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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
选修4－4 第2讲 参数方程
考纲剖析
1．了解参数方程，了解参数的意义。
2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。
3．掌握直线的参数方程及参数的几何意义。
4．能用直线的参数方程解决简单的相关问题。
知识回顾
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数
并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的 ，其中变量t称为 ．【版权所有：21教育】
2．一些常见曲线的参数方程
(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为 ．
(2)圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为 ．
(3)椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为 ．
(4)抛物线方程y2＝2px(p＞0)的参数方程为 ．
精讲方法
一、参数方程
（一）把参数方程化为普通方程
参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．21cnjy.com
（二）椭圆、直线、圆参数方程的应用
涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)．
(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
小结
1.考查极坐标方程和参数方程的求法及应用．重点考查了转化与化归能力．
2.当用极坐标或参数方程研究问题不很熟练时，可以转化成我们比较熟悉的普通方程求解．
3.易错点是计算不准确，极坐标方程求解错误．
例题精讲
考点一 参数方程与普通方程的互化
【例题1】 在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．
【答案】（1）解：∵直线l的参数方程为 （t为参数）， ∴消去参数t得直线l的普通方程为y=3x﹣6，
∵曲线C的极坐标方程为 ，
∴ρtanθsinθ=8，即ρsin2θ=8cosθ，
∴ρ2sin2θ=8ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=8x
（2）解：∵抛物线y2=8x的焦点是F（2，0），且直线l过抛物线的焦点F， 设直线l与曲线C交于点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由 ，得9x2﹣44x+36=0，
∴ ，
∴|AB|= ，
∴直线l被曲线C截得的弦长为 www-2-1-cnjy-com
【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；曲线C的极坐标方程转化为ρ2sin2θ=8ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）抛物线y2=8x的焦点是F（2，0），且直线l过抛物线的焦点F，由 ，得9x2﹣44x+36=0，利用韦达定理和焦点弦公式能求出直线l被曲线C截得的弦长．21教育名师原创作品
【变式训练1】在直角坐标系xOy中，已知点P（2，0），曲线C的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和极坐标方程；
（Ⅱ）过点P且倾斜角为 的直线l交曲线C于A，B两点，求|AB|．
考点二 直线与圆参数方程的应用
【例题2】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为 ．
（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3， ），求|PA|+|PB|．
【答案】解：（Ⅰ）由 ，可得 ，即圆C的方程为 ． 由 可得直线l的方程为 ．
所以，圆C的圆心到直线l的距离为 ．
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 ，即 ．
由于△= ．故可设t1、t2是上述方程的两个实根，
所以 ，又直线l过点 ，
故由上式及t的几何意义得
【考点】简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程
【解析】【分析】（I）圆C的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，最后再利用三角函数公式化成参数方程；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得即 ，根据两交点A，B所对应的参数分别为t1 ， t2 ， 利用根与系数的关系结合参数的几何意义即得．
【变式训练2】（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
已知曲线C1的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）
考点三 极坐标、参数方程的综合应用
【例题3】已知在直角坐标系xOy中，曲线C1： （θ为参数），在以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线C2：ρsin（ ）=1．
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）曲线C1上恰好存在三个不同的点到曲线C2的距离相等，分别求这三个点的极坐标．
【答案】（1）解：曲线C1： （θ为参数），两式平方相加可得：x2+y2=4， 曲线C2：ρsin（ ）=1，展开可得： + =1，化为直角坐标方程： =0
（2）解：原点O到直线C2： =0的距离d= =1= r， 直线 y+x=0与圆的两个交点A，B满足条件．
联立 ，解得 或 ，
利用 ，分别化为极坐标A ，B ．
设与直线： =0平行且与圆相切的直线方程为： y+x+m=0，（m＜0）．
联立 ，化为：4y2+2 my+m2﹣4=0，
令△=12m2﹣16（m2﹣4）=0，解得m=﹣4．
∴ =0，
解得y= ，x=1．
∴切点C ，化为极坐标C ．
∴满足条件的这三个点的极坐标分别为：极坐标A ，B ，C ．
【考点】极坐标、参数方程的综合应用
【解析】【分析】（1）曲线C1： （θ为参数），两式平方相加可得直角坐标方程；曲线C2：ρsin（ ）=1，展开可得： + =1，把 代入即可化为直角坐标方程．（2）原点O到直线C2： =0的距离d=1= r，直线 y+x=0与圆的两个交点A，B满足条件．联立 ，解出利用 ，分别化为极坐标A，B． 设与直线： =0平行且与圆相切的直线方程为： y+x+m=0，（m＜0）．与圆的方程联立化为：4y2+2 my+m2﹣4=0，令△=0，解得m，即可得出．
