【备考2018】高考数学真题精讲精练专题选修4－5 第1讲 不等式、含有绝对值的不等式（2013-2017）

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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
选修4－5　第1讲　不等式、含有绝对值的不等式（答案）
知识回顾
1．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；
(2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．21教育名师原创作品
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解法
不等式 a>0 a＝0 a<0
|x||x|>a {x|x>a，或x<－a} {x|x∈R，且x≠0} R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
例题精讲
考点一　含绝对值不等式的解法
【变式训练1】已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）＞5的解集；
【答案】（1）解：不等式f（x）＞5即为|x+2|+|x﹣1|＞5， 等价于 或 或 ，
解得x＜﹣3或x＞2，
因此，原不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞2}
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【考点】绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）问题转化为解不等式组问题，求出不等式的解集即可；（2）要使f（x）≥|a﹣1|对任意实数x∈R成立，得到|a﹣1|≤3，解出即可．2·1·c·n·j·y
考点二　含参数的绝对值不等式问题
【变式训练2】已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣a|（a∈R）．
（1）若f（1）＜11，求a的取值范围；
（2）若 a∈R，f（x）≥x2﹣x﹣3恒成立，求x的取值范围．
【答案】（1）解：f（1）=|1﹣a|+|2﹣a|= ， 当a≤1时，3﹣2a＜11，解得a＞﹣4，∴﹣4＜a≤1；
当1＜a＜2时，1＜11恒成立；
当a≥2时，2a﹣3＜11，解得a＜4，2≤a＜4．
综上，a的取值范围是（﹣4，4）
（2）解：f（x）=|x﹣a|+|2x﹣a|≥|x﹣a﹣（2x﹣a）|=|x|， ∴|x|≥x2﹣x﹣3，
∴ 或 ，
解得0≤x≤ 或﹣ x＜0．
∴﹣ ≤x≤ 21·世纪*教育网
【考点】绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）讨论a的范围，得出f（1）关于a的解析式，从而解出a的值；（2）把a看作自变量，利用绝对值三角不等式得出|x﹣a|+|2x﹣a|的最小值，从而得出关于x的不等式解出．
考点三　含绝对值的不等式的应用
【变式训练3】已知函数f（x）=|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≤5﹣|x﹣1|的解集；
（2）若函数g（x）= ﹣f（2x）﹣a的图象在（ ，+∞）上与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：不等式f（x）≤5﹣|x﹣1|，即|x﹣2|≤5﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≤5，
∴ ①；或 ②；或 ．
解①求得﹣1≤x＜1，解②求得1≤x≤2，解求得 2＜x≤4，
综上可得，原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}．
（2）若函数g（x）= ﹣f（2x）﹣a的图象在（ ，+∞）上与x轴有3个不同的交点，
则方程 ﹣f（2x）=a在（ ，+∞）上有3个解，
即函数h（x）= ﹣|2x﹣2|= 的图象和直线y=a 在（ ，+∞）上有3个交点．
当 ＜x＜1时，f（x）= +2x﹣2≥2 ﹣2，当且仅当 =2x，即x= 时，等号成立．
再根据f（ ）=1=f（1），当x≥1时，f（x）= ﹣2x+2单调递减，如图所示：
故a的取值范围为（2 ﹣2，1）．
【考点】含绝对值的不等式的应用
【解析】【分析】（1）零点分区间讨论可得不等式解集，再取并集；（2）函数g（x）= ﹣f（2x）﹣a的图象在（ ，+∞）上与x轴有3个不同的交点,进行参变分离，即为，在上有3个解，根据数形结合得到a的取值范围.
