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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
选修4-1 第2讲 直线与圆（答案）
知识回顾
1．圆周角定理与圆心角定理
(1)圆周角定理及其推论
①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
②推论：(i)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
(ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
2．弦切角的性质
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
3．圆的切线的性质及判定定理
(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
(2)推论：
①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
4．与圆有关的比例线段
定理 名称 基本图形 条件 结论 应用
相交 弦定 理 弦AB、CD相交于圆内点P (1)PA·PB＝ PC·PD (2)△ACP∽△BDP (1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一 (2)求弦长及角
割线 定理 PAB、PCD是⊙O的割 线 (1)PA·PB＝ PC·PD (2)△PAC∽△PDB (1)求线段PA、PB、PC、PD (2)应用相似求AC、BD
切割 线定 理 PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割 线 (1)PA2＝PB·PC (2)△PAB∽△PCA (1)已知PA、PB、PC知二可求一 (2)求解AB、AC
切线 长定 理 PA、PB是⊙O的切线 (1)PA＝PB (2)∠OPA＝∠OPB (1)证线段相等，已知PA求PB (2)求角
5.圆内接四边形的性质与判定定理
(1)圆内接四边形的性质定理
①定理1：圆内接四边形的对角互补．
②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
(2)圆内接四边形的判定定理及推论
①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
例题精讲
考点一 圆周角、弦切角及圆的切线问题
【变式训练1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于点E．
（I）求证：CD2﹣DE2=AE×EC；
（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．
【答案】解：（Ⅰ）∵∠ABD=∠CBD，∠ABD=∠ECD，
∴∠CBD=∠ECD，又∠CDB=∠EDC，
∴△BCD∽△CED，
∴，
∴CD2=DE×DB，
∵DE×DB=DE×（DE+BE）=DE2+DE×BE，DE×BE=AE×EC，
∴CD2﹣DE2=AE×EC．
（Ⅱ）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，
∴∠COD=60°．∴∠CBD=∠COD=30°，
∴∠ACD=∠CBD=30°
【考点】相似三角形的判定，圆周角定理
【解析】【分析】（I）由D是的中点，可得∠ABD=∠CBD，根据圆周角定理，可得∠CBD=∠ECD，进而可得△BCD∽△CED，根据相似三角形性质可得CD2=DE×DB，进而得到CD2﹣DE2=AE×EC
（II）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，进而根据圆心角定理得到∠ACD的大小
考点二 与圆有关的比例线段
【变式训练2】在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与
圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1交于点C，D．
（1）若 ，求CD的长；
（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．
【答案】（1）解：设直线AB的方程为：y=kx+1（k≠0），
∵ ，∴ + =22 ，
化为：k2=15，
解得k= ．
∴直线CD的方程为：y= x+1．
∴|CD|=2 = ．
（2）①直线AB为y轴时，直线AB的方程为：x=0，直线CD的方程为：y=1．
S△ABE= = =4．
②直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+1，
若k=0，则方程为y=1，经过圆心（2，1），此时△ABE不存在，舍去．
k≠0时，可得直线CD的方程为：y=﹣ x+1．
|AB|=2 =2 ．
联立 ，化为：（k2+1）x2﹣4k2x+3k2=0，
△=16k4﹣12（k2+1）k2＞0，化为：k2＞3．
∴x1+x2= ，可得E ．
∴点E到直线AB的距离d= = ．
∴S△ABE= |AB| d= ×2 × =2 =2 ，
令k2+1=t＞1，可得f（t）= = ∈（0，2）．
∴S△ABE∈（0，4）．
综上可得：S△ABE∈（0，4]．
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）本小题主要利用圆中弦长的一半、圆心到弦的距离及圆的半径组成的直角三角形并利用勾股定理来解题；（2）本题的难点在于针对直线AB斜率的进行分类，对于直线的斜率可以分为不存在、存在时为0及存在时不为0.
