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第六章《实数》
第6讲 实数比较与估算
一、 知识储备
1 正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负实数的绝对值是它的相反数
2 任何一个实数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点对应一个实数，即实数和数轴上的点一一对应
3 在数轴上，右边的数总比左边的数大，即正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小
4 被开方数小数点向右（左）每移动两位，其平方根小数点对应地向右（左）移动一位；被开方数小数点向（右）每移动三位，其立方根小数点对应地向右（左）移动一位
二、方法技巧
两个实数a,b比较大小，常有以下思路：
①数形结合：利用数轴及实数大小比较法则判定
②作差法：即,
③作商法：即
④乘方法：同指看底，同底看指;对于符号相同时，两个无理数或无理数与有理数比较大小，可以看其乘方结果
⑤倒数法：对于符号相同时，两个无理数比较也可查看其倒数大小，配合估算也可得到结论
⑥中间量法：若a>c,c>b,则有a>b
对于选择题，在所给定的范围内取合适的特殊值可以有效进行解答
我们知道，两点之间，线段最短，由此可得，三角形任意两边之和一定大于第三边
三 、习题精练
范例1:比较大小：①-与- ②与
【解答】解：①∵,,∴,∴--
②∵-=,而，∴，∴-，∴
范例2如果a,b,c是非零实数，且a+b+c=0，试化简
【解答】解：由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．
①当a，b，c为两正一负时：，，∴＝0
②当a，b，c为两负一正时：，，∴＝0
综上所述，＝0．
范例3在实数范围内解方程
【解答】解：由题意得,∴x=2018, ∴,∴y=2018或y=2012
综上所述，方程的解为或
范例4已知实数a,b,c满足，
(1)求a,b,c的值；
(2))试问a,b,c为边长的三边能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长，若不能，请说明理由
【解答】解：(1)由题意得
（2）∵,∴a四：跟进演练（时限60分钟，满分120分）
一、选择题（共10题，每题4分计40分）
1. 一个数的算术平方根为m，比这个数大1的数的是（ ）
A m+1 B C D
2如图所示，数轴上A,B两点分别表示实数1，，点B关于A的对称点为C，则点C所表示的数为 ( ) 21·cn·jy·com
A－2 B 2－ C －3 D 3－
3.（2017·泰安）下列四个数：－3，－，－π，－1，其中最小的数是（ ）
A．－π B．－3 C．－1 D．－
4． 下列判断正确的是（ ）
A B C D
5. 已知实数m满足，则的值是（ ）
A 2016 B 2017 C 2018 D 2019
6. 在数轴上A点表示，点B表示，则A,B两点之间的距离等于（ ）
A B C D
7如图，数轴上点A表示的数为m，则的立方根是（ ）
A B C 2 D －2
8．设0A m B C D
9（2016·毕节）估计的值在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
10. （2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）下列算式
①；②；③26÷23=4；④；⑤a+a=a2．
运算结果正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5题，每题4分计20分）
11. 已知－112设的整数部分为a,小数部分为b，则的立方根是 ．
13（2017·成都A卷）如图，数轴上点A表示的实数是 ．
14. 已知则 ； ；＝ ．
15 已知，当x= 时，y有最小值是 ．
三、解答题（共6题计60分）
16(12分)比较大小① 与 ②与 ③ 与
17（12分）求值
①若x,y,m满足，求m-2005的算术平方根
②已知，求的立方根
③等腰△ABC三边长为a,b,c，且a,b满足，求△ABC的周长
18（12分）化简
①若2a+b=0(a≠0)，请化简
②实数a,b,c在数轴上对应的位置如图所示，化简
③若，求的值
19（8分）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与数 _________ 表示的点重合；
（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：
①3表示的点与数 _________ 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2019（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？21世纪教育网版权所有
20（8分）李奶奶新买了一套两室一厅的住房，将原边长为1米的方桌换成边长是1.3米的方桌，为使新方桌有块桌布，且能利用原边长为1米的桌布，既节约开支且又美观，问在读七年级的孙子小刚有什么方法，聪明的小刚想了想说：“奶奶，你再去买一块和原来一样的桌布，按照如图2、图3所示的方法做就行了”．21cnjy.com
（1）小刚的做法对吗？为什么？
（2）你还有其它方法吗？请画出图形．
21（8分）（ 2016·重庆A卷）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）=. 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=.