真题精析
一、单选题
1.（2017 天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）
A. [﹣2，2] B. C. D.
【答案】A
【考点】绝对值不等式的解法，分段函数的应用，函数最值的应用
【解析】【解答】解：根据题意，函数f（x）= 的图象如图：
令g（x）=| +a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），
在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，
若不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在
g（x）上的上方或相交，
则必有f（0）≥g（0），
即2≥|a|，
解可得﹣2≤a≤2，
故选：A．
【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=| +a|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相切的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a的取值范围，即可得答案．
2.（2017 天津）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，
由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，
得0≤x≤2．
则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，
故选：B
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
3.（2017·天津）设θ∈R，则“|θ﹣ |＜ ”是“sinθ＜ ”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，正弦函数的图象，正弦函数的单调性，绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：|θ﹣ |＜ ﹣ ＜θ﹣ ＜ 0＜θ＜ ，
sinθ＜ ﹣ +2kπ＜θ＜ +2kπ，k∈Z，
则（0， ） [﹣ +2kπ， +2kπ]，k∈Z，
可得“|θ﹣ |＜ ”是“sinθ＜ ”的充分不必要条件．
故选：A．
【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．
4.（2017·山东）设集合M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（　　）
A. （﹣1，1） B. （﹣1，2） C. （0，2） D. （1，2）
【答案】C
【考点】交集及其运算，绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：集合M={x||x﹣1|＜1}=（0，2），
N={x|x＜2}=（﹣∞，2），
∴M∩N=（0，2），
故选：C．
【分析】解不等式求出集合M，结合集合的交集运算定义，可得答案．
5.（2014 江西）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【考点】绝对值三角不等式，函数最值的应用
【解析】【解答】解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|
=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|
≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，
当且仅当x∈[0，1]，y∈[﹣1，1]成立．
故选：C．
【分析】把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．
二、填空题
6.（2017 天津）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为________．
【答案】4
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：a，b∈R，ab＞0，
∴ ≥
=
=4ab+ ≥2 =4，
当且仅当 ，
即 ，
即a= ，b= 或a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”；
∴上式的最小值为4．
故答案为：4．
【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．
7.（2017 浙江）已知a∈R，函数f（x）=|x+ ﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是________． 21世纪教育网版权所有
【答案】（﹣∞， ）
【考点】函数的最值及其几何意义，绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由题可知|x+ ﹣a|+a≤5，即|x+ ﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，
又因为|x+ ﹣a|≤5﹣a，
所以a﹣5≤x+ ﹣a≤5﹣a，
所以2a﹣5≤x+ ≤5，
又因为1≤x≤4，4≤x+ ≤5，
所以2a﹣5≤4，解得a≤ ，
故答案为：（﹣∞， ）．
【分析】通过转化可知|x+ ﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+ ≤5，进而计算可得结论．www.21-cn-jy.com
8.（2014 重庆）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+ a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】[﹣1， ]
【考点】绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：|2x﹣1|+|x+2|= ，
∴x= 时，|2x﹣1|+|x+2|的最小值为 ，
∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+ a+2对任意实数x恒成立，
∴a2+ a+2≤ ，
∴a2+ a﹣ ≤0，
∴﹣1≤a≤ ，
∴实数a的取值范围是[﹣1， ]．
故答案为：[﹣1， ]．
【分析】利用绝对值的几何意义，确定|2x﹣1|+|x+2|的最小值，然后让a2+ a+2小于等于它的最小值即可．
9.（2013 山东）在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为________．
【答案】
【考点】几何概型，绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．
由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1 可得 ① ，或② ，
③ ．
解①可得x∈ ，解②可得1≤x＜2，解③可得 x≥2．
故原不等式的解集为{x|x≥1}，
∴|在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为P= = ．
故答案为：
【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣3，3]的长度求比值即得．
10.（2014 湖南）若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣ ＜x＜ }，则a=________．
【答案】-3
【考点】绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：显然，a=0时，条件|ax﹣2|＜3恒成立，不满足解集为{x|﹣ ＜x＜ }．
当a＞0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得﹣ ＜x＜ ，
再根据的解集为{x|﹣ ＜x＜ }，∴ ，a无解．
当a＜0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得 ＜x＜﹣ ，
再根据的解集为{x|﹣ ＜x＜ }，∴ ，解得a=﹣3，
故答案为：﹣3．
【分析】分a=0、a＞0、a＜0三种情况，分别去掉绝对值求得不等式的解集，再把求得的解集和所给的解集作对比，从而求得a的值，综合可得结论．
11.（2014 广东）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为________．
【答案】（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）
【考点】绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得 ①，或 ②，或 ③．
解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈ ，解③求得x≥2．
综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．
【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
12.（2013 重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是________．
【答案】（﹣∞，8]
【考点】绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，
再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，
故答案为：（﹣∞，8]．
【分析】利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．
三、解答题
13.（2017 新课标Ⅲ）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max ， 设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）= ，
当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ；
当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，
∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；
综上，g（x）max= ，
∴m的取值范围为（﹣∞， ]．
【考点】函数的值域，绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（Ⅰ）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max ， 设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max= ，从而可得m的取值范围．
14.（2013 辽宁）已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；
（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．
【答案】（1）解：当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，
当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，得2≥4，无解；
当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；
故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}
（2）解：设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=
由|h（x）|≤2得 ，
又已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，
所以 ，
故a=3．
【考点】绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可．（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）= ．由|h（x）|≤2解得 ，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值．
模拟题精练
一、单选题
1.函数的最小值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【考点】基本不等式
【解析】【解答】利用基本不等式，但要注意基本不等式的要求，“一正二定三相等”，
∵ ， ∴， 当且仅当时取等号，故选C.
