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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
选修4－4 第1讲 坐标系
考纲剖析
理解坐标系的作用．
了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
3．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．
4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.
知识回顾
1．极坐标系
(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做 ，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．
设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的 ，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．【版权所有：21教育】
(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ ，y＝ 另一种关系为ρ2＝ 2，tan θ＝
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.
3．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝ ；
(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝ ；
(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝ .
精讲方法
一、坐标系
（一）平面直角坐标系中的伸缩变换
首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解。21*cnjy*com
(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．
(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．
极坐标与直角坐标的互化
直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境．
（三）求曲线的极坐标方程
在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．
（四）极坐标的应用
小结
本节需要掌握以下内容：
1.平面直角坐标系中的伸缩变换的
2.极坐标与直角坐标的互化
3.求曲线的极坐标方程
4.极坐标的应用
例题精讲
考点一 极坐标与直角坐标的互化
【例题1】在极坐标系中，与点 关于极点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】极坐标系
【解析】【解答】解：在极坐标系中，与点 关于极点对称的点的坐标是：
如图，
故选D．
【分析】直接利用对称知识，求出对称点的极角，即可得到选项．
【变式训练1】以平面直角坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，则直角坐标为（﹣2，2）的点的极坐标为（ ）
A. （2 ， ） B. （2 ， ） C. （2， ） D. （2， ）
考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化
【例题2】曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ化为直角坐标方程后为（ ）
A. x2+（y﹣3）2=9 B. x2+（y+3）2=9 C. （x+3）2+y2=9 D. （x﹣3）2+y2=9
【答案】A
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ， 即ρ2=6ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为：x2+y2=6y，
即x2+（y﹣3）2=9．
故选：A．
【分析】曲线C的极坐标方程转化为ρ2=6ρsinθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
【变式训练2】.在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣ ）= ，C与l有且仅有一个公共点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB= ，求|OA|+|OB|的最大值．
考点三 曲线极坐标方程的应用
【例题3】在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=4 ． 【出处：21教育名师】
（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求 的值．
【答案】（1）解：圆C的极坐标方程为ρ=4 ，展开可得：ρ2=4 × ρ（cosθ﹣sinθ）， 可得直角坐标方程：x2+y2﹣4x+4y=0
（2）解：直线l的参数方程为： （t为参数），代入上述方程可得：t2+2 t﹣4=0． t1+t2=﹣2 ，t1t2=﹣4，
则 = = = = =
【考点】直线与圆的位置关系，简单曲线的极坐标方程
【解析】【分析】（1）圆C的极坐标方程为ρ=4 ，展开可得：ρ2=4 × ρ（cosθ﹣sinθ），利用互化公式即可得出直角坐标方程．（2）直线l的参数方程为： （t为参数），代入上述方程可得：t2+2 t﹣4=0. = = = ．
【变式训练3】以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 : ,点 的极坐标为 ,直线 的极坐标方程为 ,且点 在直线 上.
（1）求曲线 的极坐标方程和直线 的直角坐标方程；
（2）设 向左平移 个单位长度后得到 , 到 的交点为 , ,求 的长.
真题精析
一、单选题
1.（2014 江西）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（ ） 21cnjy.com
A. ρ= ，0≤θ≤ B. ρ= ，0≤θ≤
C. ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤ D. ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤
2.（2013 安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）
A. θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B. θ= （ρ∈R）和ρcosθ=2
C. θ= （ρ∈R）和ρcosθ=1 D. θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1
二、填空题
3.（2017·天津）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________． www.21-cn-jy.com
4.（2017 北京卷）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为________． 2-1-c-n-j-y
5.（2014 天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为________．
6.（2014 上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是________．
7.（2014 陕西）在极坐标系中，点（2， ）到直线 的距离是________．
8.（2013 天津）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为 ，则|CP|=________．
9.（2013 上海）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为________．
10.（2013 北京）在极坐标系中，点（2， ）到直线ρsinθ=2的距离等于________．
三、解答题
11.（2017 新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM| |OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
12.（2017 新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM| |OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