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数. 求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；www.21-cn-jy.com
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”. 求所有“吉祥数”中F（t）的最大值. 2·1·c·n·j·y
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第六章《实数》
第6讲 实数比较与估算
一、 知识储备
1 正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负实数的绝对值是它的相反数
2 任何一个实数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点对应一个实数，即实数和数轴上的点一一对应
3 在数轴上，右边的数总比左边的数大，即正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小
4 被开方数小数点向右（左）每移动两位，其平方根小数点对应地向右（左）移动一位；被开方数小数点向（右）每移动三位，其立方根小数点对应地向右（左）移动一位
二、方法技巧
两个实数a,b比较大小，常有以下思路：
①数形结合：利用数轴及实数大小比较法则判定
②作差法：即,
③作商法：即
④乘方法：同指看底，同底看指;对于符号相同时，两个无理数或无理数与有理数比较大小，可以看其乘方结果
⑤倒数法：对于符号相同时，两个无理数比较也可查看其倒数大小，配合估算也可得到结论
⑥中间量法：若a>c,c>b,则有a>b
对于选择题，在所给定的范围内取合适的特殊值可以有效进行解答
我们知道，两点之间，线段最短，由此可得，三角形任意两边之和一定大于第三边
三 、习题精练
范例1:比较大小：①-与- ②与
【解答】解：①∵,,∴,∴--
②∵-=,而，∴，∴-，∴
范例2如果a,b,c是非零实数，且a+b+c=0，试化简
【解答】解：由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．
①当a，b，c为两正一负时：，，∴＝0
②当a，b，c为两负一正时：，，∴＝0
综上所述，＝0．
范例3在实数范围内解方程
【解答】解：由题意得,∴x=2018, ∴,∴y=2018或y=2012
综上所述，方程的解为或
范例4已知实数a,b,c满足，
(1)求a,b,c的值；
(2))试问a,b,c为边长的三边能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长，若不能，请说明理由
【解答】解：(1)由题意得
（2）∵,∴a四：跟进演练（时限60分钟，满分120分）
一、选择题（共10题，每题4分计40分）
1. 一个数的算术平方根为m，比这个数大1的数的是（ ）
A m+1 B C D
【解答】解： D
2如图所示，数轴上A,B两点分别表示实数1，，点B关于A的对称点为C，则点C所表示的数为 ( ) 21cnjy.com
A－2 B 2－ C －3 D 3－
【解答】解：B
3.（2017·泰安）下列四个数：－3，－，－π，－1，其中最小的数是（ ）
A．－π B．－3 C．－1 D．－
【解答】解：A．
4． 下列判断正确的是（ ）
A B C D
【解答】解：A．
5. 已知实数m满足，则的值是（ ）
A 2016 B 2017 C 2018 D 2019
【解答】解：C
6. 在数轴上A点表示，点B表示，则A,B两点之间的距离等于（ ）
A B C D
【解答】解：D
7如图，数轴上点A表示的数为m，则的立方根是（ ）
A B C 2 D －2
【解答】解：D
8．设0A m B C D
【解答】解：A
9（2016·毕节）估计的值在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【解答】解：B．
10. （2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）下列算式
①；②；③26÷23=4；④；⑤a+a=a2．
运算结果正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：B．
二、填空题（共5题，每题4分计20分）
11. 已知－1【解答】解：－2x．
12设的整数部分为a,小数部分为b，则的立方根是 ．
【解答】解：－2
13（2017·成都A卷）如图，数轴上点A表示的实数是 ．
【解答】解：﹣1．
14. 已知则 ； ；＝ ．
【解答】解： 0.7746；0.24495；24.495
15 已知，当x= 时，y有最小值是 ．
【解答】解：x=2020时，y有最小值是－2018
三、解答题（共6题计60分）
16(12分)比较大小① 与 ②与 ③ 与
【解答】解：①∵，，∴ >
②∵-=，∴
③∵，∴；∵，∴
∴ <6<,∴ <
17（12分）求值
①若x,y,m满足，求m-2005的算术平方根
②已知，求的立方根
③等腰△ABC三边长为a,b,c，且a,b满足，求△ABC的周长
【解答】解：
①∵,∴x+y=2018,
∴,∴,∴,∴, ∴m-2005=16的算术平方根是4
②由题意得，∴，∴＝－125，∴的立方根为－5
③∵，∴，∴，∴等腰△ABC三边可能为1，1，3，此种情形不能组成三角形，故舍去；或者其三边为1，3，3，能组成三角形，此时周长为721·cn·jy·com
18（12分）化简
①若2a+b=0(a≠0)，请化简
②实数a,b,c在数轴上对应的位置如图所示，化简
③若，求的值
【解答】解：①∵若2a+b=0(a≠0)，∴b=-2a，∴当a>0时则b<0, 此时
当a<0时则b>0, 此时
综上所述，的值为3
②由题意知，，∴，∴，
③∵，∴，
∵，
∴当a>0时，
当a<0时，
综上所述，代数式的值为2018或2016
19（8分）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与数 _________ 表示的点重合；
（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：
①3表示的点与数 _________ 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2019（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？21教育网
【解答】解：（1）依题意可知两数关于原点对称，所以与﹣3重合的点为3；
（2）依题意得：两数是关于﹣1和5的中点对称，即关于（5﹣1）÷2=2对称；
因此可设所求的数为x，则有（3+x）÷2=2，解得x=1；
∴①答案为1；
②∵A、B两点之间的距离为2019且折叠后重合，则A、B关于1009.5对称；
∴A：2﹣2019÷2=2﹣1009.5=﹣1007.5；B：2+2019÷2=1011.5．
20（8分）李奶奶新买了一套两室一厅的住房，将原边长为1米的方桌换成边长是1.3米的方桌，为使新方桌有块桌布，且能利用原边长为1米的桌布，既节约开支且又美观，问在读七年级的孙子小刚有什么方法，聪明的小刚想了想说：“奶奶，你再去买一块和原来一样的桌布，按照如图2、图3所示的方法做就行了”．www.21-cn-jy.com
（1）小刚的做法对吗？为什么？
（2）你还有其它方法吗？请画出图形．
【解答】解：（1）小刚的做法是对的．因为将边长为1米的两个正方形分别沿着一条对角线剪开，成为四个大小相同形状完全一样的等腰直角三角形，然后拼成一个大正方形，这个大正方形的面积为2，其边长为，而，故能铺满；2·1·c·n·j·y
（2）．有如下图：
21（8分）（ 2016·重庆A卷）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）=. 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=.
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数. 求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”. 求所有“吉祥数”中F（t）的最大值. 21·世纪*教育网
【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数）.
∵，∴n×n是m的最佳分解. ∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1.
（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为，则.
∵t为“吉祥数”，∴. ∴y=x+2.
∵，x，y为自然数，∴“吉祥数”有13，24，35，46，57，68，79.
∴F（13）=，F（24）=，F（35）=，F（46）=，F（57）=，F（68）=，F（79）=. ∵，∴所有“吉祥数”中F（t）的最大值是.
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