【变式训练3】（1）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心的极坐标为（ ）
A. B. （1，π） C. （0，﹣1） D.
（2）已知α∈[0，π），在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 （t为参数）；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．
（Ⅰ）求证：l1⊥l2
（Ⅱ）设点A的极坐标为（2， ），P为直线l1 ， l2的交点，求|OP| |AP|的最大值．
真题精析
一、单选题
1.（2014 北京）曲线 （θ为参数）的对称中心（ ）
A. 在直线y=2x上 B. 在直线y=﹣2x上
C. 在直线y=x﹣1上 D. 在直线y=x+1上
2.（2014 安徽）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是 （t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（ ）
A. B. 2 C. D. 2
二、填空题
3.（2014 重庆）已知直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=________．
4.（2013 江西）（坐标系与参数方程选做题）
设曲线C的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
5.（2014 湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0， ），C（3，0），动点D满足| |=1，则| + + |的最大值是________．
6.（2014 湖南）在平面直角坐标系中，倾斜角为 的直线l与曲线C： ，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．
7.（2014 湖北）已知曲线C1的参数方程是 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为________．
8.（2013 重庆）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线 （t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=________．
9.（2013 陕西）（坐标系与参数方程选做题）
如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为________．
三、综合题
10.（2017 新课标Ⅲ）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 ，（t为参数），直线l2的参数方程为 ，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（10分）
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径． 21世纪教育网版权所有
11.（2014 新课标II）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0， ] 21教育网
（1）求C的参数方程；
（2）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y= x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
12.（2013 辽宁）在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1 ， 直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（ ）=2 ．
（1）求C1与C2交点的极坐标；
（2）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为 （t∈R为参数），求a，b的值．
13.（2013 新课标Ⅱ）选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C： 上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点． 【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求M的轨迹的参数方程
（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
14.（2013 新课标Ⅰ）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
已知曲线C1的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）
15.（2014 辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C． 21*cnjy*com
（1）写出C的参数方程；
（2）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1 ， P2 ， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
16.（2014 新课标I）已知曲线C： + =1，直线l： （t为参数）
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
17.（2014 福建）已知直线l的参数方程为 （t为参数），圆C的参数方程为 （θ为常数）． 2·1·c·n·j·y
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
18.（2017 新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 ，（t为参数），直线l2的参数方程为 ，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）写出C的普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径．
19.（2017 江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），曲线C的参数方程为 （s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
20.（2017 新课标Ⅰ卷）[选修4-4 ， 坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 （t为参数）．（10分） 2-1-c-n-j-y
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．
21.（2017 新课标Ⅰ卷）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 （t为参数）．（10分） 21·世纪*教育网
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．
22.（2014 江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．
模拟题精练
一、单选题
1.已知圆的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相切 B. 相离 C. 直线过圆心 D. 相交但直线不过圆心
2.直线y=2x+1的参数方程是（ ）
A. （t为参数） B. （t为参数）
C. （t为参数） D. （θ为参数）
3.若直线L的参数方程为(t为参数），则直线L的倾斜角的余弦值为（ ）
A. B. C. D. 21·cn·jy·com
4.参数方程（t为参数）表示什么曲线（ ）
A. 一个圆 B. 一个半圆 C. 一条射线 D. 一条直线
5.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为时，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=． 若直线l与圆C相切，则实数a的取值个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6.过点（0，2）且与直线（t为参数）互相垂直的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
7.设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x+y+1=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.直线的参数方程可以是 ( )
A. B. C. D. www.21-cn-jy.com
9.已知直线和圆的极坐标方程分别为 和 ，则直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相切 B. 相交且直线过圆心
C. 相交但直线不过圆心 D. 相离
10.直线y=2x+1的参数方程是（ ）。
A. （t为参数）
B. （t为参数）
C. （t为参数）
D. （t为参数）
11.若直线的参数方程为 （t为参数），则直线的倾斜角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
12.参数方程（t为参数）所表示的曲线是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
13.直线 （t为参数）的倾斜角的大小为________．
14.曲线C： （θ为参数）上的点到其焦点的距离的最小值________．
15.在平面直角坐标系中，若直线l1：（s为参数）和直线l2：（t为参数）平行，则常数a的值为________
16.已知曲线 ，θ∈[0，2π）上一点P（x，y）到定点M（a，0），（a＞0）的最小距离为 ，则a=________．
三、综合题
17.在直角坐标系中 中，已知曲线 经过点 ，其参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）若直线 交 于点 ，且 ，求证： 为定值，并求出这个定值．
18.在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为 （t为参数）与曲线C： （θ为参数）相交于不同的两点A，B． 【来源：21·世纪·教育·网】
（1）若 ，求线段AB的中点的直角坐标；
（2）若直线l的斜率为2，且过已知点P（3，0），求|PA| |PB|的值．
19.已知曲线M的参数方程为 （α为参数），曲线N的极方程为ρsin（θ+ ）=8．
（1）分别求曲线M和曲线N的普通方程；
（2）若点A∈M，B∈N，求|AB|的最小值．
20.在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为 （t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ． 【出处：21教育名师】
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．
21.已知直线l： （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2． 21*cnjy*com
（1）若点M的直角坐标为（2， ），直线l与曲线C交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值；
（2）设曲线C经过伸缩变换 得到曲线C′，求曲线C′的内接矩形周长的最大值．
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为y=3+ ．
