27.2.2相似三角形的性质（课件）
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(共19张PPT)
相似三角形的性质
人教版 九年级下
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问题1 我们知道，边、角是三角形中重要的几何要素．如果△ABC∽△A'B'C'，由相似的定义，我们可以得到它们的边、角之间存在什么样的关系？
答：如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么
，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
导入新课
三角形中有各种各样的几何量，除边、角之外还有高、中线、角平分线的长度以及周长与面积等，那么相似三角形的这些几何量之间有什么关系呢？这就是我们这节课要探究的问题．
导入新课
问题2 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们的对应高的比是多少？你能证明你的结论吗？
答：对应高的比等于相似比k．
证明：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'．
A′
C′
B′
A
C
B
D
D′
新课讲解
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠B=∠B'．
又△ABD和△A'B'D'都是直角三角形，
∴△ABD∽△A'B'D'．
∴ ．
A′
C′
B′
A
C
B
D
D′
新课讲解
问题3 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们的对应中线，对应角平分线的比是否也等于相似比？其他对应线段呢？
答：相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于相似比，相似三角形对应线段的比等于相似比．
怎样证明这些结论呢？
新课讲解
证明：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，分别作△ABC和△A'B'C'的对应中线AD和A'D'．
A′
C′
B′
A
C
B
D
D′
新课讲解
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠B=∠B'， ．
∴在△ABD与△A'B'D'中，△ABD∽△A'B'D'．
∴ ．
A′
C′
B′
A
C
B
D
D′
新课讲解
证明：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，分别作△ABC和△A'B'C'的对应角平分线AD和A'D'．
A′
C′
B′
A
C
B
D
D′
新课讲解
∴∠BAD= ∠BAC= ∠B'A'C'=∠B'A'D'．
∴在△ABD与△A'B'D'中，△ABD∽△A'B'D'．
∴ ．
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'．
∵AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，
A′
C′
B′
A
C
B
D
D′
新课讲解
问题4 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么△ABC与△A'B'C'的周长比是多少？
解：∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，
∴AB=kA'B'，BC=kB'C'，CA=kC'A'．
∴ ．
结论：相似三角形周长的比等于相似比．
新课讲解
问题5 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，△ABC与△A′B′C′的面积比是多少？
解： ．
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
A′
C′
B′
A
C
B
D
D′
新课讲解
例 如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为 ，求△DEF的边EF上的高和面积．
A
B
C
D
E
F
新课讲解
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB=2DE，AC=2DF，
∴ ．
又∠D=∠A，
∴△DEF∽△ABC，△DEF与△ABC的相似比为 ．
A
B
C
D
E
F
新课讲解
∵△ABC的边BC上的
高为6，面积为 ，
∴△DEF的边EF上
的高为 ，
面积为 ．
A
B
C
D
E
F
新课讲解
1．已知△ABC∽△A'B'C'，且AB︰A'B'=1︰3，则△ABC与△A'B'C'的周长的比等于（ ）．
A．1︰3 B．1︰9 C．3︰1 D．9︰1
2．若两个相似三角形的相似比为3︰1，其中较大的三角形的面积为18，则较小的三角形的面积是______．
A
2
巩固练习
1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
2．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比．
3．相似三角形周长的比等于相似比．
4．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
课堂小结
谢 谢！
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相似三角形的性质
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问题1 我们知道，边、角是三角形中重要的几何要素．如果△ABC∽△A'B'C'，由相似的定义，我们可以得到它们的边、角之间存在什么样的关系？
答：如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么
，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
导入新课
三角形中有各种各样的几何量，除边、角之外还有高、中线、角平分线的长度以及周长与面积等，那么相似三角形的这些几何量之间有什么关系呢？这就是我们这节课要探究的问题．
导入新课
问题2 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们的对应高的比是多少？你能证明你的结论吗？
答：对应高的比等于相似比k．
证明：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD和A'D'．
A′
C′
B′
A
C
B
D
D′
新课讲解
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠B=∠B'．
又△ABD和△A'B'D'都是直角三角形，
∴△ABD∽△A'B'D'．
∴ ．
A′
C′
B′
A
C
B
D
D′
新课讲解
问题3 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们的对应中线，对应角平分线的比是否也等于相似比？其他对应线段呢？
答：相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于相似比，相似三角形对应线段的比等于相似比．
怎样证明这些结论呢？
新课讲解
证明：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，分别作△ABC和△A'B'C'的对应中线AD和A'D'．
A′
C′
B′
A
C
B
D
D′
新课讲解
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠B=∠B'， ．
∴在△ABD与△A'B'D'中，△ABD∽△A'B'D'．
∴ ．
A′
C′
B′
A
C
B
D
D′
新课讲解
证明：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，分别作△ABC和△A'B'C'的对应角平分线AD和A'D'．
A′
C′
B′
A
C
B
D
D′
新课讲解
∴∠BAD= ∠BAC= ∠B'A'C'=∠B'A'D'．
∴在△ABD与△A'B'D'中，△ABD∽△A'B'D'．
∴ ．
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'．
∵AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，
A′
C′
B′
A
C
B
D
D′
新课讲解
问题4 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么△ABC与△A'B'C'的周长比是多少？
解：∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，
∴AB=kA'B'，BC=kB'C'，CA=kC'A'．
∴ ．
结论：相似三角形周长的比等于相似比．
新课讲解
问题5 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，△ABC与△A′B′C′的面积比是多少？
解： ．
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
A′
C′
B′
A
C
B
D
D′
新课讲解
例 如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为 ，求△DEF的边EF上的高和面积．
A
B
C
D
E
F
新课讲解
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB=2DE，AC=2DF，
∴ ．
又∠D=∠A，
∴△DEF∽△ABC，△DEF与△ABC的相似比为 ．
A
B
C
D
E
F
新课讲解
∵△ABC的边BC上的
高为6，面积为 ，
∴△DEF的边EF上
的高为 ，
面积为 ．
A
B
C
D
E
F
新课讲解
1．已知△ABC∽△A'B'C'，且AB︰A'B'=1︰3，则△ABC与△A'B'C'的周长的比等于（ ）．
A．1︰3 B．1︰9 C．3︰1 D．9︰1
2．若两个相似三角形的相似比为3︰1，其中较大的三角形的面积为18，则较小的三角形的面积是______．
A
2
巩固练习
1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
2．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比．
3．相似三角形周长的比等于相似比．
4．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
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