考点三 圆内接多边形的判定及应用
【变式训练3】如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE．
【答案】证明：（1）在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD
又∠BAE=∠EDC
∵BD∥MN
∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线，
∴∠DCN=∠CAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△ABE≌△ACD
（2）解：∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴BC=BE=4
设AE=x，易证△ABE∽△DEC
∴
∴DE=x
又AE EC=BE ED EC=6﹣x
∴4×x=x(6-x)
∴x=
即要求的AE的长是
【考点】圆內接多边形的性质与判定，与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）在两个三角形中，证明两个三角形全等，找出三角形全等的条件，根据同弧所对的圆周角相等，根据所给的边长相等，由边角边确定两个三角形是全等三角形．
（2）根据角的等量代换得到一个三角形中两个角相等，得到等腰三角形，得到BE=4，可以证明△ABE与△DEC相似，得到对应边成比例，设出要求的边长，得到关于边长的方程，解方程即可．
真题精析
一、单选题
1.（2014 天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF；
②FB2=FD FA；
③AE CE=BE DE；
④AF BD=AB BF．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④
【答案】D
【考点】命题的真假判断与应用，与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，
∴∠DBC=∠DAC．
∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，
∴∠FBD=∠BAF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAF=∠DAC．
∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．
又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．
由 ，FB2=FD FA．即结论②成立．
由 ，得AF BD=AB BF．即结论④成立．
正确结论有①②④．
故答案为D
【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．
二、填空题
2.（2014 重庆）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=________．
【答案】4
【考点】圆的切线的判定定理的证明
【解析】【解答】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，
∴△PAB∽△PCA，
∴ ，
∵PA=6，AC=8，BC=9，
∴ ，
∴PB=3，AB=4，
故答案为：4．
【分析】由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而 ，代入数据可得结论．
3.（2014 陕西）如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=________．
【答案】3
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，
∴∠AEF=∠C，
∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴ ，
∵BC=6，AC=2AE，
∴EF=3．
故答案为：3．
【分析】证明△AEF∽△ACB，可得 ，即可得出结论．
4.（2014 湖南）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB= ，BC=2 ，则⊙O的半径等于________．
【答案】1.5
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：设垂足为D，⊙O的半径等于R，则
∵AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB= ，BC=2 ，
∴AD=1，
∴R2=2+（R﹣1）2 ，
∴R=1.5．
故答案为：1.5
【分析】设垂足为D，⊙O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可．
5.（2014 湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=________．
【答案】4
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：∵QA是⊙O的切线，
∴QA2=QC QD，
∵QC=1，CD=3，
∴QA2=4，
∴QA=2，
∴PA=4，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PB=PA=4．
故答案为：4．
【分析】利用切割线定理可得QA2=QC QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．
6.（2013 重庆）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．
【答案】5
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB sin60°= ．
∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．
在Rt△BCD中，CD=BC cos60°= ，BD=BC sin60°=15．
由切割线定理可得CD2=DE DB，∴ ，解得DE=5．
故答案为5．
【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE DB，即可得出DE．
7.（2013 天津）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为________．
【答案】
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：如图由切角弦定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC，
所以直线AE∥直线BC，又因为AC∥BE，所以是平行四边形．
因为AB=AC，AE=6，BD=5，∴AC=AB=4，BC=6．
△AFC∽△DFB，
即： ，
CF= ，
故答案为： ．
【分析】利用切割线定理求出EB，证明四边形AEBC是平行四边形，通过三角形相似求出CF即可．
8.（2013 湖南）如图，在半径为 的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为________．
【答案】
【考点】圆內接多边形的性质与判定，与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，
∴2×2=CP 1，
解得：CP=4，又PD=1，
∴CD=5，
又⊙O的半径为 ，
则圆心O到弦CD的距离为d= = = ．
故答案为： ．
【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．
9.（2013 湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则 的值为________．
【答案】8
【考点】直角三角形的射影定理，与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，
∵AB=3AD，
∴AD=2x，BD=4x，OD=x
又∵点C在直径AB上的射影为D，
在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD BD=8x2 ，
在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE OC=x2 ， CD2=CE OC=8x2 ，
故 = =8
故答案为：8
【分析】设圆O的半径为3x，根据射影定理，可以求出OD2=OE OC=x2 ， CD2=CE OC=8x2 ， 进而得到 的值．
10.（2013 广东）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=________．
【答案】
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．
又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．
∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．
∴△CED∽△ACB．
∴ ，又CD=BC，
∴ ．
【分析】利用AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，进而得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性质即可得出．
三、综合题
11.（2017 江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（Ⅰ）∠PAC=∠CAB；
（Ⅱ）AC2 =AP AB．
【答案】证明：（Ⅰ）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．
∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．
∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．
∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，
∴∠PAC=∠CAB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC∽△ACB，
∴ = ．
∴AC2 =AP AB．
【考点】相似三角形的判定，相似三角形的性质，弦切角，与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（Ⅰ）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC∽△ACB，即可证明．
12.（2014 江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．
【答案】证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠OCB=∠D．
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．
13.（2013 江苏）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．
求证：AC=2AD．
【答案】证明：连接OD．
因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADO=∠ACB=90°
又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，
所以 ，
因为BC=2OC=2OD．
所以AC=2AD．
【考点】相似三角形的判定，相似三角形的性质，圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得 ，结合BC=2OC=2OD，即可证明结论．
14.（2014 新课标II）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（1）BE=EC；
（2）AD DE=2PB2 ．
【答案】（1）证明：连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，
∵PC=2PA，D为PC的中点，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，
∴OE⊥BC，
∴E是 的中点，
∴BE=EC；
（2）证明：∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，
∴PA2=PB PC，
∵PC=2PA，
∴PA=2PB，
∴PD=2PB，
∴PB=BD，
∴BD DC=PB 2PB，
∵AD DE=BD DC，
∴AD DE=2PB2 ．
【考点】相似三角形的判定，与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是 的中点，从而BE=EC；（2）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD DE=2PB2 ．
15.（2013 辽宁）选修4﹣1：几何证明选讲
如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：
（1）∠FEB=∠CEB；
（2）EF2=AD BC．
【答案】（1）证明：∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．
∴∠FEB=∠EAB．
∴∠CEB=∠EAB．
（2）证明：∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，
又∠CEB=∠FEB，EB公用．
∴△CEB≌△FEB．
∴CB=FB．
同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．
在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF FB．
∴EF2=AD CB．
【考点】圆的切线的性质定理的证明，与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）直线CD与⊙O相切于E，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB．由AB为⊙O的直径，可得∠AEB=90°．又EF⊥AB，利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB，从而得证．（2）利用（1）的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF．在Rt△AEB中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF2=AF FB．等量代换即可．
16.（2013 新课标Ⅱ）【选修4﹣1几何证明选讲】
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC AE=DC AF，B、E、F、C四点共圆．
（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
【答案】（1）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB=∠A，
∵BC AE=DC AF，∴ ．
∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．
∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°．
∴∠CBA=90°，∴CA是△ABC外接圆的直径
（2）解：连接CE，∵∠CBE=90°，
∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，得CE=DC，
又BC2=DB BA=2DB2 ，
∴CA2=4DB2+BC2=6DB2 ．
而DC2=DB DA=3DB2 ，
故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值= =
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BC AE=DC AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．
利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径；（2）要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，及DB=BE，可得CE=DC，利用切割线定理可得DC2=DB DA，CA2=CB2+BA2 ， 都用DB表示即可．
17.（2013 新课标Ⅰ）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（1）证明：DB=DC；
（2）设圆的半径为1，BC= ，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
【答案】（1）证明：连接DE交BC于点G．
由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．
又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．
∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．
（2）证明：由（1）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．
故DG是BC的垂直平分线，∴BG= ．
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．
∴CF⊥BF．
∴Rt△BCF的外接圆的半径= ．
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（2）由（1）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG= ．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径= ．
18.（2014 辽宁）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．
（1）求证：AB为圆的直径；
（2）若AC=BD，求证：AB=ED．
【答案】（1）证明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，
∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，
∵∠PGD=∠EGA，
∴∠DBA=∠EGA，
∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，
∴∠BDA=∠PFA，
∵AF⊥EP，
∴∠PFA=90°．
∴∠BDA=90°，
∴AB为圆的直径；
（2）证明：连接BC，DC，则
∵AB为圆的直径，
∴∠BDA=∠ACB=90°，
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，
∴Rt△BDA≌Rt△ACB，
∴∠DAB=∠CBA，
∵∠DCB=∠DAB，
∴∠DCB=∠CBA，
∴DC∥AB，
∵AB⊥EP，
∴DC⊥EP，
∴∠DCE为直角，
∴ED为圆的直径，
∵AB为圆的直径，
∴AB=ED．
【考点】圆周角定理，与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；（2）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．
19.（2014 新课标I）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
（1）证明：∠D=∠E；
（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D=∠CBE，
∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE，
∴∠D=∠E；
（2）解：设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，
∴O在直线MN上，
∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，
∴OM⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE=∠E，
∴∠A=∠E，
由（1）知，∠D=∠E，
∴△ADE为等边三角形．
【考点】弦切角，与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（2）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．
模拟题精练
一、单选题
1.轴截面是边长为4 的等边三角形的圆锥的直观图如图所示,过底面圆周上任一点作一平面α,且α与底面所成的二面角为 ,已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆,则此椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】平面与圆锥面的截线
【解析】解答：本题综合考查空间几何体中的线面关系与解析几何中直线与直线的位置关系以及平面几何中圆的相关定理的应用,意在考查数形结合思想与空间想象能力.
如图,根据轴截面是边长为4 的等边三角形,可知椭圆的长轴长为AB=6,设O为椭圆的中心,则a=OB=OA=3,过O作平行于底面的平面,可得到截面圆,交椭圆于两点C、D,则C、D即是椭圆短半轴的顶点.根据题意知AB⊥BF,在直角三角形OBF中,∠OBF=90°，所以FO=2 ,F是BP的中点,过点B作AP的平行线,交AM于点G,则E是AG的中点,所以OE= AP= ,由相交弦定理得CO2=OF×OE,所以b2=6,所以c2=a2-b2=3,所以椭圆的离心率为 .