（1）写出曲线C的一个参数方程；
（2）在曲线C上取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB的周长的取值范围．
23.在直角坐标系xoy中，已知曲线C1： （θ为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度，建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．
（1）将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的 ，2倍后得到曲线C2 ， 试写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C2上求一点P，使P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
24.已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是 （t为参数）
（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的 倍，求a的值．
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
选修4－4 第2讲 参数方程（答案）
知识回顾
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数
并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数．21*cnjy*com
2．一些常见曲线的参数方程
(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．
(2)圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．
(3)椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)．
(4)抛物线方程y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数)．
例题精讲
考点一 参数方程与普通方程的互化
【变式训练1】在直角坐标系xOy中，已知点P（2，0），曲线C的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和极坐标方程；
（Ⅱ）过点P且倾斜角为 的直线l交曲线C于A，B两点，求|AB|．
【答案】解：（Ⅰ）因为 消t得曲线C的普通方程为y2=4x． ∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，
即曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅱ）因为直线l过点P（2，0）且倾斜角为 ，
所以直线l的标准参数方程为 ，
将其代入y2=4x，整理可得 ，
，
设A，B对应的参数分别为s1 ， s2则 ，
所以
【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可求曲线C的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）直线l的标准参数方程为 ，将其代入y2=4x，利用参数的几何意义，即可求|AB|．
考点二 直线与圆参数方程的应用
【变式训练2】（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
已知曲线C1的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）
【答案】（1）解：曲线C1的参数方程式 （t为参数），
得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，
即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．
ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；
（2）解：曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，
由 ，解得 或 ．
∴C1与C2交点的极坐标分别为（ ， ），（2， ） 2-1-c-n-j-y
【考点】极坐标刻画点的位置，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（2）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．
考点三 极坐标、参数方程的综合应用
【变式训练3】（1）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心的极坐标为（ ）
A. B. （1，π） C. （0，﹣1） D.
【答案】A
【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：圆C的参数方程为 为参数）， 化为普通方程：x2+（y+1）2=1，可得圆心C（0，﹣1）
圆C的圆心的极坐标为（1，﹣ ）．
故选：A．
【分析】圆C的参数方程为 为参数），化为普通方程：x2+（y+1）2=1，可得圆心C（0，﹣1），再利用互化公式即可得出．21教育名师原创作品
（2）已知α∈[0，π），在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 （t为参数）；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．
（Ⅰ）求证：l1⊥l2
（Ⅱ）设点A的极坐标为（2， ），P为直线l1 ， l2的交点，求|OP| |AP|的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）证明：直线l1的参数方程为 （t为参数）； 消去参数t可得：直线l1的普通方程为：xsinα﹣ycosα=0．
又直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．展开为ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+ ）．
即直线l2的直角坐标方程为：xcosα+ysinα﹣2sin（α+ ）=0．
因为sinαcosα+（﹣cosα）sinα=0，
根据两直线垂直的条件可知，l1⊥l2 ．
（Ⅱ）当ρ=2， 时，ρcos（θ﹣α）=2cos =2sin（α+ ）．
所以点A（2， ），在直线ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）上．
设点P到直线OA的距离为d，由l1⊥l2可知，d的最大值为 =1．
于是|OP| |AP|=d |OA|=2d≤2
所以|OP| |AP|的最大值为2
【考点】参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（Ⅰ）直线l1的参数方程为 （t为参数）；消去参数t可得：直线l1的普通方程．又直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．展开为ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+ ）．利用互化公式可得直线l2的直角坐标方程，根据两直线垂直的条件即可证明：l1⊥l2 ． （Ⅱ）当ρ=2， 时，满足方程ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．可得点A（2， ），在直线ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）上．设点P到直线OA的距离为d，由l1⊥l2可知，d的最大值为 =1．即可得出|OP| |AP|=d |OA|=2d最大值．
真题精析
一、单选题
1.（2014 北京）曲线 （θ为参数）的对称中心（ ）
A. 在直线y=2x上 B. 在直线y=﹣2x上
C. 在直线y=x﹣1上 D. 在直线y=x+1上
【答案】B
【考点】圆的参数方程
【解析】【解答】解：曲线 （θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，
故选：B．
【分析】曲线 （θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．
2.（2014 安徽）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是 （t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（ ）
A. B. 2 C. D. 2
【答案】D
【考点】直线与圆的位置关系，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：直线l的参数方程是 （t为参数），化为普通方程为 x﹣y﹣4=0；
圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=4x，
即 （x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心、半径r等于2的圆．
弦心距d= = ＜r，∴弦长为2 =2 =2 ，
故选：D．
【分析】先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长．
二、填空题
3.（2014 重庆）已知直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=________．
【答案】
【考点】直线的参数方程
【解析】【解答】解：直线l的参数方程为 ，普通方程为y=x+1，
曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x，
直线l与曲线C联立可得（x﹣1）2=0，
∴x=1，y=2，
∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ= = ．
故答案为： ．
【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径．
4.（2013 江西）（坐标系与参数方程选做题）
设曲线C的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
【答案】ρcos2θ﹣sinθ=0
【考点】简单曲线的极坐标方程，抛物线的参数方程
【解析】【解答】解：由 （t为参数），得y=x2 ，
令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入并整理得ρcos2θ﹣sinθ=0．
即曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣sinθ=0．
故答案为：ρcos2θ﹣sinθ=0．
【分析】先求出曲线C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得极坐标方程．
5.（2014 湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0， ），C（3，0），动点D满足| |=1，则| + + |的最大值是________．
【答案】+1
【考点】向量在几何中的应用，参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），
则| + + |≤| + + |+| |= +1．
∴| + + |的最大值是 +1，
故答案为： +1．
【分析】由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），求得| + + |≤| + + |+| |，可得| + + |的最大值．
