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湘教版数学九年级2.4过不共线三点作圆教学设计
课题 2.4过不共线三点作圆 单元 第二章 圆 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1、理解、确定圆的条件及外接圆和外心的定义．掌握三角形外接圆的画法．2、经过不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程，让我们学会用尺规作不在同一直线上的三点的圆．3、在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中,进一步培养探究能力和动手能力,提高学习数学的兴趣．
重点 确定圆的条件及外接圆和外心的定义．
难点 任意三角形的外接圆的作法．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 阅读下面的材料，想一想：要确定一个圆必须满足几个条件？一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？ 阅读材料，思考确定一个圆的条件． 通过材料引入激发学生的兴趣．
讲授新课 一、确定圆的条件的探究1、合作探究一：如何过一个点A作一个圆？过点A作圆，可以作多少个圆？请动手画图试一试并归纳出结论．以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；过一个点可作无数个圆．2、合作探究二：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？ 其圆心的分布有什么特点 与线段AB有什么关系？请动手画图试一试并归纳出结论．作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可；过两点可作无数个圆．通过上面的探究活动你发现了什么结论？请通过小组合作交流归纳出结论．归纳：（1）过平面内一个点A的圆，是以点A以外的任意一点为圆心，以这点到A的距离为半径的圆,这样的圆有无数个．（2）经过平面内两个点A，B的圆，是以线段AB垂直平分线上的任意一点为圆心，以这一点到A或B的距离为半径的圆．这样的圆有无数个．3、合作探究三：如何过不在同一直线上的三个点作圆？可以作多少个圆？你能过不在同一直线上的三点作圆吗？请完成下面的探究过程．假设经过不在同一直线上的A、B、C三点存在⊙O．（1）圆心O到A、B、C三点距离 （填“相等”或”不相等”）.（2）如果O点到A、B的距离相等，则点O应在 线段AB的_____________上，同理点O也应在线段AC的______________上．（3）点O应是线段AB、AC的____________交点，半径为OA的长，所以_____作圆．根据上面的探究过程你能完成下面的例题吗？例 已知：不在同一直线上的三点A、B、C．求作： ⊙O，使它经过点A、B、C．作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3、以O为圆心，OB为半径作圆．所以⊙O就是所求作的圆． 归纳：经过不在同一直线上的三点可以作一个圆而且只能作一个圆．探究过同一直线上的三点A、B、C能作一个圆吗 为什么？二、三角形的外接圆，三角形的外心1、经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗？为什么？教师讲解三角形的外接圆等概念．经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆．☉O叫做△ABC的________， 这个三角形叫作这个圆的内接三角形，△ABC叫做☉O的____________．2、三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．怎样作三角形的外心？小组合作交流归纳三角形的外心有何性质？三、探究活动四：三角形与它的外心的位置关系．分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系．结论：锐角三角形的外心位于三角形内；直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心位于三角形外．应用：课前的引例中的圆形瓷器碎片如何还原？请用所学的知识解决这个问题．方法：1、在圆弧上任取三点A、B、C；2、作线段AB、BC的垂直平分线，其交点O即为圆心；3、以点O为圆心，OC长为半径作圆．⊙O即为所求． 探究发现结论．探究发现结论．在教师的引导下进行归纳．根据课件演示填空．完成例题．探究三角形与它的外心的位置关系．解决引例． 通过学生的探究活动，得出过一个点可作无数个圆的结论． 通过学生的探究活动，得出过两个点可作无数个圆的结论．通过归纳得出经过一点或两点不能唯一确定一个圆的结论．通过填空得出经过不在同一直线上的三点作一个圆的方法．掌握经过不在同一直线上三点作圆的方法．进一步理解和掌握二次函数y=a（x-h）2的图象和性质．理解三角形的外接圆及三角形外心的概念及性质．掌握任意三角形的外接圆的作法．会应用三角形外接圆的作法解决实际问题．
1、三角形的外心具有的性质是（ ）A．到三边的距离相等 B．到三个顶点的距离相等C．外心在三角形的外 D．外心在三角形内2、小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块3、如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为5_________．4、如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24 cm，CD=8 cm．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径．5、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=30°，AC=2 cm，求⊙O的半径．6、如图所示，锐角△ABC，∠A=60°，其外接圆的半径为3，求BC． 学生先自主思考，完成后小组交流展示成果． 通过练习的解决进一步掌握过三点作圆的方法，三角形外心的性质并，能运用所学知识解决有关的实际问题．
课堂小结 回顾本节课所学知识． 通过小结，进一步掌握本节所学的知识，并能运用所学的知识解决问题．
板书 过不在同一直线上的三个点确定一个圆．经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；这个三角形叫做圆的内接三角形．例
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2.4 过不共线三点作圆
湘教版 九年级下
导入新知
一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？
想一想：
要确定一个圆必须满足几个条件？
新知讲解
合作探究一：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？
以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；
过一个点可作无数个圆．
●O
●A
●O
●O
●O
●O
新知讲解
合作探究二：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？
作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可；
过两点可作无数个圆．
其圆心的分布有什么特点 与线段AB有什么关系？
新知讲解
合作探究三：如何过不在同一直线上的三个点作圆？可以作多少个圆？
假设经过不在同一直线上的A、B、C三点存在⊙O．
N
M
F
E
O
A
B
C
（1）圆心O到A、B、C三点距离 （填“相等”或”不相等”）.
