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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
选修4－2 矩阵与变换（答案）
知识回顾
1．矩阵的乘法规则
(1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵的乘法规则：
[a11 a12]＝[a11×b11＋a12×b21]．
(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：
＝.
设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则
①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ；
③A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：
＝
性质：①一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)；③矩阵的乘法不满足消去律．21cnjy.com
例题精讲
考点一 几种特殊矩阵与变换
【变式训练1】已知矩阵A= ，设曲线C：（x﹣y）2+y2=1在矩阵A对应的变换下得到曲线C′，求C′的方程． 21·世纪*教育网
【答案】解：设P（x0 ， y0）为曲线C上任意一点，点P在矩阵A对应的变换下得到点Q（x，y）， 则： ，即 ，解得 ，
（注：用逆矩阵的方式求解同样给分）
又 ，∴ ，即 ，
∴曲线C′的方程为 2-1-c-n-j-y
【考点】几种特殊的矩阵变换
【解析】【分析】设P（x0 ， y0）为曲线C上任意一点，点P在矩阵A对应的变换下得到点Q（x，y），利用 ，推出 ，然后求解曲线C′的方程．
考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组
【变式训练2】若点A（2，2）在矩阵M= 对应变换的作用下得到的点为B（﹣2，2），则矩阵M的逆矩阵为________． 21*cnjy*com
【答案】
【考点】逆矩阵与二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意， = ∴ ，
∴sinα=1，cosα=0，
∴M=
∵ =1≠0，
∴M﹣1= ．
故答案为： ．
【分析】根据二阶矩阵与平面列向量的乘法，确定矩阵M，再求矩阵的逆矩阵．
考点三 求矩阵的特征值与特征向量
【变式训练3】选修4﹣2：矩阵与变换
给定矩阵A=， B=．
（1）求A的特征值λ1 ， λ2及对应特征向量α1 ， α2 ，
（2）求A4B．
【答案】解：（1）设A的一个特征值为λ，
∵|λE﹣A|=0，
∴由题意知：=0
∴（λ﹣2）（λ﹣3）=0，
λ1=2，λ2=3
当λ1=2时，由=2，得A属于特征值2的特征向量α1=
当λ2=3时，由=3，得A属于特征值3的特征向量α2=
（2）由于B==+=α1+α2
故A4B=A4（α1+α2）=（24α1）+（34α2）
=16α1+81α2=+=2·1·c·n·j·y
【考点】特征值、特征向量的应用
【解析】【分析】（1）由题意已知矩阵A=， 将其代入公式|λE﹣A|=0，即可求出特征值λ1 ， λ2 ， 然后解方程求出对应特征向量α1 ， α2；
（2）将矩阵B用征向量α1 ， α2 ， 表示出来，然后再代入A4B进行计算；
真题精析
一、单选题
1.（2017 上海）关于x、y的二元一次方程组 的系数行列式D为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】二阶矩阵
【解析】【解答】解：关于x、y的二元一次方程组 的系数行列式： D= ．
故选：C．
【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．
2.（2013 上海）展开式为ad﹣bc的行列式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】二阶行列式与逆矩阵
【解析】【解答】解：根据 叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，
由题意得， =ad﹣bc．
故选B．
【分析】根据 叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．
二、填空题
3.（2013 上海）若 = ，x+y=________．
【答案】0
【考点】二阶行列式的定义
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴x2+y2=﹣2xy
∴（x+y）2=0
∴x+y=0
故答案为0
【分析】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论．
4.(2015·上海）若线性方程组的增广矩阵为、解为，则c1-c2= ________ ．
【答案】16
【考点】变换、矩阵的相等，矩阵变换的性质
【解析】【解答】由题意解得：c1=2x+3y=2x3+3x5=21, c2=0·x+y=5, c1-c2= 21-5=16.