分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的有关条件通过构造辅助线结合所学椭圆性质及相交弦定理计算即可
2.如图,AB是☉O的一条弦,D是☉O上的任一点(不与A,B重合),则下列为弦切角的是( )
A. ∠ADB B. ∠AOB C. ∠ABC D. ∠BAO
【答案】C
【考点】弦切角
【解析】【解答】∠ADB是圆周角,∠AOB是圆心角,∠ABC是弦切角,∠BAO不是弦切角
【分析】本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合所给条件分析即可
3.如图，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【考点】弦切角
【解析】【解答】解：由已知及弦切角定理可得：∠DCF=∠DAC①，
又∠DAC=∠DBC，
所以：∠DCF=∠DBC②．
又AC平分∠BAD，
∠DCF=∠BAC③，
又∠BDC=∠BAC，
所以：∠DCF=∠BDC④，
又由弦切角定理可得：∠BAC=∠BCE，
所以：∠DCF=∠BCE⑤，
综上，图中与∠DCF相等的角的个数是5．
故选：B．
【分析】利用弦切角定理，圆周角定理及其推论，角平分线的性质即可得解．
4.如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】A
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：由相交弦定理可得CM MD=AM MB， ∴2×4=AM 2AM，
∴AM=2，
∴MN=NB=2，
又CN NE=AN NB，
∴3×NE=4×2，
∴NE= ．
故选：A．
【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．
5.已知平面β与一圆柱斜截口（椭圆）的离心率为 ,则平面β与圆柱母线的夹角是（ ）
A. 30° B. 60° C. 45° D. 90°
【答案】A
【考点】平面与圆柱面的截线
【解析】解答：设β与母线夹角为φ,则cos φ= ,故φ=30°. 分析：本题主要考查了平面与圆柱面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆柱面的截线的性质结合所给条件分析计算即可
6.如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,AD=2,AB=6,则AC的长为( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 4
【答案】C
【考点】弦切角
【解析】解答：连接BC,如图.
∵EF是☉O的切线,∴∠ACD=∠ABC.
又AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又AD⊥EF,∴∠ACB=∠ADC.
∴△ADC∽△ACB.∴
∴AC2=AD·AB=2×6=12,∴AC=2 .
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合三角形的相似性分析计算即可
7.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么点P与O间的距离是（ ）
A. 16 B. 20 C. D.
【答案】C
【考点】圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】连接OA，OP
∵PA，PB是⊙O的切线，∠APB=60°，
∴∠OPA=∠APB=30°，OA⊥OP，
∴OP= ，
∴点P与O间的距离是 ．
故选C．
【分析】作辅助线，连接OA，OP，根据切线长定理可知：∠OPA=∠APB，由PA与⊙O相切，可知：OA⊥AP，根据已知条件可将OP的长求出。
8.如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD． 又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．
∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．
∴△CED∽△ACB．
∴ ，
又CD=BC，
∴BC= =2 ．
故选：B．
【分析】由已知条件推导出△ABC∽△CDE，从而BC2=AB DE=12，由此能求出BC的值．
9.平面α外一点P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，且P在α内的射影在四边形内部，则四边形是（ ）
A. 梯形 B. 圆外切四边形
C. 圆内接四边形 D. 任意四边形
【答案】B
【考点】圆的切线的判定定理的证明
【解析】【解答】如图因为PB=PE=PF=PA，所以OA=OB=OE=OF，
即O到各边距离相等，
所以四边形为圆外切四边形
故选 B．
【分析】由P到这个四边形各边的距离相等，可得对应射影长相等，既射影到各边的距离相等，得四边形为圆外切四边形。
10.如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：在△OAC中，OA=2，OC=1，∠AOC=120°， 可得AC2=OA2+OC2﹣2OA OC cos∠AOC
=4+1﹣2 2 1 cos120°=5+2=7，
即AC= ，
cos∠ACO= = = ，
延长CO交圆于E，
由圆的相交弦定理，可得AC CD=BC CE，
即CD= = = ，
在△BCD中，BD2=BC2+DC2﹣2BC DC cos∠BCD
=1+ ﹣2 1 = ．
可得BD= ．
故选：C．
【分析】在△OAC中，运用余弦定理可得AC，cos∠ACO，延长CO交圆于E，再由圆的相交弦定理，可得AC CD=BC CE，求得CD，再在△BCD中，运用余弦定理可得BD的长．
11.如图所示，圆的内接△ABC的∠C的平分线CD延长后交圆于点E，连接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段BE=（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【考点】圆內接多边形的性质与判定
【解析】【解答】由题知，在△BED和△BCE中，
∠EBD=∠ACE=∠CBE，∠BED=∠BCE，
∴△BED～△BCE，
所以 ，
即
∴BE=．
故选B．
【分析】先分析已知线段与未知线段之间的关系，发现他们所在的三角形相似，所以可以利用三角形相似的性质构造方程，解方程即可得到答案.
12.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,AB是直径,MN是☉O的切线,C为切点,若∠BCM=38°,则∠B等于 ( )
A. 32° B. 42° C. 52° D. 48°
【答案】C
【考点】弦切角
【解析】解答：连接AC,如图.
∵MN切☉O于点C,BC是弦,
∴∠BAC=∠BCM.∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.∴∠B+∠BAC=90°.
∴∠B+∠BCM=90°,∴∠B=90°-∠BCM=52°.
分析：本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合圆的性质分析计算即可
二、填空题
13.如图，AB是圆O的直径，AD=DE，AB=8，BD=6，则=________
【答案】
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】因为：AD=DE；
根据同弧所对的圆周角相等得：
∴∠DAE=∠ABD=∠DBE；
以及∠EAB=∠EDB；
∴△DBE∽△ABC；
∴ ；
∵AB=8，BD=6，
∴ ．
故答案为：．
【分析】先根据条件得到∠DAE=∠ABD=∠DBE以及∠EAB=∠EDB；得到△DBE∽△ABC，进而得到结论.