相等
新知讲解
（2）如果O点到A、B的距离相等，则点O应在 线段AB的_____________上，同理点O也应在线段AC的______________上．
垂直平分线
垂直平分线
（3）点O应是线段AB、AC的____________交点，半径为OA的长，所以_____作圆．
垂直平分线
能
新知讲解
已知：不在同一直线上的三点A、B、C．
求作： ⊙O，使它经过点A、B、C．
作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；
2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
3、以O为圆心，OB为半径作圆．
所以⊙O就是所求作的圆．
O
N
M
F
E
A
B
C
新知讲解
结论：经过不在同一直线上的三点可以作一个圆而且只能作一个圆．
过同一直线上的三点A、B、C能作一个圆吗
A
B
C
不能．
新知讲解
经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗？
由于△ABC的三个顶点不在同一直线上，因此过三个顶点可以作唯一一个圆．
经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆．
☉O叫做△ABC的________， 这个三角形叫作这个圆的内接三角形，△ABC叫做☉O的____________．
外接圆
内接三角形
新知讲解
三角形的外心：
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．
作图：三角形三条边的垂直平分线的交点．
性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
新知讲解
探究活动四：三角形与它的外心的位置关系．
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系．
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
新知讲解
锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心位于三角形外．
新知讲解
如何将圆形瓷器碎片还原？
方法:
1、在圆弧上任取三点A、B、C；
2、作线段AB、BC的垂直平分线，其交点O即为圆心；
3、以点O为圆心，OC长为半径作圆．
⊙O即为所求．
巩固提升
1、三角形的外心具有的性质是（ ）
A．到三边的距离相等 B．到三个顶点的距离相等
C．外心在三角形的外 D．外心在三角形内
2、小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块
B．第二块
C．第三块
D．第四块
B
A
巩固提升
3、如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为5_________．
5
巩固提升
4、如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24 cm，CD=8 cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
巩固提升
解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
巩固提升
（2）连接OA，设OA=x，AD=12 cm，OD=（x-8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2=122+（x-8）2，
解得：x=13．
答：圆的半径为13 cm ．
巩固提升
5、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=30°，AC=2 cm，求⊙O的半径．
解：连接OA、OC，如图所示：
∵∠B=30°，∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，
∴OA=AC=2．
巩固提升
6、如图所示，锐角△ABC，∠A=60°，其外接圆的半径为3，求BC．
解：如图，作直径CD，连接BD，
∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BDC=∠BAC=60°．
又∵CD是直径，∴CD=6，
∴∠DBC=90°，BD=3，
由勾股定理得：BC= ．
课堂小结
实际问题
直线公理
引入
作圆
类比
解决
实际问题
过一点可以作无数圆
过两点可以作无数个圆．圆心在以已知两点为端点的线段的垂直平分线上．
过三点
过不在同一条直线上的三点确定一个圆．
外心、三角形外接圆、圆的内接三角形．
过在同一条直线上的三点不能作圆．
谢谢
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