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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
选修4-1 第1讲 相似三角形的判定及有关性质
考纲剖析
1.了解平行线等分线段定理和平行截割定理；
2.掌握相似三角形的判定定理及性质定理；
3.理解直角三角形射影定理．
知识回顾
1．平行截割定理
(1)平行线等分线段定理
如果一组 在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也 ．
(2)平行线分线段成比例定理
①定理：三条平行线截两条直线，所得的 成比例．
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的 成比例．
2．相似三角形的判定与性质
(1)相似三角形的判定定理
①两角对应相等的两个三角形相似．
②两边对应 并且夹角相等的两个三角形相似．
③三边对应 例的两个三角形相似．
(2)相似三角形的性质定理
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 ．
②相似三角形周长的比等于 ．
③相似三角形面积的比等于 ．
3．直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是 边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们
在 上射影与 的比例中项．
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，
则有CD2＝ ，
AC2＝ ，BC2＝ .
精讲方法
一、相似三角形的判定及有关性质
（一）平行线（等）分线段成比例定理的应用
利用平行截割定理解决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果．
（二）相似三角形判定定理的应用
判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．
（三）相似三角形性质定理的应用
相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．
（四）直角三角形射影定理的应用
(1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．
(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法．
小结
(1)证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．21教育网
(2)在有多个结论的题目中，如果结论带有普遍性，已经证明的结论，可作为证明下一个结论成立的条件使用．21cnjy.com
例题精讲
考点一 平行截割定理的应用
【例题1】 如图所示，△ABC内接于圆O，D是 的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E，F．
2·1·c·n·j·y
（1）求证：BF是△ABE外接圆的切线；
（2）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．
【答案】（1）解：设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，
则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．
因为AF平分∠BAC，
所以 ，
所以∠FBE=∠BAE，
所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°，
所以O′B⊥BF，
所以BF是△ABE外接圆的切线
（2）解：连接DF，则DF⊥BC，
所以DF是圆O的直径，
因为BD2+BF2=DF2 ， DA2+AF2=DF2 ，
所以BD2﹣DA2=AF2﹣BF2 ．
因为AF平分∠BAC，
所以△ABF∽△AEC，
所以 ，
所以AB AC=AE AF=（AF﹣EF） AF，
因为∠FBE=∠BAE，
所以△FBE∽△FAB，从而BF2=FE FA，
所以AB﹣AC=AF2﹣BF2 ，
所以BD2﹣DA2=AB AC=6
【来源：21·世纪·教育·网】
【考点】平行截割定理，圆周角定理
【解析】【分析】（1）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE，可证∠FBE=∠BAE，进而证明∠FBG=90°，即可得证BF是△ABE外接圆的切线．（2）连接DF，则DF⊥BC，由勾股定理可得BD2﹣DA2=AF2﹣BF2 ， 利用相似三角形的性质可得AB AC=AE AF=（AF﹣EF） AF，由△FBE∽△FAB，从而BF2=FE FA，得AB﹣AC=AF2﹣BF2 ， 进而可求BD2﹣DA2=AB AC=6．
【变式训练1】如图，已知AD∥BE∥CF，下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
考点二 相似三角形的判定及性质
【例题2】如图，已知AD、BE、CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点G．
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（1）求证：∠CHG=∠ABC；
（2）求证：AB GD=AD HC．
【答案】（1）证明：∵AD、CF分别是△ABC三边的高，
∴AD⊥BC，CF⊥AB，
即有∠HDB=∠HFB=90°，
可得四点H，F，B，D共圆，
由圆内接四边形的性质可得，
∠CHG=∠ABC．
（2）证明：连结CG，
∵∠ABC与∠AGC同弧圆周角，
∴∠ABC=∠AGC，
∵∠CHG=∠ABC，
∴∠CHG=∠AGC，
∴GC=HC，
在Rt△ADB和Rt△GDC中，
∵∠ABC=∠AGC，即∠ABD=∠CGD，
∴Rt△ADB∽Rt△GDC，
∴ ，
∴AB GD=AD GC，
又∵GC=HC，
∴AB GD=AD HC．
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【考点】相似三角形的性质，与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）由三角形的高的定义，可得∠HDB=∠HFB=90°，则四点H，F，B，D共圆，由圆内接四边形的性质，即可得证；（2）连结CG，由同弧所对圆周角相等，证得Rt△ADB∽Rt△GDC，由相似三角形的性质：对应边成比例，即可得证．
【变式训练2】如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E，若PA=2PB=10．
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（1）求证：AC=2AB；
（2）求AD DE的值．
考点三 直角三角形射影定理及其应用