2.已知关于x的不等式|x+2|﹣|x+3|＞m有解，则实数m的取值范围是（　　）
A. m＜﹣1 B. m≥1 C. m＜1 D. m≤1
【答案】C
【考点】绝对值三角不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式|x+2|﹣|x+3|＞m有解，|x+2|﹣|x+3|表示数轴上的x到﹣2的距离减去它到﹣3的距离，
最大值为1，故 m＜1，
故选C．
【分析】根据绝对值的意义，|x+2|﹣|x+3|表示数轴上的x到﹣2的距离减去它到﹣3的距离，此距离的最大值为1，可得 m＜1．21教育网
3.已知命题p:a,b,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分不必要条件;命题q:已知A,B,C 是锐角三角形ABC的三个内角,向量,,则与的夹角是锐角,则（　　）
A. p假q真 B. p且q为真 C. p真q假 D. p或q为假21*cnjy*com
【答案】A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，平面向量数量积的运算，诱导公式一，绝对值不等式的解法
【解析】【解答】因为， 所以由推不出， 所以是假命题；
因为三角形是锐角三角形，所以同理可求得所以， 所以与的夹角是锐角,所以命题是真命题.
【分析】本小题的解题关键在于由三角形是锐角三角形推出另外，判断充分条件和必要条件，一定要分清楚条件和结论.www-2-1-cnjy-com
4.若圆上的任意一点关于直线的对称点仍在圆上，则最小值为（　 　）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】基本不等式，直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆上的任意一点关于直线的对称点仍在圆上，则直线过圆心， 即， ， 故选C.
5.若a，bc为实数，则下列命题中正确的是（　　）
A. 若a＞b，则ac2＞bc2 B. 若a＜b，则a+c＜b+c
C. 若a＜b，则ac＜bc D. 若a＜b，则
【答案】B
【考点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：对于A：若a＞b，则ac2＞bc2 ， 当c=0时不成立，
对于B：根据不等式的性质1，若a＜b，则a+c＜b+c，故成立，
对于C：若a＜b，则ac＜bc，当c=0时不成立，
对于D：若a＜b，则ac＜bc，当a=﹣1，b=1时不成立，
故选：B
【分析】根据不等式的基本性质，判断每个选项即可21*cnjy*com
6.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】基本不等式，数列的应用
【解析】【分析】先利用条件找到方程（1+a)（1+b)=（1+x)2 ． 然后利用基本不等式求可得到答案．
【解答】由题3A（1+a)（1+b)=A（1+x)2 （1+a)（1+b)=（1+x)2 ．
又∵（1+a)（1+b)≤()2 ．
∴1+x≤=1+ x≤
故选 B
7.设都是正实数，且满足， 则使恒成立的c的范围是(　　)
A. (0,8] B. (0,10] C. (0,12] D. (0,16]
【答案】D
【考点】平均值不等式
【解析】【解答】由已知恒成立，由已知及均值不等式可得， 故选D．
【分析】1．均值不等式；2．恒成立问题中的参数取值范围问题．
8.已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+4c2+4d2=5则a的最大值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【考点】平均值不等式在函数极值中的应用
【解析】【解答】根据柯西不等式，得（2b2+4c2+4d2）（++）≥（b+c+d）2
当且仅当2b=4c=4d时，等号成立
∵a+b+c+d=3，a2+2b2+4c2+4d2=5
∴5﹣a2≥（3﹣a）2 ， 解之得1≤a≤2，
当且仅当2b=4c=4d且b+c+d=1时，即当b=， c=d=时，a有最大值2．
故选B.