【分析】线性方程组的增广矩阵是线性方程组另一种表示形式，明确其对应关系即可解决相应问题即：
对应增广矩阵为
三、综合题
5.（2014 福建）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（ ）．
（1）求矩阵A；
（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．
【答案】（1）解：设A= ，则由AA﹣1=E得 = ，
解得a= ，b=﹣ ，c=﹣ ，d= ，所以A=
（2）解：矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）= =（λ﹣2）2﹣1，
令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，
设λ1=1对应的一个特征向量为α= ，
则由λ1α=Mα，得x+y=0
得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，
所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为 ，
同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为
【考点】特征向量的定义
【解析】【分析】（1）利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
6.（2013 福建）选修4﹣2：矩阵与变换
已知直线l：ax+y=1在矩阵 对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1
（1）求实数a，b的值
（2）若点P（x0 ， y0）在直线l上，且 ，求点P的坐标．
【答案】（1）解：任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），
经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），则有 = ，
可得 ，又点M′（x′，y′）在直线l′上，∴x+（b+2）y=1，
可得 ，解得
（2）解：由 得 ，从而y0=0，
又点P（x0 ， y0）在直线l上，∴x0=1，
∴点P的坐标为（1，0）．
【考点】几种特殊的矩阵变换，矩阵变换的性质
【解析】【分析】（1）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b的方程，即可求得实数a，b的值；（2）由 得 ，从而解得y0的值，又点P（x0 ， y0）在直线l上，即可求出点P的坐标．
7.(2015·福建）本题设有三个选考题，请考生任选2题作答.
选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵
（1）求A的逆矩阵；
（2）求矩阵C，使得AC=B.
【答案】（1）
（2）
【考点】变换、矩阵的相等，逆变换与逆矩阵
【解析】【解答】
1.因为所以
2.由得,故
【分析】本题考查逆矩阵和逆矩阵的性质，是通过伴随矩阵和矩阵的乘法求解，属于基础题，注意运算的准确性．【来源：21cnj*y.co*m】
8.（2017 江苏）已知矩阵A= ，B= ．
（Ⅰ）求AB；
（Ⅱ）若曲线C1： =1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2 ， 求C2的方程．
【答案】解：（Ⅰ）AB= = ，
（Ⅱ）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，
点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0 ， y0），
则 = ，即x0=2y，y0=x，
∴x=y0 ， y= ，
∴ ，即x02+y02=8，
∴曲线C2的方程为x2+y2=8．
【考点】矩阵变换的性质，矩阵与矩阵的乘法的意义
【解析】【分析】（Ⅰ）按矩阵乘法规律计算；
（Ⅱ）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．
9.（2014 江苏）已知矩阵A= ，B= ，向量 = ，x，y为实数，若A =B ，求x+y的值．
【答案】解：∵矩阵A= ，B= ，向量 = ，A =B ，
∴ ，
∴x=﹣ ，y=4，
∴x+y=
【考点】矩阵与向量乘法的意义
【解析】【分析】利用矩阵的乘法，结合A =B ，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值．【出处：21教育名师】
10.（2013 江苏）已知矩阵A= ，B= ，求矩阵A﹣1B．
【答案】解：设矩阵A的逆矩阵为 ，
则 = ，即 = ，
故a=﹣1，b=0，c=0，d= ，
从而A﹣1= ，
∴A﹣1B= = ． 【来源：21·世纪·教育·网】
【考点】几种特殊的矩阵变换
【解析】【分析】设矩阵A﹣1= ，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1 ， 进而可得结论．
11.(2015·江苏）（选修4—2：矩阵与变换）
已知x,y R，向量=是矩阵A=的属性特征值-2的一个特征向量，矩阵A以及它的另一个特征值.
【答案】A=, 另一个特征值为1.
【考点】矩阵与向量乘法的意义
【解析】【解答】由矩阵特征值与特征向量可列出关于x, y的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值。
由已知，得_Aa=-2a即==,
则 即, 所以矩阵A 从而矩阵A的特征多项式f()=(+2)(-1)
所以矩阵A的另一个特征值为1.
【分析】矩阵A=的特征值满足f()==0(-a(-b)-bc=0. 属于的特征向量满足A=.
(2)求特征向量和特征值的步骤:
①解f()==0得特征值.