【例题3】选修4﹣1：几何证明选讲
如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，
求证：BE BF=BC BD．
2-1-c-n-j-y
【答案】证明：
证法一：连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG∥AD
∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB
∴∠CEB=∠FDB
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角
∴△BCE∽△BDF∴ ，
即BE BF=BC BD
证法二：连续AC、AE，∵AB是直径，AC是切线
∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF
由射线定理有AB2=BC BD，AB2=BE BF
∴BE BF=BC BD 【来源：21cnj*y.co*m】
【考点】直角三角形的射影定理
【解析】【分析】证法一做出辅助线，根据两条线平行，同位角相等，得到两个角相等，在根据同弧所对的圆周角等于弦切角，得到两个三角形相似，得到对应边成比例．
证法二，做出辅助线，根据直径所对的圆周角是一个直角，根据射影定理得到AB2=BC BD，AB2=BE BF，根据等量代换得到结论。
【变式训练3】.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=， BC=26．
求：（1）cos∠DAC的值；
（2）线段AD的长．
真题精析
一、解答题
1.（2017 江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（Ⅰ）∠PAC=∠CAB；
（Ⅱ）AC2 =AP AB．
2.（2013 江苏）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．
求证：AC=2AD．
3.(2015·江苏）（选修4—1：几何证明选讲）
如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆圆O的弦AE交BC于点D ， 求证：△ABD∽△AEB。
二、填空题
4.（2014 广东）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则 =________．
5.（2013 湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则 的值为________．
6.（2015·湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.
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三、综合题
7.（2014 新课标II）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（1）BE=EC；
（2）AD DE=2PB2 ．
模拟题精练
一、单选题
1.直线l在平面α上的正射影是（ ）
A. 点 B. 线段 C. 直线 D. 点或直线21·cn·jy·com
2.Rt△ABC的斜边BC在平面α内,则△ABC的两条直角边在平面α内的正射影与斜边组成的图形只能是（ ） 21*cnjy*com
A. 一条线段 B. 一个锐角三角形或一条线段
C. 一个钝角三角形或一条线段 D. 一条线段或一个钝角三角形
3.直角△A1B1C1的斜边为A1B1 ， 面积为S1 ， 直角△A2B2C2的斜边为A2B2 ， 面积为S2 ， 若△A1B1C1∽△A2B2C2 ， A1B1：A2B2=1：2，则S1：S2等于（ ）
A. 2：1 B. 1：2 C. 1： D. 1：4
4.如图，已知圆的直径AB=13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于点D（AD＞BD），若CD=6，则AD的长为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
5.如图所示，已知DE∥BC，EF：BF=2：3，则AD：AB=（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 2：5
6.如图，圆内接四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，在图中全等三角形的对数为（ ）
【出处：21教育名师】
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
7.两条异面直线m和n在平面α上的平行射影是（ ）
A. 一条直线和直线外一个点 B. 两条相交直线
C. 两条平行直线 D. 以上都有可能
8.如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，若△AEF的面积等于2cm2 ， 则△CDF的面积等于（ ）
A. 16 cm2 B. 18 cm2 C. 20 cm2 D. 22 cm2
9.如图，在△ABC中，M是AC的中点，点E在AB上，且AE=AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D，则BC：CD=（ ）
A. 2：1 B. 3：1 C. 3：2 D. 4：1
10.在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC边的中点，AE⊥AD，AE交CB的延长线于E，则下面结论中正确的是（ ）
A. △AED∽△ACB B. △AEB∽△ACD
C. △BAE∽△ACE D. △AEC∽△DAC
11.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
12.两条相交直线的平行射影是（ ）
A. 两条相交直线 B. 一条直线
C. 一条折线 D. 两条相交直线或一条直线
二、填空题
13.（几何证明选做题）
如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=________．
14.如图，△ABC中，边AC上一点F分AC为 = ，BF上一点G分BF为 = ，AG的延长线与BC交于点E，则BE：EC=________
15.将边长为2，一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F分别为AC，BD的中点，则下列命题中正确的是________ ．
①EF∥AB；
②EF⊥BD；
③EF有最大值，无最小值；
④当四面体ABCD的体积最大时，AC=；
⑤AC垂直于截面BDE． www.21-cn-jy.com
16.若两个相似三角形的周长比为3：4，则它们的三角形面积比是________．
三、综合题
17.如图，△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，O为线段AB上一点，BD平分∠ABC，且OD∥BC．