6.（2014 湖南）在平面直角坐标系中，倾斜角为 的直线l与曲线C： ，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________． 21世纪教育网版权所有
【答案】ρ（cosθ﹣sinθ）=1
【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：设倾斜角为 的直线l的方程为y=x+b，
曲线C： （α为参数），即 （x﹣2）2+（y﹣1）2=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆．
由于弦长|AB|=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l上，故有1=2+b，解得b=﹣1，
故直线l的方程为 y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0．
再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，即ρ（cosθ﹣sinθ）=1
故答案为：ρ（cosθ﹣sinθ）=1．
【分析】由题意可得直线l的方程为y=x+b，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心（2，1）在直线l上，由此求得b的值，可得直线的方程．
7.（2014 湖北）已知曲线C1的参数方程是 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为________． www.21-cn-jy.com
【答案】（ ，1）
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：把曲线C1的参数方程是 （t为参数），
消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2 （x≥0，y≥0），即 y= x （x≥0）．
曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4．
解方程组 ，再结合x＞0、y＞0，求得 ，∴C1与C2交点的直角坐标为（ ，1），
故答案为：（ ，1）．
【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得 C1与C2交点的直角坐标．
8.（2013 重庆）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线 （t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=________．
【答案】16
【考点】两点间的距离公式，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线 （t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，﹣8），
则|AB|=16．
故答案为：16．
【分析】先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程，再代入曲线 （t为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|．
9.（2013 陕西）（坐标系与参数方程选做题）
如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为________．
【答案】 ,且
【考点】圆的参数方程
【解析】【解答】解：将圆方程化为（x﹣ ）2+y2= ，可得半径r= ，
∴OP=2r cosθ=cosθ，
∴x=OP cosθ=cos2θ，y=OP sinθ=sinθcosθ，
则圆的参数方程为 ，θ∈R，且θ≠ ．
故答案为： ，θ∈R，且θ≠
【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出OP，进而表示出x与y，即为圆的参数方程．
三、综合题
10.（2017 新课标Ⅲ）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 ，（t为参数），直线l2的参数方程为 ，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（10分）
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径．
【答案】（1）解：∵直线l1的参数方程为 ，（t为参数），
∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；
又直线l2的参数方程为 ，（m为参数），
同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；
联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；
（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，
∴其普通方程为：x+y﹣ =0，
联立 得： ，
∴ρ2=x2+y2= + =5．
∴l3与C的交点M的极径为ρ= ．
【考点】极坐标系，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程，直线的参数方程
【解析】【分析】解：（1.）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2﹣y2=4；
（2.）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0化为普通方程：x+y﹣ =0，再与曲线C的方程联立，可得 ，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ= ．
11.（2014 新课标II）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0， ]
（1）求C的参数方程；
（2）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y= x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
【答案】（1）解：由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0， ]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．
可得C的参数方程为 （t为参数，0≤t≤π）．
（2）解：设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，
∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant= ，t= ．
故D的直角坐标为 ，即（ ， ）
【考点】参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）利用 即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y= x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．
12.（2013 辽宁）在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1 ， 直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（ ）=2 ．
（1）求C1与C2交点的极坐标；
（2）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为 （t∈R为参数），求a，b的值．
【答案】（1）解：圆C1 ， 直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，
解 得 或 ，
∴C1与C2交点的极坐标为（4， ）．（2 ， ）．
（2）解：由（1）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），
故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，
由参数方程可得y= x﹣ +1，
∴ ，
解得a=﹣1，b=2．
【考点】直线与圆的位置关系，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）先将圆C1 ， 直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（2）由（1）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y= x﹣ +1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．
13.（2013 新课标Ⅱ）选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C： 上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（1）求M的轨迹的参数方程
（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
【答案】（1）解：根据题意有：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），
∵M为PQ的中点，故M（cosα+cos2α，sin2α+sinα），
∴求M的轨迹的参数方程为： （α为参数，0＜α＜2π）．
（2）解：M到坐标原点的距离d= = （0＜α＜2π）．
当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．
【考点】两点间的距离公式，轨迹方程，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据题意写出P，Q两点的坐标：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中点坐标公式得PQ的中点M的坐标，从而得出M的轨迹的参数方程；（2）利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离d= = ，再验证当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．
14.（2013 新课标Ⅰ）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
已知曲线C1的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）
【答案】（1）解：曲线C1的参数方程式 （t为参数），
得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，
即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．
ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；
（2）解：曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，
由 ，解得 或 ．
∴C1与C2交点的极坐标分别为（ ， ），（2， ）．
【考点】极坐标刻画点的位置，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（2）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．
15.（2014 辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（1）写出C的参数方程；