【分析】根据柯西不等式当n=3时的不等式：≥（x1y1+x2y2+x3y3）2 ， 得到（2b2+4c2+4d2）（++）≥（b+c+d）2 ． 从而得到关于a不等式：5﹣a2≥（3﹣a）2 ， 解之得1≤a≤2，最后根据柯西不等式取等号的条件，找到当b=， c=d=时，a有最大值2．
9.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：设直角三角形的边长为a，a+1， 则a2+（a+1）2=25，a＞0．
解得a=3．
∴sinθ= ，cos ．
∴sin2θ= = ．
故选：D．
【分析】设直角三角形的边长为a，a+1，a2+（a+1）2=25，a＞0．解出利用倍角公式即可得出．
10.已知2x+y=1，x＞0，y＞0，则 的最小值是________．
【答案】9
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵2x+y=1，x＞0，y＞0，∴ =（2x+y） =5+ =9，当且仅当x=y= 时取等号．
∴ 的最小值是9．
故答案为：9．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【来源：21·世纪·教育·网】
11.已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点在直线上，其中， 则的最小值为（ ） 【版权所有：21教育】
A. B. 8 C. 9 D. 12
【答案】C
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题意可知， 代入直线， 即， 所以， 故选C.
12.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为 ( )
A. 35m B. 30m C. 25m D. 20m
【答案】D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】如图所示，设另一边长为， 则， 所以， 所以面积， 当且仅当时等号成立，即当时面积最大.选D.
二、填空题
13.设a＞0，b＞0，若 是3a与3b的等比中项，则 + 的最小值是________．
【答案】4
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵ 是3a与3b的等比中项 ∴3a 3b=3a+b=3
∴a+b=1
∴ab≤ = （当a=b时等号成立）
∴ + = = ≥4．
故答案为：4
【分析】先根据等比中项的性质求得a+b的值，进而利用基本不等式取得ab的最大值，把 + 化简整理，根据ab的范围，求得答案．
14.a，b为正数，给出下列命题：
①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；
②若 ﹣ =1，则a﹣b＜1；
③ea﹣eb=1，则a﹣b＜1；
④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．
期中真命题的有________．
【答案】①③
【考点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：①中，a，b中至少有一个大于等于1，则a+b＞1，由a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，
所以a﹣b＜1，故①正确．
②中 ﹣ = =1，只需a﹣b=ab即可，
取a=2，b= 满足上式但a﹣b= ＞1，故②错；
③构造函数y=x﹣ex ， x＞0，y′=1﹣ex＜0，函数单调递减，
∵ea﹣eb=1，∴a＞b，
∴a﹣ea＜b﹣eb ，
∴a﹣b＜ea﹣eb=1，
故③正确；
④若lna﹣lnb=1，则a=e，b=1，a﹣b=e﹣1＞1，故④不正确．
故答案为：①③．
【分析】不正确的结论，列举反例，正确的结论，进行严密的证明，即可得出结论．
15.已知﹣1＜a＜b＜2，则a﹣b的范围是________．
【答案】﹣3＜a﹣b＜0
【考点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵﹣1＜a＜b＜2，
∴a﹣b＜0，
﹣2＜b＜1，
∴﹣3＜a﹣b＜2，
综上可得：﹣3＜a﹣b＜0；
故答案为：﹣3＜a﹣b＜0
【分析】根据不等式的基本性质，可得﹣2＜b＜1，进而﹣3＜a﹣b＜2，结合a＜b，则a﹣b＜0，可得答案．【出处：21教育名师】
16.已知a＞1，则不等式a+的最小值为________
【答案】1+2
【考点】基本不等式
【解析】【解答】解：a+=a﹣1++1≥1+2，
当且仅当a﹣1=， 即a=1+时等号成立．
∴不等式a+的最小值为1+2．
故答案为1+2．
【分析】由基本不等式可得a+=a﹣1++1≥1+2， 检验取等号的条件．
三、综合题
17.将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．
（1）求V关于α的函数关系式；
（2）当α为何值时，V取得最大值；
（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，
∴r= ，∴圆锥的高h= = = ．
∴V= =
（2）解：V= = ≤ =2 ．
当且仅当4π2﹣α2= 即α= 时，取等号．
∴当α= 时，体积V取得最大值
（3）解：当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r= ．
设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，
则OD=R，CD=CE= ，AC=3，∴AE= ，AD=3﹣ ．
由△AOD∽△ACE得 ，
∴ ，解得R=3 ≈0.8．
∵0.8＞0.5，
∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．
18.已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|．
（1）解不等式f（x）≥8；
（2）若不等式f（x）＜a2﹣3a的解集不是空集，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：f（x）=|x﹣1|+|x+3|= ， 当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；