②解取x=1或y=-1，写出相应的向量.www-2-1-cnjy-com
模拟题精练
一、单选题
1.已知△ABC，A（1，1），B（3，1），C（3，3），经过矩阵所对应的变换，得到的三角形面积是 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【考点】几种特殊的矩阵变换
【解析】【解答】解：M=
则 ；
；
；
△ABC经过矩阵所对应的变换后的坐标为（1，2）、（3，4）、（3，6）
∴S= =2，
故选D
【分析】先由矩阵M，然求出三点在矩阵M的作用下的点的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可．21世纪教育网版权所有
2.在R上定义运算=ad-bc，若<成立，则x的取值范围是（ ）
A. （﹣4，1） B. （﹣1，4）
C. （﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）
【答案】A
【考点】二阶矩阵
【解析】【解答】解：因为=ad-bc，
所以<，
化简得；x2+3x＜4即x2+3x﹣4＜0即（x﹣1）（x+4）＜0，
解得：﹣4＜x＜1，
故选A．
【分析】根据定义运算=ad-bc，把<化简得x2+3x＜4，求出其解集即可．
3.将曲线y=cos6x按照伸缩变换后得到的曲线方程为（ ）
A. y′=2cos3x′ B. y′=3cos2x′ C. y′=cos2x′ D. y′=2cos2x′
【答案】D
【考点】伸缩变换
【解析】【解答】解：由伸缩变换得，将此式代入曲线y=cos6x，得 ，即y′=2cos2x′ ．
故选D．
【分析】由伸缩变换得，将此式代入原曲线方程即可．
4.若矩阵满足a11 ， a12 ， a21 ， a22∈{﹣1，1}，则行列式不同取值个数为（ ）
A. B. 24 C. 42 D. 3
【答案】D
【考点】二阶矩阵
【解析】【解答】解：∵a11 ， a12 ， a21 ， a22∈{﹣1，1}，=a11a22﹣a12a21，
∴的所以可能为 =﹣2
=﹣2， = ﹣2
=0
∴行列式不同取值个数为3
故选D．
【分析】根据a11 ， a12 ， a21 ， a22∈{﹣1，1}，列出所有的可能，从而可得到行列式不同取值个数．
5.给出数阵如下，则该数阵的行列式的值为（ ）
A. 495 B. 900 C. 1000 D. 1100
【答案】B
【考点】几种特殊的矩阵变换
【解析】【解答】解：∵数阵 对应的行列式为 ，
∴=0×2×4×…×18+1×3×5×…×17×9+2×4×6×…×16×8×10+3×5×7×…×15×6×8×10+…+9×1×3×5×…×17
﹣9×9×9×…×9﹣0×10×10×…×10﹣1×1×11×11×…×11﹣…﹣8×8×…×8×18
=900．
故答案为900．
故选B．
【分析】本题可以根据行列式的计算公式进行计算，得到本题结论．www.21-cn-jy.com
6.由9个互不相等的正数组成的矩阵 中，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13、a21+a22+a23、a31+a32+a33成等比数列，下列四个判断正确的有（ ）
①第2列a12 ， a22 ， a32必成等比数列；
②第1列a11 ， a21 ， a31不一定成等比数列；
③a12+a32＞a21+a23；
④若9个数之和等于9，则a22＜1．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】A
【考点】三阶矩阵
【解析】【解答】解：由题意设由9个正数组成的矩阵是： ， 由a11+a12+a13 ， a21+a22+a23 ， a31+a32+a33成等比数列
则有：（b+m）2=（a+d）（c+n），故①正确；
（a+d）+（c+n）≥2 =2（b+m），故③正确；
再题意设由9个正数组成的矩阵是： ， 故②正确；
对于④，若9个数之和等于9，即3（a+d+b+m+c+n）=9，
∴b+m+a+d+c+n=3，
∴b+m=3﹣（a+d+c+n）≤3﹣2 =3﹣2（b+m），
∴b+m≤1，即a22≤1，故④正确；
其中正确的序号有①②③④．
故选A．
【分析】先由题意设列出由9个正数组成的矩阵是：， 由a11+a12+a13 ， a21+a22+a23 ， a31+a32+a33成等比数列，则有：（b+m）2=（a+d）（c+n），得出①正确；再由（a+d）+（c+n）≥2 =2（b+m），得到③④正确；再根据题设列举出由9个正数组成的特殊矩阵判断②正确即可．
7.设=， n∈N* ， 则n的最小值为（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】D
【考点】二阶矩阵
【解析】【解答】解：由题意，= ，
∴cos =1，sin=0，
∴n的最小值为12．
故选：D．
【分析】由题意，= ，可得cos=1，sin=0，即可求出n的最小值．
8.定义行列式运算=x1y2-x2y1 ， 将函数 f(x)=的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】二阶矩阵
【解析】【解答】解：根据行列式运算的定义，可得 =2（ sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）
∵图象向右平移φ（φ＞0）个单位所得图象对应的函数为奇函数，
∴所得的函数是一个y=﹣2sinx的形式，
∴函数图象需要向右平移 个单位，
故选B．
【分析】根据行列式运算的定义变形，进而先把所给的函数进行整理，得到y=Asin（ωx+φ）的形式，根据函数是奇函数要满足的条件，看出函数向右平移的大小．
9.已知A（0，0），B（2，0），C（1，2）对△ABC依次作矩阵M=,N=对应的变换，变换后的图形面积为（ ） 21*cnjy*com
A. 2 B. 6 C. 12 D. 24
【答案】C
【考点】几种特殊的矩阵变换
【解析】【解答】解：NM=
△ABC依次作矩阵M=,N=对应的变换后的坐标为（0，0）、（4，0）、（2，6）
∴S=×4×6=12，
故选C
【分析】先求出矩阵NM，然求出三点在矩阵NM的作用下的点的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可．
