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湘教版数学九年级2.3垂径定理教学设计
课题 2.3垂径定理 单元 第二章 圆 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1、理解圆是轴对称图形，由圆的折叠活动猜想垂径定理，并进行证明．2、理解垂径定理，灵活运用垂径定理进行计算及证明．3、在探索垂径定理的过程中，培养学生观察、比较、归纳、概括的能力.
重点 垂径定理及运用．
难点 应用垂径定理解决实际问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 知识回顾：1、圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2、同学们知道赵州桥吗？1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形高)为7.2 m，求桥拱的半径(精确到0.1 m)．你能解决这个关于赵州桥的问题吗？ 回顾圆的对称性． 通过赵州石拱桥引入本课，激发学生学习兴趣，对学生进行爱国主义教育．
讲授新课 一、垂径定理的猜想与证明1、请同学们剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为E ，再将纸片沿着直径CD对折，请同学们比较AE与EB，与，与你能发现了什么结论？ 因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折，如图，可以发现AE与BE重合，，分别与，重合．即AE=BE，= ，=． 你能用所学过的知识证明你的结论吗？2、探究垂径定理的证明．请同学们先画出图形，再根据图形写出已知、求证．小组讨论定理的证明过程．已知：直径CD，弦AB，且CD⊥AB，垂足为点E．求证： AE=BE，= ，=．猜想是否正确，还有待于证明．请同学生们从以下两方面寻找证明思路． ①证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明． ②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明．根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．请同学们用所学的知识判断下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？垂径定理的几个基本图形：二、垂径定理的逆定理的探究在下列五个条件中：①CD是直径；②CD⊥AB；③AM=BM；④； ⑤．只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论．请试着写出这样的命题．你可以写出相应的命题吗？请小组讨论写出你的条件和结论，并写出用语言叙述的命题．3、例1 如图，弦AB=8 cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2 cm，求⊙O的直径CD的长．例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等．小组合作讨论：弦和圆心的位置关系有几种情况？根据讨论画出图形并证明结论．已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行．求证：． 请根据例2的证明归纳出结论．垂径定理的推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等． 三、应用垂径定理解决实际问题如何解决“赵州桥”的问题： 如图，OA=OC=R，OD=OC-CD=R-7.2，AB=18.7．AD2+OD2=OA2．即：18.72+(R-7.2)2=R2．R≈27.9(m)．答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m．归纳：应用垂径定理时辅助线的添加方法在圆中有关弦长a，半径r， 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解．弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：d+h=r，． 动手操作，发现并猜想．小组合作对定理进行证明．判断是否满足垂径定理．完成例1、例2．完成赵州拱桥的问题．对垂径定理和弓形中的计算进行总结． 通过学生的动手操作发现并归纳出垂径定理．通过定理的证明，培养学生的逻辑推理能力和合作探究精神．进一步掌握垂径定理．运用垂径定理进行计算及证明．进一步理解和掌握二次函数y=a（x-h）2的图象和性质．能应用垂径定理解决实际问题．培养学生归纳总结的能力．
1、半径为4 cm的⊙O中，弦AB=4 cm， 那么圆心O到弦AB的距离是________cm．2、⊙O的直径为10 cm，圆心O到弦AB的距离为3 cm，则弦AB的长是________cm．3、半径为2 cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是________cm．4、如图，已知AB为⊙O的直径，点D是弦AC的中点，BC=8 cm，求OD的长．5、如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于M，且M是半径OB的中点，CD=8 cm，求直径AB的长．6、如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？ 学生先自主思考，完成后小组交流展示成果． 通过练习的解决进一步掌握垂径定理，并能运用定理解决有关的问题．
课堂小结 1、圆是轴对称图形．2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧．3、垂径定理的推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4、垂径定理的推论2：垂直平分弦的直线过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 回顾本节课所学知识． 通过小结，强化对定理的理解与运用．
板书 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧．3、垂径定理的推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4、垂径定理的推论2：垂直平分弦的直线过圆心，并且平分弦所对的两条弧．例1例2 垂径定理的推论3圆的两条平行弦所夹的弧相等．
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2.3 垂 径 定 理
湘教版 九年级下
导入新知
1、圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径（过圆心的直线），圆有无数条对称轴．
导入新知
2、1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形高)为7.2 m，求桥拱的半径(精确到0.1 m)．
你能解决这个问题吗？
新知讲解
剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为E ，再将纸片沿着直径CD对折，比较AE与EB， 与 ， 与 你能发现什么结论？
新知讲解
因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折，如图，可以发现AE与BE重合， ， 分别与 ， 重合.
即AE=BE， = ， = .