14.如图，AB是⊙O的直径，且AB=3，CD⊥AB于D，E为AD的中点，连接CE并延长交⊙O于F，若CD= ，则EF=________．
【答案】
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，CD⊥AB于D，∴CD2=AD BD=2BD2=2， ∴DB=1，
∵E为AD的中点，
∴AE=ED=1，
∴CE=BC= ，
又△ACE∽△FBE，∴ ，
∴EF= = ．
故答案为： ．
【分析】AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．利用射影定理可得CD2=AD DB．已知AD=2DB，得DB=1，已知E为AD的中点，可得ED=1．在Rt△CDE中，利用勾股定理可得CE．利用△ACE∽△FBE可得：EA EB=EC EF，即可求得EF．
15.如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的角平分线交AC于点Q，则∠AQP的大小为________
【答案】135°
【考点】圆的切线的判定定理的证明
【解析】【解答】连接OC，如下图所示：
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA
∴∠POC=∠OAC+∠OCA=2∠OAC
又∵∠APC的角平分线为PQ
∴∠OPQ=∠CPQ
在△OCP中，∠POC+∠OPC+∠OCP=2（∠OAC+∠OPQ）+∠OCP=180°
又∵∠OCP=90°
∴∠OAC+∠OPQ=45°
∵∠CQP=∠OAC+∠OPQ=45°
∴∠AQP=135°
故答案为：135°
【分析】要求∠AQP的大小，可以先求其邻补角∠CQP的大小，即∠OAC+∠OPQ的大小，根据切线的性质，及已知条件，结合三角形内角和定理，我们不难分析出图中众多角之间的数量关系，最终求出答案。
16.如图，圆O的割线PA过圆心O交圆于另一点B，弦CD交OB于点E，且∠P=∠OCE，PB=OA=2，则PE的长等于________
【答案】3
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：∵∠P=∠OCE，∠CEO=∠PED ∴△COE∽△PDE，可得 ，∴OE PE=CE ED，
由相交弦定理可得：CE ED=AE EB．
∴OE PE═AE EB，
∴OE （PB+OB﹣OE）=（AO+OE） （OB﹣OE），
∵PB=OA=2=OB，
∴OE （2+2﹣OE）=（2+OE） （2﹣OE），
化为4OE=4，解得OE=1．
∴PE=PB+OB﹣OE=2+2﹣1=3．
故答案为：3．
【分析】证明△COE∽△PDE可得 ，即OE PE=CE ED；由相交弦定理可得：CE ED=AE EB．进而得到OE PE═AE EB，再利用已知解出即可．
三、综合题
17.如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求证：AM MB=DF DA．
【答案】（1）证明：连接OC，∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA，
∵CA是∠BAF的角平分线，
∴∠OAC=∠FAC
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AD．
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．
（2）证明：连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM MB． 又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF DA．
∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC
∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，
∴AM MB=DF DA
【考点】圆的切线的判定定理的证明，圆的切线的性质定理的证明，与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）证明DC是⊙O的切线，就是要证明CD⊥OC，根据CD⊥AF，我们只要证明OC∥AD；（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM2=AM MB，再利用切割线定理得到DC2=DF DA，根据证明的结论，只要证明DC=CM．
18.如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线 AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H．
（1）求证：C，D，E，F四点共圆；
（2）若GH=8，GE=4，求EF的长．
【答案】（1）解：连接DB，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，
又∵∠ABD=∠ACD，∠ACD=∠AFE．
∴C，D，E，F四点共圆；
（2）解：∵C，D，E，F四点共圆，∴GE GF=GC GD． ∵GH是⊙O的切线，∴GH2=GC GD，∴GH2=GE GF．
又因为GH=8，GE=4，所以GF=16．
∴EF=GF﹣GE=12．
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）连接DB，利用AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，进而得到∠ACD=∠AFE即可证明四点共圆；（2）由C，D，E，F四点共圆，利用共线定理可得GE GF=GC GD．由GH是⊙O的切线，利用切割线定理可得GH2=GC GD，进而得到GH2=GE GF即可．
