26.2 实际问题与反比例函数（课件）
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(共32张PPT)
实际问题与反比例函数
人教版 九年级下
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问题1 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如下图所示．
V
p
O
1
2
3
50
100
150
200
A(1.5，64)
导入新课
（1）观察图象经过已知点_________；
（2）写出这个函数的解析式；
（3）当气球的体积是0.8 m3时，气球内的气压是多少千帕？
（1.5，64）
120 kPa．
导入新课
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室．
（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？
新课讲解
（2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？
（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15 m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15 m．相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？
新课讲解
解：（1）根据圆柱的体积公式，得 ．
所以S关于d的函数解析式为 ．
（2）把S=500代入 ，得 ，
解得d=20(m)．
如果把储存室的底面积定为500 m2，施工时应向地下掘进20 m深．
新课讲解
（3）根据题意，把d=15代入 ，得 ，
解得 ．
当储存室的深度为15 m时，底面积应改为 ．
新课讲解
有200个工件需要一天内加工完成，设当工作效率为每人每天加工p个工件时，需要q个工人．
（1）求出q关于p的函数关系式．
（2）若每人每天的工作效率提高20%，则工人数减少百分之几？
提示：（1） (p＞0)；
新课讲解
（2）每人每天的工作效率变成(1+20%)p，代入
得到此时的工人数是 ．
则工人数减少 ×100%≈17%．
新课讲解
例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．
（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨／天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？
新课讲解
分析：根据“平均装货速度×装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量；
再根据“平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数”，得到v关于t的函数解析式．
新课讲解
解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k=30×8=240，
所以v关于t的函数解析式为 ．
（2）把t=5代入 ，得v= =48(吨)．
从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸完，那么平均每天卸载48吨．
新课讲解
对于函数 ，当t＞0时，t越小，v越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨．
新课讲解
某蓄水池的排水管道每小时排水8 m3，6 h可以将满池的水全部排空．
（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到
Q m3，将满池的水全部排空所需的时间为t（h），求Q与t之间的函数关系式．
新课讲解
（3）如果准备在5 h内将满池的水全部排空，那么每小时排水量至少是多少？
（4）已知排水管的最大排水量为12 m3/h，那么最少多长时间能把满池的水全部排空？
答案：（1）48 m3；（2）Q= (t＞0)；（3）当t=5时，Q= =9.6 m3；（4）当Q=12时，t=4 h．
新课讲解
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．
给我一个支点，我可以撬动地球！
——阿基米德
新课讲解
后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．
支点
阻力
动力
阻力臂
动力臂
新课讲解
例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m．
（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？
（2）若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？
新课讲解
解：（1）根据“杠杆原理”，得Fl=1 200×0.5，
所以F关于l的函数解析式为 ．
当l=1.5 m时， ．
对于函数 ，当l=1.5 m时，F=400 N，此时杠杆平衡．因此，撬动石头至少需要400 N的力．
新课讲解
（2）对于函数 ，F随l的增大而减小．
因此，只要求出F=200 N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量．
当 时，由 得 ，
3-1.5=1.5(m)．
对于函数 ，当l＞0时，l越大，F越小．
因此，若想用力不超过400 N的一半，则动力臂至少要加长1.5 m．
新课讲解
某空调厂的装配车间计划组装9 000台空调．
（1）从空调厂组装空调开始，每天组装的台数m（单位：台/天）与生产时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？
（2）原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成，由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天上市，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？
新课讲解
答案：（1）m= (t＞0)；（2）180．
新课讲解
电学知识告诉我们，用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位：Ω）有如下关系：PR=U2．这个关系也可写为 或 ．
新课讲解
例4 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220 Ω．已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图所示．
（1）功率P与电阻R有怎样的函数关系？
（2）这个用电器功率的范围是多少？
U
R
新课讲解
解：（1）根据电学知识，当U=220时，得 ．①
（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．
把电阻的最小值R=110代入①式，得到功率的最大值
；
把电阻的最大值R=220代入①式，得到功率的最小值
．
因此用电器功率的范围为220～440 W．
新课讲解
（1）蓄电池的电压是多少？
（2）请写出这个反比例函数的解析式；
（3）完成下表：
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）和电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如下图所示．
R（Ω） 3 4 6 8 9 10
I（A）
（4）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10 A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
R/Ω
I/A
O
4
9
巩固练习
答案：（1）36 V；
（2） (R＞0)；
（3）依次是12，9，6，4.5，4，3.6；
（4）≥3.6 Ω．
巩固练习
1．一般地，建立反比例函数的解析式有以下两种方法：
（1）待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数的解析式为 ，然后求出k的值即可．
（2）列方程法：若题目所给信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出方程，便得到函数解析式．
课堂小结
2．常见的典型数量关系：
（1）当路程s一定时，时间t与速度v成反比例，即 ；
（2）当三角形的面积S一定时，三角形的底边a与高h成反比例，即 ；
（3）在物理知识中：
①当功W一定时，力F与物体在力F的作用下移动的距离s成反比例，即 ；
课堂小结
②当压力F一定时，压强p与受力面积S成反比例，即 ；
③在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即 ．
④杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．
课堂小结
谢 谢！
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人教版 九年级下