（2）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1 ， P2 ， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
【答案】（1）解：在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x， ）在圆x2+y2=1上，
∴x2+ =1，即曲线C的方程为 x2+ =1，化为参数方程为 （0≤θ＜2π，θ为参数）．
（2）解：由 ，可得 ， ，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），
则线段P1P2的中点坐标为（ ，1），
再根据与l垂直的直线的斜率为 ，故所求的直线的方程为y﹣1= （x﹣ ），即x﹣2y+ =0．
再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+ =0，
即 ρ= 21cnjy.com
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x， ）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（2）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为 ，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．
16.（2014 新课标I）已知曲线C： + =1，直线l： （t为参数）
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
【答案】（1）解：对于曲线C： + =1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C的参数方程为 ，（θ为参数）．
对于直线l： ，
由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；
（2）解：设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为 ．
则 ，其中α为锐角．
当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为 ．
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为 ．
【考点】直线与圆锥曲线的关系，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（2）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．
17.（2014 福建）已知直线l的参数方程为 （t为参数），圆C的参数方程为 （θ为常数）．
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：直线l的参数方程为 ，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；
圆C的参数方程为 ，两式平方相加可得x2+y2=16
（2）解：圆心C（0，0），半径r=4．
由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d= ．
∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即 ≤4，解得﹣2 ≤a≤2
【考点】直线的参数方程，圆的参数方程
【解析】【分析】（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点 d≤r即可求出．【版权所有：21教育】
18.（2017 新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 ，（t为参数），直线l2的参数方程为 ，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）写出C的普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径．
【答案】解：（Ⅰ）∵直线l1的参数方程为 ，（t为参数），
∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；
又直线l2的参数方程为 ，（m为参数），
同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；
联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；
（Ⅱ）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，
∴其普通方程为：x+y﹣ =0，
联立 得： ，
∴ρ2=x2+y2= + =5．
∴l3与C的交点M的极径为ρ= ．
【考点】极坐标系，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程，直线的参数方程
【解析】【分析】解：（Ⅰ）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2﹣y2=4；
（Ⅱ）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0化为普通方程：x+y﹣ =0，再与曲线C的方程联立，可得 ，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ= ．
19.（2017 江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），曲线C的参数方程为 （s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
【答案】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，
∴P到直线l的距离d= = ，
∴当s= 时，d取得最小值 = ．
【考点】二次函数在闭区间上的最值，点到直线的距离公式，参数方程化成普通方程，函数最值的应用
【解析】【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．
20.（2017 新课标Ⅰ卷）[选修4-4 ， 坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 （t为参数）．（10分）
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．
【答案】（1）解：曲线C的参数方程为 （θ为参数），化为标准方程是： +y2=1；
a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；
联立方程 ，
解得 或 ，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣ ， ）．
（2）l的参数方程 （t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
d= = ，φ满足tanφ= ，
又d的最大值dmax= ，
所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为17，
得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17，
即a=﹣16或a=8．
【考点】三角函数中的恒等变换应用，点到直线的距离公式，直线与圆锥曲线的关系，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1.）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；
（2.）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为 进行分析，可以求出a的值．
21.（2017 新课标Ⅰ卷）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 （t为参数）．（10分）
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．
【答案】（1）解：曲线C的参数方程为 （θ为参数），化为标准方程是： +y2=1；
a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；
联立方程 ，
解得 或 ，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣ ， ）．
（2）l的参数方程 （t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
d= = ，φ满足tanφ= ，
又d的最大值dmax= ，
所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为17，
得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17，
即a=﹣16或a=8．
【考点】三角函数的最值，直线和圆的方程的应用，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1.）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得交点坐标；
（2.）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为 进行分析，可以求出a的值．
22.（2014 江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．
【答案】解：直线l的参数方程为 ，化为普通方程为x+y=3，
与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，
∴交点A（1，2），B（9，﹣6），
∴|AB|= =8
【考点】直线的参数方程
【解析】【分析】直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．
模拟题精练
一、单选题
1.已知圆的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相切 B. 相离 C. 直线过圆心 D. 相交但直线不过圆心
【答案】D
【考点】圆的参数方程
【解析】【解答】圆的参数方程 （θ为参数），
∴圆的普通方程为
直线的极坐标方程为，
∴直线的普通方程为
而∴直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心,故选D
【分析】本题主要考查了极坐标方程，解决问题的关键是先利用将圆的参数方程化成圆的普通方程，然后利用利用,，将直线的极坐标方程化成普通方程，最后计算圆心到直线的距离与半径进行比较即可判定位置关系．
2.直线y=2x+1的参数方程是（ ）
A. （t为参数） B. （t为参数）
C. （t为参数） D. （θ为参数）
【答案】B
【考点】直线的参数方程
【解析】【解答】解：∵y=2x+1，∴y+1=2（x+1），令x+1=t，则y+1=2t，可得 ，即为直线y=2x+1的参数方程． 故选：B．
【分析】由已知y=2x=1，可化为点斜式方程：y+1=2（x+1），令x+1=t，则y+1=2t，即可化为直线的参数方程．21·cn·jy·com
3.若直线L的参数方程为(t为参数），则直线L的倾斜角的余弦值为（ ）
A. B. C. D. 2·1·c·n·j·y
【答案】C
【考点】同角三角函数间的基本关系，直线的倾斜角，直线的斜率，直线的参数方程
【解析】【分析】由直线的参数方程消去参数得直线的斜截式方程为：，
设直线的倾斜角为， 则， ，
又， 所以，， ，
由知， 所以，， 故选C.