（1）证明：A，B，C，D四点共圆，且O为圆心；
（2）AC与BD相交于点F，若BC=2CF=6，AF=5，求C，D之间的距离．
18.如图，直线PA与圆切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，点B在圆上，且∠PAC=∠BCD．
（1）求证：∠PCA=∠BAC；
（2）若PC=2AB=2，求 ．
19.如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2．
（1）求△AEF与△CDF的周长比；
（2）如果△AEF的面积等于6cm2 ， 求△CDF的面积．
20.如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．
（1）求证：AD∥OC；
（2）若圆O的半径为2，求AD OC的值．
21.如图,已知DA⊥平面ABC,△ABC是斜三角形,点A'是点A在平面BCD上的正射影,求证:点A'不可能是△BCD的垂心.
22.如图所示，D为△ABC的外接圆 的中点，点O在AD上，且OD=BD，AD与BC相交于E．
（I）证明；AD，OD，DE三条线段长成等比数列；
（Ⅱ）若点O到AB的距离为2，试求△ABC的内切圆的面积．
23.如图，已知梯形ABCD内接于圆O，AB∥CD，过点D作圆的切线交CA的延长线于点F，且DF∥BC，如果CA=5，BC=4．
（Ⅰ） 求证：△AFD～△BCA；
（Ⅱ） 求CD的长．
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24.在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．
（1）求证：；
（2）若AC=3，求AP AD的值．
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25.如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．
（1）求证：AD∥OC；
（2）若圆O的半径为2，求AD OC的值．
26.如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE=EC，BD、AE相交于F点，
（1）求△BEF与△AFD的周长之比；
（2）若S△BEF=6cm2 ， 求S△AFD ．
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
选修4-1 第1讲 相似三角形的判定及有关性质（答案）
知识回顾
1．平行截割定理
(1)平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
(2)平行线分线段成比例定理
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
2．相似三角形的判定与性质
(1)相似三角形的判定定理
①两角对应相等的两个三角形相似．
②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似．
③三边对应成比例的两个三角形相似．
(2)相似三角形的性质定理
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
②相似三角形周长的比等于相似比．
③相似三角形面积的比等于相似比的平方．
3．直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，
则有CD2＝AD·BD，
AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.
例题精讲
考点一 平行截割定理的应用
【变式训练1】如图，已知AD∥BE∥CF，下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】平行截割定理
【解析】【解答】证明：∵AD∥BE∥CF，
∴根据平行截割定理，可得
∴
故选D．
【分析】根据平行截割定理，可得， 从而可得结论．
考点二 相似三角形的判定及性质
【变式训练2】如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E，若PA=2PB=10．
【版权所有：21教育】
（1）求证：AC=2AB；
（2）求AD DE的值．
【答案】（1）解：∵PA是圆O的切线∴∠PAB=∠ACB又∠P是公共角
∴△ABP∽△CAP
∴ ∴AC=2AB
（2）解：由切割线定理得：PA2=PB PC∴PC=20
又PB=5∴BC=15
又∵AD是∠BAC的平分线∴
∴CD=2DB∴CD=10，DB=5…（8分）
又由相交弦定理得：AD DE=CD DB=50 21教育名师原创作品
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）通过证明△ABP∽△CAP，然后证明AC=2AB；（2）利用切割线定理以及相交弦定理直接求AD DE的值．21教育网
考点三 直角三角形射影定理及其应用
【变式训练3】.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=， BC=26．
求：（1）cos∠DAC的值；
（2）线段AD的长．
【答案】解：（1）由cosB=和BC=26，可求得，AB=10
可证得：∠ACB=∠ACD=∠DAC，由勾股定理可求得AC=24，
∴cos∠DAC=cos∠ACB==．
（2）取AC中点E，连接DE，AE=12，cos∠DAC=．
由等腰△ADC三线合一得DE⊥AC，
∴Rt△AED中AD==13
【考点】直角三角形的射影定理
【解析】【分析】（1）在RT△BAC中求出AB，AC，利用∠ACB=∠ACD=∠DAC，求出cos∠DAC．
（2）取AC中点E，连接DE，在Rt△AED中AD= 求解即可。
真题精析
一、解答题
1.（2017 江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（Ⅰ）∠PAC=∠CAB；
（Ⅱ）AC2 =AP AB．
【答案】证明：（Ⅰ）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．
∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．
∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．
∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，
∴∠PAC=∠CAB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC∽△ACB，
∴ = ．
∴AC2 =AP AB．
【考点】相似三角形的判定，相似三角形的性质，弦切角，与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（Ⅰ）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC∽△ACB，即可证明．
