28.2 解直角三角形及其应用 第二课时（课件）
文档属性
| 名称 | 28.2 解直角三角形及其应用 第二课时（课件） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-01-30 09:33:07 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
解直角三角形应用举例
人教版 九年级下
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观看视频：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．
这是让所有中国人骄傲的伟大的科研成果，其中就含有关于解直角三角形的相关问题，那么解直角三角形的依据是什么呢？
答：（1）勾股定理；（2）直角三角形的两锐角互余；（3）在直角三角形中，应用锐角三角函数的知识．
新课讲解
把握了直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决与直角三角形有关的实际问题了，这节课我们就学习“解直角三角形的应用”．
新课讲解
例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．
“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)？
新课讲解
（1）如何理解从组合体中能直接看到的地球表面的最远点？
答：是视线与地球相切时的切点．
新课讲解
（2）你能根据题意画出示意图吗？
答：如图，FQ切⊙O于点Q，FO交⊙O于点P．
（3）如上图，最远点Q与P点的距离是线段PQ的长吗？为什么？
新课讲解
答：不是，地球是圆的，最远点Q与P点的距离是
的长．
（4）上述问题实质是已知什么？要求什么？
答：已知Rt△FOQ中的FO和OQ，求∠FOQ，并进而求⊙O中 的长．
新课讲解
∴ ．
解：设∠POQ=α，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
∵ ，
∴ 的长为 ．
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2 051 km．
新课讲解
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？
新课讲解
如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．
新课讲解
（1）如何根据题意画出示意图？
解：如下图．
新课讲解
（2）“热气球与楼的水平距离”如何表示？
答：过点A作BC的垂线段AD，则线段AD的长即为120 m．
（3）结合示意图，问题已知什么？要求什么？
答：已知α=30°，β=60°，AD=120 m，求BC的长．
（4）你能用不同方法解决这个问题吗？
答：方法1：利用正切先求出BD的长，再求CD的长；方法2：先求出AB，AC的长，再利用勾股定理求出BC的长．
新课讲解
（5）联系例1，例2在图形上有何变化？
答：例1中只有一个直角三角形，而例2中有两个直角三角形，且这两个直角三角形在公共的直角边的两侧．
新课讲解
∴ (m)．
解：如图，α=30°，β=60°，AD=120．
∵ ， ，
∴BD=AD·tanα=120×tan30° ，
CD=AD·tanβ=120×tan60° ．
因此，这栋楼高约为277 m．
新课讲解
例3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
新课讲解
分析：方向角通常是以南北方向线为主，一般习惯说成“南偏东（西）”或“北偏东（西）”；观测点不同，所得的方向角也不同．
解：如图，在Rt△APC中，
PC=PA·cos(90°-65°)
=80×cos25°
≈72.505．
新课讲解
在Rt△BPC中，∠B=34°，
∵ ，∴ ．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile．
新课讲解
例4 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=1︰1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1︰3是指DE与CE的比．根据图中数据，求：（1）坡角α和β的度数；
（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）．
新课讲解
如下图，BC表示水平面，AB表示坡面，我们把水平面BC与坡面AB所形成的∠ABC称为坡角．
一般地，线段BC的长度称为斜坡AB的水平宽度，线段AC的长度称为斜坡AB的铅直高度．坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），用i表示，记作i=h︰l，坡度通常写成h︰l的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．
新课讲解
于是 =tanα．显然，坡度越大，α越大．
注意：（1）坡度i不是坡角的度数，它是坡角α的正切值，即i=tan α；
（2）坡度i也叫坡比，即 ，一般写成1︰m的形式．
新课讲解
解：（1）由已知，得 ， ．
故α≈33°41′24″，β≈18°26′6″．
（2）在Rt△ABF中，因为 ，
所以 (m)．
新课讲解
1．如图，某拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2 m，并保持坝顶宽度不变，但背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5（有关数据在图上已注明），求加高后的坝底HD的长为多少？
巩固练习
解：由题意，得MN=EF=3.2+2=5.2，NF=6.
在Rt△HNM与Rt△EFD中，MN∶HN=1∶2.5，EF∶FD=1∶2，∴HN=13，DF=10.4．
∴HD=HN+NF+FD=29.4．
因此加高后的坝底HD的长为29.4米．
巩固练习
2．如图，某船向正东方向航行，在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向．已知该岛周围6海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由（参考数据： ≈1.732）．
巩固练习
解：该船继续向东行驶，有触礁的危险．
过点C作CD垂直AB的延长线于点D，
∵∠CAB=30°，∠CBD=60°，
∴∠BCD=30°.