模拟题精练
一、单选题
1.点M的直角坐标是， 则点M的极坐标为（ ）
A. B.
C. D. www-2-1-cnjy-com
2.在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（ ）
A. 2 B. C. D. 【来源：21cnj*y.co*m】
3.在极坐标系中，圆与方程（）所表示的图形的交点的极坐标是( )．
A. (1,1) B. C. D.
4.两圆的极坐标方程分别为：ρ=﹣2cosθ，ρ=2sinθ，则它们公共部分的面积是（ ）
A. π﹣2 B. C. ﹣ D. ﹣1
5.直线 （ 为参数）的斜率为（ ）
A. B. C. D. 21·世纪*教育网
6.在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为( )
A. 4 B. C. 2 D. 221*cnjy*com
7.在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为()。若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，则点P的极坐标可以是 （ ）
A. B. C. D.
8.直角坐标系中，点 的极坐标可以是（ ）
A. B. C. D. 21世纪教育网版权所有
9.已知点P1的球坐标是， P2的柱坐标是， 则|P1P2|=( )
A. B. C. D. 21教育网
10.极坐标系中，集合 表示的图形是( )
A. 射线 B. 直线 C. 圆 D. 半圆21·cn·jy·com
11.已知圆的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣ ），则其圆心坐标为（ ）
A. （2， ） B. （2， ） C. （2，﹣ ） D. （2，0）
12.在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是（ ）
A. B. C. (1,0) D. (1，)
二、填空题
13.在直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为 （θ为参数）和 （t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为________．
14.已知柱坐标系oxyz 中，点 M 的柱坐标为 ，则 |OM| ________.
15.将点P的极坐标（ ， ）化成直角坐标为________．
16.已知极坐标系中，点P在曲线ρ2cosθ﹣2ρ=0上运动，则点P到点 的最小距离为________．
三、综合题
17.以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（ cosθ﹣sinθ）=3 ，圆C的极坐标方程为ρ=2 sinθ．
（1）求直线l和圆C的直角坐标方程；
（2）P为直线l上一动点，当点P到圆心C的距离最小时，求点P的极坐标．
18.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（ ）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
19.在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ，
（1）曲线C1与曲线C2交于两点A，B，求A，B两点之间的距离；
（2）设点M（x，y）为直角坐标系中曲线C2上任意一点，求x+y的最大值．
20.在直角坐标系xOy中，过点P（1，﹣2）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B． 【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求|PA| |PB|．
21.以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ； 21教育名师原创作品
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l的参数方程为 （t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．
22.在极坐标系中，曲线C1方程为ρ=2sin（θ+ ），曲线C2：方程为ρsin（θ+ ）=4．以极点O为原点，极轴方向为x轴正向建立直角坐标系xOy． 2·1·c·n·j·y
（1）求曲线C1 ， C2的直角坐标方程；
（2）设A、B分别是C1 ， C2上的动点，求|AB|的最小值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
选修4－4 第1讲 坐标系（答案）
知识回顾
1．极坐标系
(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．21·cn·jy·com
设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcos θ，y＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tan θ＝.
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.
3．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos_θ；
(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin_θ.
例题精讲
考点一 极坐标与直角坐标的互化
【变式训练1】以平面直角坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，则直角坐标为（﹣2，2）的点的极坐标为（ ） 21cnjy.com
A. （2 ， ） B. （2 ， ） C. （2， ） D. （2， ）
【答案】B
【考点】极坐标
【解析】【解答】解：∵ρ= =2 ，tanθ=﹣1， θ∈（0，π），解得θ= ，
∴点M的极坐标为（2 ， ）．
故选：B．
【分析】利用 即可得出．21教育名师原创作品
考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化
【变式训练2】.在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣ ）= ，C与l有且仅有一个公共点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB= ，求|OA|+|OB|的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2 ． ∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；
由l：ρcos（θ﹣ ）= ，展开为 ，
∴l的直角坐标方程为x+ y﹣3=0．
由直线l与圆C相切可得 =a，解得a=1．
（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+ ，
则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+ ）
=3cosθ﹣ sinθ=2 cos（θ+ ），
当θ=﹣ 时，|OA|+|OB|取得最大值2
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【分析】（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+ ，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+ ）=2 cos（θ+ ），利用三角函数的单调性即可得出．
考点三 曲线极坐标方程的应用
【变式训练3】以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 : ,点 的极坐标为 ,直线 的极坐标方程为 ,且点 在直线 上.