10.以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是（ ）
A. B. C. D. 21教育网
【答案】A
【考点】三阶矩阵
【解析】【分析】此题要求方程的解集，主要还是化简方程左边的行列式得直线方程，最后求出一个法向量即可．
【解答】因为
得到方程：2+x-2y-1=0
化简得：x-2y+1=0
其一个方向向量为（2，1)．
故它的法向量为：（1，-2)
故选A．
二、填空题
11.A=， f（x）=x2+3x，则f（A）=________ ．
【答案】
【考点】线性方程组解的存在性，唯一性
【解析】【解答】解：∵
则f（A）=A2+3A= =
故答案为：．
【分析】欲求f（A）的值，将矩阵A看成整体，利用求函数值的方法求解即得，即先求得A2 ， 再求出3A，最后相加即可．21·cn·jy·com
12.矩阵的特征值为________ ．
【答案】3或﹣1
【考点】线性方程组解的存在性，唯一性
【解析】【解答】解：矩阵的特征多项式为 =（λ﹣1）2﹣4，
令（λ﹣1）2﹣4=0，可得λ=3或﹣1．
故答案为：3或﹣1．
【分析】求出矩阵的特征多项式，令其为0，即可求出矩阵的特征值．
13.设矩阵 的逆矩阵为， 则a+b+c+d=________
【答案】0
【考点】逆变换与逆矩阵
【解析】【解答】∵矩阵的逆矩阵为，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴a+b+c+d=0
故答案为：0
【分析】由题意，， 求出a，b，c，d，即可得到结论．
14.若以为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a的取值范围为________ ．
【答案】a≠±2
【考点】线性方程组解的存在性，唯一性
【解析】【解答】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值
而线性方程组的增广矩阵为，
可直接写出线性方程组为
线性方程组有唯一一组解，则有： ，
即4﹣a2≠0，得a≠±2
故答案为：a≠±2．
【分析】根据增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出其线性方程组，再根据方程组有唯一一组解，求出实数a的取值范围．
三、综合题
15.已知关于x，y的方程组（*） ；
（1）写出方程组（*）的增广矩阵；
（2）解方程组（*），并对解的情况进行讨论．
【答案】（1）解：方程组（*） 可化为： ；
故方程组（*） 的增广矩阵为：
（2）解：①当m=﹣1时，方程组（*） 可化为： ，
此时方程组（*）无解；
②当m=3时，
方程组（*） 可化为：
此时方程组（*）有无穷组解；
③当m≠﹣1且m≠3时，方程组（*）有唯一解
【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组，矩阵的应用
【解析】【分析】（1）根据方程组的增广矩阵的定义，结合已知中方程组，可得答案；（2）方程组的解表示，两条直线交点的个数，分直线平行，重合，相交三种情况，可得不同情况下解的个数．
16.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值．
【答案】（1）解：设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R， 则 =8 = ，
故 ，
由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．
则 = ，
故
联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=
（2）解：由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16， 故矩阵M的另一个特征值为2 【版权所有：21教育】
【考点】几种特殊的矩阵变换，特征值与特征向量的计算
【解析】【分析】（1）先设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．
17.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 = ，并且矩阵M将点（﹣1，3）变换为（0，8）．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线x+3y﹣2=0在M的作用下的新曲线方程．
【答案】（1）解：设 ，由 及 ，
得 ，解得 ，∴
（2）解：设原曲线上任一点P（x，y）在M作用下对应点P'（x'，y'），
则 ，即 ，解之得 ，
代入x+3y﹣2=0得x'﹣2y'+4=0，
即曲线x+3y﹣2=0在M的作用下的新曲线方程为x﹣2y+4=0
【考点】特征向量的意义
【解析】【分析】（1）利用特征值、特征向量的定义，建立方程，即可得出结论；（2）求出变换前后坐标之间的关系，即可得出结论．
18.设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换，
（1）求M﹣1；
（2）求直线4x﹣9y=1在M2的作用下的新曲线的方程．
【答案】（1）解：∵M=[ ]，
∴M﹣1=[ ]
（2）解：∵M2=[ ]，
∴M2[ ]=[ ][ ]=[ ]=[ ]；
又∵4x﹣9y=1，
∴x′﹣y′=1，
即所求新曲线的方程为x﹣y=1
【考点】几种特殊的矩阵变换
【解析】【分析】（1）根据矩阵M，求出它的逆矩阵M﹣1；（2）根据题意，求出M2以及对应M2[ ]的表达式，写出对应新曲线方程．
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
选修4－2 矩阵与变换
考纲剖析
1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．
2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．
3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质．
4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．
5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.