19.如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O于A与B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若 ，DE=1，求PB的长．
【答案】（1）证明：连接BE，
∵DE与圆O相切，
∴由弦切角定理可得，∠BED=∠BFE
又∵DE垂直平分BP，∴∠BED=∠DEP
∴∠BFE=∠DEP，
∴DE∥BF
（2）解：由切割线定理，得 PC2=PE×PF=12，
∵D为线段BP的中点，DE∥BF；
∴PF=2PE，
∴PF=2 ，
∵DE=1，DE∥BF，PB的垂直平分线DE与圆O相切．
∴DE为Rt△PBF的中位线，
∴DE=2，
在Rt△PBF中，由勾股定理，可得，PB=2 ．
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）由题意可得，∠BED=∠BFE，∠BED=∠DEP，即可证得；（2）由切割线定理，勾股定理，即可计算解得答案．
20.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AH⊥CD于H，BD交AH于P，且PC⊥BC
（1）求证：A，B，C，P四点共圆；
（2）若∠CAD= ，AB=1，求四边形ABCP的面积．
【答案】（1）证明：∵AC=AD，AH⊥CD，∴∠CAD=∠DAP，
从而△ACP≌△ADP，得∠ACP=∠ADP．
又AB=AD，故∠ADP=∠ABP，
从而∠ABP=∠ACP，可知A，B，C，P四点共圆；
（2）解：由AC=AD， ，从而△ACD是边长为1的等边三角形，
又AH⊥CD，故 ．
由（1）知A，B，C，P四点共圆，又 ，故 ，
从而 ，故△ABC也是边长为1的等边三角形，
由PC⊥BC， ，得 ，
知CP，AH为等边三角形的角平分线，从而P为△ACD的中心．
故此时SABCP=S△ABC+S△ACP= ．
【考点】圆內接多边形的性质与判定
【解析】【分析】（1）由已知AC=AD，AH⊥CD可得△ACP≌△ADP，得∠ACP=∠ADP．再由AB=AD，得∠ADP=∠ABP，进一步得到∠ABP=∠ACP，可知A，B，C，P四点共圆；（2）由AC=AD， ，得△ACD是边长为1的等边三角形，结合AH⊥CD，得 ．再结合A，B，C，P四点共圆， ，得 ，即△ABC也是边长为1的等边三角形，进一步得到P为△ACD的中心．可得SABCP=S△ABC+S△ACP= ．
21.如图，AB为圆O的直径，过点B作圆O的切线，任取圆O上异于A，B的一点E，连接AE并延长交BC于点C，过点E作圆O的切线，交边BC于一点D．
（1）求 的值；
（2）连接OD交圆O于一点M，求证：2DE2=DM AC+DM AB．
【答案】（1）解：连接OE，BE，如图，因为AB为圆O的直径，所以∠AEB=90°， 又ED为圆O的切线，所以∠OED=90°，因为OE=OB，∴∠1=∠2，
又∠1=∠3=90°，∠2+∠EBD=90°，∠3=∠EBD，∴DB=DE，
同时∠3=∠BAC，∠DEC+∠3=90°，∠A+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DC=DE，
∴DC=DE=DB，∴ =1．
（2）解：证明：延长DO交圆O于点H．
∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．
由圆的切割线定理可得DE2=DM DH
=DM （DO+OH）=DM DO+DM OH，
所以DE2=DM AC+DM AB，
所以2DE2=DM AC+DM AB．
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，证明DC=DE=DB，即可得出结论；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH= AB和DO= AC，化简即可得到等式2DE2=DM AC+DM AB成立．
22.如图，D是△ABC边AB上的一点，△ACD内接于圆O，且∠CAD=∠BCD，E是CD的中点，BE的延长线交AC于点F，证明：
（1）BC是圆O的切线；
（2）．
【答案】（1）证明：如图，连接CO与⊙O交于点G，连接GD． ∵CG是⊙O的直径，
∴∠CDG=90°，
∴∠CGD+∠GCD=90°．
∵∠CAD=∠BCD=∠CGD，
∴∠BCD+∠GCD=90°，即CG⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图，过点D作AC的平行线交BF于H．
∵DH∥AC，
∴△ABF∽△DBH，△ECF∽△EDH，
∴ ．
∵E是CD的中点，
∴CE=DE，
∴CF=DH．
∵BC与⊙O切于点C，BDA为⊙O的割线，
∴由切割线定理，得BC2=AB BD，
∴ ．
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）如图，连接CO与⊙O交于点G，连接GD．欲证明BC是圆O的切线，只需推知CG⊥BC即可；（2）如图，过点D作AC的平行线交BF于H．构建相似三角形：∴△ABF∽△DBH，△ECF∽△EDH，由相似三角形的对应边成比例、切割线定理证得结论．
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
选修4-1 第2讲 直线与圆
考纲剖析
理解圆周角定理及其推论；
掌握圆的切线的判定定理及性质定理；
理解弦切角定理及其推论．
4.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；
5.理解圆内接四边形的性质定理与判定定理.