能用所学过的知识证明你的结论吗？
新知讲解
证明：如图，连接OA，OB．
∵ OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形．
∵OE⊥AB，∴AE=BE，∠AOD=∠BOD．
从而 ∠AOC=∠BOC．
∴ ， ．
由此得到垂径定理．
新知讲解
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
CD为直径
CD⊥AB
CD平分弦AB
点C平分
点D平分
过圆心
垂直于弦
平分弦所对的劣弧
平分弦
平分弦所对的优弧
不可以是直径！
新知讲解
为什么强调这里的弦不是直径呢？
M
N
A
B
C
D
Y一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直，因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立
新知讲解
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
A
B
O
C
D
E
新知讲解
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
A
B
O
D
C
A
B
O
D
C
新知讲解
垂径定理的逆定理
如图，在下列五个条件中：
①CD是直径； ②CD⊥AB； ③AM=BM；
④ = ； ⑤ ．
只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论．
你可以写出相应的命题吗？
新知讲解
垂径定理的推论1
①直径过圆心
④平分弦所对优弧
③平分弦
②垂直于弦
⑤平分弦所对的劣弧
已知：CD是直径，AB是弦，并且 = ．
求证：CD平分AB，CD⊥AB， ．
（1）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
新知讲解
垂径定理的推论1
①直径过圆心
⑤平分弦所对劣弧
③平分弦
②垂直于弦
④平分弦所对优弧
已知：CD是直径，AB是弦，并且 ．
求证：CD平分AB，CD⊥AB， = ．
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
新知讲解
垂径定理的推论1
②垂直于弦
③平分弦
①直径过圆心
④平分弦所对优弧
⑤平分弦所对的劣弧
已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB．
求证：CD是直径， ， = ．
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
新知讲解
推论1的其他命题
②垂直于弦
④平分弦所对优弧
①直径过圆心
③平分弦
⑤平分弦所对的劣弧
②垂直于弦
⑤平分弦所对的劣弧
①直径过圆心
③平分弦
④平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦所对的另一条弧．
新知讲解
③平分弦
④平分弦所对优弧
①直径过圆心
②垂直于弦
⑤平分弦所对的劣弧
③平分弦
⑤平分弦所对的劣弧
①直径过圆心
②垂直于弦
④平分弦所对优弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．
新知讲解
④平分弦所对优弧
⑤平分弦所对的劣弧
①直径过圆心
②垂直于弦
③平分弦
（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦．
新知讲解
例1 如图，弦AB=8 cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2 cm，求⊙O的直径CD的长．
新知讲解
解：连接OA．
设OA=r cm，则OE=r-2（cm）．
∵CD⊥AB，根据垂径定理得：AE= =4（cm）．
在Rt△AEO中，根据勾股定理：OA2=OE2+AE2．即r2=(r-2)2+42．
解得 r=5．
∴CD=2r=10（cm）．
新知讲解
例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行．
证明：作直径EF⊥AB，
又∵AB∥CD，EF⊥AB，
求证： ．
∴ ．
∴EF⊥CD， ∴ ．
因此 ，即 ．
新知讲解
垂径定理的推论2
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
垂径定理的推论2有这两种情况：
两条弦在圆心的同侧
两条弦在圆心的两侧
新知讲解
解决“赵州桥”的问题：
如图，OA=OC=R，
OD=OC-CD=R-7.2，AB=18.7．
AD2+OD2=OA2．
即：18.72+(R-7.2)2=R2．
R≈27.9(m)．
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m．
新知讲解
在圆中有关弦长a，半径r， 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解．
应用垂径定理时辅助线的添加方法
O
A
B
C
·
新知讲解
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
巩固提升
1、半径为4 cm的⊙O中，弦AB=4 cm， 那么圆心O到弦AB的距离是________cm．
2、⊙O的直径为10 cm，圆心O到弦AB的距离为3 cm，则弦AB的长是________cm．
3、半径为2 cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是________cm．
8
巩固提升
4、如图，已知AB为⊙O的直径，点D是弦AC的中点，BC=8 cm，求OD的长．
解：∵点O是AB的中点，点D是弦AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD= BC=4cm．
巩固提升
5、如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于M，且M是半径OB的中点，CD=8 cm，求直径AB的长．
解：连接OC，
∵直径AB⊥CD，
∴CM=DM= CD=4 cm，
设圆的半径是r，
∵M是OB的中点，∴OM= r，
巩固提升
由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，
∴ ，
解得： ．
则直径AB=2r＝ （cm)．
巩固提升
6、如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？
巩固提升
解：（1）连结OA，
由题意得：AD= AB=30，
OD=（r-18）．
在Rt△ADO中，由勾股定理得：
r2=302+（r-18）2，
解得，r=34；
巩固提升
∴A′B′=32．
∵A′B′=32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
（2）连结OA′，
∵OE=OP-PE=30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：
A′E2=A′O2-OE2，即：A′E2=342-302，
解得：A′E=16．
课堂小结
1、圆是轴对称图形．
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧．
3、垂径定理的推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
4、垂径定理的推论2：垂直平分弦的直线过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
谢谢
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