设CD的长为x，则tan∠CBD= ，
∴
BD= ．
巩固练习
∴tan∠CAB=tan 30°= ，∴x= ．
而x≈5.2＜6，∴继续向东行驶，有触礁的危险．
巩固练习
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
课堂小结
谢 谢！
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解直角三角形应用举例
人教版 九年级下
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观看视频：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．
这是让所有中国人骄傲的伟大的科研成果，其中就含有关于解直角三角形的相关问题，那么解直角三角形的依据是什么呢？
答：（1）勾股定理；（2）直角三角形的两锐角互余；（3）在直角三角形中，应用锐角三角函数的知识．
新课讲解
把握了直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决与直角三角形有关的实际问题了，这节课我们就学习“解直角三角形的应用”．
新课讲解
例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．
“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)？
新课讲解
（1）如何理解从组合体中能直接看到的地球表面的最远点？
答：是视线与地球相切时的切点．
新课讲解
（2）你能根据题意画出示意图吗？
答：如图，FQ切⊙O于点Q，FO交⊙O于点P．
（3）如上图，最远点Q与P点的距离是线段PQ的长吗？为什么？
新课讲解
答：不是，地球是圆的，最远点Q与P点的距离是
的长．
（4）上述问题实质是已知什么？要求什么？
答：已知Rt△FOQ中的FO和OQ，求∠FOQ，并进而求⊙O中 的长．
新课讲解
∴ ．
解：设∠POQ=α，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
∵ ，
∴ 的长为 ．
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2 051 km．
新课讲解
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？
新课讲解
如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．
新课讲解
（1）如何根据题意画出示意图？
解：如下图．
新课讲解
（2）“热气球与楼的水平距离”如何表示？
答：过点A作BC的垂线段AD，则线段AD的长即为120 m．
（3）结合示意图，问题已知什么？要求什么？
答：已知α=30°，β=60°，AD=120 m，求BC的长．
（4）你能用不同方法解决这个问题吗？
答：方法1：利用正切先求出BD的长，再求CD的长；方法2：先求出AB，AC的长，再利用勾股定理求出BC的长．
新课讲解
（5）联系例1，例2在图形上有何变化？
答：例1中只有一个直角三角形，而例2中有两个直角三角形，且这两个直角三角形在公共的直角边的两侧．
新课讲解
∴ (m)．
解：如图，α=30°，β=60°，AD=120．
∵ ， ，
∴BD=AD·tanα=120×tan30° ，
CD=AD·tanβ=120×tan60° ．
因此，这栋楼高约为277 m．
新课讲解
例3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
新课讲解
分析：方向角通常是以南北方向线为主，一般习惯说成“南偏东（西）”或“北偏东（西）”；观测点不同，所得的方向角也不同．
解：如图，在Rt△APC中，
PC=PA·cos(90°-65°)
=80×cos25°
≈72.505．
新课讲解
在Rt△BPC中，∠B=34°，
∵ ，∴ ．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile．
新课讲解
例4 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=1︰1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1︰3是指DE与CE的比．根据图中数据，求：（1）坡角α和β的度数；
（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）．
新课讲解
如下图，BC表示水平面，AB表示坡面，我们把水平面BC与坡面AB所形成的∠ABC称为坡角．
一般地，线段BC的长度称为斜坡AB的水平宽度，线段AC的长度称为斜坡AB的铅直高度．坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），用i表示，记作i=h︰l，坡度通常写成h︰l的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．
新课讲解
于是 =tanα．显然，坡度越大，α越大．
注意：（1）坡度i不是坡角的度数，它是坡角α的正切值，即i=tan α；
（2）坡度i也叫坡比，即 ，一般写成1︰m的形式．
新课讲解
解：（1）由已知，得 ， ．
故α≈33°41′24″，β≈18°26′6″．
（2）在Rt△ABF中，因为 ，
所以 (m)．
新课讲解
1．如图，某拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2 m，并保持坝顶宽度不变，但背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5（有关数据在图上已注明），求加高后的坝底HD的长为多少？
巩固练习
解：由题意，得MN=EF=3.2+2=5.2，NF=6.
在Rt△HNM与Rt△EFD中，MN∶HN=1∶2.5，EF∶FD=1∶2，∴HN=13，DF=10.4．
∴HD=HN+NF+FD=29.4．
因此加高后的坝底HD的长为29.4米．
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2．如图，某船向正东方向航行，在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向．已知该岛周围6海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由（参考数据： ≈1.732）．
巩固练习
解：该船继续向东行驶，有触礁的危险．
过点C作CD垂直AB的延长线于点D，
∵∠CAB=30°，∠CBD=60°，
∴∠BCD=30°.
设CD的长为x，则tan∠CBD= ，
∴
BD= ．
巩固练习
∴tan∠CAB=tan 30°= ，∴x= ．
而x≈5.2＜6，∴继续向东行驶，有触礁的危险．
巩固练习
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
课堂小结
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