2.（2013 江苏）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．
求证：AC=2AD．
【答案】证明：连接OD．
因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADO=∠ACB=90°
又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，
所以 ，
因为BC=2OC=2OD．
所以AC=2AD．
【考点】相似三角形的判定，相似三角形的性质，圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得 ，结合BC=2OC=2OD，即可证明结论．
3.(2015·江苏）（选修4—1：几何证明选讲）
如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆圆O的弦AE交BC于点D ， 求证：△ABD∽△AEB。
【答案】详见解析。
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】证明 因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.
【分析】利用等弦对等角，同弧对等角，得到证明 因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠E. 又∠BAE为公共角，所以两三角形相似。
1.判定两个三角形相仪的常规思路(1)先找两对对应角相等;(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例;(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相f以三角形的“传递性”.
2.借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相仪;(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例，(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边.www.21-cn-jy.com
二、填空题
4.（2014 广东）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则 =________．
【答案】9
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，
∴ = ，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△CDF∽△AEF，
∴ =（ ）2=9．
故答案为：9．
【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得 = ，利用△CDF∽△AEF，可求 ．
5.（2013 湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则 的值为________．
【答案】8
【考点】直角三角形的射影定理，与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，
∵AB=3AD，
∴AD=2x，BD=4x，OD=x
又∵点C在直径AB上的射影为D，
在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD BD=8x2 ，
在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE OC=x2 ， CD2=CE OC=8x2 ，
故 = =8
故答案为：8
【分析】设圆O的半径为3x，根据射影定理，可以求出OD2=OE OC=x2 ， CD2=CE OC=8x2 ， 进而得到 的值．
6.（2015·湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的
方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.
【答案】
【考点】任意角的三角函数的定义，三角函数的定义域，解三角形的实际应用，直角三角形的射影定理
【解析】【解答】依题意，,在中，由，所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，,所以,所以m。
【点评】本题是空间四面体问题，不能把四边形ABCD看成平面上的四边形.
三、综合题
7.（2014 新课标II）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
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（1）BE=EC；
（2）AD DE=2PB2 ．
【答案】（1）证明：连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，
∵PC=2PA，D为PC的中点，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，
∴OE⊥BC，
∴E是 的中点，
∴BE=EC；
（2）证明：∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，
∴PA2=PB PC，
∵PC=2PA，
∴PA=2PB，
∴PD=2PB，
∴PB=BD，
∴BD DC=PB 2PB，
∵AD DE=BD DC，
∴AD DE=2PB2 ． 21·cn·jy·com
【考点】相似三角形的判定，与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是 的中点，从而BE=EC；（2）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD DE=2PB2 ．
模拟题精练
一、单选题
1.直线l在平面α上的正射影是（ ）
A. 点 B. 线段 C. 直线 D. 点或直线www-2-1-cnjy-com
【答案】D
【考点】直角三角形的射影定理
【解析】【解答】当l⊥α时,正射影是一个点,否则是一条直线【分析】本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影结合所给直线分析即可
2.Rt△ABC的斜边BC在平面α内,则△ABC的两条直角边在平面α内的正射影与斜边组成的图形只能是（ ）
A. 一条线段 B. 一个锐角三角形或一条线段
C. 一个钝角三角形或一条线段 D. 一条线段或一个钝角三角形
【答案】D
【考点】直角三角形的射影定理
【解析】解答：①当顶点A在平面α内的正射影A'在BC所在直线上时,两条直角边在平面α内的正射影是一条线段,与斜边组成的图形是线段,如图①.