4.参数方程（t为参数）表示什么曲线（ ）
A. 一个圆 B. 一个半圆 C. 一条射线 D. 一条直线21*cnjy*
【答案】C
【考点】直线的参数方程
【解析】【解答】解：∵参数方程（t为参数），
消去参数t，化为普通方程是
2（x﹣1）+（y﹣1）=0（x≥1），
即2x+y﹣3=0（x≥1）；
它表示端点为（1，1）的一条射线．
故选：C．
【分析】消去参数t，把参数方程化为普通方程，即得该曲线表示的是什么图形．
5.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为时，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=． 若直线l与圆C相切，则实数a的取值个数为（ ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【考点】圆的参数方程
【解析】【解答】解：圆C的参数方程为， 普通方程为（x﹣a）2+y2=1
ρsin（θ﹣）=的直角坐标方程为x﹣y+1=0，
因为直线l与圆C相切，所以，
所以a=﹣1±，
故选：C．
【分析】直接利用极坐标与直角坐标的互化关系，极坐标方程为直角坐标方程；化参数方程为普通方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得出结论．
6.过点（0，2）且与直线（t为参数）互相垂直的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】直线的参数方程
【解析】【解答】解：把直线（t为参数）消去参数，化为普通方程为 y=x+1﹣2，
故已知直线的斜率为， 故所求直线的斜率为﹣， 倾斜角为，
故要求的直线的参数方程为 （t为参数），
故选：B．
【分析】把直线（t为参数）消去参数，化为普通方程，可得已知直线的斜率为， 故所求直线的斜率为﹣， 倾斜角为， 从而求得要求的直线的参数方程．
7.设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x+y+1=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（ ） 21教育
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【考点】直线的参数方程
【解析】【解答】解：曲线C的参数方程为（θ为参数），
化为普通方程为圆（x+1）2+（y+2）2=8，
圆心为（﹣1，﹣2），半径为2，
圆心到直线x+y+1=0的距离为d==，
故由图形可知曲线C上到直线l距离为的点的个数为3．
故选C．
【分析】将曲线C化为普通方程，得到圆（x+1）2+（y+2）2=8，圆心为（﹣1，﹣2），半径为2， 求出圆心到直线的距离，由图象即可得到答案．
8.直线的参数方程可以是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】直线的参数方程
【解析】【解答】根据题意，由于直线， 则可知斜率为2，那么通过，消去参数t，可知选项A中，x， 选项B，y=2x+3,选项D, ,可知范围不成立，故可知答案为C.
【分析】主要是考查了参数方程的求解，属于基础题。
9.已知直线和圆的极坐标方程分别为 和 ，则直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相切 B. 相交且直线过圆心
C. 相交但直线不过圆心 D. 相离
【答案】C
【考点】圆的参数方程
【解析】【解答】直角坐标系中，直线和圆的方程分别为 和 ，即 ，从而圆心 到直线 的距离 ，所以直线与圆相交。因为圆心 不在直线 上，所以选C
【分析】本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是根据所给极坐标方程化为普通方程，利用几何关系分析计算即可
10.直线y=2x+1的参数方程是（ ）。
A. （t为参数）
B. （t为参数）
C. （t为参数）
D. （t为参数）
【答案】C
【考点】直线的参数方程
【解析】【解答】∵y=2x+1，∴y+1=2（x+1)，令x+1=t，则y+1=2t，可得(t为参数)，即为直线y=2x+1的参数方程．故选C．
【分析】简单题，将直线的普通方程化为参数方程，其关键是把直线的普通方程写成点斜式方程。
11.若直线的参数方程为 （t为参数），则直线的倾斜角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】C
【考点】直线的参数方程
【解析】【解答】解：直线的普通方程为 x+y﹣3﹣ =0．
∴直线的斜率k=﹣ ，
∴直线的倾斜角为120°．
故选C．
【分析】求出直线的普通方程得出直线的斜率，从而求得直线的倾斜角．
12.参数方程（t为参数）所表示的曲线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【考点】圆的参数方程
【解析】【解答】解：∵， ∴x与y同号（t=±1除外），
将代入消掉参数t得：x2+y2=1（xy≥0，x≠0）；
故选D．
【分析】根据可知x与y同号（t=±1除外），将代入消掉参数t后即可判断．【出处：21教育名师】
二、填空题
13.直线 （t为参数）的倾斜角的大小为________．
【答案】
【考点】直线的参数方程
【解析】【解答】解： （t为参数）化参数方程为普通方程，两方程相加可得x+y=2， 则直线的斜率为﹣1，
故倾斜角为 ．
故答案为： ．
【分析】化参数方程为普通方程，求出斜率，即可求得倾斜角．
14.曲线C： （θ为参数）上的点到其焦点的距离的最小值________．
【答案】3
【考点】参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：曲线C： （θ为参数），化为普通方程为： ， ∴a=3，b=2，c= ，
曲线C： 上的点到其焦点的距离的最小值为：a﹣c=3 ．
故答案为：3 ．
【分析】通过椭圆的参数方程，化为普通方程，利用椭圆的性质求解即可．
15.在平面直角坐标系中，若直线l1：（s为参数）和直线l2：（t为参数）平行，则常数a的值为________
【答案】4
【考点】直线的参数方程
【解析】【解答】解：直线l1的参数方程为（s为参数），消去s得普通方程为x﹣2y﹣1=0，
直线l2的参数方程为（t为参数），消去t得普通方程为2x﹣ay﹣a=0，
x﹣2y﹣1=0的斜率为k1=，
2x﹣ay﹣a=0的斜率k2=，
∵l1∥l2 ，
∴=， 解得：a=4．
验证a=4时两直线在y轴上的截距不等．