知识回顾
1．矩阵的乘法规则
(1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵的乘法规则：
[a11 a12]＝ ．
(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：
＝.
设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则
①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ；
③A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：
＝
性质：①一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)；③矩阵的乘法不满足消去律．21世纪教育网版权所有
2．矩阵的逆矩阵
(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.21cnjy.com
(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A＝(detA＝ad－bc≠0)，它的逆矩阵为
A－1＝.
(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组的系数矩阵A＝可逆，那么该方程组有唯一解＝－1，www-2-1-cnjy-com
其中A－1＝.
3．二阶矩阵的特征值和特征向量
(1)特征值与特征向量的概念
设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．
(2)特征多项式与特征方程
设λ是二阶矩阵A＝的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝，则A＝λ，
即满足二元一次方程组
故 ＝(*)
则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式
＝0.记f(λ)＝为矩阵A＝的特征多项式；方程＝0，即f(λ)＝0称为矩阵A＝的特征方程．
(3)特征值与特征向量的计算
如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ是特征方程f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0的一个根．21·cn·jy·com
解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解【来源：21cnj*y.co*m】
记ξ1＝，ξ2＝.
则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A＝的特征值，ξ1＝，ξ2＝为矩阵A的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．21教育名师原创作品
精讲方法
一、线性变换与二阶矩阵
（一）矩阵相等的应用
（二）二阶矩阵与平面向量乘法的应用
（三）线性变换性质的应用
理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．
二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵
（一）与矩阵乘法的相关问题
（二）与逆矩阵（变换相关的问题）
（三）用矩阵知识解二元一次方程组
求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB)－1＝B－1A－1性质的应用．2-1-c-n-j-y
三、变换的不变量与矩阵的特征向量
（一）二阶矩阵的特征值、特征向量的求法
已知A＝，求特征值和特征向量，其步骤为：
(1)令f(λ)＝＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；
(2)列方程组
(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量．
（二）的简单表示
利用特征值和特征向量，可以方便地计算多次变换的结果，应用公式时要熟悉各个系数的意义，并分别求出代入。
（三）矩阵的简单应用
小结
(1)考查求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．
(2)突出体现待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 .
(3)易错点是计算错误和坐标转移的方向错误．
例题精讲
考点一 几种特殊矩阵与变换
【例题1】已知矩阵A= 所对应的变换T把曲线C变成曲线C1： + =1，求曲线C的方程． 21教育网
【答案】解：设曲线C上任一点为（x，y），经过变换T变成（x0 ， y0）， 则 = ，∴ ．
∵（x0 ， y0）在曲线C1： + =1上，
∴ =1，即 +y2=1．
∴曲线C的方程是 +y2=1． 21*cnjy*com
【考点】几种特殊的矩阵变换
【解析】【分析】根据矩阵变换得出变换前后坐标的变化规律，把变换后的坐标代入C1即可得出曲线C的方程．
【变式训练1】已知矩阵A= ，设曲线C：（x﹣y）2+y2=1在矩阵A对应的变换下得到曲线C′，求C′的方程．
考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组
【例题2】已知线性方程组的增广矩阵为， 若该线性方程组无解，则a=________ ．
【答案】2
【考点】逆矩阵与二元一次方程组
【解析】【解答】解：系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解．
∴系数行列式D=0，
即 =0．
解之得：a=2
故答案为：2．
【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax=b，其中A为3×3方阵，x为3个变量构成列向量，b为3个常数项构成列向量． 而当它的系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解．由此求得a值．
【变式训练2】若点A（2，2）在矩阵M= 对应变换的作用下得到的点为B（﹣2，2），则矩阵M的逆矩阵为________． 21·世纪*教育网
考点三 求矩阵的特征值与特征向量
【例题3】选修4﹣2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A=， 矩阵A属于特征值λ1=﹣1的一个特征向量为α1=， 属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=． 求矩阵A． 2·1·c·n·j·y