②当顶点A在平面α内的正射影A'不在BC所在直线上时,如图②.
∵AA'⊥α,∴AA'⊥A'B,AA'⊥A'C.
∴A'B
在Rt△ABC中,AB2+AC2=BC2,
∴BC2>A'B2+A'C2.
∴A'B2+A'C2-BC2<0.∴∠BA'C为钝角,
∴△A'BC为钝角三角形.
分析：本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合所给几何关系分析即可
3.直角△A1B1C1的斜边为A1B1， 面积为S1， 直角△A2B2C2的斜边为A2B2， 面积为S2， 若△A1B1C1∽△A2B2C2， A1B1：A2B2=1：2，则S1：S2等于（ ）
A. 2：1 B. 1：2 C. 1： D. 1：4
【答案】D
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△A1B1C1∽△A2B2C2 ， A1B1：A2B2=1：2，
∴S1：S2=1：4．
故选：D．
【分析】利用三角形相似，面积比等于相似比的平方，即可得出结论．
4.如图，已知圆的直径AB=13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于点D（AD＞BD），若CD=6，则AD的长为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【考点】直角三角形的射影定理
【解析】【解答】解：∵圆的直径AB=13cm，C为圆上的一点，
∴AC⊥BC．
又CD⊥AB，垂足为D，且CD=6cm，
∴CD2=AD BD，
即36=AD（13﹣AD），
整理，得AD2﹣13AD+36=0，
解得AD=4，或AD=9．
结合图形得到AD=9．
故选：B．
【分析】由射影定理得CD2=AD BD，由此能求出AD的长．21世纪教育网版权所有
5.如图所示，已知DE∥BC，EF：BF=2：3，则AD：AB=（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 2：5
【答案】C
【考点】平行线分线段成比例定理
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，
∴AD：AB=DE：BC=EF：BF=2：3，
故选：C．
【分析】由DE与BC平行，得到两对三角形相似，由相似得比例即可求出所求之比．
6.如图，圆内接四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，在图中全等三角形的对数为（ ）
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
【答案】B
【考点】平行线等分线段定理
【解析】【解答】解：如图所示，
∵AD∥BC，∴ ，
∴AB=DC，即四边形ABCD是等腰梯形．
∴△ABC≌△DCA，△ABE≌△DCE，△ABC≌△DCB．
共有3对全等三角形．
故选B．
【分析】利用AD∥BC，可得， 于是AB=DC，即四边形ABCD是等腰梯形．进而得到全等三角形的对数．21cnjy.com
7.两条异面直线m和n在平面α上的平行射影是（ ）
A. 一条直线和直线外一个点 B. 两条相交直线
C. 两条平行直线 D. 以上都有可能
【答案】D
【考点】直角三角形的射影定理
【解析】【解答】当m和n中有一条直线与投影方向平行时,它们的平行射影是一个点和一条直线;否则是两条平行直线或相交直线.【分析】本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质分析即可
8.如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，若△AEF的面积等于2cm2 ， 则△CDF的面积等于（ ）
A. 16 cm2 B. 18 cm2 C. 20 cm2 D. 22 cm2
【答案】B
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形ABCD中，
有△AEF～△CDF
∴△AEF与△CDF的面积之比等于对应边长之比的平方，
∵AE：EB=1：2，
∴AE：CD=1：3
∵△AEF的面积等于2cm2 ，
∴△CDF的面积等于18cm2
故选：B．
【分析】根据平行四边形对边平行，得到两个三角形相似，根据两个三角形相似，知道这两个三角形的面积之比等于边长之比的平方，做出两个三角形的边长之比，根据△AEF的面积等于1cm2 ， 得到要求的三角形的面积．【来源：21·世纪·教育·网】
9.如图，在△ABC中，M是AC的中点，点E在AB上，且AE=AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D，则BC：CD=（ ）
A. 2：1 B. 3：1 C. 3：2 D. 4：1
【答案】A
【考点】平行线分线段成比例定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CF∥AB交DE于点F．
∴ ，
又 ，
∴ ．
∵CF∥AB，
∴．
∴．
故选：A．