当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；
当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．
所以不等式f（x）≥8的解集为{x|x≤﹣5或x≥3}．
（2）解：因为f（x）=|x﹣1|+|x+3|≥4， 又不等式f（x）＜a2﹣3a的解集不是空集，
所以，a2﹣3a＞4，所以a＞4或a＜﹣1，
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．
【考点】绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）求出函数f（x）的分段函数的形式，通过解各个区间上的x的范围去并集即可；（2）求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．
19.已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．
（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；
（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：x≥0时，f（x）=x+1﹣2x=﹣x+1≤﹣6，
解得：x≥7，
﹣1＜x＜0时，f（x）=x+1+2x≤﹣6，无解，
x≤﹣1时，f（x）=﹣x﹣1+2x≤﹣6，
解得：x≤﹣7，
故不等式的解集是{x|x≥7或x≤﹣7}
（2）解：x≥0时，f（x）=﹣x+1≤1，
﹣1＜x＜0时，f（x）=3x+1，﹣2＜f（x）＜1，
x≤﹣1时，f（x）=x﹣1≤﹣2，
故f（x）的最大值是1，
若存在实数x满足f（x）=log2a，
只需 ≤1即可，解得：0＜a≤2
【考点】绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最大值，问题转化为 ≤1，解出即可．
20.已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣1|．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥x+3a的解集；
（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[0，1]，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当a=3时，不等式f（x）≥x+3a，即f（x）≥x+9， 当x≤﹣3时，由﹣2x﹣2≥x+9，解得x≤﹣ ；
当﹣3＜x＜1时，由4≥x+9，解得x≤﹣5，故不等式无解；
当x≥1时，由2x+2≥x+9，解得x≥7．
综上，f（x）≥x+3a的解集为（﹣∞，﹣ ）∪（7，+∞）
（2）解：若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[0，1]，即当x∈[0，1]时，|x+a|+|x﹣1|≤|x﹣4|恒成立， 即|x+a|≤|x﹣4|﹣|x﹣1|恒成立，
等价于﹣3﹣a≤x≤3﹣a．
由题意可得，﹣3﹣a≤0，3﹣a≥1，求得﹣3≤a≤2，
故满足条件的a的取值范围为[﹣3，2]
【考点】绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用绝对值的意义，求得不等式f（x）≥x+3a的解集．（2）由题意可得，当x∈[0，1]时，|x+a|+|x﹣1|≤|x﹣4|恒成立，等价于﹣3﹣a≤x≤3﹣a，根据﹣3﹣a≤0，3﹣a≥1，求得a的范围．
21.已知函数f（x）=|x|﹣|x﹣1|．
（1）若关于x的不等式f（x）≥|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值集合M．
（2）记（1）中数集M中的最大值为k，正实数a，b满足a2+b2=k，证明：a+b≥2ab．
【答案】（1）解：由已知可得f（x）= ， 所以fmax（x）=1，
所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，
所以实数m的最大值M=2
（2）解：因为a＞0，b＞0， 所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2 ，
即证a2+b2+2ab≥4a2b2 ，
所以只要证2+2ab≥4a2b2 ，
即证2（ab）2﹣ab﹣1≤0，
即证（2ab+1）（ab﹣1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，
下证ab≤1，
因为2=a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，
所以a+b≥2ab 21·cn·jy·com
【考点】绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）求出函数的解析式，然后求解函数的最大值，通过|m﹣1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．（2）利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．
22.选修4﹣5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．
（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；
（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．
【答案】（1）证明：f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|= ．
当2＜x＜5时，﹣3＜2x﹣7＜3．
所以﹣3≤f（x）≤3
（2）解：由（1）可知，
当x≤2时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；
当2＜x＜5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣ ≤x＜5}；
当x≥5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}．
综上，不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣ ≤x≤6}