【答案】解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1=λ1α1 ，
即=﹣1×，得
同理可得，解得a=2，b=3，c=2，d=1．
因此矩阵A=． 【来源：21·世纪·教育·网】
【考点】特征值、特征向量的应用
【解析】【分析】由特征值、特征向量定义可知，Aα1=λ1α1 ， 由此可建立方程组，从而可求矩阵A．
【变式训练3】选修4﹣2：矩阵与变换
给定矩阵A=， B=．
（1）求A的特征值λ1 ， λ2及对应特征向量α1 ， α2 ，
（2）求A4B．
真题精析
一、单选题
1.（2017 上海）关于x、y的二元一次方程组 的系数行列式D为（ ）
A. B. C. D.
2.（2013 上海）展开式为ad﹣bc的行列式是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
3.（2013 上海）若 = ，x+y=________．
4.(2015·上海）若线性方程组的增广矩阵为、解为，则c1-c2= ________ ．
三、综合题
5.（2014 福建）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（ ）．
（1）求矩阵A；
（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．
6.（2013 福建）选修4﹣2：矩阵与变换
已知直线l：ax+y=1在矩阵 对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1
（1）求实数a，b的值
（2）若点P（x0 ， y0）在直线l上，且 ，求点P的坐标．
7.(2015·福建）本题设有三个选考题，请考生任选2题作答.
选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵
（1）求A的逆矩阵；
（2）求矩阵C，使得AC=B.
8.（2017 江苏）已知矩阵A= ，B= ．
（Ⅰ）求AB；
（Ⅱ）若曲线C1： =1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2 ， 求C2的方程． 21*cnjy*com
9.（2014 江苏）已知矩阵A= ，B= ，向量 = ，x，y为实数，若A =B ，求x+y的值．
10.（2013 江苏）已知矩阵A= ，B= ，求矩阵A﹣1B．
11.(2015·江苏）（选修4—2：矩阵与变换）
已知x,y R，向量=是矩阵A=的属性特征值-2的一个特征向量，矩阵A以及它的另一个特征值.
模拟题精练
一、单选题
1.已知△ABC，A（1，1），B（3，1），C（3，3），经过矩阵所对应的变换，得到的三角形面积是 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
2.在R上定义运算=ad-bc，若<成立，则x的取值范围是（ ）
A. （﹣4，1） B. （﹣1，4）
C. （﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）
3.将曲线y=cos6x按照伸缩变换后得到的曲线方程为（ ）
A. y′=2cos3x′ B. y′=3cos2x′ C. y′=cos2x′ D. y′=2cos2x′
4.若矩阵满足a11 ， a12 ， a21 ， a22∈{﹣1，1}，则行列式不同取值个数为（ ）
A. B. 24 C. 42 D. 3
5.给出数阵如下，则该数阵的行列式的值为（ ）
A. 495 B. 900 C. 1000 D. 1100
6.由9个互不相等的正数组成的矩阵 中，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13、a21+a22+a23、a31+a32+a33成等比数列，下列四个判断正确的有（ ）
①第2列a12 ， a22 ， a32必成等比数列；
②第1列a11 ， a21 ， a31不一定成等比数列；
③a12+a32＞a21+a23；
④若9个数之和等于9，则a22＜1．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个【版权所有：21教育】
7.设=， n∈N* ， 则n的最小值为（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12www.21-cn-jy.com
8.定义行列式运算=x1y2-x2y1 ， 将函数 f(x)=的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为
（ ）
A. B. C. D.
9.已知A（0，0），B（2，0），C（1，2）对△ABC依次作矩阵M=,N=对应的变换，变换后的图形面积为（ ）
A. 2 B. 6 C. 12 D. 24
10.以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11.A=， f（x）=x2+3x，则f（A）=________ ．
12.矩阵的特征值为________ ．
13.设矩阵 的逆矩阵为， 则a+b+c+d=________
14.若以为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a的取值范围为________ ．
三、综合题
15.已知关于x，y的方程组（*） ；
（1）写出方程组（*）的增广矩阵；
（2）解方程组（*），并对解的情况进行讨论．
16.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）． 【出处：21教育名师】
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值．
17.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 = ，并且矩阵M将点（﹣1，3）变换为（0，8）．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线x+3y﹣2=0在M的作用下的新曲线方程．
18.设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换，
（1）求M﹣1；
（2）求直线4x﹣9y=1在M2的作用下的新曲线的方程．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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