【分析】如图所示，过点C作CF∥AB交DE于点F．可得， 由， 可得． 又 ． 即可得出．
10.在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC边的中点，AE⊥AD，AE交CB的延长线于E，则下面结论中正确的是（ ）
A. △AED∽△ACB B. △AEB∽△ACD
C. △BAE∽△ACE D. △AEC∽△DAC
【答案】C
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，D是BC中点，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C，
又∵AE⊥AD，
∴∠EAB+∠BAD=90°，∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠EAB=∠DAC，
∴∠EAB=∠C，
而∠E是公共角，
∴△BAE∽△ACE
故选C．
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DA=DC，则∠DAC=∠C，再利用等角的余角相等得到∠EAB=∠DAC，从而有∠EAB=∠C，再加上公共角即可判断△BAE∽△ACE．
11.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
【答案】C
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，DC∥AB
∴△ADF∽△EBA∽△ECF
则图中共有相似三角形有三对，
故选C．
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中的相似三角形的对数．
12.两条相交直线的平行射影是（ ）
A. 两条相交直线 B. 一条直线
C. 一条折线 D. 两条相交直线或一条直线【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】D
【考点】直角三角形的射影定理
【解析】【解答】两条相交直线确定一个平面,若这个平面与投影方向不平行,则两条相交直线的平行射影为两条相交直线.若这个平面与投影方向平行,则两条相交直线的平行射影为一条直线.【分析】本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的性质结合直线相交的关系分析即可21·世纪*教育网
二、填空题（共4题；共4分）
13.（几何证明选做题）
如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=________．
【答案】
【考点】相似三角形的判定，相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，
且在圆中∠BCD=∠BAD ∠PED=∠BAD，
△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2
PE2=PA PD=3×2=6，
∴PE= ．
故答案为： ．
【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE，列出比例关系，即可求解PE的值．
14.如图，△ABC中，边AC上一点F分AC为 = ，BF上一点G分BF为 = ，AG的延长线与BC交于点E，则BE：EC=________
【答案】3：5
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：作FD∥BC
∴△BEG∽△FDG
∴DF：BE=FG：BG=2：3
∵AF：FC=2：3
∴DF：EC=AF：AC=2：5
∴BE：EC=3：5．
故答案为：3：5．
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．
15.将边长为2，一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F分别为AC，BD的中点，则下列命题中正确的是________ ．
①EF∥AB；
②EF⊥BD；
③EF有最大值，无最小值；
④当四面体ABCD的体积最大时，AC=；
⑤AC垂直于截面BDE．
【答案】②④⑤
【考点】平行线等分线段定理
【解析】【解答】解：如图：由题意得，EF与AB是异面直线，故①不正确．
由等腰三角形的中线性质得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，
又EF 面ACF，
∴EF⊥BD，故②正确．
EF是等腰三角形FAC的底边上的中线，∴EF⊥AC，由于 FA=FC= ，
斜边AC的长度不定，
故 EF无最大值，也无最小值，故③不正确．
当四面体ABCD的体积最大时，因为等边△ABD的面积为定值，
故面CBD⊥面ABD时，CF为四面体的高，AC= ， 故④正确．
由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故⑤正确．
综上，②④⑤正确，
故答案为 ②④⑤．