知识回顾
1．圆周角定理与圆心角定理
(1)圆周角定理及其推论
①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 的一半．
②推论：(i)推论1： 所对的圆周角相等； 中，相等的圆周角所对的弧也相等．
(ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是 ．
(2)圆心角定理：圆心角的度数等于 ．
2．弦切角的性质
弦切角定理：弦切角等于它 所对的圆周角．
3．圆的切线的性质及判定定理
(1)定理：圆的切线 经过 的半径．
(2)推论：
①推论1：经过 且垂直于切线的直线必经过 ．
②推论2：经过 且垂直于切线的直线必经过 ．
4．与圆有关的比例线段
定理名称 基本图形 条件 结论 应用
相交弦定理 弦AB、CD相交于圆内点P (1)PA·PB＝ (2)△ACP∽ (1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一(2)求弦长及角
割线定理 PAB、PCD是⊙O的割线 (1)PA·PB＝ (2)△PAC∽ (1)求线段PA、PB、PC、PD(2)应用相似求AC、BD
切割线定理 PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线 (1)PA2＝ (2)△PAB∽ (1)已知PA、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC
切线长定理 PA、PB是⊙O的切线 (1)PA＝ (2)∠OPA＝ (1)证线段相等，已知PA求PB(2)求角
5.圆内接四边形的性质与判定定理
(1)圆内接四边形的性质定理
①定理1：圆内接四边形的对角 ．
②定理2：圆内接四边形的外角等于它的 ．
(2)圆内接四边形的判定定理及推论
①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点 ．
②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的 ，那么这个四边形的四个顶点 ．
精讲方法
一、直线与圆的位置关系
（一）圆周角定理的应用
（1）圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．21教育网
（2）涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．2·1·c·n·j·y
（二）圆内接四边形及判定定理的应用
(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；
(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；
(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
（三）与圆有关的比例线段
涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．
小结
在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似，使用三角形的相似把圆中两条待求的线段联系起来，发挥相似三角形的桥梁作用．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．
例题精讲
考点一 圆周角、弦切角及圆的切线问题
【例题1】 如图，A、B是圆O上的两点，且AB的长度小于圆O的直径，直线l与AB垂于点D且与圆O相切于点C．若AB=2，DB=1
（1）求证：CB为∠ACD的角平分线；
（2）求圆O的直径的长度．
21·世纪*教育网
【答案】证明：（1）由切割线定理得CD2=DA DB=3，
∴CD=
又∵在Rt△CDB中，CB2=CD2+BD2=3+1=4
∴在Rt△CBA中，CB=AB=2，
∴∠ACB=∠CAB
又∵CD为圆O的切线，
∴∠BCD=∠CAB
∴∠BCD=∠ACB，CB为∠ACD的角平分线
（2）解：连结AO并延长交圆O于点E，连结CE，
设DC延长线上一点为F，则
∵AE为圆O直径，∴
∵直线l与圆O相切于点C．∴∠ACD=∠E，∠BCD=∠2，
∴∠1=∠2（等角的余角相等）
∴∠1=∠2=∠BCD=∠ACB
∴EC=BC=AB=2（相等的圆周角所对的弦相等）
∵AC2=AD2+CD2=9+3=12
∴AE2=EC2+AC2=4+12=16
∴AE=4圆O的直径为4
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【考点】圆周角定理，与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）由切割线定理得CD2=DA DB=3，证明∠ACB=∠CAB，利用CD为圆O的切线，∠BCD=∠，可得∠BCD=∠ACB，即可证明CB为∠ACD的角平分线；
（2）连结AO并延长交圆O于点E，连结CE，求出AE，即可求圆O的直径的长度.
【变式训练1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于点E．
（I）求证：CD2﹣DE2=AE×EC；
（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．
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考点二 与圆有关的比例线段
【例题2】如图，直线DE与⊙O相切于A，AB是⊙O的弦，∠EAB的平分线交⊙O于点C，连接CB，并延长直线EA相交于点D．
【出处：21教育名师】
（1）求证：DA AC=DC2﹣DA2；
（2）若AD=6，AC=5，求弦AB的长．
【答案】（1）证明：∵直线DE与⊙O相切于A，AB是⊙O的弦，∠EAB的平分线交⊙O于点C，
连接CB，并延长直线EA相交于点D，
∴∠BAC=∠EAC=∠ABC，∴AC=AB，
∴DC2﹣DA2=DC2﹣DB DC=DC （DC﹣DB）=DC BC=DC AC．
∴DA AC=DC2﹣DA2 ．
（2）解：设DB=x，由DA2=DB DC，得x（x+5）=36，
解得x=4，
∵直线DE与⊙O相切于A，∴∠DAB=∠ACD，
∵∠ADB=∠ADC，∴△DAB∽△DCA，
∴ ，
∵AD=6，AC=5，∴ ，解得 ． 21cnjy.com
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【分析】1、由余弦定理以及∠EAB的平分线交⊙O于点C，得到∠BAC=∠EAC=∠ABC，即得AC=AB。利用割线定理证明结论。
2、根据割线定理可求出DB=4，进而推导出△DAB∽△DCA，即求出AB的长。
【变式训练2】在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与
圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1交于点C，D．
（1）若 ，求CD的长；
（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．
考点三 圆内接多边形的判定及应用
【例题3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切钱EP交CB 的延长线于P，己知∠PAB=25°．
（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；
（2）若∠DAE=25°，求证：DA2=DC BP．
【答案】（1）解：∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=25°，又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=65°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，
∴∠D=115°
（2）证明：∵∠DAE=25°，∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，∴△ADC∽△PBA，∴ ，
又DA=BA，∴DA2=DC BP．
【考点】圆內接多边形的性质与判定，与圆有关的比例线段
【解析】【分析】（1）由弦切角定理得∠ACB=∠PAB=25°，从而∠ABC=65°，由此利用四边形ABCD内接于⊙O，能求出∠D．（2）由∠DAE=25°，∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，从而△ADC∽△PBA，由此能证明DA2=DC BP．
【变式训练3】如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE．
真题精析
一、单选题
1.（2014 天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF；
②FB2=FD FA；
③AE CE=BE DE；
④AF BD=AB BF．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④
二、填空题