（1）求曲线 的极坐标方程和直线 的直角坐标方程；
（2）设 向左平移 个单位长度后得到 , 到 的交点为 , ,求 的长.
【答案】（1）解： 的直角坐标为 ， 的直角坐标方程为 .
因为 在 上，所以 ，
所以 的直角坐标方程为 .
： 化为极坐标方程为 .
（2）解：由已知得 的方程为 ，
所以 的极坐标方程为 （ ），
代入曲线 的极坐标方程 或 ，所以 .
【考点】极坐标系，简单曲线的极坐标方程，点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）考察极坐标与直角坐标的相互转化；
（2）考察了平移变换，及极坐标系下直线与曲线相交，交点弦长。应用极径的概念求解。属中档题【来源：21·世纪·教育·网】
真题精析
一、单选题
1.（2014 江西）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（ ） 21*cnjy*com
A. ρ= ，0≤θ≤ B. ρ= ，0≤θ≤
C. ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤ D. ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤
【答案】A
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，y=1﹣x（0≤x≤1），
可得ρcosθ+ρsinθ=1，即 ρ= ．
由0≤x≤1，可得线段y=1﹣x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈[0， ]，
故选：A．
【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，把方程y=1﹣x（0≤x≤1）化为极坐标方程．
2.（2013 安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）
A. θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B. θ= （ρ∈R）和ρcosθ=2
C. θ= （ρ∈R）和ρcosθ=1 D. θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1
【答案】B
【考点】圆的切线方程，简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．
故圆的两条切线方程分别为 （ρ∈R），ρcosθ=2．
故选B．
【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．
二、填空题
3.（2017·天津）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________．
【答案】2
【考点】直线与圆的位置关系，简单曲线的极坐标方程，极坐标系和平面直角坐标的区别
【解析】【解答】解：直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0展开为：4ρ +1=0，化为：2 x+2y+1=0．
圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．
∴圆心C（0，1）到直线的距离d= = ＜1=R．
∴直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．
故答案为：2．
【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系．2-1-c-n-j-y
4.（2017 北京卷）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为________．
【答案】1
【考点】点与圆的位置关系，简单曲线的极坐标方程，点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，
再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；
如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：
|AP|min=|CP|﹣rC=2﹣1=1，
故答案为：1．
【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．
5.（2014 天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为________．
【答案】3
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，
即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，
∵△AOB是等边三角形，∴B（ a，a），
代入x2+（y﹣2）2=4，可得（ a）2+（a﹣2）2=4，
∵a＞0，∴a=3．
故答案为：3．
【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．
6.（2014 上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是________．
【答案】
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，
∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ= ．
故答案为： ．
【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．
7.（2014 陕西）在极坐标系中，点（2， ）到直线 的距离是________．
【答案】1
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：点P（2， ）化为 = ，y=2 =1，∴P ．
直线 展开化为： =1，化为直角坐标方程为： ，即 =0．
∴点P到直线的距离d= =1．
故答案为：1．
【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．
8.（2013 天津）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为 ，则|CP|=________． 21教育网
【答案】
【考点】简单曲线的极坐标方程，点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】解：圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆的方程为：x2+y2=4x，圆心为C（2，0），
点P的极坐标为 ，所以P的直角坐标（2，2 ），
所以|CP|= =2 ．
故答案为：2 ．
【分析】求出圆的直角坐标方程，求出圆的圆心坐标，化P的极坐标为直角坐标，利用两点间距离公式求出距离即可．
9.（2013 上海）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为________．
【答案】
【考点】两点间的距离公式，点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1，
解得ρ= 或ρ= （舍），