故答案为：4．
【分析】化两直线的参数方程为普通方程，求出它们的斜率，由斜率相等验证截距不等得答案．
16.已知曲线 ，θ∈[0，2π）上一点P（x，y）到定点M（a，0），（a＞0）的最小距离为 ，则a=________．
【答案】或
【考点】参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：由丨PM丨2=（2cosθ﹣a）2+sin2θ=3cos2θ﹣4acosθ+1+a2 ， 设cosθ=t，t∈[﹣1，1]，设f（t）=3t2﹣4at+1+a2 ， t∈[﹣1，1]，
由二次函数的性质，对称轴t= ，由0＜ ＜1时，0＜a＜ ，
则当t= 时，取最小值为：1﹣ ，则1﹣ = ，解得：a=± ，
由0＜a＜ ，则a= ，
当 ＞1时，即a＞ ，则f（t）在[﹣1，1]，单调递减，
则当t=1时取最小值，最小值为：a2+4﹣4a，
∴a2+4﹣4a= ，整理得：16a2﹣64a+55=0，解得：a= 或a= ，
由a＞ ，则a= ，
综上可知：a的值为： 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】根据两点之间的距离公式，表示表示出丨PM丨2 ， 利用换元法及二次函数的性质，即可求得a的值．
三、综合题
17.在直角坐标系中 中，已知曲线 经过点 ，其参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）若直线 交 于点 ，且 ，求证： 为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）解：将点 代入曲线 的方程： ，
解得 ，
所以曲线 的普通方程为 ，
极坐标方程为 ，
（2）不妨设点 的极坐标分别为 ，
则 ，
即 ，
∴ ，
即 ，
所以 为定值 ．
【考点】参数方程的概念，参数方程化成普通方程，椭圆的参数方程
【解析】【分析】（1）根据参数方程求出普通方程，然后根据普通方程求出极坐标方程；（2）用极坐标表示出A，B，将两个点代入方程即可。【来源：21·世纪·教育·网】
18.在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为 （t为参数）与曲线C： （θ为参数）相交于不同的两点A，B．
（1）若 ，求线段AB的中点的直角坐标；
（2）若直线l的斜率为2，且过已知点P（3，0），求|PA| |PB|的值．
【答案】（1）解：由曲线： （θ为参数），可得C的普通方程是x2﹣y2=1 当 时，直线l的参数方程为 （t为参数），
代入曲线C的普通方程，得t2﹣6t﹣16=0，
则线段AB的中点对应的t=3，
故线段AB的中点的直角坐标为（ ）
（2）解：将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得（cos2α﹣sin2α）tx2+6cosαt+8=0， 则|PA| |PB|=| |=| |=
【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）若 ，直线l的参数方程为 （t为参数），代入曲线C的普通方程，得t2﹣6t﹣16=0，求出线段AB的中点对应的t=3，即可求线段AB的中点的直角坐标；（2）若直线l的斜率为2，且过已知点P（3，0），利用参数的几何意义求|PA| |PB|的值．
19.已知曲线M的参数方程为 （α为参数），曲线N的极方程为ρsin（θ+ ）=8．
（1）分别求曲线M和曲线N的普通方程；
（2）若点A∈M，B∈N，求|AB|的最小值．
【答案】（1）解：曲线M的普通方程为x2+（y﹣2）2=4， 由ρsin（θ+ ）=8有 ρsinθ+ ρcosθ=8，
∴曲线N的普通方程为
（2）解：圆M的圆心M（0，2），半径为r=2，点M到直线N的距离为d= =7， 故|AB|的最小值为d﹣r=5
【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）利用参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程互化方法分别求曲线M和曲线N的普通方程；（2）若点A∈M，B∈N，求出点M到直线N的距离，即可求|AB|的最小值．
20.在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为 （t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．
【答案】（1）解：由ρ=10cosθ得ρ2=10ρcosθ， ∴直角坐标方程为：x2+y2=10x，配方为：（x﹣5）2+y2=25
（2）解：将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化为 =0， 由于△= ﹣4×20=82＞0，可设t1 ， t2是上述方程的两个实根．
∴t1+t2=﹣ ，t1t2=20，又直线l过点P（2，6），
可得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣（t1+t2）=9
【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）由ρ=10cosθ得ρ2=10ρcosθ，把 代入即可得出．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化为 =0，可设t1 ， t2是上述方程的两个实根．利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣（t1+t2）即可得出．
21.已知直线l： （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2．
（1）若点M的直角坐标为（2， ），直线l与曲线C交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值；
（2）设曲线C经过伸缩变换 得到曲线C′，求曲线C′的内接矩形周长的最大值．
【答案】（1）解：曲线C的极坐标方程为ρ=2，则曲线C的直角坐标方程为：x2+y2=4，
直线l： ，转化成普通方程为：y﹣ x+ =0，
设A，B两点对应的参数分别为t1 ， t2 ，
将直线l的参数方程带入圆的直角坐标方程x2+y2=4，
整理得：t2+5t+3=0，
∴t1+t2=﹣5，t1 t2=3，
|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|= = ，