2.（2014 重庆）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=________．
3.（2014 陕西）如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=________．
4.（2014 湖南）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB= ，BC=2 ，则⊙O的半径等于________．
5.（2014 湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=________．
6.（2013 重庆）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．
7.（2013 天津）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为________．
8.（2013 湖南）如图，在半径为 的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为________．
9.（2013 湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则 的值为________．
10.（2013 广东）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=________．
三、综合题
11.（2017 江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（Ⅰ）∠PAC=∠CAB；
（Ⅱ）AC2 =AP AB．
12.（2014 江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．
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13.（2013 江苏）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．
求证：AC=2AD．
14.（2014 新课标II）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（1）BE=EC；
（2）AD DE=2PB2 ．
15.（2013 辽宁）选修4﹣1：几何证明选讲
如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：
【版权所有：21教育】
（1）∠FEB=∠CEB；
（2）EF2=AD BC．
16.（2013 新课标Ⅱ）【选修4﹣1几何证明选讲】
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC AE=DC AF，B、E、F、C四点共圆．
（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
17.（2013 新课标Ⅰ）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（1）证明：DB=DC；
（2）设圆的半径为1，BC= ，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
18.（2014 辽宁）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．
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（1）求证：AB为圆的直径；
（2）若AC=BD，求证：AB=ED．
19.（2014 新课标I）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
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（1）证明：∠D=∠E；
（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
模拟题精练
一、单选题
1.轴截面是边长为4 的等边三角形的圆锥的直观图如图所示,过底面圆周上任一点作一平面α,且α与底面所成的二面角为 ,已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆,则此椭圆的离心率为（ ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A. B. C. D.
2.如图,AB是☉O的一条弦,D是☉O上的任一点(不与A,B重合),则下列为弦切角的是( )
A. ∠ADB B. ∠AOB C. ∠ABC D. ∠BAO
3.如图，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（ ）
A. B. 3 C. D.
5.已知平面β与一圆柱斜截口（椭圆）的离心率为 ,则平面β与圆柱母线的夹角是（ ）
A. 30° B. 60° C. 45° D. 90°21·
6.如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,AD=2,AB=6,则AC的长为( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 4
7.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么点P与O间的距离是（ ）
A. 16 B. 20 C. D.
8.如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=（ ）
A. B. C. D. 4
9.平面α外一点P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，且P在α内的射影在四边形内部，则四边形是（ ）
A. 梯形 B. 圆外切四边形 C. 圆内接四边 D. 任意四边形
10.如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD的长为（ ）
A. B. C. D.
11.如图所示，圆的内接△ABC的∠C的平分线CD延长后交圆于点E，连接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段BE=（ ）
A. B. C. D. 4www-2-1-cnjy-com
12.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,AB是直径,MN是☉O的切线,C为切点,若∠BCM=38°,则∠B等于 ( )
A. 32° B. 42° C. 52° D. 48°
二、填空题
13.如图，AB是圆O的直径，AD=DE，AB=8，BD=6，则=________
14.如图，AB是⊙O的直径，且AB=3，CD⊥AB于D，E为AD的中点，连接CE并延长交⊙O于F，若CD= ，则EF=________．
15.如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的角平分线交AC于点Q，则∠AQP的大小为________
16.如图，圆O的割线PA过圆心O交圆于另一点B，弦CD交OB于点E，且∠P=∠OCE，PB=OA=2，则PE的长等于________
三、综合题
17.如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求证：AM MB=DF DA．
18.如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线 AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H．
（1）求证：C，D，E，F四点共圆；
（2）若GH=8，GE=4，求EF的长．
19.如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O于A与B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．
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（1）求证：DE∥BF；
（2）若 ，DE=1，求PB的长．
20.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AH⊥CD于H，BD交AH于P，且PC⊥BC
（1）求证：A，B，C，P四点共圆；
（2）若∠CAD= ，AB=1，求四边形ABCP的面积．
21.如图，AB为圆O的直径，过点B作圆O的切线，任取圆O上异于A，B的一点E，连接AE并延长交BC于点C，过点E作圆O的切线，交边BC于一点D．
（1）求 的值；
（2）连接OD交圆O于一点M，求证：2DE2=DM AC+DM AB．
22.如图，D是△ABC边AB上的一点，△ACD内接于圆O，且∠CAD=∠BCD，E是CD的中点，BE的延长线交AC于点F，证明：
（1）BC是圆O的切线；
（2）．
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