【分析】画出图形，利用翻折前后线面关系，角的关系，逐一分析各个选项的正确性，把正确的选项找出来．2·1·c·n·j·y
16.若两个相似三角形的周长比为3：4，则它们的三角形面积比是________．
【答案】9：16
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为3：4，
∴两个相似三角形的相似比为3：4，
∴两个相似三角形的面积比为9：16，
故答案为：9：16．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．21*cnjy*com
三、综合题
17.如图，△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，O为线段AB上一点，BD平分∠ABC，且OD∥BC． 【出处：21教育名师】
（1）证明：A，B，C，D四点共圆，且O为圆心；
（2）AC与BD相交于点F，若BC=2CF=6，AF=5，求C，D之间的距离．
【答案】（1）证明：因为△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形， 所以A，B，C，D四点都在以AB为直径的圆上．
因为BD平分∠ABC，且OD∥BC，
所以∠OBD=∠CBD=∠ODB，OB=OD．
又∠OAD+∠OBD=90°，∠ODA+∠ODB=90°，
所以∠OAD=∠ODA，OA=OD．
所以OA=OB，O是AB的中点，O为圆心
（2）解：由BC=2CF=6，得BF=3 ， 由Rt△ADF∽Rt△BCF得 =2．
设AD=2DF=2x，则AF= x，
由BD平分∠ABC得 =2，
所以 =2，解得x= ，即AD=2 ．
连CD，由（1），CD=AD=2
【考点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，可得A，B，C，D四点都在以AB为直径的圆上，证明O是AB的中点，可得O为圆心；（2）由Rt△ADF∽Rt△BCF得 =2，由BD平分∠ABC得 =2，求出AD，即可得出结论．
18.如图，直线PA与圆切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，点B在圆上，且∠PAC=∠BCD．
（1）求证：∠PCA=∠BAC；
（2）若PC=2AB=2，求 ．
【答案】（1）证明：∵直线PA与圆切于点A，∴∠PAC=∠ABC， ∵∠PAC=∠BCD，∴∠ABC=∠BCD，
∴AB∥PD，
∴∠PCA=∠BAC
（2）解：∵∠PCA=∠BAC，∠PAC=∠ABC， ∴△PAC～△CBA，则 ，
∵PC=2AB=2，∴AC2=AB PC=2，即 ）
∴
【考点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）证明∠ABC=∠BCD，即可证明AB∥PD，可得：∠PCA=∠BAC；（2）证明△PAC～△CBA，则 ，即可求 ．2-1-c-n-j-y
19.如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2．
（1）求△AEF与△CDF的周长比；
（2）如果△AEF的面积等于6cm2 ， 求△CDF的面积．
【答案】（1）解：平行四边形ABCD中，有△AEF～△CDF，
∴△AEF与△CDF的周长比等于对应边长之比，
∵AE：EB=1：2，
∴AE：CD=1：3，
∴△AEF与△CDF的周长比为1：3；
（2）解：△AEF与△CDF的面积之比等于对应边长之比的平方，
∵△AEF的面积等于6cm2 ，
∴△CDF的面积等于54cm2
【考点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行，得到两个三角形相似，根据两个三角形相似，得到△AEF与△CDF的周长比等于对应边长之比，做出两个三角形的边长之比，可得△AEF与△CDF的周长比；（2）利用两个三角形的面积之比等于边长之比的平方，利用两个三角形的边长之比，根据△AEF的面积等于6cm2 ， 得到要求的三角形的面积．
20.如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．
（1）求证：AD∥OC；
（2）若圆O的半径为2，求AD OC的值．
【答案】（1）证明：连接BD，OD， ∵CB，CD是圆O的两条切线，
∴BD⊥OC，
又AB为直径，∴AD⊥DB，
∴AD∥OC．
（2）解：∵AD∥OC，∴∠DAB=∠COB， ∴Rt△BAD∽Rt△COB，
∴ ，
∴AD OC=AB OB=8．
【考点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）连接BD，OD，利用切线的性质，证明BD⊥OC，利用AB为直径，证明AD⊥DB，即可证明AD∥OC；（2）证明Rt△BAD∽Rt△COB，可得 ，即可求AD OC的值
21.如图,已知DA⊥平面ABC,△ABC是斜三角形,点A'是点A在平面BCD上的正射影,求证:点A'不可能是△BCD的垂心.
【答案】解：假设点A'是△BCD的垂心,则A'B⊥CD.∵AA'⊥平面BCD于点A',则AB⊥CD.