（2）解： 代入曲线C的方程得： ，
设曲线C′的内接矩形周长为P，曲线C′的内接矩形的第一象限内的顶点为N（x′，y′）（0＜x＜2 ，0＜y＜2），
x′2+3y′2=3，x′= ，
P=4x′+4y′=4 ，+4y′，
令f（y）=4 ，+4y′，
f′（y）= +4，
令f′（y′）=0得y=1，
当0＜y′＜1时，f′（y′）＞0，当1＜y＜1时，f′（y′）＜0．
∴当y′=1时，f（y′）取得最大值16．
曲线C′的内接矩形周长的最大值16
【考点】参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）求得曲线C的直角坐标方程，把直线l代入圆的直角坐标方程，化简后利用韦达定理可求t1+t2 ， t1t2的值，由|MA|+|MB|=|t1﹣t2|= ，即可求得|MA|+|MB|的值；（2）设矩形的顶点坐标为（x′，y′），则根据x′，y′的关系消元得出P关于x（或y）的函数，利用导数，求出此函数的最大值．
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为y=3+ ．
（1）写出曲线C的一个参数方程；
（2）在曲线C上取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB的周长的取值范围．
【答案】（1）解：曲线C的方程为y=3+ ． 化简可得：（y﹣3）2=﹣x2+8x﹣15，（y≥3，3≤x≤5）
即：x2+y2﹣8x﹣6y+24=0，
可知圆心为（4，3），半径r=1，
曲线C的一个参数方程为： （θ为参数）
（2）解：由（1）可知曲线C圆心为（4，3），半径r=1，（y≥3，3≤x≤5）的半圆． 设一点P的参数坐标为（4+cosθ，3+sinθ）（0≤θ≤π），
过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，
∴|PA|=3+sinθ，|PB|=4+cosθ
∴矩形OAPB的周长l=2|PA|+2|PB|=2|3+sinθ+4+cosθ|=2[7+ sin（ ）]，（0≤θ≤π）
当θ= 时，周长l最大为14+2 ．
当θ=π时，周长l最小为12．
故得矩形OAPB的周长的取值范围是[12， ]
【考点】参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）采用平方法，化简曲线C，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得曲线C的一个参数方程；（2）由（1）可知曲线C，曲线C上取一点P的参数坐标，利用三角函数的有界限求解矩形OAPB的周长的取值范围
23.在直角坐标系xoy中，已知曲线C1： （θ为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度，建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．
（1）将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的 ，2倍后得到曲线C2 ， 试写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C2上求一点P，使P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
【答案】（1）解：由直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ﹣sinθ）=6，利用互化公式可得直角坐标方程：2x﹣y﹣6=0． 曲线C1： （θ为参数），利用平方关系可得普通方程：x2+y2=1．
将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的 ，2倍后得到曲线C2 ， 可得： =1，
∴曲线C2的参数方程为 （θ为参数）
（2）解：设点P ， 则P到直线l的距离d= = ≤ =2 ，当且仅当 =﹣1时取等号，取θ= ．
∴P 到直线l的距离最大值为2 21·世纪*教育网
【考点】参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）由直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ﹣sinθ）=6，利用互化公式可得直角坐标方程．曲线C1： （θ为参数），利用平方关系可得普通方程．将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的 ，2倍后得到曲线C2 ， 可得： =1，利用平方关系可得参数方程．（2）设点P ，则P到直线l的距离d= ，利用三角函数的单调性值域即可得出最大值．
24.已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是 （t为参数）
（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的 倍，求a的值．
【答案】（1）解：当a=2时，圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．∴圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1．
令y= =0得t=0，把t=0代入x=﹣ 得x=2．∴M（2，0）．
∴|MC|= = ．∴|MN|的最大值为|MC|+r=
（2）解：由ρ=asinθ得ρ2=aρsinθ，∴圆C的直角坐标方程是x2+y2=ay，即x2+（y﹣ ）2= ．
∴圆C的圆心为C（0， ），半径为| |，
直线l的普通方程为4x+3y﹣8=0．
∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的 倍，
∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半．
∴ =| |，解得a=32或a= www-2-1-cnjy-com
【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，M点坐标，则|MN|的最大值为|MC|+r；（2）由垂径定理可知圆心到直线l的距离为半径的 ，列出方程解出．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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