【考点】绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（2）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．
23.已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．
（1）证明：f（x）≥f（0）；
（2）若 x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：证明：f（x）=|x+2|+|x﹣1|， x≤﹣2时，f（x）=﹣x﹣2﹣x+1=﹣2x﹣1≥3，
﹣2＜x＜1时，f（x）=x+2﹣x+1=3，
x≥1时，f（x）=x+2+x﹣1=2x+1≥3，
∴f（x）≥3=f（0）；
（2）解： x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，即 x∈R，不等式2[|x+2|+|x﹣1|]≥|a+3|+|a|恒成立， ∴|a+3|+|a|≤6，
a≤﹣3时，﹣a﹣3﹣a≤6，∴a≥﹣4.5，∴﹣4.5≤a≤﹣3，
﹣3＜a＜0时，a+3﹣a≤6，成立；
a≥0时，a+3+a≤6，∴a≤1.5，∴0≤a≤1.5，
综上所述，﹣4.5≤a≤1.5 2-1-c-n-j-y
【考点】绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）分类讨论，求出f（x）的最小值，即可证明结论；（2） x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，即 x∈R，不等式2[|x+2|+|x﹣1|]≥|a+3|+|a|恒成立，可得|a+3|+|a|≤6，分类讨论求实数a的取值范围．
24.设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，
（1）证明：| a+ b|＜ ；
（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|= ， 由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣ ＜x＜ ，则M=（﹣ ， ）．
∵a、b∈M，∴ ，
所以| a+ b|≤ |a|+ |b|＜ × + × =
（2）解：由（1）得a2＜ ，b2＜ ． 因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）
=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，
所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2 ， 故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|
【考点】绝对值不等式的解法，不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：| a+ b|＜ ；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．
25.已知不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集为A．
（1）求A；
（2）若 a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x +m恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：①当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+2＜18，解得﹣9＜x＜﹣2； ②当﹣2≤x≤2时，x+2﹣x+2＜18，恒成立；
③当x＞2时，x+2+x﹣2＜18，解得2＜x＜9．
综上，不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集为（﹣9，﹣2）∪[﹣2，2]∪（2，9）=（﹣9，9）．
∴A=（﹣9，9）
（2）解：∵a，b∈（﹣9，9），∴a+b∈（﹣18，18）．∵a+b＜x +m恒成立， ∴18≤x +m恒成立，∵x∈（0，+∞），∴x+ +m≥2 +m=4+m．
∴18≤4+m，解得m≥14．
∴m的取值范围是[14，+∞）
【考点】函数恒成立问题，绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）分x＜﹣2，﹣2≤x≤2，x＞2三种情况去绝对值符号将不等式转化为一元一次不等式求解；（2）分别求出a+b和x +m的范围，令a+b的最大值小于x +m的最小值即可．
26.已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0的解集为（﹣1，3）．
（1）求实数a，b的值；
（2）解不等式x2+a|x﹣2|﹣8＜0．
【答案】（1）解：x的不等式ax2+bx+3＞0的解集为（﹣1，3）．
故﹣1和3是方程ax2+bx+3=0的两个根，
∴﹣1+3=﹣ ，﹣1×3= ，
∴a=﹣1，b=2
（2）解：由（1）可知a=﹣1，则x2+a|x﹣2|﹣8＜0即为x2﹣|x﹣2|﹣8＜0
当x≥2时，x2﹣x﹣6＜0，即（x﹣3）（x+2）＜0，解得2≤x＜3，
当x＜2时，x2+x﹣10＜0，解得 ＜x＜2，
综上所述：不等式的解集为{x| ＜x＜3}
【考点】一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据韦达定理即可求出a，b的值，（2）需要分类讨论，分a≥2或a＜2时，去绝对值，解不等式即可．
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2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
选修4－5　第1讲　不等式、含有绝对值的不等式
考纲剖析
1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，
2.能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．
3.掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法.
