(共25张PPT)
相似三角形的应用举例
人教版 九年级下
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胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.
导入新课
塔的4个斜面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,每边长230多米.据考证,为建成大金字塔,共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米,但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低.
导入新课
在古希腊,有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧”.这在当时条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗?
导入新课
根据已有的生活经验,我们知道:在阳光下,同一时刻,物体的高度与物体的影长存在某种关系:物体的高度越高,物体的影长就越长.在此基础上我们可以得出:在平行光线的照射下,同一时刻,两个物体的高度与影长成比例.
新课讲解
测量金字塔高度问题
例1 据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.
如图,木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,
求金字塔的高度BO.
B
E
A(F)
D
O
新课讲解
分析:根据太阳光的光线是互相平行的特点,可知在同一时刻的阳光下,竖直的两个物体的影子互相平行,从而构造相似三角形,再利用相似三角形的判定和性质,根据已知条件,求出金字塔的高度.
B
E
A(F)
D
O
新课讲解
解:太阳光是平行光线,因此∠BAO=∠EDF,
又∠AOB=∠DFE=90°,
∴△ABO∽△DEF.
∴ .
∴ (m).
因此金字塔的高度为134 m.
B
E
A(F)
D
O
新课讲解
A
F
E
B
O
还可以用其他方法测量吗?
如图,△ABO∽△AEF
平面镜
新课讲解
2.测量河宽问题
例2 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线
b的交点R.已测得QS=45 m,
ST=90 m,QR=60 m,请根据
这些数据,计算河宽PQ.
Q
R
S
T
a
b
P
新课讲解
分析:利用三角形中的平行截线可得相似三角形,然后根据相似三角形的性质可得关于河宽PQ的方程,解方程可以求出河宽.
Q
R
S
T
a
b
P
新课讲解
解:∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P,
∴△PQR∽△PST.
∴ ,
即 , ,
PQ×90=(PQ+45)×60.解得PQ=90(m).
因此,河宽大约为90 m.
Q
R
S
T
a
b
P
新课讲解
你还可以用什么方法来测量河的宽度?
解:构造如下图所示的相似三角形.
∵∠ACB=∠PCQ,
∠BAC=∠PQC=90°,
∴△CBA∽△CPQ.
∴ .
∴ .
B
A
C
Q
P
新课讲解
3.盲区问题
例3 如图,左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8 m和CD=12 m,两树底部的距离BD=5 m,一个人估计自己眼睛距地面1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进,当她与
左边较低的树的距离小于多少时,就
看不到右边较高的树的顶端C了?
A
B
C
D
l
Ⅰ
Ⅱ
(1)
新课讲解
F
分析:如图(1),设观察者眼睛的位置为点F,画出观察者的水平视线FG,分别交AB,CD于点H,K.
视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时
的仰角.类似地,∠CFK是观察点C时的仰
角.
由于树的遮挡,区域Ⅰ和Ⅱ都是
观察者看不到的区域(盲区).
A
B
C
D
l
Ⅰ
Ⅱ
(1)
K
G
H
新课讲解
解:如图(2),假设观察者从左向右走到点E时,她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端点A,C恰在一条直线上.
∵AB⊥l,CD⊥l,
∴AB//CD.
∴△AEH∽△CEK.
∴ ,
A
B
C
D
E
K
G
l
Ⅰ
Ⅱ
H
(2)
新课讲解
即 .
解得EH=8(m).
由此可知,如果观察者继续前进,当她与左边的树的距离小于8 m时,由于这棵树的遮挡,
她看不到右边树的顶端C.
A
B
C
D
E
K
G
l
Ⅰ
Ⅱ
H
(2)
新课讲解
1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比,在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为90米,那么高楼的高度是多少米?
巩固练习
解:画出示意图,如图所示,
由题意可得△ABC∽△A'B'C'.
∴ ,
即 .
解得A'C'=54(m).
答:这栋楼的高度是54 m.
A
B
C
1.8 m
3 m
A'
B'
C'
90 m
?
巩固练习
2.小明想利用树影测量树高(AB),他在某一时刻测得长为1 m的竹竿的影长为0.9 m,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子落在墙(CD)上,如下图.他先测得留在墙上的影高(CD)为1.2 m,又测得地面部分的影长(BC)为2.7 m,
他测得的树高应为多少米?
D
C
B
A
巩固练习
解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,
因此BE=CD=1.2 m,DE=BC=2.7 m.
由 ,得AE=3(m).
所以AB=AE+EB=3+1.2=4.2(m).
D
C
B
A
E
巩固练习
1.测量高度
测量无法直接到达顶部的物体的高度时,通常利用相似三角形的性质来解决.
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离时,常构造下面的两种相似三角形进行求解:
课堂小结
(2)“X”型图,如下图所示.
(1)“A”型图,如下图所示.
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
课堂小结
谢 谢!
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