所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为 ，
故答案为： ．
【分析】联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．
10.（2013 北京）在极坐标系中，点（2， ）到直线ρsinθ=2的距离等于________．
【答案】1
【考点】点到直线的距离公式，点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】解：在极坐标系中，点 化为直角坐标为（ ，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，
（ ，1），到y=2的距离1，即为点 到直线ρsinθ=2的距离1，
故答案为：1．
【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．
三、解答题
11.（2017 新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM| |OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，
设P（x，y），M（4，y0），则 ，∴y0= ，
∵|OM||OP|=16，
∴ =16，
即（x2+y2）（1+ ）=16，
整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
（Ⅱ）点A的直角坐标为A（1， ），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，
∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d= = ，
∴△AOB的最大面积S= |OA| （2+ ）=2+ ．
【考点】直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，简单曲线的极坐标方程，极坐标刻画点的位置，点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（Ⅰ）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM| |OP|=16列方程化简即可；
（Ⅱ）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．
12.（2017 新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM| |OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为（2， ），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，
设P（x，y），M（4，y0），则 ，∴y0= ，
∵|OM||OP|=16，
∴ =16，
即（x2+y2）（1+ ）=16，
整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
（Ⅱ）点A的直角坐标为A（1， ），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，
∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d= = ，
∴△AOB的最大面积S= |OA| （2+ ）=2+ ．
【考点】两点间的距离公式，点到直线的距离公式，简单曲线的极坐标方程，极坐标刻画点的位置，点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（Ⅰ）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM| |OP|=16列方程化简即可；
（Ⅱ）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．
模拟题精练
一、单选题
1.点M的直角坐标是， 则点M的极坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】由于ρ2=x2+y2 ， 得：ρ2=4，ρ=2，由ρcosθ=x得：cosθ=-， 结合点在第二象限得：θ=， 则点M的极坐标为， 故选C．
【分析】利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 先将点M的直角坐标是(-1，)后化成极坐标即可．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 进行代换即得
2.在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】对应的直角坐标为点为， 圆整理为， 圆心为， 两点间距离为， 选D.
【分析】极坐标与直角坐标的关系为， 先利用此关系式将极坐标化为普通坐标，然后在直角坐标系中求解。
3.在极坐标系中，圆与方程（）所表示的图形的交点的极坐标是( )．
A. (1,1) B. C. D. 2·1·c·n·j·y
【答案】C
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】圆化为， 方程（)化为， 由得，， 即交点为（1，1)，化为极坐标为。故选C。
【分析】解决极坐标系中的问题，需将问题转化为直角坐标系中的问题，其中的转化式是和。【来源：21cnj*y.co*m】
4.两圆的极坐标方程分别为：ρ=﹣2cosθ，ρ=2sinθ，则它们公共部分的面积是（ ）
A. π﹣2 B. C. ﹣ D. ﹣1
【答案】D
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：联立 ，可得tanθ=﹣1，解得θ= ．
∴ρ=2sin = ．
∴它们公共部分的面积S=2×（ ×π×12﹣ ）= ﹣1．
故选：D．
【分析】联立 ，可得tanθ=﹣1，解得θ，可得ρ= ．即可得出它们公共部分的面积．
5.直线 （ 为参数）的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】削去参数得： ，直线的斜率为 ，故答案为：A.【分析】利用极坐标和普通坐标的互化公式即可得到直线的方程，进而可得到直线的斜率。
6.在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为( )
A. 4 B. C. 2 D. 2
【答案】C
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】根据题意，由于曲线C的方程是ρ＝4sinθ，则可知ρ＝4ρsinθ，故可知在可知曲线C为圆的方程，圆心（0,2），半径为2，则可知过点(4，)即为点（2， 2）作曲线C的切线，则可知圆心到点（2， 2）的距离为d=2,圆的半径为2，那么利用勾股定理可知，则切线长为2， 选C。
【分析】主要是考查了极坐标方程的运用，属于基础题。21世纪教育网版权所有
7.在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为()。若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，则点P的极坐标可以是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】由点， 得， 则， ， 所以可取为， 则点P的极坐标可以是， 选C.