知识回顾
1．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ ，当且仅当 时，等号成立；
(2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤ ，当且仅当 时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解法
不等式 a>0 a＝0 a<0
|x||x|>a {x|x∈R，且x≠0} R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c ；
②|ax＋b|≥c .
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
精讲方法
一、绝对值不等式
（一）绝对值三角不等式性质定理的应用
（二）绝对值不等式的解法
（1）利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式。
（2）利用公式法转化为不含绝对值的不等式。
（3）利用绝对值的定义或去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解。
（4）不等式的左边含有绝对值符号，要同时去掉这两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”，此题亦可利用绝对值的几何意义去解。21教育网
形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．21cnjy.com
(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.
(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．
（三）含参数的绝对值不等式
把不等式问题转化为函数的图象，利用数形结合思想求解；也可以运用绝对值的几何意义求解。
含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集 的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立 a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立 a＜f(x)min.21世纪教育网版权所有
（四）绝对值不等式的综合问题
（1）结合一次函数的单调性和绝对值不等式的性质得证；
（2）结合二次函数的图象和一次函数的最值求解。
含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根．把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间．按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集．21·cn·jy·com
小结
对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．www.21-cn-jy.com
例题精讲
考点一　含绝对值不等式的解法
【例题1】 不等式|2x+1|﹣|5﹣x|＞0的解集为________．
【答案】（﹣∞，﹣6）∪
【考点】绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由不等式|2x+1|﹣|5﹣x|＞0，可得（2x+1）2＞（5﹣x）2 ， 即3x2+14x﹣24＞0， 解得x＜﹣6或x ．
故答案为：（﹣∞，﹣6）∪ ．
【分析】把要解的不等式等价转化为与之等价的不等式，求解即得所求．
【变式训练1】已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）＞5的解集；
考点二　含参数的绝对值不等式问题
【例题2】已知函数f（x）=2|x+a|+|x﹣ |（a≠0）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＜4；
（2）求函数g（x）=f（x）+f（﹣x）的最小值．
【答案】（1）解：∵a=1，∴原不等式为2|x+1|+|x﹣1|＜4， ∴ ，或 ，或
解得 或﹣1≤x＜1或无解，
∴原不等式的解集为
（2）解：g（x）=f（x）+f（﹣x）= ，
当且仅当 ，即 ，且（x+a）（x﹣a）＜0，（x+ ）（x﹣ ）＜0时取等号，
∴g（x）的最小值为 2·1·c·n·j·y
【考点】绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）对x的范围进行讨论，去绝对值符号解出；（2）利用绝对值不等式的性质和基本不等式得出最小值．【来源：21·世纪·教育·网】
【变式训练2】已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣a|（a∈R）．
（1）若f（1）＜11，求a的取值范围；
（2）若 a∈R，f（x）≥x2﹣x﹣3恒成立，求x的取值范围．
考点三　含绝对值的不等式的应用
【例题3】已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≥5﹣x对 x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：a=3时，即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2， ①当x≥ 时，不等式即2x﹣3+x﹣1≥2，解得x≥2，
②当1＜x＜ 时，不等式即3﹣2x+x﹣1≥2，解得x＜0．
③当x≤1时，3﹣2x+1﹣x≥2，解得2x≤2，即x≤ ．
∴综上，原不等式解集为{x|x≤ 或x≥2}
（2）解：即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立 令g（x）=5﹣x﹣|x﹣1|= ，
则由函数g（x）的图象可得它的最大值为4，
故函数y=|2x﹣a|的图象应该恒在函数g（x）的图象的上方，
数形结合可得 ≥3，
∴a≥6，即a的范围是[6，+∞） 21·世纪*教育网
【考点】绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）令g（x）=5﹣x﹣|x﹣1|，求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．21*cnjy*com
【变式训练3】已知函数f（x）=|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≤5﹣|x﹣1|的解集；
（2）若函数g（x）= ﹣f（2x）﹣a的图象在（ ，+∞）上与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围． 21教育名师原创作品