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问题1 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如下图所示．
V
p
O
1
2
3
50
100
150
200
A(1.5，64)
导入新课
（1）观察图象经过已知点_________；
（2）写出这个函数的解析式；
（3）当气球的体积是0.8 m3时，气球内的气压是多少千帕？
（1.5，64）
120 kPa．
导入新课
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室．
（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？
新课讲解
（2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？
（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15 m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15 m．相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？
新课讲解
解：（1）根据圆柱的体积公式，得 ．
所以S关于d的函数解析式为 ．
（2）把S=500代入 ，得 ，
解得d=20(m)．
如果把储存室的底面积定为500 m2，施工时应向地下掘进20 m深．
新课讲解
（3）根据题意，把d=15代入 ，得 ，
解得 ．
当储存室的深度为15 m时，底面积应改为 ．
新课讲解
有200个工件需要一天内加工完成，设当工作效率为每人每天加工p个工件时，需要q个工人．
（1）求出q关于p的函数关系式．
（2）若每人每天的工作效率提高20%，则工人数减少百分之几？
提示：（1） (p＞0)；
新课讲解
（2）每人每天的工作效率变成(1+20%)p，代入
得到此时的工人数是 ．
则工人数减少 ×100%≈17%．
新课讲解
例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．
（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨／天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？
新课讲解
分析：根据“平均装货速度×装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量；
再根据“平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数”，得到v关于t的函数解析式．
新课讲解
解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k=30×8=240，
所以v关于t的函数解析式为 ．
（2）把t=5代入 ，得v= =48(吨)．
从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸完，那么平均每天卸载48吨．
新课讲解
对于函数 ，当t＞0时，t越小，v越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨．
新课讲解
某蓄水池的排水管道每小时排水8 m3，6 h可以将满池的水全部排空．
（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到
Q m3，将满池的水全部排空所需的时间为t（h），求Q与t之间的函数关系式．
新课讲解
（3）如果准备在5 h内将满池的水全部排空，那么每小时排水量至少是多少？
（4）已知排水管的最大排水量为12 m3/h，那么最少多长时间能把满池的水全部排空？
答案：（1）48 m3；（2）Q= (t＞0)；（3）当t=5时，Q= =9.6 m3；（4）当Q=12时，t=4 h．
新课讲解
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．
给我一个支点，我可以撬动地球！
——阿基米德
新课讲解
后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．
支点
阻力
动力
阻力臂
动力臂
新课讲解
例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m．
（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？
（2）若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？
新课讲解
解：（1）根据“杠杆原理”，得Fl=1 200×0.5，
所以F关于l的函数解析式为 ．
当l=1.5 m时， ．
对于函数 ，当l=1.5 m时，F=400 N，此时杠杆平衡．因此，撬动石头至少需要400 N的力．
新课讲解
（2）对于函数 ，F随l的增大而减小．
因此，只要求出F=200 N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量．
当 时，由 得 ，
3-1.5=1.5(m)．
对于函数 ，当l＞0时，l越大，F越小．
因此，若想用力不超过400 N的一半，则动力臂至少要加长1.5 m．
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某空调厂的装配车间计划组装9 000台空调．
（1）从空调厂组装空调开始，每天组装的台数m（单位：台/天）与生产时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？
（2）原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成，由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天上市，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？
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答案：（1）m= (t＞0)；（2）180．
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电学知识告诉我们，用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位：Ω）有如下关系：PR=U2．这个关系也可写为 或 ．
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例4 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220 Ω．已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图所示．
（1）功率P与电阻R有怎样的函数关系？
（2）这个用电器功率的范围是多少？
U
R
新课讲解
解：（1）根据电学知识，当U=220时，得 ．①
（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．
把电阻的最小值R=110代入①式，得到功率的最大值
；
把电阻的最大值R=220代入①式，得到功率的最小值
．
因此用电器功率的范围为220～440 W．
新课讲解
（1）蓄电池的电压是多少？
（2）请写出这个反比例函数的解析式；
（3）完成下表：
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）和电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如下图所示．
R（Ω） 3 4 6 8 9 10
I（A）
（4）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10 A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
R/Ω
I/A
O
4
9
巩固练习
答案：（1）36 V；
（2） (R＞0)；
（3）依次是12，9，6，4.5，4，3.6；
（4）≥3.6 Ω．
巩固练习
1．一般地，建立反比例函数的解析式有以下两种方法：
（1）待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数的解析式为 ，然后求出k的值即可．
（2）列方程法：若题目所给信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出方程，便得到函数解析式．
课堂小结
2．常见的典型数量关系：
（1）当路程s一定时，时间t与速度v成反比例，即 ；
（2）当三角形的面积S一定时，三角形的底边a与高h成反比例，即 ；
（3）在物理知识中：
①当功W一定时，力F与物体在力F的作用下移动的距离s成反比例，即 ；
课堂小结
②当压力F一定时，压强p与受力面积S成反比例，即 ；
③在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即 ．
④杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．
课堂小结
谢 谢！
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