8.直角坐标系中，点 的极坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【解答】因为 ， ， 、
由于点 在第四象限，所以
所以点的直角坐标 化为极坐标为 。选D。
【分析】本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据根据极坐标与直角坐标系关系互化计算即可。
9.已知点P1的球坐标是， P2的柱坐标是， 则|P1P2|=( )
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】柱坐标刻画点的位置
【解析】【分析】点P1的球坐标是P1(4，， ) ， P2的柱坐标是P2(2，， 1) 。选A。
【点评】三种坐标转化的基本公式要掌握
10.极坐标系中，集合 表示的图形是( )
A. 射线 B. 直线 C. 圆 D. 半圆
【答案】C
【考点】极坐标系
【解析】【解答】由于 表示到极点距离等于2014的点的集合，又 ，即以极点为圆心，半径为2014的圆,选C.
【分析】本题主要考查了极坐标系，解决问题的关键是根据极坐标的意义分析即可.
11.已知圆的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣ ），则其圆心坐标为（ ）
A. （2， ） B. （2， ） C. （2，﹣ ） D. （2，0）
【答案】B
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：圆的极坐标方程可化为：ρ2=2 ρsinθ﹣2 ρcosθ， ∴圆的普通方程为x2+y2+2 x﹣2 y=0，即（x+ ）2+（y﹣ ）2=4，
∴圆的圆心的直角坐标为（﹣ ， ），化成极坐标为（2， ）．
故选B．
【分析】求出圆的直角坐标方程，得出圆心的直角坐标，再化成极坐标即可．
12.在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是（ ）
A. B. C. (1,0) D. (1，)
【答案】B
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】因为，ρ=-2sinθ即，
圆心的直角坐标是（0，-1），所以，其极坐标为，选B。
二、填空题
13.在直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为 （θ为参数）和 （t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为________．
【答案】
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：曲线C1的参数方程分别为 （θ为参数），化为x2+y2=2，
由C2 （t为参数）化为x+y=2，
联立 ，解得x=y=1，
∴曲线C1与C2的交点为P（1，1），
可得 = ，tanθ=1，可得 ．
故答案为： ．
【分析】先将曲线C1和C2的参数方程化为普通方程，再联立方程组解出交点坐标，化为极坐标．
14.已知柱坐标系oxyz 中，点 M 的柱坐标为 ，则 |OM| ________.
【答案】3
【考点】柱、球坐标系与空间直角坐标系的区别
【解析】【解答】因为 ，
设 的直角坐标为 ，则 ，所以
【分析】本题主要考查了柱、球坐标系与空间直角坐标系的区别，解决问题的关键是根据柱、球坐标系与空间直角坐标系的区别转化计算即可
15.将点P的极坐标（ ， ）化成直角坐标为________．
【答案】（﹣1，1）
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：设点P的直角坐标为（x，y）， 则x=ρcosθ= cos =﹣1，
y=ρsinθ= sin =1．
∴点P的直角坐标为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
【分析】利用极坐标化为直角坐标的公式 x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．
16.已知极坐标系中，点P在曲线ρ2cosθ﹣2ρ=0上运动，则点P到点 的最小距离为________． www.21-cn-jy.com
【答案】
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【解答】解：点 的化为直角坐标Q（ ， ）． 曲线ρ2cosθ﹣2ρ=0化为：x=2．
∴点P到点 的最小距离为=2﹣ = ．
故答案为： ．
【分析】把点 与曲线ρ2cosθ﹣2ρ=0分别化为直角坐标，即可得出．
三、综合题
17.以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（ cosθ﹣sinθ）=3 ，圆C的极坐标方程为ρ=2 sinθ．
（1）求直线l和圆C的直角坐标方程；
（2）P为直线l上一动点，当点P到圆心C的距离最小时，求点P的极坐标．
【答案】（1）解：直线l的极坐标方程为ρ（ cosθ﹣sinθ）=3 ，化为直角坐标方程： x﹣y﹣3 =0． 圆C的极坐标方程为ρ=2 sinθ，即ρ2=2 ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2 y．
（2）解：由x2+y2=2 y可得： =3，可得圆心C ，半径r= ． 经过圆心C与直线l垂直的直线方程为：y=﹣ x+ ，化为：x+ y﹣3=0．
联立 ，解得x=3，y=0，
∴ρ=3，tanθ= =0．
∴P（3，0）． 21*cnjy*com
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【分析】（1）直线l的极坐标方程为ρ（ cosθ﹣sinθ）=3 ，利用互化公式可得直角坐标方程．圆C的极坐标方程为ρ=2 sinθ，即ρ2=2 ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）由x2+y2=2 y可得圆心C ，经过圆心C与直线l垂直的直线方程为：y=﹣ x+ ，联立解出即可得出．www-2-1-cnjy-com