真题精析
一、单选题
1.（2017 天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　） 2-1-c-n-j-y
A. [﹣2，2] B. C. D.
2.（2017 天津）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【出处：21教育名师】
3.（2017·天津）设θ∈R，则“|θ﹣ |＜ ”是“sinθ＜ ”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件21*cnjy*com
4.（2017·山东）设集合M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（　　）
A. （﹣1，1） B. （﹣1，2） C. （0，2） D. （1，2）
5.（2014 江西）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
6.（2017 天津）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为________．
7.（2017 浙江）已知a∈R，函数f（x）=|x+ ﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是________． www-2-1-cnjy-com
8.（2014 重庆）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+ a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
9.（2013 山东）在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为________．
10.（2014 湖南）若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣ ＜x＜ }，则a=________．
11.（2014 广东）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为________．
12.（2013 重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
13.（2017 新课标Ⅲ）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
14.（2013 辽宁）已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；
（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．
模拟题精练
一、单选题
1.函数的最小值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2.已知关于x的不等式|x+2|﹣|x+3|＞m有解，则实数m的取值范围是（　　）
A. m＜﹣1 B. m≥1 C. m＜1 D. m≤1
3.已知命题p:a,b,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分不必要条件;命题q:已知A,B,C 是锐角三角形ABC的三个内角,向量,,则与的夹角是锐角,则（　　） 【来源：21cnj*y.co*m】
A. p假q真 B. p且q为真 C. p真q假 D. p或q为假【版权所有：21教育】
4.若圆上的任意一点关于直线的对称点仍在圆上，则最小值为（　 　）
A. B. C. D.
5.若a，bc为实数，则下列命题中正确的是（　　）
A. 若a＞b，则ac2＞bc2 B. 若a＜b，则a+c＜b+c
C. 若a＜b，则ac＜bc D. 若a＜b，则
6.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x,则( )
A. B. C. D.
7.设都是正实数，且满足， 则使恒成立的c的范围是(　　)
A. (0,8] B. (0,10] C. (0,12] D. (0,16]
8.已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+4c2+4d2=5则a的最大值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（ ）
A. B. C. D.
10.已知2x+y=1，x＞0，y＞0，则 的最小值是________．
11.已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点在直线上，其中， 则的最小值为（ ）
A. B. 8 C. 9 D. 12
12.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为 ( )
A. 35m B. 30m C. 25m D. 20m
二、填空题
13.设a＞0，b＞0，若 是3a与3b的等比中项，则 + 的最小值是________．
14.a，b为正数，给出下列命题：
①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；
②若 ﹣ =1，则a﹣b＜1；
③ea﹣eb=1，则a﹣b＜1；
④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．
期中真命题的有________．
15.已知﹣1＜a＜b＜2，则a﹣b的范围是________．
16.已知a＞1，则不等式a+的最小值为________
三、综合题
17.将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．
（1）求V关于α的函数关系式；
（2）当α为何值时，V取得最大值；
（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．
18.已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|．
（1）解不等式f（x）≥8；
（2）若不等式f（x）＜a2﹣3a的解集不是空集，求实数a的取值范围．
19.已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．
（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；
（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围．
20.已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣1|．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥x+3a的解集；
（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[0，1]，求a的取值范围．
21.已知函数f（x）=|x|﹣|x﹣1|．
（1）若关于x的不等式f（x）≥|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值集合M．
（2）记（1）中数集M中的最大值为k，正实数a，b满足a2+b2=k，证明：a+b≥2ab．
22.选修4﹣5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．
（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；
（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．
23.已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．
（1）证明：f（x）≥f（0）；
（2）若 x∈R，不等式2f（x）≥f（a+1）恒成立，求实数a的取值范围．
24.设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，
（1）证明：| a+ b|＜ ；
（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．
25.已知不等式|x+2|+|x﹣2|＜18的解集为A．
（1）求A；
（2）若 a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x +m恒成立，求实数m的取值范围．
26.已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0的解集为（﹣1，3）．
（1）求实数a，b的值；
（2）解不等式x2+a|x﹣2|﹣8＜0．
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