又∵DA⊥平面ABC,则AB⊥AD,
∴AB⊥平面ADC,
∴AB⊥AC,
这与条件△ABC是斜三角形矛盾,故点A'不可能是△BCD的垂心
【考点】直角三角形的射影定理
【解析】【分析】本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影结合直接证明有困难,利用反证法证明
22.如图所示，D为△ABC的外接圆 的中点，点O在AD上，且OD=BD，AD与BC相交于E． （I）证明；AD，OD，DE三条线段长成等比数列；
（Ⅱ）若点O到AB的距离为2，试求△ABC的内切圆的面积．
【答案】证明：（Ⅰ）∵D为△ABC的外接圆 的中点， ∴∠BAD=∠CAD=∠CBD=∠EBD，
又∠BDA是△DBE与△DBA的公共角，
∴△DBE∽△DAB，
∴ ，∴DB2=DA DE，
∵OD=DB，∴OD2=AD DE，
∴AD，OD，DE三条线段长成等比数列；
（Ⅱ）解：∵OD=DB，∴∠DBO=∠DOB，
由（Ⅰ）得：∠EBD=∠BAD，
而∠DBO=∠EBD+∠EBO，
∠DOB=∠BAD+∠OBA，
即∠EBD+∠EBO=∠BAD+∠OBA，
于是∠EBO=∠OBA，
即OB是∠ABC的平分线，
由（Ⅰ）得：∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴O是△ABC的内切圆的圆心，
∵O到AB的距离是2，
∴内切圆的半径是2，
∴内切圆的面积S=4π
【考点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）根据三角形相似得到DB2=DA DE，OD2=AD DE，从而证出线段长成等比数列；（Ⅱ）证出O是△ABC的内切圆的圆心，求出内切圆的半径，从而求出内切圆的面积．
23.如图，已知梯形ABCD内接于圆O，AB∥CD，过点D作圆的切线交CA的延长线于点F，且DF∥BC，如果CA=5，BC=4． （Ⅰ） 求证：△AFD～△BCA；
（Ⅱ） 求CD的长．
【答案】证明：（Ⅰ）∵过点D作圆的切线交CA的延长线于点F， ∴∠ADF=∠ACD，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC
∴∠ADF=∠BAC，
∵DF∥BC，
∴∠AFD=∠BCA，
∴：△AFD～△BCA；
（Ⅱ）解：∠CAD=∠AFD+∠ADB=∠BCA+∠ACD=∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ADC，
∴CD=CA=5
【考点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（Ⅰ） 证明两组对应角相等，即可证明：△AFD～△BCA；（Ⅱ） 证明∠BCD=∠ADC，即可求CD的长．
24.在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．
（1）求证：；
（2）若AC=3，求AP AD的值．
【答案】解：（1）∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，
∴△DPC～△DBA，∴
又∵AB=AC，∴
（2）∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，∴△APC～△ACD∴，
∴AC2=AP AD=9
【考点】相似三角形的判定，相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）先由角相等∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，证得三角形相似，再结合线段相等即得所证比例式；
（2）由于∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，从而得出两个三角形相似：“△APC～△ACD”结合相似三角形的对应边成比例即得AP AD的值．
25.如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．
（1）求证：AD∥OC；
（2）若圆O的半径为2，求AD OC的值．
【答案】（1）证明：连接BD，OD，
∵CB，CD是圆O的两条切线，
∴BD⊥OC，
又AB为直径，∴AD⊥DB，
∴AD∥OC．
（2）解：∵AD∥OC，∴∠DAB=∠COB，
∴Rt△BAD∽Rt△COB，
∴ ，
∴AD OC=AB OB=8．
【考点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）连接BD，OD，利用切线的性质，证明BD⊥OC，利用AB为直径，证明AD⊥DB，即可证明AD∥OC；
（2）证明Rt△BAD∽Rt△COB，可得， 即可求AD OC的值。
26.如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE=EC，BD、AE相交于F点，
（1）求△BEF与△AFD的周长之比；
（2）若S△BEF=6cm2 ， 求S△AFD ．
【答案】解：（1）在平行四边形ABCD中， ，
∴△BEF∽△AFD，
又∵BE=EC，∴ ．
∴△BEF与△AFD的周长之比= ．
（2）由（1）可知：△BEF∽△AFD，且相似比=．
∴ ，
∴S△AFD=9S△BEF=9×6=54．
【考点】平行线等分线段定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质、相似三角形的性质即可得出；
（2）利用相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方即可得出．
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