18.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（ ）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点． 【出处：21教育名师】
（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
【答案】（1）解：由 从而C的直角坐标方程为
即
θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）
（2）解：M点的直角坐标为（2，0） N点的直角坐标为
所以P点的直角坐标为 ，则P点的极坐标为 ，
所以直线OP的极坐标方程为 ，ρ∈（﹣∞，+∞）
【考点】简单曲线的极坐标方程，点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出中点P的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OP的极坐标方程即可．【版权所有：21教育】
19.在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ，
（1）曲线C1与曲线C2交于两点A，B，求A，B两点之间的距离；
（2）设点M（x，y）为直角坐标系中曲线C2上任意一点，求x+y的最大值．
【答案】（1）解：曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，直角坐标方程为x+y﹣1=0； 曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ，∴x2+y2=2x﹣4y，配方为（x﹣1）2+（y+2）2=5，可得圆心C2（1，﹣2），半径r= ，
∴圆心到直线的距离d= = ，
∴|AB|=2 = ；
（2）解：设x+y=t，则圆心到直线的距离= ，∴﹣ ﹣1≤t≤ ， ∴t的最大值为 ，
∴x+y的最大值为 ． 21·世纪*教育网
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【分析】（1）极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心C2到直线的距离d．利用勾股定理求A，B两点之间的距离；（2）设x+y=t，则圆心到直线的距离= ，由此求x+y的最大值．
20.在直角坐标系xOy中，过点P（1，﹣2）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B．
（1）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求|PA| |PB|．
【答案】（1）解：∵过点P（1，﹣2）的直线l的倾斜角为45°，可得直线l的参数方程为： （t为参数）． 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，可得直角坐标方程：y2=2x．
（2）解：把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2﹣6 t+4=0． ∴t1t2=4．
∴|PA| |PB|=|t1t2|=4．
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【分析】（1）由过点P（1，﹣2）的直线l的倾斜角为45°，可得直线l的参数方程．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2﹣6 t+4=0．利用根与系数的关系、参数的几何意义即可得出．
21.以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ；
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l的参数方程为 （t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．
【答案】（1）解：由曲线C的原极坐标方程可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，
化成直角方程为y2=4x．
（2）解：联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得 ， 整理得 ，
∵t1 t2=﹣15＜0，于是点P在AB之间，
∴ ．
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可．（2）参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义求解即可．
22.在极坐标系中，曲线C1方程为ρ=2sin（θ+ ），曲线C2：方程为ρsin（θ+ ）=4．以极点O为原点，极轴方向为x轴正向建立直角坐标系xOy．
（1）求曲线C1 ， C2的直角坐标方程；
（2）设A、B分别是C1 ， C2上的动点，求|AB|的最小值．
【答案】（1）解：曲线C1的极坐标方程化为ρ=sinθ+ cosθ， 两边同乘以ρ，得ρ2=ρsinθ+ ρcosθ，
则曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=y+ x，即x2+y2﹣ x﹣y=0．
曲线C2的极坐标方程化为 ρsinθ+ ρcosθ=4，
则曲线C2的直角坐标方程为 y+ x=4，即 x+y﹣8=0．
（2）解：将曲线C1的直角坐标方程化为（x﹣ ）2+（y﹣ ）2=1， 它表示以（ ， ）为圆心，以1为半径的圆．
该圆圆心到曲线C2即直线 x+y﹣8=0的距离
d= =3，
所以|AB|的最小值为3﹣1=2．
【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】【分析】（1）先将曲线C1及曲线C2的极坐标方程展开，然后再利用公式 ，即可把极坐标方程化为普通方程．（2）可先求出圆心到直线的距离，再减去其半径即为所求的最小值．
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