=4CD2.
∴BD=2CD.
∵△CDB∽△BDA,∴=.∴=.
∴AB=6
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